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昌平區2024?2025學年第一學期高二年級期末質量抽測

數學試卷

本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.

考試結束后，將答題卡收回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1,已知”(羽3，1),3=(-2/,2),若、〃石,則x+y=()

A-5B.-3C.3D.5

2.已知直線/：2x—3y+6=0,則直線/的傾斜角的正切值為()

3223

A.B.C.一D.一

2332

3.在的展開式中，x的系數為()

A.-80B,-40C.40D.80

4.以2(2,3),8(4,9)為直徑的兩個端點的圓的方程為()

A.(x-l)2+(y-3)2B.(x-3)2+(y-6)2=Vw

C.(x-l)2+(v-3)2=10D.(x-3)2+(v-6)2=10

5.已知四面體O—48C中，設況=3，OB=b＜OC=c＞。為5c的中點，￡為。。的中點，則通用

向量扇可表示為()

A.-a+-b+-cB.a--b--c

4444

C.-a+-b+-cD.a--b--c

2222

22x2J

6.曲線上+2L=1與曲線+(左＜7)的

16716-k7-k

A.短軸長相等B.長軸長相等

C.焦距相等D.離心率相等

7.有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相鄰，不同的站法共有（）

A24種B.48種C.72種D.144種

8.“。〉1”是“坐標原點在圓/+/—即+。—i=o的外部”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C充要條件D.既不充分也不必要條件

9.在中國古代數學經典著作《九章算術》中，稱圖中的多面體4BCDEE為“芻（chu）薨（meng）若底

面Z5c。是邊長為4的正方形，EF=2,且EF11AB,和ABCF是等腰三角形，

ZAED=ZBFC=90°,則該芻薨的高（即點尸到底面4BCD的距離）為（）

A.1B.V3

C.2D.272

10.已知集合Z=｛（x,y）|y=，人wo｝,對于實數加，集合5=｛（x,y）|y=機"且滿足

AHB=0,則（）

A.m=±lB.m~\

C.me（-1,1）D.me[-l,l]

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知直線4:2x+即—3=0與直線4：x-y+l=0垂直，則實數加的值為.

12.已知雙曲線u三一或=1,則其漸近線方程為；過C的右焦點/作圓/+/=6的

63----------------------

切線，切點為M,則|〃F|=.

13.在正方體ABCD-4四。。1中，直線AB,與B3所成角大小為.

14.已知拋物線的焦點為/，準線為/.則焦點/到準線/的距離為；若點M在拋

物線。上，過點/作準線/的垂線，垂足為￡,2(3,1),貝+|九閨的最小值為.

15.已知曲線用：￥+了2=4_|孫］.關于曲線少的幾何性質，給出下列四個結論：

①曲線少關于原點對稱；

②曲線少圍成的區域(不含邊界)內恰好有8個整點(即橫、縱坐標均為整數的點)；

③曲線沙圍成區域的面積大于8；

?曲線平上任意一點到原點的距離都不小于友.

一3

其中正確結論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.已知V48C的三個頂點的坐標分別為2(—1,2),8(3,—2),C(l,4).

(1)設。為ZC的中點，求直線AD的方程；

(2)求V4SC的面積.

665432

17.(2x-1)=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+axx+aQ,求：

(1)以+。5+。4+。3+。2+；

(2)。6+&+。2+。0；

(3)64&+32a§+16%+8%+42+2%+a。-

18.如圖，在棱長為2的正方體48CD—4AG3中，￡為。1〃的中點，與平面交于點廠?

(1)求證：EFIIAC；

(2)求直線與平面NCE所成角的正弦值;

(3)求點用到平面ACE的距離.

19.已知圓C:(x-l)2+(y—3)2=5.

(1)過點2(2,-1)的直線/與圓C交于〃,N兩點，當|MN|=4時，求直線/的方程;

(2)判斷直線加x—y+1—機=0與圓C的位置關系，并說明理由.

20.如圖，在四棱柱48CD-451G2中，側面NAB/1是邊長為2的正方形，平面，平面

ABCD,AB//CD,AD=CD=1,E為的中點，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作

為己知.

條件①：AD1BE；

條件②：4。=&.

