第01講二次根式

題型歸納________________________________________

【題型1二次根式的概念】

【題型2求二次根式的參數(shù)】

【題型3二次根式有意義的條件】

【題型4利用二次根式的性質(zhì)化簡】

【題型5復合二次根式的化簡】

基礎(chǔ)知識,知識梳理理清教材

考點1：二次根式的相關(guān)概念

一般地，我們把形如由（a20）的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號.如

心戶低都是二次根式。

二次根式滿足條件：

（1）必須含有二次根號「

（2）被開方數(shù)必須是非負數(shù)

題型分類深度剖析,）

【題型1二次根式的概念】

【典例1］（23-24八年級下?廣西柳州?期末）

1.下列式子一定是二次根式是（）

A.7=7B.4^C.37D.一后

【變式1-1］（23-24八年級下?河南商丘?期末）

2.下列式子中，是二次根式的是（）

A.yB.V4C.V3D.-2

【變式1-2］（23-24八年級下?安徽亳州?期末）

3.當。=11時，二次根式^的值為（）

試卷第1頁，共6頁

A.1B.2C.3D.4

【變式1-3］（23-24八年級下?山東泰安?期中）

4.下列各式中，屬于二次根式的是（）

A.-B.2x+1C.y/5D.

x

【題型2求二次根式的參數(shù)】

【典例2］（22-23八年級下?廣東惠州?期中）

5.已知：阮是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)”為（）

A.2B.4C.5D.20

【變式2-1］（23-24八年級下?云南怒江?階段練習）

6.己知川三是整數(shù)，則自然數(shù)x的所有取值為.

【變式2-2122-23八年級上?全國?單元測試）

7.畫是整數(shù)，則正數(shù)〃的最小值是

【變式2-3］（22-23八年級上?全國?單元測試）

8.若、隹是整數(shù)，則整數(shù)〃的所有可能的值為.

Vn

【題型3二次根式有意義的條件】

【典例3］（24-25九年級上?河南新鄉(xiāng)?期末）

9.若代數(shù)式無亙在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則無的取值范圍是（）

x-5

A.x<-2B.x>-2C.x>5D.且xw5

【變式3-1］（24-25八年級上?遼寧大連?期末）

10.若二次根式近行有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>-3B.x>—3C.x<—3D.%?-3

【變式3-2］（23-24八年級下?新疆昌吉?期末）

11.要使式子萬工有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>2B.x/2C.x>-2D.x<2

【變式3-31（23-24八年級下?廣東河源?期末）

12.二次根式式了中字母x的取值范圍是

試卷第2頁，共6頁

基礎(chǔ)知識,知識梳理理清教材

考點2：二次根式的性質(zhì)

（1）雙重非負性VaNO,aNO:（主要用于字母的求值）

（2）回歸性（Jg）2=a,（a>0）:（主要用于二次根式的計算）

FII?ra（aNO）

（3）轉(zhuǎn)化性：va=\a\=_

_-a（a<0）

題型分類深度剖析,

【題型4利用二次根式的性質(zhì)化簡】

【典例4]（23-24八年級下?新疆昌吉?期末）

13.若l<x<2,則k-1|+而了的值為（）

A.2x-4B.—2C.4—2xD.2

【變式4-1]（24-25八年級上?北京?階段練習）

14.實數(shù)a、6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（）

----1----------1-----1---->

a0b

A.b-ciB.6+QC.—b—aD.—b+a

【變式4-2]（24-25九年級上?湖南衡陽?期中）

15.實數(shù)。在數(shù)軸上的位置如圖所示，則府了+河而化簡后為（）

A.7B.-7C.2。-15D.無法確定

【變式4-31（24-25八年級上?黑龍江大慶?期中）

16.當1cx<4時，化簡Jl—2x+x?-Jx?—8x+16的結(jié)果是-

【題型5復合二次根式的化簡】

【典例5]（23-24八年級下?江西新余?期中）

試卷第3頁，共6頁

17.先閱讀下列解答過程，然后作答：

形如J冽±2，^的化簡,只要我們找到兩個正數(shù)“，b使6=加，ab=n,這樣

(〃■)+(VK)=m,y/a-4b=4n,那么便有1m±2G=近土“)=4a+\[b[a>b)，例

如：化簡,7+4/

解：首先把，7+46化為+2屈，這里加=7,n=12；由于4+3=7,4x3=12,即

(V?)=7,^4'>/3=\Jl2,

17+46=V7+2V12=J("+⑹2=2+V3o

根據(jù)上述例題的方法化簡：

⑴，12-2卮;

(2)75-724；

(3)“+岳+”-而?

