第七章計數原理（17題型清單）

01思維導圖

T排列概念）

T排列）一

排列數公式

nI

K=n(n-1)(n—2)??+1)=

兩個計

數原理

T組合概念］

T組合］—

計組合數公式

數C"，_AR_n(n-l)(n-2)---(n-m+1)

\in-----------------------應

原j?一

Cmm1m!("-m)!

理用

通項

T*+尸

二項式二項展

定理開式T對稱性）—

T二項式系數的性質｝T增減性與最大值）—

T各二項式系數的和）—

02知識速記

知識點01：分類加法計數原理

（1）定義：完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有〃種不同的

方法,那么完成這件事共有N=+〃種不同的方法.

（2）推廣：如果完成一件事情有"類不同方案,在第1類方案中有嗎種不同的方法,在第2類方案中有,4

種不同的方法,……在第〃類方案中有乙種不同的方法,那么完成這件事共有N=〃0+7%+…種不同

的方法.

知識點02：分步乘法計數原理

（1）定義：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有加種不同的方法，做第2步有“種不同的方法，那么完成

這件事共有N=種不同的方法.

（2）推廣：完成一件事需要〃個步驟，做第1步有㈣種不同的方法，做第2步有也種不同的方法,……做

第,步有mn種不同的方法,則完成這件事共有N=班?根2……mn種不同的方法.

知識點03：排列

（1）定義：一般地，從幾個不同元素中取出（加<〃）個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從〃個不

同元素中取出加個元素的一個排列.

（2）相同排列：兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.

知識點04：排列數與排列數公式

（1）定義：從〃個不同元素中取出加（加W”）個元素的所有不同排列的個數,叫做從〃個不同元素中取出

m個元素的排列數,用符號表示.

（2）排列數公式

①（連乘形式）：4"=〃（〃一1）（〃一2）（"-3）…（〃一〃2+1）,n,m&N,m<n

〃！

②（階乘形式）A：=7----n,m&N,m<n

（3）全排列：把〃個不同的元素全部取出的一個排列，叫做幾個元素的一個全排列,用符號A；表示.

4=〃!="（〃—1）5—2）…2」

（4）階乘：正整數1到”的連乘積，叫做”的階乘，用符號加表示.

知識點05：組合

（1）定義：一般地：從〃個不同的元素中取出加（mW〃）個元素作為一組，叫做從“個不同元素中取出加

個元素的一個組合.

（2）相同組合：只要兩個組合的元素相同，無論元素的順序如何，都是相同的組合.

（3）組合與排列的異同

相同點:組合與排列都是"從“個不同的元素中取出加（加《〃）個元素”.

不同點:組合要求元素“不管元素的順序合成一組”，而排列要求元素“按照一定的順序排成一列”因此區

分某一問題是組合問題還是排列問題,關鍵是看選出的元素是否與順序有關，即交換某兩個元素的位置對結

果有沒有影響，若有影響，則是排列問題，若無影響，則是組合問題.

知識點06：組合數與組合數公式

（1）組合數的定義：從〃個不同元素中取出用（加W"）個元素的所有不同組合的個數,叫做從〃個不同元

素中取出加個元素的組合數,用符號C：表示.

（2）組合數公式

_然_n(n-l)(n-2)---(n-m+1)〃!

或：C：=---:一-(n,meN,m<n).

4：ml

規定：C：=1

知識點07：組合數的性質

（1）性質1：c；"=CT"

(2)性質2：C：；i=C：+C：T

知識點08：知識鏈接

(1)(<7+Z?)2=<7+2ab+b~—C；。-+C；ab+C^b~

(2)(a+bp=/+3a~b+3ab~—C；/+C；a2b+C^cib~+

知識點09：二項式定理及相關概念

(1)二項式定理

一般地，對于每個左(左=0,1,2,…〃)，(a+力”的展開式中能力?共有或個，將它們合并同類項，

就可以得到二項展開式：(a+為"=C,%?°++C：(T2b2+…+c；；an-rbr+■■■+C：a%”

(“eN*).這個公式叫做二項式定理.