(1)求證：AD±AB；

(2)求平面5CE與平面ZDD/i夾角的余弦值;

(3)已知點M在線段CG上，直線EN與平面5。。1片所成角的正弦值為逆，求線段CW的

3

長.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

22

21.已知橢圓C：=+1=l(a〉b>0)的短軸長為2,尸是C的右焦點，。是。的下頂點，且

ab

|DF|=V2.過點。作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓C于48兩點(不與點。重合)，過點。作直線

48的垂線，垂足為

(1)求橢圓C的方程和離心率；

(2)判斷在y軸上是否存在定點。，使得M0的長度為定值？若存在，求出點。的坐標和的長度；

若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.己知，=13，1）,3=（—2/,2）,若g//B,則x+y=（）

A.-5B.-3C.3D.5

【答案】D

【解析】

【分析】依題意可得彳萬=B，根據向量相等的充要條件得到方程組，解得即可.

【詳解】解：因為K=(x,3,l),B=(—2/,2)且g〃B，

Ax——2(

x——]

所以41=3,即3X=.v,解得＜,,

V=0

4=2U

.'.x+jv=—1+6=5,

故選：D.

2.已知直線/:2x—3y+6=0,則直線/的傾斜角的正切值為（）

【答案】C

【解析】

【分析】直線方程化為斜截式，可得斜率，即可得到傾斜角的正切值.

2

【詳解】直線方程2x-3j+6=0化為斜截式y=§x+2,

則直線的斜率為2,

3

因為直線的斜率等于傾斜角的正切值，

所以直線/的傾斜角的正切值為-.

3

故選：C.

3.在（4-2『的展開式中，x的系數為（）

A.-80B,-40C.40D.80

【答案】A

【解析】

【分析】由展開式的通項可得.

［詳解］—的展開式通項為4M=《(4)2(—2『=(_2)無

5—kw

當二一=1,即左=3時，得7；=(—2)C；x=—80x,系數是—80,

故選：A

4.以42,3),8(4,9)為直徑的兩個端點的圓的方程為()

A.(x-1)2+(y-3)2=VH)B.(x-3)2+(y-6)2=V10

C.(X-1)2+(J-3)2=10D.(X-3)2+(J-6)2=10

【答案】D

【解析】

【分析】利用圓的標準方程待定系數計算即可.

【詳解】易知該圓圓心為2(2,3),8(4,9)的中點C(3,6),半徑子=耳1=而，

所以該圓方程為：(x—3)2+(y—6)2=10.

故選：D.

5.已知四面體O—48C中，設況=3，OB=b<OC=c>。為5c的中點，￡為。。的中點，則通用

向量扇可表示為()

A.-ClH---bH----C

44

C.—aH—bH—cD.a——b——c

2222

【答案】A

【解析】

【分析】根據空間向量的線性運算的幾何表示可得.

o

-------1*-11/**\1-*j

如圖，AE=AO+OE=AO+-OD=AO+-x-(OB+OC]=-a+-b+-c,

222、>44

故選：A

2222

6.曲線土+匕=1與曲線上二+工=1（左＜7）的

16716—左7—左

A.短軸長相等B.長軸長相等

C,焦距相等D.離心率相等

【答案】C

【解析】

【分析】本道題結合/=〃+c2，計算a,b,c的值，即可.

【詳解】A選項，明顯短軸不相等，一個7力2=7—左，故錯誤；B選項，一個/=16,

另一個為/=16-左，故錯誤.D選項，離心率e=9,結合前面提到了a不相等，故錯誤；曲線

a

2222

工+匕=1的焦半徑滿足02=16—7=9,而^―+上一=1焦半徑滿足

16716—k7—左

。2=16-左一（7-左）=9,故兩曲線的焦半徑相等，故焦距相等，c正確.

【點睛】本道題考查了橢圓的基本性質，關鍵抓住/=〃+°2,難度中等.

7.有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相鄰，不同的站法共有（）

A.24種B.48種C.72種D.144種

【答案】C

【解析】

【分析】利用插空法可得.

【詳解】由題意，先把3位男生排成一排，然后將2位女生插入3個男生中間或兩邊，不同的站法共

A；A”72種,

故選：C

8.“。〉1”是“坐標原點在圓f+j?—即+。一i=o的外部”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】先由“坐標原點在圓V+j?—即+。—i=o的外部”得。〉1且進而可得.

