第1頁/共1頁2025北京八十中高二4月月考數學2025年4月（考試時間90分鐘滿分100分）提示：試卷答案請一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答.一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.函數在處的瞬時變化率為（）A.－2 B.－4 C.－ D.－2.有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相鄰，不同的站法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種3.函數的圖象如圖所示，則下列不等關系中正確的是（）A. B.C. D.4.下列命題正確的有（）A.已知函數在上可導，若，則B.已知函數，若，則C.D.設函數的導函數為，且，則5.已知，若，則的取值可以為（）A.2 B.1 C. D.6.的展開式中系數最小的項和二項式系數最大的項分別為（）A.第1項和第3項 B.第2項和第4項C.第3項和第1項 D.第4項和第2項7.對于上可導的任意函數，若當時滿足，則必有（）A. B.C. D.8.已知函數，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.9.為滿足人民對美好生活的向往，環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整改，設企業的污水排放量與時間的關系為，用的大小評價在這段時間內企業污水治理能力的強弱，已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如下圖所示.給出下列四個結論：①在這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強；②在時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強；③在時刻，甲、乙兩企業的污水排放都已達標；④甲企業在，，這三段時間中，在的污水治理能力最強.其中所有正確結論的序號是（）A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②10.已知函數，下列命題正確的是（）①是奇函數；②在R上是增函數；③方程有且僅有1個實數根；④如果對任意，都有，那么的最大值為2.A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二、填空題共6小題，每小題4分，共24分.11.已知的展開式中的系數是10，則實數的值是______12.若函數在處有極大值，則實數的值為______．13.將三個人隨機安排到甲、乙、丙、丁這四個部門工作，已知甲部門一定有人，則不同的安排方法種數是______．14.現有3名女生，3名男生要站成一排，則男生甲不能站在左端，并且3名女生必須相鄰的不同排列方式有__________種.（用數字作答）15.若函數在區間上不單調，則實數的取值范圍為______.16.已知函數，若，則不等式的解集為_______；若恰有兩個零點，則的取值范圍為_____．三、解答題共3小題，共36分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.已知函數在時取得極值.（1）求函數的單調區間；（2）求函數在區間上的最小值.18.已知函數（）.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若當時，函數有兩個不同的零點，求實數的取值范圍.19.已知函數.（1）求的單調區間；（2）若恒成立，求的取值集合；（3）若，證明：當時，.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】D【分析】對函數求導，將代入導函數求值即可得瞬時變化率.【詳解】由題設，故.故選：D2.【答案】C【分析】利用插空法可得.【詳解】由題意，先把3位男生排成一排，然后將2位女生插入3個男生中間或兩邊，不同的站法共種，故選：C3.【答案】C【分析】根據導數的幾何意義和割線的斜率可得三者之間的大小關系.【詳解】設，由圖可得，而，故，故選：C4.【答案】D【分析】對于A，根據導數的定義結合分析判斷即可，對于B，先求出導函數，再由解方程求解判斷，對于C，利用導數的運算法則求解判斷，對于D，先求出，然后令，可求出進行判斷.【詳解】對于A，因為函數在上可導，且，所以，所以A錯誤，對于B，由，得，則由，得，解得，所以B錯誤，對于C，，所以C錯誤，對于D，由，得，所以，解得，所以D正確.故選：D5.【答案】A【分析】借助賦值法計算即可得.【詳解】令，有，即或.

故選：A.6.【答案】B【分析】寫出的二項展開式的通項，進而可知項的系數為，進而可知當取奇數時，系數為負值，因此分別求出、、時的項的系數，進而可知最小值；因為的展開式有7項，因此中間一項的二項式系數最大.【詳解】的展開式的通項為，當取奇數時，系數為負值，當時，，當時，，當時，，所以第2項的系數最小；因為的展開式有7項，所以中間一項的二項式系數最大，即第項的二項式系數最大.故選：B.7.【答案】C【分析】根據給定不等式，得到函數在、時的函數值變化關系，結合不等式性質推理得解.【詳解】由，得當，即時，，函數不單調遞減，則；當，即時，，函數不單調遞增，則；由不等式的性質得：.故選：C8.【答案】D【分析】求出拋物線與直線相切時的斜率，由數形結合得解.【詳解】設直線與相切于點，由，則，所以切線方程為，又切線過，所以，解得，所以，作出及切線的圖象，如圖，

