北京市昌平區(qū)東方紅學(xué)校

2024-2025學(xué)年高三第一學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

考生注意：

1.本試卷共3頁(yè)，三大題21小題；卷面滿(mǎn)分150分.

2.考試時(shí)間120分鐘.

3.一律用藍(lán)、黑色筆答題，一律答在答題紙上.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

L若集合人小eZ|G2},八{(lán)+2小3},則…=（）

A.1x|0<%<3}B.|x|-2<%<4}C.{0,1,2,3}D.{-2,-1,0,1,2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出集合A,再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.

【詳解】由五<2，則0KxW4,

所以A=卜ez|VxW2}={xeZ10WxW4}={0,1,2,3,4},

又5={%卜2Vx<3},

所以A5={0,l,2,3}

故選：C

2.已知復(fù)數(shù)2="①（i是虛數(shù)單位），則z的虛部是（）

2+i

A.1B.75C.iD.75i

【答案】A

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，代入計(jì)算，即可求解.

5+5i史則匕i）=3+i

【詳解】z的虛部是1.

（2+i）（2f

故選：A.

3.二項(xiàng)式［x+工)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是()

A.1B.4C.6D.0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式［x+工］展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為0,即可求出對(duì)應(yīng)展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng).

【詳解】二項(xiàng)式［x+工］展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為4M=C；X4f［L］=C/4-2r,

Ix)\x)

令4—2廠=0,得廠=2,所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為c：=6.

故選：C.

4.設(shè)q,人是非零向量，則“a=—>或a=6”是—b)=0”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若a=—6,則a+b=0,所以—》)=0,

若a=6，則”6=0，所以(。+葉(。叫=0,

故由“a=—人或.=人”推得出乂°+今(">)=0"，即充分性成立；

若(a+B>(a—5)=0,則J_『=o，所以.|=忖,

所以由“(a+b》(a—Z?)=0"推不出“a=_b或a=6"，故必要性不成立；

所以“a=—人或a=6”是“(a+今(a—b)=0”的充分不必要條件.

故選：A

5.直線(xiàn)y=x+l被圓(x—2)2+(y—3)2=1所截得的弦長(zhǎng)為()

A.1B.73C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓心(2,3)在直線(xiàn)y=x+l上可得結(jié)果.

【詳解】由己知得圓心為(2,3),半徑廠=1，

因?yàn)閳A心(2,3)在直線(xiàn)x—y+l=O上，

所以直線(xiàn)＞=x+l被圓(x—2)2+(y—3)2=1所截得的弦長(zhǎng)為2.

故選：C

6.將函數(shù)/(x)=cos(2x-j圖象上的所有點(diǎn)向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則()

A.g(x)=cos12x—TjB.g(x)在—!■，!■上單調(diào)遞增

C.g(x)在0,|上的最小值為半D.直線(xiàn)x=:是g(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸

【答案】D

【解析】

【分析】由平移變換內(nèi)容得g(x)=dx+g[=sin2x可判斷A；求出g(x)的增區(qū)間可判斷B；依據(jù)2x

的范圍即可求出g(x)的值域即可判斷C；根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸方程求解g(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程即可判斷D.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,由題意，可得

g(x)=/1+g)=cos+

71=cos|2x+—|=sin2x,

6I2J

故A錯(cuò)誤;

jrjr

兀771

對(duì)于選項(xiàng)B,4'--+2fer<2x<—+2hr(Z：GZ),=>-----\-kn<x<+kn{kGZ),

44

所以g(x)在一：,(上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤;

jr2兀

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)閄C0,J,所以2xe0,—,故sin2xe[o,l],

.?.g(x)在0,|上的最小值為0,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,函數(shù)g(x)=sin2x的對(duì)稱(chēng)軸方程為2x=E+三(左eZ),

化簡(jiǎn)可得X=」+工僅eZ）,取左=0,可得X=°,

24V74

所以x=:是g（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故D正確.

故選：D.

5兀

7.若一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為二，則該圓錐的母線(xiàn)與底面所成角的余弦值為（）

6

4355

A.-B.-C.—D.—

551213

【答案】c

【解析】

【分析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為「，母線(xiàn)長(zhǎng)為/,利用側(cè)面展開(kāi)圖條件建立/與r的關(guān)系式，作出圓錐軸截面

圖，證明并求出線(xiàn)面所成角的余弦值即可.