Q—1〉0

【詳解】由坐標原點在圓/+v?-av+a-1=0的外部可得\2/、，即。〉1且。/2,

（一口）-4（a-1J>0

故“a〉1”是“a〉1且aw2”的必要不充分條件，

故選：B

9.在中國古代數學經典著作《九章算術》中，稱圖中的多面體4BCDEE為“芻（chu）薨（meng）若底

面Z5CD是邊長為4的正方形，EF=2,支EF11AB,“。石和ABCF是等腰三角形，

ZAED=ZBFC=90°,則該芻薨的高（即點尸到底面48CD的距離）為（）

A.1B.百

C.2D.2亞

【答案】B

【解析】

【分析】如圖，利用線面垂直的判定定理與性質確定W為芻薨的高，求出萬H即可.

【詳解】如圖，取幺。,8c的中點J,G,連接JG,龍,GN,

則GF1BC,過點E,F分別作EI1JG,FH1JG,垂足分別為I,H,

則四邊形〃為矩形，且〃=G8,

由GE_L8C,JGVBC,JG[}GF=G,JG.GFu平面E尸GJ,

得8C_L平面EFGJ,又EBu平面EPGJ,

所以8CLW,又FHLJG,JGCBC=G,JG、BCu平面幺5。￡),

所以平面48CD,即W為芻薨的高.

又EF=2,AB=JG=4,所以GH=1,

因為尸C=EB,尸CLEB,G為8c的中點，所以26=。6=砥?=2,

所以FH^FG^-HG。=出，

即該芻薨的高為VL

故選：B

10.己知集合z={(x,y)|y=/m,〃W0},對于實數加，集合5={(x,y)|y=機x}且滿足

A^B=0,則()

A.m=±1B.m=l

C.me(-1,1)D.me[-l,l]

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可知集合A表示焦點在7軸上的雙曲線的上支或焦點在無軸上的雙曲線的上部分，集合B

表示過原點的直線，求出雙曲線的漸近線方程即可滿足題意.

_______22

【詳解】由y=1*2+w0，得^——=l(y>0),

nn

當〃〉0時，集合A表示焦點在歹軸上的雙曲線的上支,

而集合8表示過原點的直線，如圖，

因為zn5=0,所以雙曲線的上支與過原點的直線沒有交點,

該直線即為雙曲線的漸近線，即y=±x,所以—iw加41；

當"<0時，集合A表示焦點在無軸上的雙曲線的上部分，

而集合5表示過原點的直線，如圖，

因為幺口8=0,所以雙曲線的上部分與過原點的直線沒有交點,

該直線即為雙曲線的漸近線，即y=±x,所以機<-1或

綜上，m=±1.

故選：A

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知直線乙：2x+即—3=0與直線4：x-V+l=0垂直，則實數加的值為

【答案】2

【解析】

【分析】根據兩直線的位置關系計算即可求解.

【詳解】當機=0時，4：2x-3=0,此時不成立；

2

故加。0,若則1=-1，解得加=2.

m

綜上，m=2.

故答案為：2

12.已知雙曲線C：三一金=1,則其漸近線方程為；過C的右焦點/作圓/+/=6的

63----------------------

切線，切點為M,則|"F|=.

【答案】?.y=+^-x②.拒

【解析】

【分析】由雙曲線漸近線方程的定義，即可得到雙曲線的漸近線方程；由是圓/+/=6的切線，則

在RtZ\O“中，利用勾股定理即可求得|I.

則a=V6,b=,

所以其漸近線方程為J=+-x=土與X=+—X;

。J62

因為c=飛a2+/=3，

所以雙曲線C的右焦點為E(3,0),則IOF1=3,

因為“為圓/+r=6上的點，所以|(W|=八，

因為被是圓的切線，所以。

則在RtAOMF中，=yl0F2-0M2=,3?—(#丁=JL

故答案為：y=-~^~x'出.

13.在正方體ABCD-451GA中，直線AB,與BCX所成角大小為.

71

【答案】-

3

【解析】

【分析】先連接401,由異面直線的夾角可得直線48］與8。所成角即為/。/用，由△Ng。為等邊三角

如圖,連接4Di，D[B],

由正方體性質知BCJIADX,則直線ABX與8。所成角即為ND",

因ABX,ADX,24都是正方體的面對角線，所以ABi=ADi=D[Bi,

7T

故△4813為等邊三角形，故

JT

故答案為：一.

3

14.已知拋物線C:%2=2y的焦點為廠，準線為/.則焦點廠到準線/的距離為；若點M在拋

物線。上，過點M作準線/的垂線，垂足為E,幺（3,1）,貝+W閨的最小值為.

