第七章隨機變量及其分布(n題型清單)

01思維導圖

02知識速記

1：條件概率

P(AB}

(1)一般地，設4,5為兩個隨機事件，且P(A)>0,我們稱P(3|A)=T77s為在事件A發生的條件

下，事件B發生的條件概率，簡稱條件概率.

2：乘法公式

由條件概率的定義，對任意兩個事件A與6,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)-P(3|A).我們稱上式為

概率的乘法公式.

3：事件的相互獨立性

(1)事件A與事件B相互獨立：對任意的兩個事件4與8,如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與

事件6相互獨立，簡稱為獨立.

(2)性質：若事件A與事件8相互獨立，則A與耳，?與耳與耳也都相互獨立，P(B\A)=P(B),

P(A|B)=P(A).

4：全概率公式

(1)一般地，設A，4，44是一組兩兩互斥的事件，4AA4=。，且P(4)〉O,

，=1,2,3,4n,則對任意的事件3口。，有P(B)=汽P(A,.)P(B\4)，我們稱此公式為全概率公式.

i=l

5：兩點分布

對于只有兩個可能結果的隨機試驗，用A表示“成功”，

1,A發生

了表示“失敗"，定義x=＜

0,破生

如果P(A)=P，則尸(a=l-p,那么X的分布列如下所示:

X01

P1-pp

我們稱X服從兩點分布或者0-1分布.

6：離散型隨機變量的均值與方差

一般地，若離散型隨機變量X的概率分布為:

X%Xn

pPiPlPiP"

則稱E(X)=X]P1+x2P2++x,,Pn=WXP”為隨機變量X的均值(mean)或數學期望(mathematical

?=1

expectation),數學期望簡稱期望.

稱。(X)=(X「E(X))20++(X,—E(X))2R++(x“—E(X))2p.=￡(N-E(X))2R

Z=1

為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X).稱cr(X)=《D(X)為隨機變量X的標準差.

7：二項分布

一般地，在“重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為P(0＜。＜1),用X表示事件A發

生的次數，則X的分布列為尸(X=A)左=1,2,3,.,n.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作xB(n,p).

8：超幾何分布

一般地，假設一批產品共有N件，其中有〃件次品，從N件產品中隨機抽取"件(不放回)，用X表示抽

^~ik^~m—k

取的〃件產品中的次品數，則X的分布列為P(X=k)=M,k=m,m+l,m+2,,r.

其中2N,A/wN*,MSN,n<N,m=max{O,〃—N+M},r=min{n,M}.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

9：正態分布

若隨機變量X的概率密度函數為/(%)=—占)后L，(xwH,其中4￡尺，。>0為參數)，稱隨機變

量X服從正態分布，記為XN(〃,/).

03題型歸納

題型一計算條件概率

例題1：(2025?河南鄭州?一模)將一枚質地均勻的正八面體骰子連續拋擲2次，其八個面上分別標有18八

個數字，記錄骰子與地面接觸的面上的點數，用X,￥表示第一次和第二次拋擲的點數，則

P(max(X,y)=8|min(X,y)=4)=()

例題2：(2425高三上?天津?期末)中華茶文化源遠流長，博大精深，不但包含豐富的物質文化，還包含深

厚的精神文化.其中綠茶在制茶過程中，在采摘后還需要經過殺青、揉捻、干燥這三道工序.現在某綠茶廠將

采摘后的茶葉進行加工，其中殺青、揉捻、干燥這三道工序合格的概率分別為］，［，J，每道工序的加工都相

345

互獨立，則茶葉加工中三道工序至少有一道工序合格的概率為;在綠茶的三道工序中恰有兩道工序加

工合格的前提下，殺青加工合格的概率為.

例題3：（2425高三上?上海楊浦?期末）某校高二有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人

報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為.

鞏固訓練

1.（2425高三上?江蘇?期末）第15屆中國國際航空航天博覽會于2024年H月12日至17日在珠海舉行.本

屆航展規?？涨?，首次打造“空、海、陸”一體的動態演示新格局，盡顯逐夢長空的中國力量.航展共開辟

了三處觀展區，分別是珠海國際航展中心、金鳳臺觀演區、無人系統演示區.甲、乙、丙、丁四人相約去

參觀，每個觀展區至少有1人，每人只參觀一個觀展區.在甲參觀珠海國際航展中心的條件下，甲與乙不到

同一觀展區的概率為（）

A,-B,-C,-D.1

6432

2.（2324高三下?河北?階段練習）甲、乙、丙、丁4位同學報名參加學校舉辦的數學建模、物理探究、英

語演講、勞動實踐四項活動，每人只能報其中一項，則在甲同學報的活動其他同學不報的情況下，4位同學

所報活動各不相同的概率為（）

1c3八8

A.—B.—C.—D.一

183299

3.（2425高三上?湖北?期末）對于隨機事件A,3,若P（8|A）=;，尸（XIB）=,P（B）=—尸（A）=________.