作出圓錐的軸截面圖S4B,設(shè)圓錐的底面圓半徑為乙母線(xiàn)長(zhǎng)為/,依題意可得，—l=2nr,

6

r5

即一=一，因頂點(diǎn)S在底面的射影即底面圓圓心。，故母線(xiàn)SB與底面所成的角即Z.SBO.

I12

丁5

在RtzXSQB中，cos/SBO=—=—.

I12

故選：C.

22

8.已知耳,用分別為雙曲線(xiàn)C:=—1=1（。〉0］〉0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)瑪?shù)闹本€(xiàn)與雙曲線(xiàn)。的左支交

ab

于A,3兩點(diǎn)，若|時(shí)|=2閨/=4,|43|=|%|,則雙曲線(xiàn)C的焦距為（）

A.B.C.-D.2.73

332^

【答案】B

【解析】

【分析】利用雙曲線(xiàn)定義、已知條件求出。、|叫|,設(shè)'=行天，由余弦定理、

cosZBF^+cosZAF^=0求出c可得答案.

【詳解】如圖，由于|時(shí)|=2|耳目=4,|AB|=|%|,

有2a=忸閭—忸耳|=6—2=4,可得。=2,

又由|A閭=|AFj|+2a,可得設(shè)c=Ja2+及，

4+4*_364r2-32r2-8

在△A3耳耳中，由余弦定理有COS/B片乙=-----------=--------=------

2x2x2c8c2c

2

1￡.L4r-644c2—48。2—12

在△人與心中，由余弦定理有cosNA^E,=242—

16c4c

又由ZAFF=兀，有cosZAF^=0,

ZBFXF2+12COSZBF{F2+

可得匚U=o,解得c=馬旦，所以雙曲線(xiàn)c的焦距為上叵.

2c4c33

“、（—ci—5]x—2,x>2/、f（x）

9函數(shù)小）4+2""3"<2'若對(duì)任意"的"9），都有個(gè)「2<0成立，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.[-4,-2]

C.（—5,—1]D.[-5,-4]

【答案】A

【解析】

【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的變形式即可判斷函數(shù)單調(diào)性，然后根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?qū)θ我?%），都有'〃<0成立,

可得/（九）在R上是單調(diào)遞減的,

—ci—5<0

則—(a—1)22,解得YWaW—1.

22+2(a-l)x2-3a>(-o-5)x2-2

故選：A

10.己知集合A=1—4,—3,—若a,dceA且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)，對(duì)數(shù)函

數(shù)y=log/,幕函數(shù)y=X。中至少有兩個(gè)函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減的有序數(shù)對(duì)S，仇C)的個(gè)數(shù)是

()

A.36B.42C.72D.84

【答案】C

【解析】

【分析】分類(lèi)討論單調(diào)性，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】若〉=優(yōu)和〉=108/,%在(。,+8)上單調(diào)遞減，>=必在(0,+8)上單調(diào)遞減增，

則0<a<l,0<b<l,c>0,此時(shí)有序數(shù)對(duì)(a,6,C)的個(gè)數(shù)有：A>CL=18個(gè)；

若丁=口工和>=優(yōu)在(0,+co)上單調(diào)遞減，y=log,x在(0,+co)上單調(diào)遞增，

則0<a<l/>l,c<。，此時(shí)有序數(shù)對(duì)(。,瓦c)的個(gè)數(shù)有：C；=18個(gè)；

若y=log,x和y=必在(0,+co)上單調(diào)遞減，y=優(yōu)在(0,+co)上單調(diào)遞增,

則0<b<l,a〉l,c<0,此時(shí)有序數(shù)對(duì)(。，4c)的個(gè)數(shù)有：C；C-C；=18個(gè)；

若y=a*、y=logb%和y=優(yōu)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

則0<Z?<l,0<a<l,c<0,此時(shí)有序數(shù)對(duì)(a,6,c)的個(gè)數(shù)有：A，C；=18個(gè)；

綜上所述：共有18+18+18+18=72個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)倪M(jìn)行分類(lèi)，做到不重不漏，由此即可順利得解.

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/(x)=—二+lnx的定義域是.

x+1

【答案】(0,+8)

【解析】

【分析】根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.

x>0

【詳解】由題意得，C，.?.龍〉0

%+1^0

故答案為:(0,+8)

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

12.已知雙曲線(xiàn)。：工一匕=1,則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；C的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離是

63

【答案】①.(3,0)②.73

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，并求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，利用點(diǎn)到直

線(xiàn)的距離公式可求得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離.

【詳解】在雙曲線(xiàn)C中，a=Ab=5則。=加+加=3,則雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),

雙曲線(xiàn)。的漸近線(xiàn)方程為y=土乎x,即x±0y=O,

=W>.