(2)二項展開式

公式中：(a+b)n=Cyb°+《"一歸+C；4-2b2+…+加+…+,：eN*等號右邊的

多項式叫做(a+by的二項展開式.

(3)二項式系數與項的系數

二項展開式中各項的二項式系數為C；(左=0,1,2,…〃)，項的系數是指該項中除變量外的常數部分,包含符

號等.

(4)二項式定理的三種常見變形

①(a—b)"=C°anb°+(-1)1Cy^b'+C；an-^+.??+(~V)rC[an-rbr+.?.+(-1)"C；a°bn

②(1+x)"=d+C：x+C*2+…+c：/+…+

③(1一x)〃=C：+(—1)1C>+cy+...+(-l)rCX+---+(T)"C：x"

知識點10：二項展開式的通項

二項展開式中的(左=0/,2,…〃)叫做二項展開式的通項，用。+1表示,即通項為展開式的第

左+1項：9+1=。,:優”/.通項體現了二項展開式的項數、系數、次數的變化規律，是二項式定理的核心，

它在求展開式的某些特定項(如含指定塞的項常數項、中間項、有理項、系數最大的項等)及其系數等方面

有著廣泛的應用.

知識點11:二項式系數的性質

①對稱性：二項展開式中與首尾兩端距離相等的兩個二項式系數相等：a=CL

n+1n+1

②增減性：當左<——時，二項式系數遞增，當左〉——時，二項式系數遞減；

22

③最大值：當〃為奇數時，最中間兩項二項式系數最大；當〃為偶數時，最中間一項的二項式系數最大.

④各二項式系數和：端+C；+…+C/+…+C,；=2"("eN*)；

奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等:

C：+C2-Y+C；+…=2"T(〃eN*

03題型歸納

題型一兩個計數原理綜合

例題1：（2324高二上.江西九江.期末）從1,2,3,4,5,6,7,9中，任取兩個不同的數作對數的底數

和真數，則所有不同的對數的值有（）

A.30個B.42個C.41個D.39個

例題2：（2324高二下.江蘇蘇州.期末）若AUB={%,%,%,%}="，則符合條件的有序集合對（A3）的個

數為（）

A.81B.90C.108D.114

例題3：（2324高二上?全國?課后作業）為亮化城市，現在要把一條路上7盞燈全部改裝成彩色路燈，如果

彩色路燈有紅、黃、藍共三種顏色，在安裝時要求相同顏色的路燈不能相鄰，而且每種顏色的路燈至少要

有2盞，那么有多少種不同的安裝方法？

鞏固訓練

1.（2324高二下.江蘇連云港.期中）甲、乙等5人計劃去上海、蘇州及青島三個城市調查農民工薪資情況.每

個人只能去一個城市，并且每個城市都要有人去，則不同的分配方案共有種數為（）

A.150B.300C.450D.540

2.（2324高二下?江蘇南京.期末）從0,1,2,L,9這10個數字中選出3個不同的數字組成三位數，其

中大于130的共有（）

A.520個B.631個C.632個D.647個

3.（2324高三.全國?對口高考）甲廠生產的外殼有3種，顏色有4種.乙廠生產的形狀有4種，顏

色有5種，且均與甲廠生產的不同.這兩廠生產的僅從外殼的形狀和顏色看，共有種.

