2024級高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷

（考試時間：120分鐘滿分：150分）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知集合A=W3M2},8={1,。+2},若AB=A）則實數(shù)a的值為（）.

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】依題意可得則a+2=3或。+2=/，求出。的值，再檢驗即可.

【詳解】因為人=卜,3,4},3={l,a+2}且AB=A,

所以BRA,則a+2=3或a+2=〃，

解得。=1或a=2或。=―1,

當4=1或〃=-1時4=1，此時集合A不滿足集合元素的互異性，故舍去；

當。=2時人={1,3,4},8={1,4},滿足AB=A,符合題意.

故選：A

2.已知a/,c是實數(shù)，

（1）。＞6是。2〉/?2的充分條件；（2）＜7＞6是。2〉力2的必要條件；

（3）是a/＞/?/的充分條件；（4）是ac?＞匕。2的必要條件.

上述四個命題中真命題的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】利用特殊值判斷（1）（2）（3）的正確性，根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷（4）的正確性.

【詳解】對（1）：取。=一1,b=-2,則。＞6,但。2＞力2不成立，所以。＞6不是〉少2的充分條件，

故（1）錯誤；

對（2）：取a=-2,b-1,則但a＞6不成立，故不是/＞力2的必要條件，故⑵錯

誤;

對（3）：當c=0時，a＞〃不能推出＞秘2,所以］＞人不是＞慶2的充分條件，故（3）錯誤;

對（4）：由可得，＞（）,所以a＞b,所以是的必要條件，故（4）正確.

故選：B

3.已知函數(shù)y=/（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應(yīng)值表：

Xi2345

y136,13615.552-3.9210.88-52.488

則不一定包含“X）的零點的區(qū)間是（）

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D,（4,5）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)零點存在定理可確定結(jié)果.

【詳解】因為〃2）?〃3）＜0，/（3）-/（4）＜0,/（4）-/（5）＜0,且函數(shù)的圖象是連續(xù)的，

所以函數(shù)在區(qū)間（2,3）,（3,4）,（4,5）上均有零點.

而/⑴?/⑵〉0,所以函數(shù)在（1,2）上未必有零點.

故選：A

4.生物學(xué)家研發(fā)一種谷物新品種，如果第1代得到1粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代6粒種

子，則種子數(shù)量首次超過100萬粒的是（）（參考數(shù)據(jù)：1g2Ho.3,lg3ao.48）

A.第7代種子B.第8代種子C.第9代種子D.第10代種子

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)第*代種子的數(shù)量為6'T，根據(jù)題意列出不等式，對不等式化簡代入數(shù)值即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)第*代種子的數(shù)量為S'—，

由題意得6‘T＞106，得（x-l）lg6＞6,

6

即X〉----F1.

1g6

66

因為+1=+1^8.7,

lg6Ig3+lg2

故種子數(shù)量首次超過10。萬粒的是第9代種子.

故選：C.

5.下列函數(shù)中符合在定義域上單調(diào)遞增的奇函數(shù)的是()

A./(x)=eA+e-xB./(x)=tanx

C./(x)=ln(2+x)-ln(2-x)D./(x)=x-

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的特點先判處BD,再根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除A.

Ijrjr)

【詳解】因為函數(shù)〃%)=tanx的定義域為碗-5碗+己，keZ,所以函數(shù)在其定義域不具有單調(diào)

性，故B不合題意;

因為函數(shù)/'(x)=x-工的定義域為(-8,0)(0,+8),函數(shù)在其定義域不具有單調(diào)性，故C不合題意;

對A：/(-x)=e-x+=ex+e-x=/(x),所以〃尤)=e'+e~為偶函數(shù)，故A不合題意；

對C：對函數(shù)/(x)=ln(2+x)—ln(2—X),由｛,得函數(shù)的定義域為(—2,2),

/(-x)=ln(2-x)-ln(2+x)=-［ln(2+x)-ln(2-%)］=-/(%),所以函數(shù)為奇函數(shù)，

因為如(2+%)在(-2,2)上單調(diào)遞增，In(2-尤)在(-2,2)上單調(diào)遞減，所以

/(%)=In(2+%)—In(2—%)在(-2,2)上單調(diào)遞增，故D符合題意.