3o15

題型二乘法公式應用

例題1：（2024高三?全國?專題練習）一個不透明的箱子裝有若干個除顏色外完全相同的紅球和黃球.若第

一次摸出紅球的概率為自，在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出黃球的概率為:，則第一次摸出紅球

且第二次摸出黃球的概率為（）

例題2：（2324高二下.江蘇常州?期中）已知隨機事件AB,P（A）=P（B|A）=g,P（B）=g,則尸（A2）=.

P（A|B）=.

例題3：（2425高三.上海.課堂例題）已知尸（A|B）=；,則P（Ac3）=.

鞏固訓練

1.（2021高二下?山東青島?期中）某機場某時降雨的概率為（，在降雨的情況下飛機準點的概率為￡,則

某時降雨且飛機準點的概率為（）

2.（2024.浙江.模擬預測）己知一道解答題有兩小問，每小問5分，共10分.現每十個人中有六人能夠做出

第一問，但在第一問做不出的情況下，第二問做出的概率為01；第一問做出的情況下，第二問做不出的概

率為0.6.用頻率估計概率，則此題得滿分的概率是；得。分的概率是.

2

3.（2324高二下?黑龍江哈爾濱?期中）某地區氣象臺統計，該地區下雨的概率為石，已知下雨的條件下，

刮風的概率為則既刮風又下雨的概率為.

題型三全概率公式

例題1：（2425高三上?山東濰坊?期末）盒中有5個紅球，3個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色

后放回，并放入同色球2個，再從盒中任取一球，則第二次取出的是黑球的概率是（）

A.—B.-C.-D.1

10782

例題2：（2425高三上?安徽宿州?期末）兩批同種規格的產品，第一批占25%,次品率為5%；第二批占75%,

次品率為4%,將兩批產品混合，從混合產品中任取一件，則這件產品為次品的概率為.

例題3：（2425高三上?天津靜海?階段練習）有三臺車床加工同一型號的零件，第一臺為舊車床加工的次品

率為10%,第二，三臺為新車床加工的次品率均為5%,三臺車床加工出來的零件混放在一起.已知一，二，

三臺車床加工的零件數分別占總數的20%,40%,40%.任取一個零件，計算它是次品的概率為.

鞏固訓練

1.（2425高二上?黑龍江哈爾濱?期末）某地市場上供應一種玩具電動車，其中甲廠產品占得,乙廠產品占;，

丙廠產品占;，甲廠產品的合格率是95%,乙廠產品的合格率是90%,丙廠產品的合格率是80%,若從該

地市場上買到一個電動車，此電動車是次品的概率是（）

A.0.08B.0.15C.0.1D.0.9

2.（2425高三上.云南昆明.期中）若P（B|A）=|,P（A）=；,則P（3）=.

3.（2324高二下?湖南邵陽?期末）有甲、乙兩個工廠生產同一型號的產品，其中甲廠生產的占40%,甲廠

生產的次品率為2%，乙廠生產的占60%，乙廠生產的次品率為3%,從中任取一件產品是次品的概率是

題型四貝葉斯公式

例題1：（2324高二下?廣東廣州?期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同學，其中參加數學興趣社

團的學生分別有10人和8人，現從這兩個班中隨機抽取一名同學，若抽到的是參加數學興趣社團的學生，

則他來自高三（1）班的概率是（）

例題2：（2324高二下?福建泉州?期末）某學校有A,2兩家餐廳，王同學第1天選擇B餐廳就餐的概率是g,

4

若第1天選擇A餐廳，則第2天選擇A餐廳的概率為不；若第1天選擇3餐廳就餐，則第2天選擇A餐廳

3

的概率為g;已知王同學第2天是去A餐廳就餐，則第1天去A餐廳就餐的概率為（）

A.AB,1C,1D,1

111153

例題3：（2025高三?全國?專題練習）一個大型電子設備制造廠有A和B兩條生產線負責生產電子元件.已知

生產線A的產品合格率為95%,生產線8的產品合格率為90%,且該工廠生產的電子元件中60%來自生產

線A,40%來自生產線瓦現從該工廠生產的電子元件中隨機抽取一個進行檢測，則該電子元件在檢測不合

格的條件下來自生產線A的概率是.