題型二實際問題中的計數

例題1：（2324高二下.江蘇南京.階段練習）某物流公司需要安排四個區域的快遞運送，公司現有甲、乙、

丙三位快遞員可選派，要求每個區域只能有一個快遞員負責，每位快遞員至多負責兩個區域，則不同的安

排方案共有（）

A.60種B.54種C.48種D.36種

例題2：（2324高二下?江西.開學考試）小王同學家3樓與4樓之間有8個臺階，已知小王一步可走一個或

兩個臺階，那么他從3樓到4樓不同的走法總數為（）

A.28種B.32種C.34種D.40種

例題3：（多選）（2324高二下.江蘇常州.階段練習）現有4個小球和4個小盒子，下面的結論正確的是（）

A.若4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子，則共有24種放法

B.若4個相同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子，且恰有2個空盒的放法共有18種

C.若4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子，且恰有1個空盒的放法共有72種

D.若4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子，每個盒子一個小球，且小球的編號和盒子的編號

全不相同的方法共有9種

鞏固訓練

1.（2024?廣東?模擬預測）某人從上一層到二層需跨10級臺階，他一步可能跨1級臺階，稱為一階步，也

可能跨2級臺階，稱為二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步，從一層上到二層他總共跨了6步，而且

任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有（）種.

A.10B.9C.8D.12

2.（2324高二下?江蘇蘇州?階段練習）甲組有男同學5名，女同學3名：乙組有6名男同學、2名女同學.若

從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有（）

A.345種B.225種C.120種D.690種

3.（2324高二下?江蘇鹽城?階段練習）已知一個袋內有4只不同的紅球，6只不同的白球.現從中一次任

取5只球，取一只紅球記2分，取一只白球記1分.

（1）求總分不小于7分的取法共有多少種？

（2）若要抽出總分為8的5個球排成一排，且僅有2個紅球相鄰，共有多少種不同的排法？

題型三代數（幾何）中的計數問題

例題1:（2324高二下?江蘇宿遷?階段練習）（。1+初（偽+2）（Q+C2+C3）完全展開后的項數是（）

A.7B.9C.12D.18

例題2：（2425高二上?全國?課后作業）古代中國的太極八卦圖是以同圓內的圓心為界，畫出形狀相同的兩

個陰陽魚，陽魚的頭部有個陰眼，陰魚的頭部有個陽眼，表示萬物都在相互轉化，互相滲透，陰中有陽，

陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現代哲學中的矛盾對立統一規律.由八卦模型圖可抽象得到正八邊

形，從該正八邊形的8個頂點中任意取出4個構成四邊形，其中梯形的個數為.

例題3：（2024?全國.模擬預測）二維碼是一種由黑色和白色組成的召售方格陣圖，規定如果一個7x7的二

維碼有對稱軸且繞其中心逆時針旋轉90。后能與自身重合，稱其為“轉轉碼”，則“轉轉碼”的個數為.（用

數字作答）

鞏固訓練

1.（2324高二下?廣東深圳?階段練習）若從1,2,3,9這9個整數中取出4個不同的數排成一排，依

次記為a,b,c,d,則使得axbxc+d為偶數的不同排列方法有（）

A.1224種B.1800種C.984種D.840種

2.（2324高二下.江蘇南京.階段練習）已知/={1,2,3},A^B=I,則不同的有序集合對（A3）有種.

3.（2425高三上?上海?階段練習）在平面直角坐標系內，點P（a,。）的坐標滿足且6都是集合

{1,2,3,4,5,6}中的元素.又點P到原點的距離|OP|25,則這樣的點尸的個數為.

題型四數字排列問題

例題1：（2324高二下.江蘇徐州.期末）用數字1,2,3,4,5組成沒有重復數字的四位數，其中偶數的個數為（）

A.48B.60C.96D.120

例題2：（2324高二下?河南洛陽?期中）用0,1,2,3,4這五個數字組成沒有重復數字的三位數，其中奇

數共有（）

A.48個B.24個C.18個D.12個

例題3：（2324高二下.江蘇?課后作業）用0,1,2,3,4五個數字.

（1）可以排成多少個三位數字的號碼？

（2）可以排成多少個三位數？

（3）可以排成多少個能被2整除的無重復數字的三位數？

（4）可以組成多少個無重復數字的四位奇數？

鞏固訓練

1.（2324高二下?福建福州?期中）定義：“各位數字之和為6的四位數叫幸運數”，比如“1005,2013”,則

所有“幸運數”的個數為（）

A.20B.56C.84D.120

2.（2324高二下?天津南開?期中）用0~9這10個數字，可以組成個沒有重復數字的三位偶數（）

A.720B.648C.320D.328

3.（2024?全國.模擬預測）由數字01,2,3,4,5,6,7組成沒有重復數字的三位數，則能被5整除的三位數共有

個.

