專題10對數與對數函數

【考點預測】

1.對數式的運算

(1)對數的定義：一般地，如果/=N(a>0且“W1),那么數X叫做以。為底N的對數,

記作x=log〃N,讀作以。為底N的對數，其中?叫做對數的底數，N叫做真數.

(2)常見對數：

①一般對數：以以々>。且a/1)為底，記為log3讀作以。為底N的對數；

②常用對數：以10為底，記為IgN；

③自然對數：以e為底，記為InN；

(3)對數的性質和運算法則：

①log：=0;log：=1;其中4>。且"1;

②qSg，=N(其中a>0且，N>0)；

③對數換底公式：log/=粵"；

logca

④log“(AW)=logaM+logaA^；

⑤loga--=log”M-logaN；

⑥bg/，Fw（，…的

⑦戶*=6和log/=6；

logfco

2.對數函數的定義及圖像

(1)對數函數的定義：函數〉=1。8/(。>0且。片1)叫做對數函數.

過定點（1,0）,即X=1時，y=0

在（0,+00）上增函數在（0,+8）上是減函數

當Ovxvl時，j<0,當xNl時，當Ovxvl時，>>0,當％之1時，y?0

y>0

【方法技巧與總結】

1.對數函數常用技巧

在同一坐標系內，當”>1時，隨a的增大，對數函數的圖象愈靠近x軸；當0<a<l時,

對數函數的圖象隨。的增大而遠離x軸.（見下圖）

。增大

。增大

【題型歸納目錄】

題型一：對數運算及對數方程、對數不等式

題型二：對數函數的圖像

題型三：對數函數的性質（單調性、最值（值域））

題型四：對數函數中的恒成立問題

題型五：對數函數的綜合問題

【典例例題】

題型一：對數運算及對數方程、對數不等式

例1.（2022?全國?高三專題練習）（1）計算3啕2+27%+lg50+lg2；

（2）已知現2口%（坨切=1,求實數x的值；

（3）若18"=5,log189=b,用0,b,表示log3645.

例2.（2022?全國?高三專題練習）⑴求1唯上,1嗎8」嗎27的直

25?

(2)已知log95=。，3"=7,試用4，6表示logzi35

212

例3.（2022?全國?高三專題練習）（1）已知a,b,c均為正數,且3a=4b=6c求證:—I—=一

9abc

（2）若60a=3,60b=5,求已景出的值

例4.（2022?全國?模擬預測）若e，=4,e"=25,貝!j()

A.a+b=100B.b-a=e

C.ab<8\n22D.b-a>]n6

例5.（2022?全國?模擬預測）已知實數X,y滿足x>0,y>0,XH1,y^l,xy=yx,

x

logx+-=4,則x+y=()

y

A.2B.4C.6D.8

例6.（2022.北京昌平?二模）已知函數/（x）=ax2-4依+2（〃<0）,則關于X的不等式

/(%)>log2)的解集是(

A.(-oo,4)B.(0,1)C.(0,4)D.(4,+oo)

log1X,X>1,

例7.（2022?全國?江西師大附中模擬預測（文））已知函數〃尤）=<5則不等式

l-x2,x<1,

/(x)</(x-l)的解集為

例8.（2022?遼寧?東北育才學校二模）若函數f（x）滿足：（1）馬式。，”）且玉片々，

都有"“）一"為）<0；（2）f=/（西）-/（尤2），貝!l/(x)=,（寫出滿足這

x2—xl

些條件的一個函數即可）

例9.（2022?全國?高三專題練習）設函數/（x）=log,“x（根>0且加Wl）的圖像經過點（3,1）.

（1）解關于x的方程尸（x）+（加一1）〃X）+1—/=0；

（2）不等式［l+/（x）］｛a-/（x）］〉0的解集是試求實數a的值.

【方法技巧與總結】

對數的有關運算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數方程或對數不等式問題

是要將其化為同底，利用對數單調性去掉對數符號，轉化為不含對數的問題，但這里必須注

意對數的真數為正.

題型二：對數函數的圖像

例10.（2022?山東濰坊?二模）已知函數/（x）=log“（x-b）（a>0且awl）的圖像如圖所示，

則以下說法正確的是（）

A.a+b<0B.ab<-lC.0<a*<1D.loga\b\>0

例11.（2022.江蘇省高郵中學高三階段練習）函數y=log”（x+3）-l（a>0且awl）的圖象恒

過定點A,若點A在直線〃tr+〃y+l=0上，其中〃加>0,則'+'的最小值為（）

mn

A.3-2V2B.1+V?C.3+2后D.2+2V2

（多選題）例12.（2022?福建?莆田二中模擬預測）已知函數g（x）=log〃（x+%）（a>0且"1）

的圖象如下所示.函數/（"=（01）"-武的圖象上有兩個不同的點4（%,%）,磯%,%），

則（）

A.a>l,k>2B.在R上是奇函數

C.在R上是單調遞增函數D.當x20時，2/（^）</（2x）

-2x?+3x,-2Wx<0

例13.（2022?全國?高三專題練習）已知/（幻={1,若g（x）=|/（x）|-ox—a

In——,0<x<211

X+1

的圖象與X軸有3個不同的交點，則實數。的取值范圍為.