所以，雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離為

故答案為：(3,0)；yfi.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離，考查計(jì)算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

44

13.在VABC中，若a=2,tanA=——,cosB=~,則b=.

35

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得sinAsinB的值，結(jié)合正弦定理，即可求解.

4443

【詳解】因?yàn)閠anA=——,cosB=—,且A,Be(0,兀)，可得sinA=—,sin_B=—,

3555

c3

又因?yàn)閍=2,由正弦定理得a=b,所以匕=竺電曰=^=2.

sinAsinBsinA42

5

3

故答案為：一.

2

14.已知兩點(diǎn)K(TO),耳(1,0).點(diǎn)尸(cos。,sin。)滿(mǎn)足|「印=則-P片工的面積是一；。的一

個(gè)取值為.

171

【答案】①.一##0.5②.一(答案不唯一)

26

【解析】

【分析】根據(jù)條件求出點(diǎn)尸的軌跡方程，聯(lián)立方程后求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，即可求解面積和角的取值.

122

【詳解】由點(diǎn)P(cos6,sin0)可知，cos6>+sin6?=l；所以點(diǎn)尸在圓必+/=1,

且|尸月|-|尸鳥(niǎo)|=魚(yú)，則點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上，其中2a=J5，2c=2,b2=c2-a2=1,則雙曲線(xiàn)

方程為2f_2y2=1,%〉。

fx2+y2=1L-6

聯(lián)立2好-2/=1,解得：12或12；

C11

x〉(_)y=—y=—

122

則「耳工的面積5=3*|483乂=；*2*；=；；

當(dāng)x=——,y=工時(shí)，tan0=——，0=—+2hi,左eZ,

2236

當(dāng)x=y——■^時(shí)，tan0――---，0=----1-2kli,左eZ,

2-236

7T

則其中。的一個(gè)取值是

6

1兀

故答案為：一；一(答案不唯一)

26

15.若存在常數(shù)左和6,使得函數(shù)/(%)和g(x)對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿(mǎn)足：f(x)>kx+b

和g(x)WAx+Z?恒成立或(/(%)<近+/?和g(x)之質(zhì)+/?恒成立)，則稱(chēng)此直線(xiàn)y=Ax+b為/(%)和

g(x)的“隔離直線(xiàn)”.已知函數(shù)〃x)=d,g(x)="<0),有下列命題：

X-

①直線(xiàn)y=0為/(尤)和g(x)的“隔離直線(xiàn)”.

②若y=—x+匕為/(%)和g(x)的“隔離直線(xiàn)”，則6的范圍為—4,一；.

③存在實(shí)數(shù)%,使得/(尤)和g(x)有且僅有唯一的“隔離直線(xiàn)”.

④/(X)和g(x)之間一定存在“隔離直線(xiàn)”,且b的最小值為T(mén).

其中所有正確命題的序號(hào)是.

【答案】①④

【解析】

【分析】根據(jù)“隔離直線(xiàn)”的定義逐個(gè)分析判斷即可

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)，/(x)=x2>0,g(%)=-<0,所以直線(xiàn)y=。為和g(x)的

JC

“隔離直線(xiàn)”，所以①正確，

對(duì)于②，因?yàn)閺VT+6為/(%)和g(x)的“隔離直線(xiàn)”，所以尤22—X+5恒成立，所以

b<x2+x=(%+—-—，所以匕

(2)44

L?-x+b(x<0)恒成立，所以b2x+L(x<0)恒成立，

XX

因?yàn)椋?,=一(-%)+—<-2j(-x)--=-2(x<0),當(dāng)且僅當(dāng)—x=」-即x=—1時(shí)取等號(hào)，所以

x__x_V_x一%

b>-2,

綜上一2?6?-工，所以②錯(cuò)誤，

4

對(duì)于③④，設(shè)/(x)=%2,g(x)=L(x<0)之間的隔離直線(xiàn)為丁=丘+6,即日+0，

JC

d—Ax—bNO恒成立，所以左2+4bW0，所以640，

因?yàn)楣ぁ聪?。(*<0),所以扇+桁一1W0(尤<0)恒成立,

x

當(dāng)左>0時(shí)，不合題意，

當(dāng)左=0,6=。時(shí)，符合題意，

b

當(dāng)左<0時(shí)，y=kx2+bx-l,對(duì)稱(chēng)軸x=---<0,

-2k

所以只需滿(mǎn)足廿+4左WO，

所以左24b且/左，

所以44?16〃W—64左，所以7<女<0,

同理可得

所以和g(x)之間一定存在“隔離直線(xiàn)”,且6的最小值為Y,“X)和g(x)之間有無(wú)數(shù)條“隔

離直線(xiàn)”，且實(shí)數(shù)人不唯一，所以③錯(cuò)誤，④正確，

故答案為：①④

三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.如圖，在三棱柱ABC—中，平面ABC，D,E分別為AC,AG的中點(diǎn),

AB=BC=布,AC…=2.