題型五涂色問題

例題1：（2324高二下?江蘇連云港?階段練習）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個

格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有（）種.

A.480B.600C.360D.750

例題2：（2324高二下.江蘇南京?期中）如圖，用4種不同的顏色給圖中四塊區域涂色，若相鄰的

區域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（）

C.84D.108

例題3：（2324高二下.江蘇徐州?期中）如圖是一個由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方

形，現在用四種顏色給這四個直角三角形和一個小正方形區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區

域顏色不相同，則不同的涂色方法有種.

鞏固訓練

1.（2324高二下?江蘇鹽城?期中）用4種不同的顏色給如圖所示的4塊區域上色，要求相鄰2塊涂不同的

2.（2324高二下.江蘇宿遷?期末）如圖，用四種不同顏色給圖中的五個點涂色，要求每個點涂

一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色.則不同的涂色方法共有種.

3.（2324高二下?江蘇?課前預習）用6種不同顏色的粉筆寫黑板報，板報設計如圖所示，要求相鄰區域不

能用同一種顏色的粉筆，則該板報共有多少種不同的書寫方案？

飛界

語文學苑\數學

天地

題型六元素位置有限制的排列問題

例題1：（2425高二上?江蘇常州?期末）某班一天上午有4節課，下午有2節課，現要安排該班一天中語文、

數學、英語、體育、藝術、通技各一節課的課表，要求數學課排在上午，體育課排在下午，不同的排法種

數是（）

A.96B.192C.384D.768

例題2：（2324高二下?江蘇南京?期末）即將暑假，小明一家5人計劃開車回趟老家，車子前排有駕駛座和

副駕駛座，后排有3個座位.家人中只有小明和哥哥不會開車,且小明未成年只能坐在后排，則一共有一種

不同的乘坐方式.

例題3：（2324高二下?江蘇南京?期中）晚會上共有7個節目，其中有4個不同的歌唱節目，2個不同的舞

蹈節目和1個相聲節目，分別按以下要求各可以排出多少種不同的節目單.

（1）2個舞蹈節目不相鄰；

（2）前3個節目中既要有歌唱節目又要有舞蹈節目.

鞏固訓練

1.（2425高一上?江蘇南京?自主招生）從1,2,3,29,30,中選三個不同的數。，b,c,且滿足》=a+c

的數組（。也c）的對數為（）

A.120B.210C.420D.105

2.（2324高二下?江蘇南通?期中）學校要安排一場文藝晚會的8個節目的演出順序，學生的節目有6個，

教師的節目有2個，如果教師的節目既不排在第一個，也不排在最后一個，那么不同的排法數為（）

A.A：B.A^A；C.A；A；D.A；-A；A：

3.（2324高二下?江蘇南通?期末）電視臺有6個不同的節目準備當天播出，每半天播出3個節目，其中某

電視劇和某專題報道必須在上午播出，則不同播出方案的種數為（）

A.24B.36C.72D.144

題型七相鄰（不相鄰）問題

例題1：（2324高二下.江蘇南通?階段練習）某電視臺計劃在五一期間某段時間連續播放5個廣告，其中2

個不同的商業廣告和3個不同的公益廣告，要求第一個必須是公益廣告，且商業廣告不能連續播放，則不

同的播放方式有（）種.

A.144B.72C.64D.36

例題2：（多選）（2324高二下.江蘇宿遷?期中）在青華中學舉行的課本劇大賽中，高二（16）班有3名男

生，2名女生獲得一等獎.現將獲得一等獎的學生排成一排合影，則（）

A.3名男生排在一起，有36種不同排法B.2名女生不排在一起，有72種不同排法

C.3名男生均不相鄰，有12種不同排法D.女生不站在兩端，有108種不同排法

例題3：（2324高二下?江蘇徐州?期中）有8名同學站成一排照相，符合下列各題要求的不同排法共有多少

種（用數字作答）？

（1）甲同學既不站在排頭也不站在排尾；

（2）甲、乙、丙三位同學兩兩不相鄰；

⑶甲、乙兩同學相鄰，且丙、丁兩同學也相鄰；

（4）甲、乙兩同學不相鄰，且乙、丙兩同學也不相鄰.