【答案】①.1②.亙

2

【解析】

【分析】①根據拋物線中p的幾何意義可求解；

②根據拋物線的定義，轉化同為點M到焦點E的距離，利用數形結合可求解.

【詳解】①由拋物線/=2y知，2。=2,

所以拋物線的焦點/到準線的距離是P=L

②如圖所示，過點兒化工/,貝U|M4|+|〃E|=|MF|+|M4|2NE,

當點"在線段AF上時等號成立，

所以|九訓+1兒閨的最小值為AF=

2

4(3,1)

x

故答案為：①1;②叵.

2

15.已知曲線少:公+了2=4_|孫］.關于曲線%的幾何性質，給出下列四個結論：

①曲線少關于原點對稱；

②曲線少圍成的區域（不含邊界）內恰好有8個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；

③曲線沙圍成區域的面積大于8；

?曲線沙上任意一點到原點的距離都不小于渲.

一3

其中正確結論的序號是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】對①：將（-兀-日代入，依舊滿足該方程即可得；對②，由曲線可得」町區3，將所有整點

x2+y2<4

求出即可得對③，借助對稱性，證明該曲線在第一象限部分面積大于直線》+>-2=0與坐標軸圍成的面

積即可得；對④由基本不等式可得進而可得.

【詳解】曲線沙：/+產=4_回|,將x換成-X,將y換成-y,方程不變，

故曲線少關于原點對稱，①正確；

x2+y2=4-\xy\>2\xy\,得」孫歸3,要使均為整數，

x2+y2<4

則可得整點有（0,0）、（0,±1）、（±1,0）、（±1,±1）共9個,故②錯誤;

曲線少:公+/=4_|切，將x換成-X,方程不變，故曲線少關于了軸對稱，

故曲線沙圍成區域的面積大于8,只需在曲線第一象限的面積大于2,

當x>0,y〉0時，x2+y2=4-xy,得(x+y)2=4+孫，

故x+y=J4+盯〉2,因x+y=2與x軸，了軸構成的三角形面積為2,

故曲線葉圍成區域的面積大于8,故③正確；

2I23Q

由對稱性，根據孫W土千得；仁+了2)24,得必+/2§,

故曲線火上的點(X/)到原點的距離為正+了2>半，故④正確，

故答案為：①③④

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.已知V48C的三個頂點的坐標分別為2(—1,2),8(3,—2),C(l,4).

(1)設。為ZC的中點，求直線AD的方程；

(2)求V4SC的面積.

【答案】(1)5x+3v-9=0

(2)8

【解析】

【分析】(1)先確定NC中點。的坐標，根據兩點確定直線5。的斜率，利用直線方程的點斜式寫出直線

方程.

(2)法一：確定直線3c的方程及忸C|,利用點到直線的距離求三角形的高，再求三角形面積；

法二：通過判斷直線AB與/C的關系，可得V48C為直角三角形，利用直角三角形的面積的計算方法求

三角形面積.

法三：利用行列式的方法求三角形面積.

【小問1詳解】

NC的中點。的坐標為(0,3).所以直線8D的斜率kBD=得言=-1■

所以直線8。的方程為y=—gx+3,即5x+3y—9=0.

【小問2詳解】

法一：

因為演°=4：(二2)=一3,所以直線8。的方程為。—4=一3(%—1),即3x+y—7=0-

1-3

_3x(-l)+2-74而

所以點A到直線BC的距離d=?'J—?=展乜

V32+l25

因為忸C|=^/(3-1)2+(-2-4)2=2710,

所以=-ISClxc/=1x2710x^^=8.

AHOC21?25

法二：

因為的B==^=T，踴=5言.

-1-3i一(7

所以eB,心c=-L

所以ZBINC.

因為1481=7[3-(-l)]2+(-2-2)2=472,

\AC|=7[l-(-l)]2+(4-2)2=2V2,

所以S?Bc=：|48|x|/C|=；x4jix2貶=8.

-121

法三：由題意：S：=33-21=-(2+2+12+2-6+4)=8

2

141

665432

17.(2x-1)=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+axx+aQ,求:

(1)以+。5+。4+。3+。2+%；

(2)&+。4+。2+。0；

(3)646+32%+16%+8%+4%+2al+a。-

【答案】(1)0(2)。6+。4+%+/=365

(3)729

【解析】

【分析】(1)(2)(3)根據給定的展開式，利用賦值法計算得解.