【變式5-1](23-24八年級下?廣東東莞?期中)

18.閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方,

如：3+2夜=1+2后+2=1+2C+(C?=0+也『這樣小明就找到了一種把部分q+60

的式子化為平方式的方法.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

(1)試著把7+4人化成一個完全平方式.

(2)若。是216的立方根，6是16的平方根，試計算：Ja+b6?

【變式5-2](23-24八年級下?河南信陽?階段練習)

19.閱讀下面這道例題的解法，并回答問題.

例如：化簡“+2行?

依據(jù)上述計算，填空：

(D，+4g__，741-24V2=_；

試卷第4頁，共6頁

（2）根據(jù)上述方法求值：，3-2亞+）5-2#+17-46+...+499-60而.

【變式5-3]（23-24八年級上?湖南婁底?期末）

20.閱讀材料：數(shù)學上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù).形如J〃±2國,如果你能找到兩個數(shù)

mn

、,使加之+/=Q,且mn_a,則yja±2yfb可變形為

yjm2+n2±2mn="土〃了=|m±.從而達到化去一層根號的目的.例如化簡^5—2^/6，

?.?5=3+2且6=3x2,

/.^5—2y/~6=—=V3—V2.

⑴填上適當?shù)臄?shù)：&+2衣=[（_）2=|_|=；

（^）當時，化簡\Jx+2\[x—l+y/x-2y[x—1.

達標測試

一、單選題

（2024八年級上?全國?專題練習）

21.若二次根式小臣有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）

A.x>-2B.x>-2C.x>QD.x>0

（24-25九年級上?重慶萬州?期中）

22.下列各式是二次根式的是（）

A.B.V5C.J2-兀D.雙

（24-25九年級上?湖南衡陽?期中）

23.化簡夜的結(jié)果是（）

A.26B.342C.473D.6

（24-25八年級上?山東棗莊?期中）

24.已知l<x<2,化簡/x-丁+1-2|的結(jié)果為（）

A.-1B.1C.2x-3D.3-2x

（24-25八年級上?陜西西安?階段練習）

25.若斤=4,則x的值為（）

試卷第5頁，共6頁

A.±4B.4C.16D.±16

（24-25八年級上?福建三明?期中）

26.下列各式中計算正確的是（）

A.西=-2B.725=±5C.=-9D.(-V2)2=-2

（24-25九年級上?山西?階段練習）

27.化簡而存的結(jié)果為（）

A.-6B.6C.-36D.36

二、填空題

（24-25八年級上?上海?期中）

28.化簡：.

（22-23八年級上?山東荷澤?期末）

29.已知二滿足|2022—4+Ja—2023=a,貝””20222=

三、解答題

（24-25八年級上?廣東河源?期中）

30.已知2a+1的立方根是-5,。+2力的算術(shù)平方根是3,c是后的整數(shù)部分.

（1）求a,b,c的值；

（2）求a+26+c的平方根.

試卷第6頁，共6頁

1.B

【分析】本題考查二次根式的概念，屬于基礎(chǔ)題型.

根據(jù)二次根式的概念即可判斷.

【詳解】解：A、若被開方數(shù)是負數(shù)，此時不是二次根式，故A錯誤；

B、是二次根式，故B正確；

C、37不是二次根式，故C錯誤；

D、若被開方數(shù)是負數(shù)，此時不是二次根式，故D錯誤；

故選：B.

2.C

【分析】本題考查了二次根式的定義，掌握一般地，我們把形如夜(a20)的式子叫做二次

根式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】根據(jù)二次根式的定義可得：為是二次根式

故選：C.

3.C

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，二次根式的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.將

“=11代入二次根式計算求值即可.

【詳解】解：當。=11時，Ji-2=Jll-2=?=3,

故選：C.

4.C

【分析】本題考查了二次根式的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式的定義逐項分析判斷即可，

【詳解】A.工是分式，不是二次根式，故該選項不符合題意；

B.2x+l,是整式，不是二次根式，故該選項不符合題意；

C.6是二次根式，故該選項符合題意；

D.四是三次根式，故該選項不符合題意；

故選：C.

5.C

【分析】將廊化簡為2A，要是一個數(shù)開平方后為整數(shù)，那么這個數(shù)一定是完全平方

答案第1頁，共11頁

數(shù)，即可解答.