鞏固訓練

1.（多選）（2324高二下?江蘇南京?階段練習）2023年國外某智庫發布尖端技術研究國家競爭力排名，在

極超音速和水下無人機等23個領域中，中國在其中19個領域領先.某科技博主從這19個領域中選取了

A、B、C、D、E、P六個領域，準備在2024年1月1—6日對公眾進行介紹，每天隨機介紹其中一個領域，

且每個領域只在其中一天介紹，則（）

A.A與8相鄰，共有240種排法

B.CD相隔一天介紹的方法種數為96

C.若A與C不相鄰，共有480種排法

D.若E在尸的前面，共有360種排法

2.（2324高二下?江蘇無錫?階段練習）五種不同商品在貨架上排成一排，其中A,B兩種必須連排，而C,

。兩種不能連排，則不同的排法共有種.

3.（2024?江蘇南通?模擬預測）把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲

乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法有種.

題型八間接法

例題1：（2025?貴州安順?模擬預測）甲，乙兩名大學生計劃今年寒假分別從黃果樹風景名勝區、龍宮景區、

天龍屯堡景區、安順古城四個不同的景區中隨機選兩個景區前往旅游打卡，則這兩人恰好有一個景區相同

的選法共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

例題2：（2425高三上?山東日照?期末）從包含甲、乙兩人的7人中選出3人分別擔任班長、團支書、學習

委員，則甲、乙至多有1人被選中的不同選法有（）

A.60種B.120種C.180種D.210種

例題3：（多選）（2425高二上?河南駐馬店?期末）甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項活動后合影留念,

貝U（）

A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120種排法

B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有24種排法

C.5人站成一排，甲不在兩端，共有144種排法

D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法

鞏固訓練

1.（2425高三上?江西?期末）小明、小紅等5人報名學校的三類選修課（球類、武術類、田徑類），規定每

個人只能報其中的一類選修課,且每類選修課至少一人報名，則小明和小紅不報同一類選修課的情況有（）

A.132種B.114種C.96種D.84種

2.（2425高二上?河南駐馬店?階段練習）某中學高二年級入學進行了一場為期一周的軍訓，在軍訓過程中，

教官根據班級表現從各個維度進行評分，最終評出“先進集體”“作風優良班級”“紀律優良班級”“素質優良班

級”四個獎項.已知總共有三個班級獲獎，其中有兩個班級均獲得了“先進集體”，剩余三個獎項每個獎項均

只有一個班級獲得，則所有的頒獎方式有（）

A.57種B.60種C.114種D.120種

3.（2324高三上?四川內江?階段練習）根據學校要求，錯峰放學去食堂吃飯，高三年級五樓有4個班排隊，

1班不能排在最后，4班不能排在第一位，則四個班排隊吃飯的不同方案有種.（用數字作答）

題型九幾何中的組合問題

例題1：（2324高二下?四川眉山?期末）一個直四棱柱的底面為梯形，這個四棱柱的每兩個頂點相連形成多

條直線，這些直線最多能組成（）對異面直線

A.174B.180C.210D.368

例題2：（2324高三下?江蘇泰州?階段練習）將“用一條線段聯結兩個點”稱為一次操作，把操作得到的線段

稱為“邊”.若單位圓上〃個顏色不相同且位置固定的點經過上次操作后，從任意一點出發，沿著邊可以到達

其他任意點，就稱這〃個點和左條邊所構成的圖形滿足“條件T”，并將所有滿足“條件T”的圖形個數記為

Tgk）,則7（5,4）=.