【小問1詳解】

在展開式中，令X=0,得：%=(-1)6=1,

X—1,：。6+。5+。4+%+。2+=(2—I)'=1,

以6+%+。4+。3+%+4=1—1=0.

【小問2詳解】

令X——1,(導：6—％+%—°3+42_。］+%=(_2_1)6=729,

由(1)知，。6+。5+。4+。3+。2+%+。0=1，

兩式相加得：2(4+&+出+4)=1+729=730,

所以。6+。4+。2+。0=365.

【小問3詳解】

令x=2,得：64a6+32%+16%+8%+4出+2%+%=(4-1)，=729.

18.如圖，在棱長為2的正方體A8CD—481G2中，E為GA的中點，4〃與平面NCE交于點尸.

(1)求證：EF//AC；

(2)求直線與平面NCE所成角的正弦值；

(3)求點4到平面NCE的距離.

【答案】(1)證明見解析

(2)述

15

(3)2

【解析】

【分析】(1)可以用面面平行的性質定理證明線線平行，也可以用線面平行的性質定理證線線平行.

(2)建立空間直角坐標系，用空間向量求線面角.

(3)用空間向量求點到平面的距離.

【小問1詳解】

法一：

在正方體ABCD—A1BlC1Dl中，

因為平面45］。］。］//平面ABCD,

平面ABCD八平面ZCE=/C,平面4片。1。A平面ACE=EF,

所以ZC//E/.

法二：

在正方體ABCD—4BCD］中，

因為平面48CD//平面ZCu平面45C3,

所以NC//平面4454.

又因為ZCu平面NCE,平面ZCECI平面4與。2=E尸，

所以ZC//EE.

【小問2詳解】

如圖，建立空間直角坐標系。-師.則

￡>(0,0,0),幺(2,0,0),C(0,2,0),￡(0,1,2),男(2,2,2).

_ULIU

所以通二(—2,1,2),就=(—2,2,0),。￡=(0,1,2).

設平面4CE的法向量]二(x，Nz)，則

n-AE=0f-2x+y+2z=0

《—,即《

n-AC=0[-2x+2y=0

令x=2,則y=2,z=l.

所以3=(2,2,1)

設直線DE與平面ACE所成角為a,

\DE-n\_|0x2+lx2+2xl|_4V5

\DE\-\n\75x3

所以直線DE與平面ACE所成角的正弦值為生6

15

【小問3詳解】

-.\AB}-n\|0x2+2x2+2xl|

因為力4=(0,2,2),所以=--------------------------=2

所以點Bx到平面ACE的距離為2.

19.已知圓C:(x-1)2+(y—3)2=5.

(1)過點2(2,-1)的直線/與圓C交于W,N兩點，當|MN|=4時，求直線/的方程；

(2)判斷直線機x—了+1-機=0與圓C的位置關系，并說明理由.

【答案】(1)x=2或15x+8y—22=0.

(2)直線M-.v+l-m=0與圓C相交，理由見解析

【解析】

【分析】(1)易知直線x=2符合題意，當直線/的斜率存在時，設直線/的方程，利用點線距公式和幾何

法求弦長建立關于左的方程，解之即可求解；

(2)法一：求出直線恒過定點，將定點代入圓的方程，結合點與圓的位置關系即可下結論；

法二：利用點線距公式，結合直線與圓的位置關系計算即可下結論.

【小問1詳解】

由圓C:(x-1)~+(y-3)-=5可得，圓心C(l,3),半徑廠=.

當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=2.

圓心C(l,3)到直線/的距離為d=1,

此時=一/=心符合題意.

當直線I的斜率存在時，設直線/的方程為y+l=k(x-2),

即依一歹一2左一1二0.

7\k-3-2k-l\\k+4\

J1

圓心C(l,3)到直線I的距離為d=—I、=r=^.

,--------,-------\k+4\,

因為|MV|=24戶-/=245-屋=4,所以d=l.所以「—=1

7k+1

解得左所以直線/的方程為y+l=(x—2),即15x+8y—22=0.

88

綜上，所求直線的方程為x=2或15x+8y—22=0.

【小問2詳解】

因為直線機x-y+l-機=0過定點。(1,1),

又因為|CO|=7(l-l)2+(3-l)2=2<y/5,

所以點。(1,1)在圓C內.