故選：C

6.已知奇函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點［一］,o］對稱，當xe°，|J時，f(x)=l-sin^x+^,當

XGI-,3K時，/(%)的解析式為()

A./(%)=-l-sinxB./(x)=-l-cosx

C./（%）=l-simD./（x）=1-COSJV

【答案】B

【解析】

【分析】首先利用奇函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的對稱性，找出不同區(qū)間上函數(shù)值的關(guān)系，然后通過對已知區(qū)

間函數(shù)不等式的變形，推導(dǎo)出所求區(qū)間的函數(shù)解析式.

【詳解】因為函數(shù)y=70）的圖象關(guān)于點對稱，所以/（"=—/（—兀―力，

又函數(shù)y=f（＞）為奇函數(shù)，所以/（一兀一力=一/（兀+X）,

所以/（%）=/（兀+*），即函數(shù)y=/0）是以兀為周期的周期函數(shù).

設(shè)37t,則,且/（%）=/（%-3兀），

因為—',0,所以3兀一%€°'、）'且/（*一3兀）=一/（3兀一%）.

所以/（兀）=_/（3兀_%）,371-xe0,-J.

又當xe0,|-時，/（X）=l-sin\+|J,

所以/（x）=_/（3兀_%）=—1—sin13?！?-1—sin(x—鼻=-(l+cos;

即/（x）=-l-cosx

故選：B

貝ijsin"為+4]=()

7.若。=。0時，〃e）=sin2?！猚os?。取得最大值,

「逐C2yl

A回R3A/10

101055

【答案】A

【解析】

【分析】首先利用二倍角公式和輔助角公式，化簡,再代入求值.

2

【詳解】因為/'（9）=sin20-cos0=sin20-1+。\=sin20_1cos2e—；=岑sin（20—e）—g

（其中COS0=^T=2^5,sin（P=）

所以—g.

當sin（2O_0）=l時取.

此時sin20=sin[（20—°）+°]=sin（2。一Q）COScp+cos（20-°）sin0=1x+0x；

cos20=cos[（20-e）+°]=cos（2O-0）cos0—sin（20—0）sin0=ox-lx,

所以sin（2瓦+色]=sin200cos烏+cos2仇sin—=—--x—=

I4j04°4525210

故選：A

8.記函數(shù)的定義域為D,若存在非負實數(shù)左，對任意的xe。，總有/（%）—歸左，則稱函

數(shù)“同具有性質(zhì)尸。）

①所有偶函數(shù)都具有性質(zhì)P（0）；

②/（%）=”?具有性質(zhì)尸（1）；

L十JC

③若/（%）=_?+X+1,則一定存在正實數(shù)h使得“X）具有性質(zhì)尸（左）;

④已知a>0,若函數(shù)/⑺二號^具有性質(zhì)P伏），則。?0用.

其中錯誤結(jié)論的序號是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】C

【解析】

【分析】利用性質(zhì)P（左）可判斷①；利用基本不等式結(jié)合性質(zhì)P（左）可判斷②；根據(jù)函數(shù)/⑺-〃-力|

..a（l-2x]

的值域可判斷③；根據(jù)已知條件可得出|/（%）—/（—到?？傻贸?；2,，W左,結(jié)合不等式恒成立可

得出。的取值范圍，可判斷④.

【詳解】對于①，設(shè)函數(shù)/(九)是定義在。上的偶函數(shù),

對任意的xe。，，(％)—〃f)|=0,所以，所有偶函數(shù)都具有性質(zhì)F⑼，①對;

(r)2X

對于②，對任意的xeR,卜方三II

2

X十1(H+1x+l'

心)…=券

當％w0時,

當且僅當卜|=百時，即當九=±1時，等號成立,

又因為7(0)—/(0)|=0<1,故對任意的xeR,|/(力—/(—X)歸1,

所以，具有性質(zhì)尸⑴，故②對；

1+X

對于③，因為|/(%)_/(_%)|=|(%2+%+1)_(%2_%+1)|=2國，

又函數(shù)y=2|x|的值域為［0,+8),所以，不存在實數(shù)攵，使得|/(x)—/(—X)歸左，故③錯;

x

aaaa-2xa(l-2)

對于④,x)|=<k,

1+2*l+2-x1+2，2X(1+2X1+2X

2

因為a>0,易知左>。，因為2工>0，則2*+1>1，則0<1——<2,

2+1

所以，—1<一一-K1,即一i<2-(i+2，)q1-2X

<1，所以，OK<1,

X

2X+11+2X1+2X1+2

a(l-2v)

要使得=K左恒成立，則左之a(chǎn),

1+2X

又因為a>0,則0<aWA,

所以，若函數(shù)/(￡)=占具有性質(zhì)P依)，則“e(0,可，故④對,

故選：C.