例題3：（2324高二下.江蘇淮安?階段練習）平面上有9個點，其中有4個點共線，除此外無3點共線.

（1）這9個點，可確定多少條不同的直線？

（2）以這9個點中的3個點為頂點，可以確定多少個三角形？

（3）以這9個點中的4個點為頂點，可以確定多少個四邊形？

鞏固訓練

1.（2024?福建?模擬預測）正八面體中，以其頂點為頂點的三棱錐的個數為（用數字作答）.

2.（2324高二下?河南洛陽?期中）已知正四棱錐尸-ABCD,從底面四個頂點A,B,C,。和四條側棱的

中點共8個點中任選4個作為三棱錐的頂點，可得三棱錐個.（用數字作答）

3.（2425高三?上海?隨堂練習）連結正三棱柱的6個頂點，可以組成個四面體.

題型十分組分配問題

例題1：（2324高二下?福建福州?階段練習）正值元宵佳節，赤峰市“盛世中華?龍舞紅山”紀念紅山文化命名

七十周年大型新春祈?；顒又校?名大學生將前往3處場地A,反C開展志愿服務工作.若要求每處場地都

要有志愿者，每名志愿者都必須參加且只能去一處場地，則當甲去場地A時，場地8有且只有1名志愿者

的概率為（）

3r21-14

A.-B.—C.—D.一

450255

例題2：（2025?甘肅白銀?模擬預測）某高校有8名研究生要去小興安嶺采集植物樣本，其中男生6人，女

生2人，將這8人分成兩組，若要求每組至少2人，且兩名女生不單獨成組，則不同的分組方案共有（）

A.240種B.158種C.126種D.118種

例題3：（2425高三上?黑龍江大慶?期中）有5項不同的任務安排給甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一

項且每項任務只安排一人完成，則分配給甲的任務不超過兩項的安排方法有（）

A.260種B.220種C.160種D.130種

例題4：（2425高三上?內蒙古通遼?期末）為深入貫徹黨的二十大精神，我市邀請A、B、C、D、E五位

黨的二十大代表分別到一中、五中、鐵中、蒙中做宣講工作，每個學校至少一人參加.若其中A、5因只會

漢語不能到蒙中宣講，其余三人蒙漢兼通，可選派到任何學校宣講.則不同的選派方案共有種.

鞏固訓練

1.（2425高三下?山東聊城?開學考試）寒假期間某校6名同學打算去安徽旅游，體驗皖北與皖南當地的風

俗與文化，現有黃山、宏村、八里河三個景區可供選擇，若每個景區中至少有1名同學前往打卡，則不同

方案的種數為（）

A.180B.360C.450D.540

2.（2425高二上?江西贛州?期末）2024年是紅軍長征出發九十周年，

為弘揚紅色文化、促進健康生活方式，江西省體育局、贛州市人民政府共同舉辦了一場2024于都紅色半程

馬拉松比賽.某單位6名志愿者準備分成三組前往比賽途徑的中央紅軍長征出發地紀念碑、金山大道、于

都體育中心這三個站點進行志愿者活動，要求每組至少有1名且最多有3名志愿者，則不同安排的方法數

為（）

A.540B.450C.360D.180

3.（遼寧省丹東市20242025學年高二上學期期末數學試題）將甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A,B,