鞏固訓練

1.（2324高二下.江蘇揚州?階段練習）假設甲袋中有3個白球和3個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現

從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球.已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取

出的也是2個紅球的概率為（）

A.AB.更C—D.』

137585

2.（2324高二下?廣東佛山?階段練習）若某地區一種疾病的患病率是0.05,現有一種試劑可以檢驗被檢者

是否患病.已知該試劑的準確率為95%,即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現陽性；

該試劑的誤報率為0.5%,即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現隨機

抽取該地區的一個被檢驗者，已知檢驗結果呈現陽性，則此人患病的概率為（）

,495c995〃10C21

A.------B.------C.—D.—

100010001122

3.（2526高三上?上海?單元測試）某倉庫有同樣規格的產品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、

丙三個廠生產的，且三個廠的次品率分別為［、］、上.現從這12箱中任取一箱，再從取得的一箱中任

101418

意取出一個產品.若已知取得一個產品是次品，則這個次品是乙廠生產的概率是.

題型五利用離散型隨機變量的性質求參數或概率

例題1：（2324高二下?江蘇?單元測試）已知隨機變量X的分布列為尸（X=i）=：（i=l,2,3,4）,則

P（2<X<4）=（）

A.IB.3c.LD.2

251010

例題2：（2024高三?全國?專題練習）隨機變量V的概率分布如下：

Y123456

P0.1X0.350.10.150.2

則尸（y>3）=.

例題3：（2024高三.全國.專題練習）已知離散型隨機變量X的分布列為:

X123

31

Pm

510

則P(X42)=

鞏固訓練

1.（2324高二下.河北滄州?期中）已知離散型隨機變量X的分布列為P（X="）=—"=1,2,3），

n\n+Y\

則。二（）

?3「4-2

A.—B.—C.-D.一

4332

k

2.（2324高二下?寧夏石嘴山?期中）設隨機變量X的概率分布為尸（X=左）=五（1WXW4,kcZ）,則

P（2<X<4）=.

3.（2324高二下.江蘇無錫.期中）若隨機變量X的分布列為

X-2-10123

P0.10.20.20.30.10.1

則當尸（x<a）=Q5時，實數。的取值范圍是,

題型六離散型隨機變量的的分布列，均值

例題1：（2425高三上?天津北辰?期末）某種資格證考試，每位考生一年內最多有3次考試機會.一旦某次考

試通過，便可領取資格證書，不再參加以后的考試；否則就繼續參加考試，直到用完3次機會.小王決定參

加考試，若他每次參加考試通過的概率依次為0.5,0.6,0.7,且每次考試是否通過相互獨立，則小王在一

年內領到資格證書的概率為;他在一年內參加考試次數的數學期望為.

例題2：（2425高三上?廣西河池?期末）新春佳節即將到來，某超市為了刺激消費、提高銷售額，舉辦了回

饋大酬賓抽獎活動，設置了一個抽獎箱，箱中放有7折、7.5折、8折的獎券各2張，每張獎券的形狀都相

同，每位消費者可以從中任意抽取2張獎券，最終超市將在結賬時按照2張獎券中最優惠的折扣進行結算.

⑴求一位消費者抽到的2張獎券的折扣相同的概率；

(2)若某位消費者購買了300元(折扣前)的商品，記這位消費者最終結算時的消費金額為X,求X的分布

列及數學期望E(X).

例題3：(2425高三上?貴州黔南?期末)某同學參加射擊俱樂部射擊比賽，每人最多有三次射擊機會，射擊

靶由內環和外環組成，若擊中內環得10分，擊中外環得5分，脫靶得0分.該同學每次射擊，脫靶的概率

為;，擊中內環的概率為：，擊中外環的概率為每次射擊結果相互獨立，只有前一發中靶，才能繼續

射擊，否則結束比賽.

(1)在該同學最終得分為10分的情況下，求該同學射擊了2次的概率；

(2)設該同學最終得分為X,求X的分布列和數學期望E(X).