(1)求證：ACJ_平面瓦汨；

(2)求直線(xiàn)。石與平面ABE所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵逅

6

【解析】

【分析】(1)根據(jù)4。15。證得4。，平面3/汨；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系D-孫z,平面/WE的一個(gè)法向量為加=(2,1,1),DE=(0,0,2),用空間向量

求解直線(xiàn)DE與平面4適所成角的正弦值.

【小問(wèn)1詳解】

在三棱柱43。-4四。1中，因?yàn)槠矫鍭BC,ACu平面ABC,所以A&LAC.

又￡>,E分別為AC,的中點(diǎn)，則。E〃AA「所以ACLDE.

因?yàn)?為AC中點(diǎn)，所以ACIBD.

又BDDE=D,￡)Eu平面3￡>E,u平面3DE,

所以AC，平面BOE.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知AC，DE,AC，5。，DEHAA,.

又至上平面人臺(tái)。，所以平面ABC.

因?yàn)锽Du平面ABC,所以。E，B￡),

所以ZM,DE兩兩垂直.

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則0(0,0,0),A(l,0,0),3(0,2,0),E(0,0,2),

所以0E=(0,Q,2),AB=(-1,2,0),AE=(-1,0,2).

設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),

m-AB=0,[-x+2y=0,

則即＜"

m-AE=0,[r+2z=0.

令y=i,貝1]%=2,2=1.于是加=(2』,1).

設(shè)直線(xiàn)DE與平面ME所成角為a,則sina=|cos(m,DE)|=吠匹=—.

\m\\DE\6

所以直線(xiàn)DE與平面ABE所成角的正弦值為逅.

6

17.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+e)+cos2x,其中|如＜^.再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已

知，使/(x)存在，并完成下列兩個(gè)問(wèn)題.

(1)求0的值；

JTJT

(2)當(dāng)xe時(shí)，若曲線(xiàn)y=/(x)與直線(xiàn)y=m恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求加的取值范圍.

63_

條件①：dW=T；

條件②：-1是/(%)的一個(gè)零點(diǎn);

71

條件③：/(0)=/

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)選擇的條件代入計(jì)算，結(jié)合角的范圍即可利用特殊角的三角函數(shù)值求解e=-B，

6

jr

(2)由和差角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)/(x)=sin(2x+—),由整體法即可代入求解.

6

【小問(wèn)1詳解】

選條件①：/[《]=sin[]+e[+cos；=—lnsi"[]+0]=—|■無(wú)意義，所以選條件①時(shí)/(x)不存

在，故不能選①，

選條件②.

由題設(shè)f(-----)=sin(-------1-(p)+cos(----)=0,所以sin(e——)=—.

126662

因?yàn)楹?lt;°<^，所以-字所以=

22363o3

所以夕=-，JT

O

選條件③，由題設(shè)sine+cosO=sin寺+@+cos].整理得sin(9.)=-1.

以下同選條件②.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)f(x)=sin(2x-^)+cos2x=——sin2xd-—cos2%=sin2x+—

622I6

E、r兀//兀兀c71571

因?yàn)椤?lt;x<—,所以——W2x+—W-.

63666

于是，當(dāng)且僅當(dāng)2X+5=W，即x=2時(shí)，/(%)取得最大值1;

626

IT7T711

當(dāng)且僅當(dāng)2%+:=—，即％：時(shí)，/(%)取得最小值—.

6662

▼c71571兀_p.,71..5711

X+—=—,R即nxn時(shí)，/(—)=sin—=—.

oo3362

且當(dāng)一梟2》+=無(wú)時(shí)，/（九）單調(diào)遞增，所以曲線(xiàn)y=/（x）與直線(xiàn),=加恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則

666'/

11

一一＜機(jī)＜一或加=1

22

冽的取值范圍是—g，gju{1}?

18.在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上（含9.50m）的同

學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到

如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）

7

【答案】（1）0.4（2）j

（3）丙

【解析】

【分析】（1）由頻率估計(jì)概率即可

（2）求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.

