第五章分式與分式方程（B卷能力提升）一北師大版八年

級下冊數學單元雙測卷

【滿分：120】

一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分，給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.使分式七m有意義的字母%的取值范圍是（）

x-4

A.xwOB.xw3C.xw4D.xw3且xw4

2.下列分式的約分正確的是（）

B.上心=）

x+2x+1x+2x

22

x

Cc.%+y-=-l1Dvs.----~-y=x-y

x-y1+y

3.若機=2,則"—〃一?3-的值是（）

mm+n

A.4B.2C.-2DT

4.某運輸公司運輸一批貨物，已知大貨車比小貨車每輛多運輸5噸貨物，且大貨車運輸75噸貨物

所用車輛數與小貨車運輸50噸貨物所用車輛數相同,設有大貨車每輛運輸x噸,則所列方程正

確的是（）

755007550—7550-7550

AA.------=-B.—=------C.------=—D.——=-------

x-5xxx-5x+5xxx+5

5.已知A為整式，若計算」下-Y—的結果為七口,則A=（）

xy+yx+xyxy

A.xB.yC.x+yD.x-y

6.已知關于x的分式方程亙=-1有增根，則m的值為（）

%—2

A.3B.-3C.6D.-6

7.老師設計了接力游戲用合作的方式解答題目：

若x為正整數，求隼工-二一的最大值或最小值.

x—1x—1

接力中，每位同學說明自己要完成的工作，并寫出解答過程，其中首先出現錯誤的是（）

甲：（把原式通分）原式、（J-

乙：（得至U化簡結果）=/3（：：1）

（x+l）（x-l）x+1

丙：（確定X的值）因為X為正整數，所以X有最小值1.

T：（求原式的最值）原式有最大值，最大值=—3L=±3.

1+12

A.甲BZC.丙D.丁

8.若關于x的分式方程匕生―1=二-的解是正數，則m的取值范圍是（）

X—11—X

A.根＜4或加。3

B.m＜4

C.加工4且加。3

D.機＞5且加。6

9.已知a為整數，且￡±2—金一〃-丁"+25為正整數，求所有符合條件的&的值的和（）

a—5a+2a—4

A.4B.8C.12D.16

10.若關于x的方程二=4+4無解，則m的取值為（）

%-11-x

A.-lB.lC.-2D.-3

二、填空題（每小題4分，共20分）

n.若工_工=2,則分式X+盯_y=.

xyy-x

12.關于x的分式方程」——?_=1有增根，則m的值為.

x—22—x

13.如圖，琳琳和華華相約周末到家鄉美食小鎮游玩,兩人同時分別到達小吃攤位A和D,并約在

出口C會合,琳琳從A經過3攤位,最后到達出口C,華華從。攤位直接前往出口C,速度與琳琳

從3到C的速度相同，兩人在每兩個地點間均勻速前進，各點間距如圖所示.若琳琳從A到B的

速度比從3到C的速度慢10m/min,且從A到3的時間為從3到C時間的一半，則（填

“琳琳”或“華華”）先到達出口C.

15.已知a,b滿足工+2=二-.則[1-的值為____.

aba-b<bJ

三、解答題（本大題共6小題，共計60分，解答題應寫出演算步驟或證明過程）

16.（8分）第九屆亞冬會將于2025年2月7日至2月14日在哈爾濱市舉辦，本屆亞冬會的吉

祥物是一對可愛的東北虎“濱濱”和“妮妮，，.某商場銷售“濱濱，，和“妮妮”兩種紀念品.若用1500元

購買“濱濱”紀念品的數量比用1800元購買“妮妮”紀念品的數量多5個,且一個“妮妮”紀念品的

價格是一個“濱濱”紀念品價格的1.5倍.求“濱濱”和“妮妮”兩種紀念品的單價分別是多少元

17.（8分）老師在黑板上寫了一道練習題，卻被珍珍不小心擦掉了一部分，保留的部分題目如下:

已知x為絕對值小于3的整數，請先化簡。-二4X+4，再求值.

X-X

若化簡后的結果為二

（1）求出珍珍擦掉的式子.

（2）求出符合要求的x值,并代入化簡后的結果求值.

18.（10分）小明和小強一起做分式的游戲，如圖所示他們面前各有三張牌（互相可以看到對方的

牌），兩人各自任選兩張牌分別做分子和分母，組成一個分式，然后兩人均取一個相同的x值，再計

算分式的值，值大者為勝.為使分式有意義，他們約定x是大于3的正整數.

小明的牌：小強的牌：

x+1x+2x+3[x-]|x-2x-3

（1）小明組成的分式中值最大的分式是，小強組成的分式中值最大的分式是;

（2）小強思考了一下，哈哈一笑，說：“雖然我是三張帶減號的牌，但最終我一定是勝者”小強說的有

道理嗎？請你通過計算說明.