由圖象可知，當時，成立.故選：D9.【答案】C【分析】本題可根據的幾何意義，結合圖象來逐一分析各個結論，從而確定正確答案.【詳解】由圖可知，則，對于①：表示區間上函數圖象割線的斜率的相反數.在這段時間內，甲企業對應圖象割線的斜率小于于乙企業對應圖象割線的斜率，所以甲企業對應圖象割線的斜率相反數大于乙企業對應圖象割線的斜率相反數，所以甲企業的污水治理能力比乙企業強，①正確.對于②：在時刻，甲企業圖象切線的斜率小于乙企業圖象切線的斜率，所以甲企業在時刻對應圖象割線的斜率相反數大于乙企業對應圖象割線的斜率相反數，所以甲企業的污水治理能力比乙企業強，②正確.對于③：從圖象可以看出，在時刻，甲、乙兩企業的污水排放量都低于污水達標排放量，即甲、乙兩企業的污水排放都已達標，③正確.對于④：在，，這三段時間中，這段時間甲企業圖象割線的斜率最小，則其斜率相反數最大，所以甲企業在的污水治理能力最強，而不是，④錯誤.綜上，①②③正確.故選：C10.【答案】B【分析】對于①，根據奇函數的定義判斷，對于②，對函數求導后利用導數判斷，對于③，令，可得，再結合零點存在性定理分析判斷，對于④,問題轉化為恒成立，構造函數，求導后分析判斷.【詳解】對于①，因為的定義域為，且，所以是奇函數，所以①正確，對于②，由，得，所以在上是增函數，所以②正確，對于③，令，因為，所以方程所以有一個根為0，因為，，所以方程在至少有一個根，所以③錯誤，對于④，若對任意，都有，即恒成立，令，則，，當且僅當，即時取等號，因為，所以取不到等號，所以，若，則恒成立，所以在上遞增，所以，即恒成立，若，則存在使，所以當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以在上，有不合題意，綜上，，所以的最大值為2，所以④正確，故選：B【點睛】關鍵點睛：此題考查函數與方程的綜合應用，考查導數的應用，第④個解的關鍵是將問題轉化為恒成立，然后構造函數，利用導數結合基本不等式討論.二、填空題共6小題，每小題4分，共24分.11.【答案】1【分析】根據條件，求出的系數，列出關于的方程，求出a的值.【詳解】因為的展開式的通項為，又的展開式中的系數是10，所以，即，所以，則.故答案為：.12.【答案】【分析】根據極值點列方程來求得的值.【詳解】依題意，，所以，解得或，當時，，所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以是的極小值，不符合題意.當時，，所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以是的極大值，符合題意.綜上所述，的值為.故答案為：13.【答案】37【分析】利用對立事件法求解，先計算總數，在計算甲部門沒有人的種數。【詳解】先不考慮甲部門是否有人，總數為種；甲部門沒有人的種數為種；所以甲部門有人的安排方法種數為種；故答案為：3714.【答案】108【分析】把3名女生視為一個整體，利用相鄰問題及有位置限制的排列問題，列式計算即得.【詳解】把3名女生視為一個整體，與除甲外的另2名男生任選一個在左端，有種方法，再把甲與余下兩個作全排列，有種方法，最后排相鄰的3名女生，有種方法，所以不同排列方式有（種）.故答案為：10815.【答案】【分析】先對函數求導，根據在上不單調得出導函數分子對應的函數在上存在變號零點.然后設，通過求導判斷其單調性，再根據變號零點的性質列出不等式組，最后求解不等式組得到的取值范圍.【詳解】已知，在上不單調，所以在上存在變號零點.設，，對求導得.因為時，，所以在上單調遞增.由于在上存在變號零點，則，即.解得；解得.所以.故答案為：.16.【答案】①.；②.【分析】第一空：直接代入，分和解不等式，再取并集即可；第二空：將題設轉化為和的實數根的個數為2，分、和依次討論根的情況，即可求解.【詳解】第一空：若，則，當時，由解得，則；當時，由，解得，則；綜上可得不等式的解集為；第二空：恰有兩個零點等價于和的實數根的個數為2.當時，顯然無解；解得（舍去），也無解，不合題意；當時，顯然無解；的判別式，設的兩根為，則，顯然兩根一正一負，即有1個實根，不合題意；當時，令的對稱軸為，則在單減，則，則無解；，顯然時不成立，則，令，則，顯然在上單減，在單增，則，又，，則時，有2個根，即恰有兩個零點；綜上：.故答案為：；.三、解答題共3小題，共36分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.【答案】（1）遞增區間是，遞減區間是；（2）.【分析】（1）求出函數的導數，由給定的極值點求出值并驗證，再解導數大于0、小于0的不等式即得.（2）利用（1）中單調區間求出極小值及端點處的函數值即得.【小問1詳解】函數，求導得，由函數在時取得極值，得，解得，此時，顯然是的變號零點，即是極值點，因此，，當或時，，當時，，所以函數的遞增區間是，遞減區間是.【小問2詳解】由（1）知，函數的在上單調遞增，在上單調遞減，，，所以函數在區間上的最小值是.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據切點和斜率求得曲線在點處的切線方程.（2）先判斷的單調性，結合零點個數列不等式，由此求得的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，，，所以切線方程為.【小問2詳解】當時，，令，解得，所以在區間上單調遞減；在區間上單調遞增.所以的極小值也即是最小值為.因為當時，，，所以；當時，，，但增長速度比下降速度快得多，所以.又因為函數有兩個不同的零點，所以的最小值，即，因為對數函數在上單調遞增，所以.19.【答案】（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為（2）（3）證明見解析【分析】（1）由函數的解析式求得其導數，由導數求得遞減區間，由導數求得遞增區間；（2）由題可知，進而可得，構造函數設，結合函數最值即可求解.（2）將不等式進行轉化，在已知條件下，所以不等式轉化為，設函數，求導數，由解析式可知遞增，由函數零點存在定理可知存在唯一的，