（3）計(jì)算出各自獲得最高成績(jī)的概率，再根據(jù)其各自的最高成績(jī)可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.

【小問(wèn)1詳解】

由頻率估計(jì)概率可得

甲獲得優(yōu)秀的概率為。4,乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,

故答案為0.4

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)甲獲得優(yōu)秀事件4,乙獲得優(yōu)秀為事件42,丙獲得優(yōu)秀為事件4

---------3

尸（X=0）=尸（444）=0.6x0.5x0.5=—,

尸（X=1）=尸（A4A）+P（44A）+尸（444）

Q

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——

20

p（x=2）=p（44&）+p（a44）+P（A4A）

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——

20

P(X=3)=P(A44)=0.4x0.5x0.5=.

???X的分布列為

X0123

3872

P

20202020

【小問(wèn)3詳解】

丙奪冠概率估計(jì)值最大.

因?yàn)殂U球比賽無(wú)論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為工，甲獲得9.80的概率為工,

410

乙獲得9.78的概率為士.并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.

19.已知橢圓E:三+斗=1（。〉。〉0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0,l）,焦距為26.

（1）求橢圓￡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)尸（-2,1）作斜率為左的直線(xiàn)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)8,C,直線(xiàn)AB,AC分別與x軸交于點(diǎn)

N,當(dāng)|MN|=2時(shí)，求％的值.

V-2

【答案】（1）—+/=1

(2)k=Y

【解析】

b~\

【分析】（1）依題意可得2c=26,即可求出。，從而求出橢圓方程;

c2=a2-b2

（2）首先表示出直線(xiàn)方程，設(shè)3（無(wú)C（x2,y2）,聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由直線(xiàn)

AB.AC的方程，表示出為、根據(jù)|八四|=|/—x"|得到方程，解得即可;

【小問(wèn)1詳解】

解：依題意可得6=1,2c=26，又02="一加，

所以a=2,所以橢圓方程為三+＞2=1；

4

【小問(wèn)2詳解】

解：依題意過(guò)點(diǎn)尸(―2,1)的直線(xiàn)為y—1=左(％+2),設(shè)3(不%)、C(%,%),不妨令

-2<Xj<x2<2,

y-1=%(%+2)

由＜X221消去y整理得(1+4左2)V+06左2+8左)龍+16左2+16左=0,

—+y-=1

[4'

所以A=(1642+8左『一4(1+4/)06/+16左)>0,解得左<0,

1642+8左1642+16左

所以/+X,=—X1?X,=------；—

1+442121+442

直線(xiàn)的方程為y—1=2^尤，令y=。，解得稅=產(chǎn)

石1-X

1%—1XQ

直線(xiàn)AC的方程為＞一1=二一％,令y=。，解得XN=L

x21一%

所以|MN|=E-拓|=尸一-

i-y2if

_x2再

—1—[.(％2+2)+1]―1—[.(％1+2)+1]

_左(冗2+2)Z(玉+2)

(々+2)%—々(％+2)

k(x?+2)(須+2)

2|石一司=2

[磯馬+2)(%+2)'

所以上一百=網(wǎng)(七+2)(玉+2),

即J（X］+々）~-4石々=陽(yáng)［々石+2（%+f）+4］

2

Bn\（1642+8左丫,16k+16k⑺「16%2+16kJ16k2+8公

即』--------丁-4x-------=^------+2--------廠

l+4k2）1+4F111+4公11+4左2J

即］+'J（242+1）2_0+4左2）①+上）+16左一206左2+8左）+4（1+4k2）］

整理得8Q=4閥，解得左=T

20.已知函數(shù)/■(無(wú))=e」n(l+x).

(1)求曲線(xiàn)y=/(%)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線(xiàn)方程；

(2)設(shè)g(x)=/'(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性;

(3)證明：對(duì)任意的s,/e(0,+8),<f(s+t)>f(s)+f(t).

【答案】(1)V=x

(2)g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線(xiàn)斜率，即得切線(xiàn)方程；

(2)在求一次導(dǎo)數(shù)無(wú)法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題即得解；

(3)令鞏x)=/(x+f)-/(x),(xj>0),即證鞏％)>m(0),由第二問(wèn)結(jié)論可知〃7(x)在［0,+8)上

單調(diào)遞增，即得證.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)?(x)=e1n(l+x),所以/(0)=0,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

X/,(x)=eJ;(ln(l+x)+-1-),

1+x

切線(xiàn)斜率左=/'(0)=1

???切線(xiàn)方程為：丁=%

【小問(wèn)2詳解】

解：因?yàn)間(x)=/'(x)=e*(ln(l+%)+」一),

1+x

21

所以g'(x)=e*(ln(l+x)+---------r),

1+x(1+x)

令3i(l+x)+占-.’