19.（10分）閱讀下列材料：我們知道，分子比分母小的數叫做“真分數”，分子比分母大，或者分子,

分母同樣大的分數，叫做“假分數”.類似的，我們定義：在分式中,對于只含有一個字母的分式，當

分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時,

我們稱之為“真分式”.如：匚,上這樣的分式就是假分式：再如：二，二這樣的分式就

X+1X+1X+1X+1

是真分式，假分數可以化成帶分數的形式,類似的，假分式也可以化為帶分式（即整式與真分式的

和的形式）.

如：—+1）-

x+1x+lX+1

解決下列問題：

（1）分式』是^（填“真分式”或“假分式”）；將假分式±4化為帶分式為；

（2）如果分式三的值為整數，求滿足條件的整數x的值；

x—3

2

⑶若分式2與x匚+1的值為"直接寫出m的取值范圍是.

x+1

20.（12分）閱讀下列材料：

關于X的分式方程X+工=c+^的解是X1=C,%=,；X+2=C+2的解是X1=C,/=2；

XCCXCC

x+—=c+—的解是—c,x――.

XCC2

請觀察上述方程與解的特征，解決下列問題：

⑴直接寫出關于x的方程X+'=C+'（WAO）的解為;

XC

⑵直接寫出關于x的方程x+一一=2025—L的解為.

x-12024

21.（12分）如果兩個分式“與N的和為常數匕且左正整數，則稱〃與N互為“和整分式”，常數

k稱為“和整值”.如分式M=上,N=-^―,M+N=山=1,則M與N互為“和整分式”，“和整

x+1X+lX+1

值”左=1.

⑴已知分式4=±,3=邙出，判斷A與3是否互為“和整分式”，若不是,請說明理由；若

x-2x+x-6

是,請求出“和整值*;

⑵已知分式C=主二3,D=-^―,C與。互為“和整分式”，且“和整值”左=3,若x為正整數，分式

x-2x-4

。的值為正整數八

①求G所代表的代數式；

②求x的值.

⑶已知分式P=織3,Q=/與Q互為"和整分式”，且“和整值"k=2，若滿足以上關系的

x-33-x

關于x的方程無解,求實數m的值.

答案以及解析

1.答案：C

解析：根據題意得x-4*0,則XW4.

故選:C.

2.答案：D

解析：A、分式中沒有公因式，不能約分，故此選項錯誤,不符合題意;

B、分式中沒有公因式，不能約分，故此選項錯誤,不符合題意；

C、分式中沒有公因式，不能約分，故此選項錯誤,不符合題意；

D、±fy)=%—y，故此選項正確，符合題意.

x+y%+y

故選：D.

3.答案：D

mm-\-n

_+2m

mm+n

=2(m-n),

*.*n—m=2,

?Im—n=—2,

???原式=2x(-2)=4

故選：D.

4答案:B

解析：設有大貨車每輛運輸x噸，則小貨車每輛運輸(x-5)噸,

則至=工

xx-5

故選B

5.答案：A

解析：干-的結果為q,

孫+yx+xyxy

.y,1一丁_A

?,—1—2，

x+xyxyxy+y

./*(x_y)(x+y)=f=%=A

xy(x+y)xy(x+y)xy(x+y)xy+y2xy+y2

A=x,

故選：A.

6.答案：D

解析：筌7方程兩邊同時乘以7,得3—

?.?方程有增根，

二.x-2=0即x=2,

m=-6,

故答案為：-6.

7.答案：C

解析：七4九一21

x-l

4x-2x+1

(4x-2)-(x+l)田田丁培

=\——)、('、)，故甲正確,

(x+l)(x-l)

3(1)

(x+l)(x-l)

3

二—L,故乙正確，

x+1

???分式要意義，

/.(x+l)(x-l)^0,

「?xwl或"—1,

??.首先出錯的是丙，故丙錯誤,c選項符合題意;

為正整數，且XW1,

???X的最小值為2,

，原式有最大值，最大值

故選：C.

8.答案：A

解析：匕生―1=二-

x—11—X

去分母，得1一加一(％-1)=一2,

去括號>得1——x+1=—2>

移項，合并得％=4-帆,

方程的解為正數,

二.4一7”>0且4一加w1,

解得m<4且mtw3.

故選：A.

9.答案：D

。+3a—5a2—10。+25

解析:：

a—5a+2____￡—4

a+3a-5-5)

a—5a+2(a—2)(〃+2)

a+3a-5("2)(a+2)

a—5a+2(i7-5)2

a+3ci—2

a—5a—5

〃+3—〃+2

a—5

5

a-5'

???當a-5=1時,-為正整數，解得a=6；

當a-5=5時,二-為正整數，解得。=10；

。—5

??.所有符合條件的a的值的和6+10=16,

故選：D.

10.答案:D

去分母得：3%=+4(%-1),

去括號得：3%=一切+4%-4,

移項得：3x—4x=—m—4,

合并同類項得:-x=-相-4,

解得：x=m+4,

??,當％=1時，分式方程無解,

/.m+4=l,

解得:根=-3.