【方法技巧與總結】

研究和討論題中所涉及的函數圖像是解決有關函數問題最重要的思路和方法.圖像問題

是數和形結合的護體解釋.它為研究函數問題提供了思維方向.

題型三：對數函數的性質（單調性、最值（值域））

例14.（2022?陜西?榆林市第十中學高二期中（文））函數、=1。82（4+3彳-/）的一個單調增

區間是（）

A.0B.CD.[|』

-21

ox—x—XV]

例15.（2022?天津.南開中學二模）已知函數"尤）=.‘4”一是R上的單調函數，則

logax-l,x>l

實數。的取值范圍為（）

r1nrir

A.二,二B.y,—

|_42）142j

c-H]D.t，”

例16.（2022?浙江?模擬預測）己知實數。￡（1,口），且log3a+log。3=log3b+log。4,則（）

A.y/a<b<aB.b<yfa<aC.y[a<a<bD.a<b<y/a

例17.（2022?全國?高三專題練習（理））函數段）=logQx（0VaVl）在上的最大值是（）

A.0B.1

C.2D.a

例18.（2022?重慶?模擬預測）若函數f（x）=log“（-3d+4"-l）有最小值，則實數。的取值

范圍是（）

【方法技巧與總結】

研究和討論題中所涉及的函數性質是解決有關函數問題最重要的思路和方法.性質問題

是數和形結合的護體解釋.它為研究函數問題提供了思維方向.

題型四：對數函數中的恒成立問題

例19.（2022?北京?高三專題練習）若不等式V-log.xvO在（0,；）內恒成立，則。的取值范

圍是（）

A.—?a<1B.—<Q<1C.0<aV—D.0<a<—

16161616

例20.（2022?江蘇?高三專題練習）已知函數了二[；[12、”的值域為（0,',若不等式

1。8.9?4'）<108“（2，7）在工目1,2]上恒成立，則f的取值范圍是（）

A.HB.,+°°^C.（—co,2）D.（0,2）

例21.（2022?浙江?高三階段練習）已知函數"X）='手，g（x）=log2x+a,若存在百目3,4],

任意9e[4,8],使得了（xj2g（%）,則實數a的取值范圍是.

例22.（2022?全國?高三專題練習）已知函數/（x）=x-Inx,已知實數a>0,若

/1（了）+g2*+111。20在（0,+8）上恒成立，求實數。的取值范圍.

例23.（2022?全國?高三專題練習）已知函數/（x）=a*+logaX（a>0,"l）在[1,2]上的最大值

與最小值之和為6+log。2.

（1）求實數。的值；

（2）對于任意的xe[2,+8）,不等式V（x）-120恒成立，求實數上的取值范圍.

例24.（2022?陜西安康?高三期末（文））已知函數〃x）=（logaX）2+21ogaX+3（a>0,qNl）.

（1）若/（3）=2,求a的值；

⑵若對任意的xe[8/2],/（x）>6恒成立，求。的取值范圍.

例25.(2022?上海?高三專題練習)已知"x)=3-21og2X,g(x)=log2x.

(1)當xe[L4]時,求函數y=[/(x)+l]-g(x)的值域;

(2)對任意xe[2",2"+[,其中常數“eN,不等式/(d)./(?)＞依(x)恒成立，求實數左

的取值范圍.

【方法技巧與總結】

(1)利用數形結合思想，結合對數函數的圖像求解；

(2)分離自變量與參變量，利用等價轉化思想，轉化為函數的最值問題.

(3)涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，借助同構思想構造函數，利用

導數探求函數單調性、最值是解決問題的關鍵.

題型五：對數函數的綜合問題

例26.(2022.河北?張家口市第一中學高三階段練習)已知定義域為(。,+8)的單調遞增函數

滿足：Vxe(0,+oo)，有〃〃x)-lnx)=l,則方程/(%)=—x2+4x—2的解的個數為(

A.3B.2C.1D.0

例27.(2022?四川雅安?三模(文))設是定義在R上的偶函數，對任意xeR,都有

〃x+4)=〃x),且當xe[-2,0]時，/(X)=QJ-6.若在區間(一2,6]內關于尤的方程

”力-抽“(％+2)=0(。＞1)恰有3個不同的實數根，則a的取值范圍是().