鞏固訓練

1.(2425高三下?安徽?開學考試)甲、乙兩人進行電子競技比賽，已知每局比賽甲贏的概率為A(O<A<1),

乙贏的概率為P2,且Pi+Pz=l.規定：比賽中先贏三局者獲勝，比賽結束.若每局比賽結果相互獨

立，記比賽共進行了X局，則X的數學期望的最大值為一.

2.(2425高三上?河北唐山?階段練習)某大學社團共有8名大學生，其中男生4人，女生4人，從這8名

大學生中任選4人參加比賽.

⑴設“男生甲被選中”為事件A,“女生乙被選中”為事件B,求同；

（2）設所選的4人中男生和女生的人數分別為。*，記X=|a-4,求隨機變量X的分布列和數學期望.

3.（2425高三上?湖南長沙?期末）甲同學計劃去參觀某景點，但門票需在網上預約.該同學從第一天開始,

每天在規定的預約時間段開始預約，若預約成功，便停止預約；若連續預約三天都沒成功，則放棄預約.假

設該同學每天預約門票成功的概率均為0.7,

（1）求甲同學到第三天才預約成功的概率；

（2）記X為甲同學預約門票的天數，求X的分布列和期望E（X）.

題型七均值的性質

例題1：（2324高二下.山東棗莊.期末）某品牌飲料正在進行有獎促銷活動，一盒5瓶裝的飲料中有2瓶有

獎，消費者從中隨機取出2瓶，記X為其中有獎的瓶數，則E（5X+1）為（）

A.4B.5C.6D.7

例題2：（2425高二下?全國?課后作業）端午節是中國四大傳統節日之一，風俗習慣形式多樣，內容豐富多

彩.某居民小區為了讓業主度過愉快的端午節，業委會組織舉辦了一場現場抽獎游戲，規則如下：袋中共

有10張質地均勻的卡片，其中5張卡片圖案是粽子，另外5張卡片圖案是龍舟，業主從該袋子中不放回地隨

機抽取5張卡片，如果5張卡片圖案相同，則獲得100元的購物卡；如果5張卡片中有4張圖案相同，則獲得

50元購物卡；其他情況，則不獲得任何獎勵.設X是業主在一次抽獎活動中獲得的購物卡金額，則

E1X+2〉一.

例題3：（2024?四川南充?一模）某一隨機變量X的分布列如下表，且〃-根=0.2,則E1（3X+2）=.

X0123

P0.1m0.2n

鞏固訓練

1.（2425高三上?云南楚雄?期末）已知隨機變量X的分布列為

X123

J_5

Pm

612

下列結論正確的是（）

50

A.m=—B.E（X）=-

12

E（X+2）q

C.D.E（2X）=9

2.（2324高二下?黑龍江齊齊哈爾?期末）袋中裝有10個大小相同的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個

7

球，至少得到一個白球的概率是J現從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數為X,則

E（2X-1）=.

3.（2024高二下?全國?專題練習）已知離散型隨機變量X的分布列為

X101

j_]_

Pa

~26

設y=6x+L則y的數學期望E（y）=.

題型八方差的性質

例題1：（2324高二下?黑龍江牡丹江?階段練習）已知隨機變量x滿足E（2X+3）=7,D（2X+3）=16,則下

列選項正確的是（）

713

A.…產即萬B.E（X）=2,￡＞（X）=4

7

C.E（X）=2,￡＞（X）=8D.E（X）=/,D（X）=8

例題2：（多選）（2324高二下.新疆?期中）已知E（X）=3,D（2X—1）=8,貝ij（）

A.E（2X-1）=5B.E（2X-1）=6

C.￡＞（X）=2D.D（X）=4

例題3：（多選）（2324高二下.廣東廣州?期末）設離散型隨機變量X的分布列如下表，若離散型隨機變量

y滿足y=2x-1.則下列結論正確的是（）

X0i23

Pq0.20.10.2

A.E（X）=1.2B.￡"）=1

C.D（X）=1.4D.D（y）=28

鞏固訓練

1.（2324高二下.福建福州?期中）隨機變量X的分布列如下，且E（X）=：,則嗚X卜（）

X012

P0.2PiPi

A.0.64B.0.32C.0.16D.0.08

2.（2324高二下?安徽安慶?期末）已知兩個離散型隨機變量〃，滿足〃=3&+1,其中J的分布列如下:

123

J_

pab

6

其中。，6為非負數.若=D（^）=|,貝ij（）

i2

A.a=-B.b=-C.E（〃）=5D.O（〃）=5

3.（多選）（2324高二下.安徽合肥.期末）設離散型隨機變量X的分布列為:

X0i234

Pq0.40.10.20.2

若離散型隨機變量y滿足y=2x+i,則（）

A.q=0.1B.D（X）=L8

c.E(Y)=2D,r?(r)=3.6

題型九二項分布

例題1：(2425高二上?河南南陽?期末)甲、乙兩人進行射擊比賽，每場比賽中，甲、乙各射擊一次，甲、

乙每次至少射中8環.根據統計資料可知，甲擊中8環、9環、10環的概率分別為0.7,0.2,0.1,乙擊中8

環、9環、10環的概率分別為0.6,0.2,0.2,且甲、乙兩人射擊相互獨立.

(1)在一場比賽中，求甲擊中的環數多于乙擊中的環數的概率；

(2)若獨立進行三場比賽，用X表示這三場比賽中甲擊中的環數多于乙擊中的環數的場數，求X的分布列與

數學期望.

例題2：(2425高三上?山東淄博?期末)某地為弘揚我國傳統文化，舉辦知識競賽活動，每位參賽者從以下

兩種方式中選擇一種參賽：

①活動共設有3個問題，能正確回答問題者才能進入下一個問題，否則即被淘汰，3個問題都回答正確即

獲得“智慧星”稱號；

②活動需參賽者回答5個問題，至少正確回答4個即能獲得“智慧星”稱號；甲乙兩人參加此次競賽活動，

321

甲選擇第一種方式，他能正確回答第一、二、三個問題的概率分別為乙選擇第二種方式，他能正

確回答每一個問題的概率均為;.兩種方式下各個問題能否正確回答均互不影響，兩人彼此之間也互不影

響.

(1)求甲沒有獲得“智慧星”稱號的概率；

(2)求乙獲得“智慧星”稱號的概率.

⑶記事件”="乙正確回答問題的個數比甲正確回答問題的個數多3個“，求事件M發生的概率.

例題3：(2425高二上?江西南昌?期末)南昌瓷板畫：融合了中國傳統繪畫、陶瓷彩繪和西方攝影術的精髓，

從繪畫到燒制流程復雜，精品率非常低，在制作過程會出現常規品和精品兩種情況.

(1)某新匠人一天能制作兩件作品，制作第一件作品精品率為第二件作品在第一件是精品的前提下的精

品率為:，第二件作品在第一件是常規品的前提下的精品率為,，求該新匠人第二件作品是精品的概率；

o9

（2）某老匠人水平穩定且一天能制作三件作品，每一件瓷板畫作品的精品率為:，若常規品每件盈利100元,

O

精品每件盈利300元；求該老匠人一天盈利的分布列和期望.

鞏固訓練

1.（2025?甘肅白銀?模擬預測）已知X?3（”,0.8）,記K=P（X=k）,%=0,l,2,,n,若巴是唯一的最大值，

則E（2X+1）的值為.

2.（2425高三下?湖南長沙?階段練習）某單位在“全民健身日”舉行了一場趣味運動會，其中一個項目為投

籃游戲.游戲的規則如下:每局游戲需投籃3次，若投中的次數多于未投中的次數，該局得3分，否則得1分.

已知甲投籃的命中率為且每次投籃的結果相互獨立.

（1）求甲在一局游戲中投籃命中次數X的分布列與期望；

⑵若參與者連續玩2n（neN*）局投籃游戲獲得的分數的平均值大于2,即可獲得一份大獎.現有〃=3和"=4

兩種選擇，要想獲獎概率最大，甲應該如何選擇?請說明理由.

3.（2425高三上?陜西西安?期末）蛇年來臨之際，某商場計劃安排新春抽獎活動，方案如下：1號不透明

的盒子中裝有標有“吉”“安”“和”字樣的小球，2號不透明的盒子中裝有標有“祥”“康”“順”字樣的小球，顧客

先從1號不透明的盒子中取出1個小球，再從2號不透明的盒子取出1個小球，若這2個球上的字組成“吉

祥，，“安康”“和順，，中的一個詞語，則這位顧客中獎，反之沒有中獎，每位顧客只能進行一輪抽獎.已知顧客

從不透明的盒子取出標有“吉”“安”“和”“祥”“康”“順”字樣小球的概率均為g,且顧客取出小球的結果相互獨

立.