【詳解】解：血而=2跖，

???而是整數(shù)，

,滿足條件的最小正整數(shù)”為5,

故選：C.

【點睛】本題考查了求二次根式中參數(shù)的值，熟知二次根式的計算結(jié)果是整數(shù)的情況是解題

的關(guān)鍵.

6.13,12,9,4

【分析】本題考查了二次根式的定義，形如血(?>0)的式子叫做二次根式，還考查了二

次根式的性質(zhì)：=由己知可得13-x20且13-x為完全平方數(shù)求解.

【詳解】解：由已知得13-xNO,

x<13

又???、百7為整數(shù)

.?.13-x為完全平方數(shù)，

13-1=0或1或4或9

???自然數(shù)x的所有取值為：13,12,9,4.

1

7.—##0.05

20

【分析】根據(jù)環(huán)是整數(shù)，〃為正數(shù)，得出環(huán)的最小值為1,得出20〃的最小值為1,

即可求出答案.

【詳解】解：?.?屈是整數(shù)，〃為正數(shù)，

???也血的最小值為1，

.?.20〃的最小值為1,

???正數(shù)"的最小值為《，

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查了二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)乘除法法則和二次根式有意義

的條件.二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù)進行解答.

答案第2頁，共11頁

8.1,4,9,36

【分析】、隹是整數(shù)，則變20,且更是完全平方數(shù)，即可求出〃的值.

Vnnn

【詳解】解：慳是整數(shù)，

Vn

???—>0,且非是完全平方數(shù)，

nn

2A

???①一=1,即〃=36；

n

2A

②一=4,即〃=9；

n

③變=9,即〃=4；

n

④生=36,即〃=1；

n

綜上所述，整數(shù)〃的所有可能的值為1,4,9,36.

故答案是：1,4,9,36.

【點睛】本題考查了二次根式的定義，理解、也是整數(shù)的條件是解題的關(guān)鍵.

Vn

9.D

【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母

不為零列出不等式組，解不等式組得到答案.

【詳解】解：由題意得：x+2N0且x-5w0,

解得：且xw5,

故選：D.

10.B

【分析】本題考查二次根式的意義“二次根式中被開方數(shù)是非負數(shù)”.根據(jù)被開方數(shù)尤+320

即可求解.

【詳解】解：x+3>0,

x>-3.

故選：B.

11.D

【分析】本題考查的知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù).掌握被開方數(shù)是非負數(shù)是解

答本題的關(guān)鍵.根據(jù)被開方數(shù)20列式計算即可得解.

【詳解】解：根據(jù)題意得，2-xNO,

答案第3頁，共11頁

解得xW2.

故選：D.

12.x>l

【分析】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)，熟練掌握二次根式的意義是解題的關(guān)鍵；

二次根式有意義的條件就是被開方數(shù)是非負數(shù)，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：x-l±O,

解得XN1

故答案為：X>1

13.D

【分析】本題主要考查了化簡絕對值，利用二次根式的性質(zhì)化簡，代數(shù)式求值等知識點，熟

練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)1<x<2化簡絕對值和二次根式，然后合并同類項即可.

【詳解】解：,.T<x<2,

x—1>0f%—3<0,

?■?|x-l|+=X-1+3-X=2,

故選：D.

14.A

【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，數(shù)軸，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.觀察數(shù)軸可得。<0<6,從而得到再根據(jù)絕對值的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：觀察數(shù)軸得：a<O<b,

：.a—b<0,

-b)—1<7一耳=6-a-

故選：A

15.A

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)和絕對值，首先根據(jù)數(shù)軸得到。的范圍，從而得到4

與的符號；然后利用二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸得：5<。<10,

?*.ci—4>0,u-11<0,

'("4)2+

答案第4頁，共11頁

=|^-4|+|（2-11|

=a—4+11—a

=7.

故選：A.

16.2x-5

【分析】先配方，把二次根式轉(zhuǎn)化為絕對值，化簡解答即可.

本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握完全平方公式，絕對值的化簡是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A/1-2X+X2-A/X2-8X+16

=J（XT）2_J（X_4『

=|x-l|-|x-4|,

vl<x<4,

|x-1|-|x-4|=x-1-（4-x）

=x-l+x-4

=2x-5.

故答案為：2x-5.