【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進行求解:

(1)Vxe￡>,m<f(x)^；

(2)VxeZ),m>/(x)<^>m>/(x)max；

(3)3XGD,m<f(x)^m<f[x)^-

(4)3xe￡>,m>

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.

9.已知角。的始邊為x軸的非負半軸，角a的終邊與單位圓的交點為尸三,-三，則()

133J

A.tana=A/2B.sin(-a)=

C.cos(兀-a)=----:

')3

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得sina=-逅,cosa=Y3,tana=-0，即可結(jié)合誘導(dǎo)公式逐一求解.

33

【詳解】由題意可知：sine=—^^,costz=，tana=—，

33

4fcsin(-?)=-sintz=~^~'cos(兀-e)=-cost/=,cos^a-^=sincif=~~~,故BCD正

確，A錯誤，

故選：BCD

10.已知函數(shù)/(x)=lg(x2—2x+r),則下列結(jié)論正確的是()

A.當/=2時，/(%)的值域為［0,+s)

B.當/=—3時，“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,1)

C.f取任意實數(shù)時，均有/(%)的圖象關(guān)于直線x=l對稱

D.若/(X)的定義域為全體實數(shù)，則實數(shù)/的取值范圍是。,收)

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,利用配方法整理內(nèi)函數(shù)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；

對于B,令內(nèi)函數(shù)大于零，根據(jù)一元二次不等式解得函數(shù)的定義域，利用二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)

合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；

對于C,判斷“1-x)與/(1+x)的等量關(guān)系，結(jié)合對數(shù)運算，可得答案；

對于D,將問題等價于一元二次不等式恒成立，利用分離參數(shù)與配方法，可得答案.

【詳解】對于A,當.=2時，函數(shù)/'(x)=lg(x2—2x+2)=lg[(x—丁+1],由(x—則

〃力之0,故A正確；

對于B,當/=—3時，函數(shù)/(x)=lg(%2_2x—3),令/_2%_3>0,貝U(x—3)(x+l)>0,解得

%<-1或1>3,

所以函數(shù)“X)的定義域為(t,—l)D(3,+8),

由函數(shù)y=x2-2x-3的對稱軸為直線x=l,則該函數(shù)在-1)上單調(diào)遞減，

由函數(shù)y=lgx在(0,+。)上單調(diào)遞增，則函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為1),故B錯誤；

對于C,由/(I—x)=lg(1-x)2-2(1-^)+?=lg(x2+?-1),

/(l+x)=lg(1+x)2_2(1+x)+=lg(x?+f_1),

?/(l-^)-/(l+%)=lg4±￡4=lgl=0-即〃i)=〃l+x),

X+%—1

所以函數(shù)/(力的圖象關(guān)于直線x=l成軸對稱，故C正確；

對于D,由/(X)的定義域為全體實數(shù)，則必一2%+/>0在R上恒成立，

可得/>—必+2%=—(%—I)?+1,所以，>1,故D正確

故選：ACD.

11.函數(shù)“X)滿足/(%)+/(-%)=2犬J(l+x)—/(l—x)=8x,xeR,則()

A."2)=4B./(3)+/(1)=18

C.y=/(x)—Y為偶函數(shù)D./(x+2)+/(x)>0

【答案】BD

【解析】

【分析】利用賦值法可判斷AB選項；令g(x)=/(x)-利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷C選項；根據(jù)

已知條件推導(dǎo)出/(2+x)—/(—x)=8+8x,再結(jié)合/(x)+/(—x)=2Y以及等式的可加性可判斷D選

項.