C三個地區參加公益活動，要求每個地區都要有志愿者且最多不超過2人，則不同的分配方案有（）

A.90種B.180種C.60種D.120種

4.（2425高三上?河北邢臺?期末）運動會期間，將甲、乙等5名志愿者安排到A,B,C三個場地參加志

愿服務，每名志愿者只能安排去一個場地，每個場地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到

同一個場地，則不同的安排方法種數為（）

A.72B.96C.114D.124

題型H'■一■隔板法

例題1：（2425高三上?陜西西安?期末）《九章算術》是我國古代數學名著之一，其中記載了關于粟米分配

的問題.現將14斗粟米分給4個人，每人分到的粟米斗數均為整數，每人至少分到1斗粟米，則不同的分

配方法有（）

A.715種B.572種C.312種D.286種

例題2：（2024?湖北?模擬預測）不等式占+%+W412,其中占,馬,%是非負整數，則使不等式成立的三元

數組（%,馬,不）有多少組（）

A.560B.455C.91D.55

例題3：2425高三上?內蒙古赤峰?階段練習）2024年9月1日出版的第17期《求是》雜志發表了中共中

央總書記、國家主席、中央軍委主席習近平的重要文章《培養德智體美勞全面發展的社會主義建設者和接

班人》?某校積極響應總書記的指示，創造性提升學生勞動意識和社會實踐能力，利用周末進社區義務勞動.

高三年級共有6個班，其中只有1班有2個勞動模范，本次義務勞動一共20個名額，勞動模范必須參加并

不占名額，每個班都必須有人參加.給出以下四個命題：①若1班不再分配名額，則共有C；。種分配方法；②

若1班有除勞動模范之外的學生參加，則共有C；9種分配方法；③若每個班至少3人參加，則共有90種分

配方法；④若每個班至少3人參加，則共有126種分配方法.其中正確命題的序號是.

鞏固訓練

1.（2324高二下?河南漠河?階段練習）某學校利用周末時間組織學生進行志愿者服務，高二年級共6個班，

其中（1）班有2個志愿者隊長，本次志愿者服務一共20個名額，志愿者隊長必須參加且不占名額，若每

個班至少有3人參加，則共有（）種分配方法.

A.90B.60C.126D.120

2.（2425高三上?江蘇南通?階段練習）把8個相同的籃球分發給甲、乙、丙、丁4人，不同的分發種數為

（）

A.70B.99C.110D.165

3.（2324高二下?山西臨汾?期中）將10個詩歌朗誦比賽名額全部分給6個不同的班，每個班至少有1個名

額，則不同的分配方案種數為（）

A.56B.126C.210D.462

題型十二系數與二項式系數

例題1：（2425高三上?江蘇無錫?期末）在二項式的展開式中二項式系數的和是32,則展開式中x的

系數為（）

A.40B.80C.-40D.-80

例題2：（2324高三上.江蘇揚州?階段練習）（x-y）（尤+y）8的展開式中/曠的系數為（）

A.20B.-20C.28D.-28

例題3：（2324高二下?江蘇?期中）若［2/+：）的展開式中，僅第6項二項式系數最大，則〃等于.

例題4：（2425高三上?江蘇常州?期末）已知（x+ay）（2x-y）5的展開式中一丁項的系數為30,則。=

鞏固訓練

1.（2024.江蘇無錫?模擬預測）在（0+3”的展開式中，若第4項與第5項的二項式系數之和等于第10項與

第11項的二項式系數之和，則〃=（）

A.16B.15C.14D.13

2.（2324高二下?江蘇南京?階段練習）在（丁+2）6的二項展開式中，含/的項系數是（）

A.132B.240C.480D.196

3.（2324高二下?四川南充.階段練習）。-2引”的展開式中只有第6項的二項式系數最大，貝心?=（）

A.9B.10C.11D.12

4.（2425高三上?江蘇蘇州?期末）已知尤8=4+q（x-i）+a2（x-iy+L+%（x-l）8,則g的值為

題型十三有理項，常數項問題

例題1：（2425高三上?江蘇?期末）在+的展開式中，系數為整數的項數是（）

A.9B.4C.3D.2

例題2：（2425高三上?江蘇南京?階段練習）的展開式中常數項是.（用數字作答）

例題3：（2324高二下?江蘇宿遷?期末）在（w23,weN*）的展開式中，第2,3,4項的二項式系

數依次成等差數列.

（1）證明展開式中不存在常數項;

（2）求展開式中所有的有理項.

鞏固訓練

1.（2324高二下?江蘇南通?階段練習）已知/J（其中。＞0）的展開式中的第7項為7,則展開式

中的有理項共有項.

2.（2425高三上?江蘇?階段練習）的展開式中常數項為.