則〃(x)=」------二+="^=上鄉(xiāng)〉0,

1+x(l+x)~(1+x)、(1+X)3

h(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增,

：.h{x}>/z(0)=1>0

g'(尤)>0在［。,+8)上恒成立，

g(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增.

【小問(wèn)3詳解】

解：原不等式等價(jià)于/(5+0-/")>/⑺一f(0),

令zn(x)=/(無(wú)+/)-/(尤)，(%,?>0),

即證機(jī)(%)>m(0),

'/m{x)=于(x+?)-/(x)=ex+zln(l+x+t)-exln(l+x)，

QX+,QX

m\x)=cx+,ln(l+x+0H-------QXln(l+x)----=g(x+/)-g(x),

1+x+t1+x'

由(2)知8。)=/口)=6':(111(1+；0+白)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

g(x+f)>g(x),

m(x)>0

M(X)在(o,+8)上單調(diào)遞增，又因?yàn)閤,/>0,

m(x)>m(0),所以命題得證.

21.已知｛a“｝是無(wú)窮數(shù)列.給出兩個(gè)性質(zhì):

①對(duì)于｛4｝中任意兩項(xiàng)4?嗎(，>/),在｛凡｝中都存在一項(xiàng)。加，使」~=%；

aj

2

②對(duì)于｛%,｝中任意項(xiàng)a“(〃..3),在｛%｝中都存在兩項(xiàng)如，。/(4〉0.使得4=".

al

(1)若。"="("=1,2,「)，判斷數(shù)列｛4｝是否滿(mǎn)足性質(zhì)①，說(shuō)明理由；

(11)若4=21(〃=1,2,),判斷數(shù)列｛%｝是否同時(shí)滿(mǎn)足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說(shuō)明理由；

(III)若｛4｝是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿(mǎn)足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：｛4｝為等比數(shù)列.

【答案】(I)詳見(jiàn)解析；(H)詳解解析；(III)證明詳見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】(I)根據(jù)定義驗(yàn)證，即可判斷；

(II)根據(jù)定義逐一驗(yàn)證，即可判斷；

2

(III)解法一：首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)，然后證明為=&,最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列

即可.

解法二：首先假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù)，然后證得％，/，％成等比數(shù)列，之后證得％,外,%，%成等比

數(shù)列，同理即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而命題得證.

29

22

(II)QVz,jeN*,i>j,d=2⑵tz,2i-jeN*:.生=｛an｝具有性質(zhì)①；

ajaj

2

nl

QV"eN*,"23日左=〃一1,/=〃一2,生=產(chǎn)a=2-=an,:.｛a,,｝具有性質(zhì)②;

ai

(III)解法一

首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)，不妨設(shè)恒為正數(shù)：

顯然見(jiàn)wO(〃N*),假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項(xiàng)，設(shè)乂=max｛川4<0｝,

第一種情況：若M=1,即/<0<。］<出<%<,，

22

由①可知：存在叫，滿(mǎn)足4=—<0,存在加2，滿(mǎn)足&<0，

1

ax4

由No=1可知&=幺，從而a,=%，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設(shè)不成立.

%q

al

第二種情況：若乂22,由①知存在實(shí)數(shù)加，滿(mǎn)足〃〃二』<（）,由N。的定義可知：m<N0,

a｛

22

a

另一方面，am=—>—=Nn>由數(shù)列的單調(diào)性可知：加>No，

這與No的定義矛盾，假設(shè)不成立.

同理可證得數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)恒為負(fù)數(shù).

綜上可得，數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào).

2

其次，證明為=&■:

利用性質(zhì)②：取〃=3,此時(shí)％="（左>/），

由數(shù)列的單調(diào)性可知ak>a,>Q,

而。3=4,工〉W，故左<3,

%

2

此時(shí)必有k=2,1=1,即生=二，

ax

最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列:

假設(shè)數(shù)列｛??｝的前左（左>3）項(xiàng)成等比數(shù)列，不妨設(shè)&=（1WsWk）,

其中弓〉。,“〉：!，（％<0,0<q<l的情況類(lèi)似）

2

由①可得：存在整數(shù)加，滿(mǎn)足=—^=4不>以，且。機(jī)=%■>以+i（*）