【詳解】對于選項A,在等式/(1)+/(—%)=2d中，令尤=0,可得"0)=0,

在等式/(l+x)_/(l—x)=8x中，令1=1,可得〃2)_/(0)=8,則〃2)=/(。)+8=8,故A錯

、口

陜；

對于選項B,在等式/(￡)+/(—%)=2三中，令X=1,可得〃+=①

在等式/(l+x)_/(l—x)=8x中,令x=2,可得〃3)_/(—1)=16,②

①+②可得/(3)+/。)=18,故B正確；

對于選項C,令g(x)=/(x)-X2,其中xeR,貝ijg(x)+g(T)=/(x)+〃-x)-2尤2=。，

即g(-x)=-g(x),所以函數(shù)y=/(x)-X2為奇函數(shù)，故c錯誤；

對于選項D因為/(l+x)-/(l-x)=8x,則

/(2+x)-/[l-(l+x)]=/(2+x)-/(-x)=8(l+x)=8+8x,

又因為/(x)+/(f)=2/，

上述兩個等式相加可得〃2+力+/(力=2尤2+81+8=2(%+2)&0,故D正確.

故選：BD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若不等式依2+3x+b>0的解集為{%|-1<%<4},則。+上=.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集可構(gòu)造方程組求得。力，由此可得結(jié)果.

a<0

u——1

【詳解】?o?+3x+b>0的解集為{阿卜1<%<4},；-=-1+4,解得：<

a5二4'

b

-二—4

、a

:.a+b=3.

故答案：3.

13.函數(shù)丁=40?(。％+夕)14〉0,?！?,0<9<1)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，此函數(shù)的解析式為

57r

12

12

-2

【答案】y=2cosl2%+-^

【解析】

【分析】根據(jù)所給的圖象，可得到4=2,周期的值，進而得到包,根據(jù)函數(shù)的圖象過點可求出0的值，得

到三角函數(shù)的解析式.

T5兀所以7=兀=空=＞刃=2.

【詳解】由圖象可知：A=2,-=—

2co

71TT7L

由2cos2+0=2,且0＜°＜一，可得0=一.

1226

所以y=2cos12x+E).

故答案為：y=2cosl2%+-^

3

14.若尤2+3y2+3盯=4,則%2一5,2的范圍為

【答案】［4—46,4+4逝］

【解析】

【分析】利用三角換元，把問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)有關(guān)的值域問題求解.

3y之+=4n卜+g

【詳解】由V+3xy=4.

3

x+—y=2cos0x=2cos0-2A/3sin0

2

可設(shè)《4

^-y=2sin0r^sine

I2,

所以x?~~y2=4^cos20-273sin0cos0+3sin20j--1x^sin20

=4-4月sin20G14-4石,4+4石］.

故答案為：14-46,4+46］

【點睛】關(guān)鍵點點睛：把f+3產(chǎn)+3孫=4化成+結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系,

x+—y=2cos0

2

設(shè)<,是解決問題的關(guān)鍵.

^-y=2sin0

I2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

x2+2%-3,(%<0)

15.已知函數(shù)/"(%)=<

-2+lux,(x>0)

(1)請畫出函數(shù)/(%)的圖象(需要標出函數(shù)的零點，最值與特殊值等);

(2)求使方程/(X)=左的實數(shù)解個數(shù)分別為1,2,3時，左的相應(yīng)取值范圍.

【答案】(1)作圖見解析

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)即可作出圖象，

(2)利用函數(shù)圖象的交點個數(shù)即可結(jié)合圖象求解.

【小問1詳解】

=

I-2+lnz,(x>0)

當xWO時，/(X)=X2+2X-3=(X+1)2+4,函數(shù)在(一”,—1)上單調(diào)遞減，［—1,0］上單調(diào)遞增,

/⑴1nL〃T)=T，/(O)=-3

當x>0時，/(x)=-2+lnx,函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增.作出了(%)的圖象如圖,

X【小問2詳解】

A)內(nèi)

.鄧

方程/(x)=k的實數(shù)解的個數(shù)等于直線y=左與y=/(X)圖象的交點個數(shù).

.??當實數(shù)解的個數(shù)為1時，k<-4；

當實數(shù)解的個數(shù)為2時，左>—3或左=-4；

當實數(shù)解的個數(shù)為3時，-A<k<-3.

16.求下列各式的值：

81

+(匹)5+

16

(log73+log3)；

log34+log12416

ix+a^3x

(3)已知瞪=3,求“a十”的值.

ciX+.a—x

【答案】(1)5

3

【解析】

【分析】(1)利用指數(shù)幕的運算法則求解即可.