17.（1）V7-V5

⑵

⑶而

【分析】本題考查二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡，二次根式的性質(zhì)及完全平方公式,

（1）根據(jù)解答過程即可得解，

（2）將75-V24轉(zhuǎn)化為75-276，再根據(jù)解答過程即可得解，

（3）將4+岳+74-V15轉(zhuǎn)化為j+2行+行,再根據(jù)解答過程即可得解；

先把各題中的無理式變成而的形式，進而可得出結(jié)論.解題的關(guān)鍵是理解和掌握：

二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡主要是根據(jù)完全平方公式的特點將該式子轉(zhuǎn)化為平方

的形式.

答案第5頁，共11頁

【詳解】(1)解：712-2735=^(V7-V5)2=V7-V5；

(2)(5-衣=b2a=J(也-何=百-行;

（3）74+715+74-715

18.⑴(2+可

(2)2±近

【分析】本題主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合計算，二次根式

的化簡：

(1)根據(jù)完全平方公式即可解答；

(2)先根據(jù)立方根和算術(shù)平方根的定義求出。、6的值，進而得至(］八+叵=，6±4行，

再把6±4血化成完全平方式，最后利用二次根式的性質(zhì)化簡即可.

【詳解】(1)解:7+46

=4+473+3

=22+473+(73)2

=(2+V3)2.

(2)解：:a是216的立方根,6是16的平方根，

???。=6,6=±4,

答案第6頁，共11頁

???Ja+母b

=^6+45/2

=：4±4亞+2

=^22±4V2+(V2)2

=J(2土可

=2±^2?

19.(1)2+V3;40-3

(2)9

【分析】本題主要考查了化簡復合二次根式：

(1)根據(jù)例題的方法，湊完全平方公式，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求解;

(2)根據(jù)例題的方法，湊完全平方公式，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求解.

【詳解】(1)解：，7+4。

=J4+46+3

=2+6；

741-2472

=732-2472+9

=4A/2-3;

故答案為：2+也；472-3;

（2）解：73-272+75-276+77-4>/3+???+V199-6oVTT

J?1+J?可++…+小頌-呵2

=-\/2—1+V3—V2+V4—V3H---FJ100—J99

=VToo-i

=10-1

答案第7頁，共11頁

9.

20.(1)V5+V3.V5+V3,V5+V3

(2)2

【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確應用完全平方公式，掌握完全平方公

式的特征是解題的關(guān)鍵.

(1)將8寫成(石將而寫成石乂內(nèi)，然后將被開方數(shù)變形成完全平方公式的

形式，即可得出答案.

(2)將x寫成(衣萬)2+1，然后將被開方數(shù)變形成完全平方公式的形式，即可得出答案.

=V5+-\/3，

故答案為：V5+V3,6+百，V5+V3;

（2）1<x<2,

;.dx+2Jx-1+Jx-2Jx-1,

222

^（vrn-）+2xA/7^Txi+f+^（v^r）-2xvrn'xi+i,

2

=2.

21.A

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是

非負數(shù)，是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負數(shù)，即可得出答案.

【詳解】解：???二次根式有意義，

答案第8頁，共11頁

.*.x+2>0,

解得：x>-2,

故選：A.

22.B

【分析】本題考查了二次根式的判斷，根據(jù)形如NO)的式子叫做二次根式進行判斷即

可.

【詳解】解：A、被開方數(shù)為負數(shù)，不是二次根式，不符合題意；

B、是二次根式，符合題意；

C、被開方數(shù)2-4<0,不是二次根式，不符合題意；

D、我，形式不符合布，不是二次根式，不符合題意，

故選：B.

23.A

【分析】本題考查了二次根式化簡性質(zhì)，難度較小，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式化簡性質(zhì)即可作答.

【詳解】解：712=273.

故選：A.

24.B

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，去絕對值，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)必=問化簡二次根式，然后再根據(jù)1<x<2去絕對值即可.

【詳解】解：—+|x-2|=|x-1|+|x-2|,

1<x<2,

.e.x—1>0,x—2<0,

|x-+|x-2]=x-1+2-x=1,

^(x-1)2+|x-2|=1,

故選：B.

25.A

【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到J3=|尤|=4,即可求解.

答案第9頁，共11頁

【詳解】解：-?-7?=|X|=4,

???x=±4.

故選：A.

26.A

【分析】本題考查了立方根與算術(shù)平方根的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，根據(jù)立方根與算術(shù)平方

根，以及二次根式的性質(zhì)逐項分析判斷，即可求解.

【詳解】解：A.