所以直線機x-y+l-機=0與圓C相交.

,\m-3+\-m\2

圓心C到直線mx-y+\-m=0的距離d=,2—=/2

7m+1\lm+1

因為J/+l21,所以

ylm+1

所以0</2<2<4^>_

，加~+1

所以直線機x-y+1-機=0與圓C相交.

20.如圖，在四棱柱4BCD-451G2中，側面是邊長為2的正方形，平面46呂4,平面

ABCD,AB//CD,AD=CD=1,E為441的中點，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作

為己知.

條件①：AD1BE-,

條件②：4c=46.

(1)求證：AD±AB；

(2)求平面5CE與平面NDD/i夾角的余弦值；

(3)已知點M在線段CG上，直線EN與平面5。。］與所成角的正弦值為逆，求線段CAZ的

3

長.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)證明見解析

⑵—

6

13

(3)CA/=—或CN=—.

22

【解析】

【分析】(1)選①：通過證明線面垂直來得出線線垂直；選②：通過線面垂直來得出線線垂直，同時結合

勾股定理來證明垂直；

(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量來解決二面角的問題，用到公式為：cos6)=|cosm,H|；

(3)建立空間直角坐標系，利用空間向量結合線面角的正弦值建立關于參數的等式進行求解即可.

【小問1詳解】

解：選擇條件①：ADLBE.

因為側面48與4為正方形，

所以441，4g.

又因為平面ABBXAX1平面ABCD,平面ABB.A,Q平面ABCD=AB,

AAXu平面4BB[A],

所以441，平面48CD.

因為4Du平面ABCD,

所以40,平面ZAS/i.

所以40148.

選擇條件②:4c=V6.

連接NC.

因為側面48g4為正方形，

所以，4g.

又因為平面4BB41平面ABCD,平面ABB&Q平面ABCD=AB,

AAXu平面ABBXAX,

所以，平面48CD.

所以，ZC.

所以NC=J4c2_"=V2.

因為40=CD=1,

所以Z￡>2+C02=ZC2.

所以40LCD.

因為幺8〃CD,

所以4D14B.

【小問2詳解】

因為44，平面AD±AB,

所以441,Z。,ZB兩兩垂直.

如圖，建立空間直角坐標系孫z,則

N(0,0,0),5(0,2,0),C(l,l,0),￡(0,0,1),51(0,2,2),G(l,l,2),2(1,0,2).

所以瑟=(1,—1,0),礪=(0,—2,1).

設平面8CE的法向量機=(x,y,z),貝！I

m-BC=0,

<

m-BE=0.

x-v=0,

即《'

~2y+z=0.

令x=l,則>=l,z=2.

所以浣=(1,1,2).

因為平面ADDXAX的法向量[=(0,1,0),

設平面BCE與平面ND。/]的夾角為。，則

cl一T\m-n\V6

cos〃=cos私川二^―rr4=——.

11\m\\ii\6

所以平面BCE與平面ND。/]夾角的余弦值為—.

6

【小問3詳解】

法一：

設亂(七,必,2]),CA7=2CQ,2G[0,1].

所以(再一1,必—1,Z[)=40,0,2).

所以為=1,必=1,句=22.

所以M(l,l,24).

所以詼=(1,1,2彳一1).

因為瓦;=(1,—1,0)，函=(0,0,2),

設平面BCC&]的法向量7=(々,Z2)，則

t-BC=Q,(x-y=0,

<____.即\22

t?BB]—0.[2Z2=0.

令％=1，則>2=1/2=0.

所以7=(i,i,o).

設直線與平面BCC1A所成角為則

I.I|￡A/-Fl22V2

sin/3=\cosEM,t\=———/=—

11V2XV422-42+33

13

解得幾=—,或4=—.

44

13

所以CW=—,或CA/=—.

22

法二：

設則前=(1,1,"I).

因為4=(1,—1,0),函=(0,0,2),

設平面5CG用的法向量7=(々,%/2),則

t-BC=0,\x

<____,即<2

t?BB、=0.=0.

令/=1，則%=10=0.

所以，=(1,1,0).

設直線用攸與平面BCG4所成角為〃，則

I___.I22V2

sin/?=cos￡M,，=^^=2=j

1I\EM^t\亞xjl+l+（a-1）23

13

解得Q=—,或。=—.

22

13

所以