(2)利用對數(shù)的運算法則結(jié)合換底公式求解即可.

(3)利用立方和公式化簡目標式，再結(jié)合給定條件代入求和即可.

【小問1詳解】

——D

原式=+(163)2+1-1

3-333

=-+162+1--=-+4+1--=5.

22

【小問2詳解】

/1、

2

原式=(log322+log3T2)log223+log243,

7

=(21og32—logs2)(fog23+；log23]=log32x；1log23=11.

22

【小問3詳解】

原式:(屋+aI"'-"=+_J+q_2x

ax+ax

因為/'=3,所以故l+a-2、=3—1+'=1

333

713，s】n>=-12兀3兀

17.(1)已知cosa——,aG，匹.求sin(a+/7)的

~~513

值;

(2)求tan200+tan400+也tan200tan40°的值;

1

(3)

sin10°cos10°

56「

【答案】（1）;(2)括；(3)4

65

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式及和角公式求（1）的值；利用兩角和正切公式的變形形式求（2）的值；利用和角公

式和倍角公式求（3）的值.

713-?\兀713713兀71

【詳解】（1）因為COSa彳，所以cosI又ae,所以

~~44*T2

4

所以sina

5

5兀7112,又匹鵬兀

ism=--<：sm^-=-'所以A+片

T4+/?+4139

所以cos(￡+：71)=]

4

71巳卜71兀71

所以sin(a+尸)=sinCC—=sin(a—os(/?+；)+cos]a—；

4444

4531256

二——X-----1——X——二—

51351365

(2)tan20°+tan40°+也tan20°tan40°=tan600(l-tan200-tan40。)+Gtan200tan40°

=G(1-tan20°-tan40°)+tan20°tan40°=季).

2cos10°x--sin10°x

1石coslO?！鷖inlO。2

sin10°cos10°sin10°cos10°

-sin20°

2

4(cosl00xsin300-sin10°xcos300)4sin(30°-10°)

一sin200―sin20°一

18.已知函數(shù)/(x)=acos一+6sinxcosx-2coszx+1的圖象關(guān)于直線x=~^對稱.

(1)求。的值；

(2)若xe0,1，求/(%)的最大值；

7T21

（3）是否存在實數(shù)加滿足對任意％e0,-,存在/e（0,+8）,使/（七）＜2"詔土。成立？若存在，求

加的取值范圍；若不存在，說明理由.

【答案】⑴a=-42

⑵2夜

（3）一了+0°1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)對稱性進行求解即可；

（2）根據(jù)兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、降基公式、輔助角公式化簡函數(shù)解析式，利用整體

法，再結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值，

2,11

（3）將問題轉(zhuǎn)化為2吟+研522應(yīng)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得"2二-一，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最

值即可得解.

【小問1詳解】

因為函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線％=一37r對稱,

8

3兀

所以有/(o)=/

即變。一1=一旦

—3,解得a——.

22

【小問2詳解】

a=-^2時

cos2x+&n2;

/(x)=-V2cos2x~—+6sinxcosx-2cos2x+l=+3sin2x-(2cos2x-1)

I4j2

7

=2sin2x-2cos2x=2A/2sinI2x——\,

4

兀71713兀

當xe0,—時，則2%——G

244T

所以當2尸+｝即x=?時，

/(x)取得最大值，最大值為2忘.

【小問3詳解】

71

由(2)知：當工￡0,—時，/(%)最大值為2血.

712*

+巧+萬

若存在m滿足對任意玉￡0,—,存在x2G(0,+oo)，使成立,

21013、11

則2，%+小532夜,BP^2+%2+->-,所以加之至一丁.

11Ai11111

因為節(jié)----=-------，所以當％2=2時，—取得最小值一二，

￥x2(犬22)4%2%24

所以〃則〃z的取值范圍為-[,+e].

19.對于函數(shù)y=/(%),如果對于其定義域。內(nèi)任意給定的實數(shù)x,都有-xwO,并且

/(%)-/(-%)=1,就稱函數(shù)丫=y(x)為函數(shù)”.

2—Y

(1)已知g(x)=------，判斷y=g(%)是不是Af函數(shù)，并說明理由；

乙?人

1

⑵若〃龍)是定義在R上的M函數(shù)，當尤<0時，/(x)=4,方程/(￡)=2025是否有整數(shù)