(1)求顧客中獎的概率；

(2)若小明一家三口參加這個抽獎活動，求小明全家中獎次數的分布列及數學期望.

題型十超幾何分布

例題1：(2425高三上?江蘇?期末)某新能源汽車公司對其銷售的A,8兩款汽車向消費者進行滿意度調查，

從購買這兩款汽車消費者中各隨機抽取10名進行評分調查(滿分100分)，評分結果如下：

數據I(A型車＞67,81,73,80,81,77,86,85,90,90；

數據n(2型車):61,76,81,67,72,87,86,95,93,90.

(1)求數據I的25百分位數；

(2)該公司規定評分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的消費者中隨機抽取3人溝通不滿意的原因及改

進建議，設被抽到的3人中購買2型車的消費者人數為X,求X的概率分布及數學期望.

例題2：(2425高三上?江蘇南京?期中)某人工智能研究實驗室開發出一款全新聊天機器人，它能夠通過學

習和理解人類的語言來進行對話.聊天機器人的開發主要采用RLHF(人類反饋強化學習)技術，在測試它

時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為80%,當出現語法錯誤時，它的回答被采

納的概率為40%.

(1)在某次測試中輸入了8個問題，聊天機器人的回答有5個被采納，現從這8個問題中抽取4個，以X表

示抽取的問題中回答被采納的問題個數，求X的分布列和數學期望；

（2）設輸入的問題出現語法錯誤的概率為0,若聊天機器人的回答被采納的概率為70%,求p的值.

例題3：（2425高三上?北京?階段練習）某市A,8兩所中學的學生組隊參加信息聯賽，A中學推薦了3名

男生、2名女生.6中學推薦了3名男生、4名女生.兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相

當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊參賽.

（1）求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率；

（2）設X表示A中學參賽的男生人數，求X的分布列和數學期望；

⑶已知3名男生的比賽成績分別為76,80,84,3名女生的比賽成績分別為77,a（aeN*）,81,若3名

男生的比賽成績的方差大于3名女生的比賽成績的方差，寫出。的取值范圍（不要求過程）.

鞏固訓練

1.（多選）（2024高三.全國?專題練習）某工廠進行產品質量抽測，兩位員工隨機從生產線上各抽取數量

相同的一批產品，已知在兩人抽取的一批產品中均有5件次品，員工A從這一批產品中有放回地隨機抽取3

件產品，員工B從這一批產品中無放回地隨機抽取3件產品.設員工A抽取到的3件產品中次品數量為X,

員工2抽取到的3件產品中次品數量為匕k=Q,1,2,3.則下列判斷正確的是（）

A.隨機變量X服從二項分布B.隨機變量y服從超幾何分布

C.P（X=k）<P（Y=k）D.E（X）=E（y）

2.（2425高三上?江蘇揚州?期末）已知給定兩個集合A={l,2,3,4},3={a,6,c},從兩個集合中各隨機取出

兩個元素合并成一個集合C.

（1）若AC3={1},求集合C中恰有三個元素的概率；

（2）若A3={1,3},設集合C中元素的個數為X,求隨機變量X的分布列與期望.

3.（2425高二上?江西南昌?期末）袋中裝有12個大小相同的球，其中紅球2個，黃球3個，白球7個，從

中隨機取出3個球.

⑴求取出的3個球中有2個白球的概率；

（2）設X表示取到的紅球個數，求X的分布列與數學期望.

題型十一正態分布

例題1：（2425高二上?吉林?期末）某學校高二年級數學聯考成績XN（80,625）,如果規定大于或等于105

分為數學成績“良好”，那么在參加考試的學生中隨機選擇一名，他的數學成績為“良好”的概率是（）

（提示：若貝!|P（〃-b<X<〃+b）=0.6827,P（〃—2b<X<〃+2cr）=0.9545,

尸(〃—3b<Xv〃+3b)=0.9973)=0,9973)

A.0.0455B.0.15865C.0.3173D.0.34135

例題2：(多選)(2425高三上?安徽?期末)已知隨機變量X服從正態分布Nj,4)。>。)，則下列結論正

確的是()

A,若P(〃<X<〃+cr)=7〃，貝I]P(X>〃-b)="z+g

B.P(/J-3cr<X<〃+2cr)=尸(〃-2a<X</J+3<r)

C.若〃=%則P(X>-b)=P(X<2b)

D.2P(X>〃-2cr)>尸(X>〃-3cr)+P(X>〃-cr