數學參考答案第1頁（共7頁）北京市東城區2024—2025學年度第二學期高三綜合練習（一）數學參考答案及評分標準2025.4一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）C（2）B（3）D（4）A（5）C（6）C（7）A（8）A（9）B（10）D二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11120（13）2（答案不唯一14）（15）①③④三、解答題（共6小題，共85分）解：(Ⅰ)在△ABC中，因為b?c=1，所以b>c.所以C為銳角．因為所以．△ABC的面積………7分數學參考答案第2頁（共7頁）解：(Ⅰ)因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以BCAD.因為AD平面ADE，BC丈平面ADE，所以BC平面ADE.因為BFDE，DE平面ADE，BF丈平面ADE，所以BF平面ADE.因為BCBF=B，所以平面BCF平面ADE.因為FC平面BCF，所以FC平面ADE.………………5分因為平面ADE丄平面CDE,平面ADE平面CDE=DE，如圖建立空間直角坐標系D?xyz，設BF=t，設平面AFC的法向量為m=(x,y,z)，則即2所以解得.所以BF的長為.………………14分選條件②：AC=CE．因為平面ADE丄平面CDE，平面ADE平面CDE=DE，AD丄DE，以下同選條件①.………………14分數學參考答案第3頁（共7頁）解：(Ⅰ)在華東地區的6個省份中，水稻產量比小麥產量少的省份有安徽省和山東省，所以在華東地區的6個省份中隨機抽取一個省份，該省水稻產量比小麥產量少的概率為.………………4分(Ⅱ)在表1中水稻的播種面積排在前5名的省份是江西省、黑龍江省、安徽省、江蘇省和吉林省，其中屬于東北地區的省份是黑龍江省和吉林省.設X為水稻播種面積排在前5名且屬于東北地區省份的個數，由題設，X的所有可能值為0，1，2.X的分布列為：X012P 所以………………10分所以橢圓E的方程為．………………5分數學參考答案第4頁（共7頁）(Ⅱ)由點A(m,n)(n≠0)有B(m,?n)，且又OH=λOA,(0<λ<1)，有H(λm,λn).因為過點H與x軸平行的直線交E于點P,Q，因為點B在以PQ為直徑的圓上，所以BP.BQ=0.所以m2?xP2+(λ+1)2n2=0.2所以3?3n2?3+3λ2n2+(λ+1)2n2即點B在以PQ為直徑的圓上時………………15分令φ(x)=(x?1)ex+1，則φ'(x)=xex．φ'(x)與φ(x)的變化情況如下表：數學參考答案第5頁（共7頁）x0φ'(x)?0+φ(x)↘0↗當x=0時，φ(x)取得最小值φ(0)=0，即當x∈R時，f(x)≥0.因此f(x)在區間(?∞,+∞)上單調遞增．所以當x≥0時，f(x)≥0；當x<0時，f(x)<0．綜上，不等式f(x)≥0的解集為[0,+∞).………………9分直線AB的方程為t2，所以則存在x00,t)時，h'(x)<0，h(x)單調遞減.因為x2∈(0,t)，所以h(x2)=g(x2)?f(x2)>0．數學參考答案第6頁（共7頁）因為f(x1)=g(x2)，所以f(x1)>f(x2)．因此x1>x2．………………15分數列②1,2,5,4,3,4,5,3,1不具有性質P．………………4分(Ⅱ)假設數列A具有性質P，則A中存在n項遞增數列{bn}和n項遞減數列{cn}．所以任意m∈{1,2,,n}，在A中至少有一項ai=m.所以數列A中排在ak前面的項至少有b1,b排在ak后面的項至少有bj+1,bj+2,,bn,cn?j+2,cn?j+3,,cn，共n?因為數列A中有2n?1項，所以ak是第n項，即k=n.這與題設矛盾，所以假設不成立，故數列不具有性質P．………………9分(Ⅲ)當數列A具有性質P時，記A的n項遞增子列{bn}為1,2,,n和n項遞減子列{cn}為n,n?1,,1，由（II）知，數列A中恰有一項an既是{bn}的項也是{cn}的項，數學參考答案第7頁（共7頁）n?j，所以項數最多的遞增子列只能是b1,b2,,bj?1,ci(i=1,2,,n?j)或所以遞增子列的項數最多為j．所以項數最多的遞增子列是ci,bj+1,bj+2,,bn,(i=n?j+2,所以遞增子列的項數最多為n+1?j.所以k≤min{j,n+1?j}．①當n為奇數時，min{j,n+1?j