3.（2324高二下?江蘇泰州?期末）在+的展開式中，第3項與倒數第3項的系數之比為?.

⑴求〃的值;

⑵求展開式中的有理項.

題型十四系數最大（?。?/p>

例題1：（2324高二下?江蘇南通?階段練習）在卜-（J的二項展開式中，系數最大的項是（）

A.第4項B.第5項C.第6項D.第5項和第6項

例題2：（2324高二下?江蘇無錫?階段練習）已知的二項展開式共有13項，完成以下問題:

（1）求展開式中二項式系數之和；

（2）展開式中是否存在常數項，若有，請求出常數項；若沒有，請說明理由；

（3）求展開式中的系數最大的項.

（注：結果用數字作答）

例題3（2324高二下?江蘇連云港?期中）的展開式中，前3項的系數成等差數列，且第二

項的系數大于1

⑴求展開式中含，的項;

（2）求展開式中系數最大的項.

鞏固訓練

1.（2324高二下?江蘇泰州?期末）已知（1-x）"的展開式中，僅有第5項的二項式系數最大，則展開式中系

數的最小值為（）

A.-126B.-84C.-56D.-35

2.（2324高二下?江蘇泰州.階段練習）的二項展開式中系數最大的項為第（）項

A.2B.3C.4D.2或3

3.（2324高二下?江蘇南京?期中）在的展開式中，

（1）求二項式系數最大的項；

（2）求系數的絕對值最大的項為第幾項.

題型十五賦值法求系數和

20211

例題1：（2324高二下,湖南常德?期中）已知（4x—3戶"=g+qxH-----1-a202lx,貝汁，"+沫"+j"----44第=

（）

A.32021-22021B.-1C.22021-32021D.1

例題2：（多選）（2324高二下?福建泉州?階段練習）若

（2x+3）=a。+a［（尤+2）+a。（尤+2）+,—+。9（尤+2）+4。（尤+2）,貝|（）

310-1

A.=-1B.a2+〃4++。10=

C.a1+a2-\-----F%o=lD.—+—|-H----1■，+■^?=一］

22229210

例題3：（2324高二下?江蘇南通?階段練習）設（3%-1）7=%+4%+%/+〃3欠3+〃4/+%%5+〃6%6+。7%7，求：

⑴。2+。4+。6；

（2）同+同+㈤+同+同+同+|〃6|+|%|.

鞏固訓練

1.（多選）（2324IWJ二下,江蘇鎮江?期中）已知x（3—2x）6=a。+%（x—l）+〃2（x—H---F（x—I）7,下列等

式正確的是（）

A.%=1B.4+%H-----F%=2

C.4+2%-----1~7%=13D.%+〃4+。6=0

2.（2324高二下?江蘇徐州?階段練習）已知（2%-1）〃=/+/兀+2%2+…當〃=7時，則

q+2出+3/+,?,+〃〃〃的彳百

52345

3.（2425高二上?江蘇常州?期末）^（2x-I）=aQ+axx+a2x+a3x+a4x+a5x,求值：

⑴%;

（2）q++〃3+〃4+。5;

（3）（。0+。2+。4）2—（q+。3+。5）2?

題型十六整除與余數、近似計算問題

例題1：（2425高三上?江蘇南通?階段練習）已知％CN*,若122024=i3x+y,0<y<13,則丁=（）

A.1B.6C.7D.12

例題2：（2324高二下?江蘇南通?階段練習）9”除以7的余數為（）

A.2B.3C.4D.5

例題3：（2324高二下.江蘇連云港.期中）設aeZ,且0V〃V3,若Z??！?”能被3整除，則。=（）

A.0B.1C.2D.3

鞏固訓練

1.（2324高二下?江蘇鎮江?期中）32024的個位數是（）

A.1B.3C.6D.9

2.（2324高二下?廣東佛山?期中）已知（2%+1）=4++L+%024%2°24,貝|卬+%+L+。2024被8

除的余數為（）

A.3B.2