A.(1,2)B.(2,+8)C.(1,而)D.(返,2)

例28.(2022.廣西柳州.高一期中)己知a>b>0,且a+b=l,則()

A.sina>sinbB.—>^C.2a+2b>272D.lga+lgZ?=0

ab

例29.(2022?河北保定?二模)已知函數y=3》-2歲在(O,+e)上先增后減，函數y=43,-3#在

(。,+8)上先增后減.若log2(log3%)=log3(log2%)=a>0,log2(log4)=log4(log2%)=%，

log3(log4x,)=log4(log3x,)=c>0,則()

A.a<cB.b<aC.c<aD.a<b

例30.(2022.廣東.三模)已知a,6eR,e是自然對數的底，若b+e〃=o+lna,則/的取值

b

可以是()

A.1B.2C.3D.4

例31.(2022?全國?高三專題練習)己知不是函數/(力=/廣2+3-2的零點，則62-'。+1叫=

【過關測試】

一、單選題

1.(2022?遼寧遼陽?二模)區塊鏈作為一種新型的技術，被應用于許多領域.在區塊鏈技術中，

某個密碼的長度設定為512B,則密碼一共有25n種可能，為了破解該密碼，在最壞的情況

下，需要進行2512次運算.現在有一臺計算機，每秒能進行2.5x1014次運算，那么在最壞的情

況下，這臺計算機破譯該密碼所需的時間大約為(參考數據lg22Q3,V10?1.58)()

A.3.16x10139sB.1.58x10139s

C.1.58X10140SD.3.16X10140S

1

2.(2022?山東?肥城市教學研究中心模擬預測)已知^~~=P,=n,其中相>0且〃?力1,

log”,3

〃>0且〃彳1,若2%一九=0,貝!JP的值為()

A.log32B.log23C.2D.3

3.(2022.河南安陽.模擬預測(文))已知正實數x,y,z滿足3、=4)'=(2道『，貝U()

111111112112

A.—+—=—B.—+-=-C.—+—=—D.—+—=一

xyzyzxxyzxzy

4.(2022?河南?南陽中學高三階段練習(文))已知函數/(x)=ln(2+2x)+ln(3—3x),則〃x)

()

A.是奇函數，且在(0,1)上單調遞增

B.是奇函數，且在(0,1)上單調遞減

C.是偶函數，且在(0,1)上單調遞增

D.是偶函數，且在(0,1)上單調遞減

5.(2022?全國?高三專題練習)函數/(x)=log〃(x-l)+2的圖象恒過定點

A.(2,2)B.(2,1)C.(3,2)D.(2,0)

6.(2022?安徽六安?一模(文))設函數〃x)=2-&+4,g(x)=ln(ax2-4x+l),若對任

意的％wR,都存在實數巧，使得/a)=g(/)成立，則實數。的取值范圍為()

A.(F,4]B.(0,4]C.[0,4]D.(0,2]

7.(2022?湖北?荊門市龍泉中學二模)設。>0且。力1,若gk)g“x>sinx+cosx對xe(0,￡)

恒成立，則a的取值范圍是()

TTTTTTJTTT

A.(0,-)B.(0,-]C.(-,l)u(l,-)D.[-,1)

44424

8.(2022?浙江?模擬預測)己知實數。/￡(l,+oo),>log3a+logb3=log3b+loga4,則()

A.y[a<b<aB.b<y/a<aC.y/a<a<bD.a<b<y[a

二、多選題

9.（2022.重慶市天星橋中學一模）已知。>0力>0,且a+b=l,則下列結論正確的是（）

A.工+工的最小值是4

ab

B.浦+二的最小值是2

ab

C.2"+2"的最小值是2形

D.Iog2<2+log2b的最小值是-2

10.（2022.廣東汕頭?二模）設a,6,c都是正數，且4。=6〃=9。，則下列結論正確的是（）

121

A.ab+bc-2acB.ab+bc-acC.4*-9b-4a-9CD.-=------

cba

H.（2022.河北.高三階段練習）下列函數中，存在實數。，使函數”同為奇函數的是（）

A./⑴=lg（x++〃）B./（x）=x2+ax

2

C./（%）=■：]-2D./（%）=幻11（蜻+〃）一5

12.（2022.江蘇?南京師大附中高三開學考試）當時，4'<log〃無，則”的值可以為

（）

A.正B.正C.逅D.72

223

三、填空題

13.（2022?天津?二模）已知Iog4（x+4y）=l+log27^,貝！Jx+2y的最小值為.

14.（2022?全國?高三專題練習）已知》2]-3+1nx=3,貝!je3-*+lnx=.

4'-1r<l

15.（2022.河南?模擬預測（文））已知函數〃X）=,'若l</（a）V2,則實數。的

log2%,尤>1