故選:D.

n.答案：-L-O.5

解析：：工-4=2,

——-=2,IPx-y=-2xy,

孫

x-y+xy_-2xy+xy_-xy_1

-2xy2

故答案為：-

12.答案：-3

m3

解析:

x—22—x

方程兩邊乘(％-2)得：/w+3=x-2,

/.x=m+5,

?.?方程有增根，

**?%—2=0,

/.m+5=2,

m=—3,

故答案為：-3.

13.答案：琳琳

解析：設琳琳從A到3的速度為xm/min,根據題意得:

_10_0—__2_40_x_1

x尤+102'

尤=50,尤=50是原方程的解

/.x+10=50+10=60

琳琳所用的時間為:圖+28=2+4=6(min)

5060

華華所用的時間為:&=12(min),

60

,/6min<12min

.琳琳先到達出口c.

故答案為：琳琳.

14.答案:4

解析：x+—13,二］

c111

=3xy-x----1----3oy------

xyxy

=3xy-l+3--

=3xy------F2,

町

和y互為倒數,

.?.移=1,

3xy--+2

孫

=3-1+2

=4,

故答案為：4.

15.答案:2

117

解析：,.1一+—=----，則bwO

aba-b

=——，即(a+b)(a-b)=2ab,

aba-b

a2-b2=2ab,

a'r2aRna'2a,

..r一1=——，即F=—+1

b2bb2b

故答案為：2.

16.答案：“濱濱”和“妮妮”兩種紀念品的單價分別是60元和90元

解析：設“濱濱”紀念品的單價為x元.

15001800「

根據題意，得---------=5,

x1.5%

解得：尤=60,

經檢驗x=60是原分式方程的解，

.-.1.5x=1.5x60=90.

答：“濱濱”和“妮妮”兩種紀念品的單價分別是60元和90元.

17.答案：⑴——

x-1

(2)x=—1或—2；g或;

々刀上匚八\九%2_4%+4x(x-2)2x-2

解析：(I)-------------7--------=--------~~\=---------，

x-2x-xx-2x(x-l)x-l

x—2(x—1)—(%—2)1

1--------=-------------------=------

x~lx—1X~1

???珍珍擦掉的式子為

x-1

(2)要使原式(1-一+匚坦T有意義，需保證所有的分母(包括除式的分子)都不等于0,

Ix-1)X-X

即％-lw0,x(x-1)W。,且(X-2)2。0,

則xwl且xwO且xw2,

???％為絕對值小于3的整數，

x=2,1,0,—1,—2,

.”=一1或一2.

_11

當x=T時，原式=-----=-;

-1-23

1

當-2時，原式

2

綜上所述，原式的值為3或

18.答案：⑴

x+1x-3

(2)小強說的有道理，理由見解析

解析：(1)根據分式的大小關系可知,

小明組成的分式中值最大的分式是苦,小強組成的分式中值最大的分式是一

⑵小強說的有道理，理由如下:

..x—1x+3(%-(x+3)(x-3)8

x-3x+1(%-3)(x+l)(x+l)(x-3)(x+l)(x-3)

當％是大于3的正整數時,

???(x+l)(x-3)>0,

A——7；——>0,

7(x+l)(x-3)?

.x—1x+3

?,>,

x-3x+1

故小強說的有道理.

19.答案：⑴真分式；1+工

x+3

(2)7,5,4,2,1,-1

(3)1<m<2

解析：(1)由題意可得，分式3是真分式，

X

x+6x+3+33

------=-----------=1+-------,

x+3x+3犬+3

故答案為：真分式；1+工；

x+3

/。、??x+1%—3+44

⑷?------=-----------=1H--------,

x—3x—3x—3

???％—3=±4或±2或±1,

...當x=7或5或4或2或1或-1時,山的值為整數;

x—3

2Y+12{%2+1^—11

(3)由題思得,一----=----；---------=2—--=m,

x2+lx2+lx2+l

Vx2+l>l,

?<1,

一"一￡<0,

1<2—-<2即l<m<2,

X+1

故答案為：14mv2.

20.答案：(1)玉=c,%2='

c

2025

(2)%=2025,x=

22024

解析：（1）由題意可猜想：關于%的方程尤+'=c+'（加wO）的解是石=c，zm

XC

故答案為：X1=C,X2=—;

L=2025—^—可變形為：+=2025—

⑵方程x+-1,

x-12024x-12024

1

即%—1+—=2024+

x-120249

1

則由⑴的猜想可得:方程x-1+」-=2024+」一的解為：尤-1=2024或x-l=

x-1202420249

2025

解得：石=2025,%

20249

也都是原方程的解,

經檢驗,％=2025,%=

2024

grpi。八。:2025

所以％=2025,x?=-------

2024

21.答案：⑴是；2

(2)①-