專題03平面直角坐標系與函數

目錄

01理?思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。

02盤.基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（4大模塊知識梳理）

知識模塊一：平面直角坐標系知識模塊二:點的坐標特征與變換

知識模塊三：坐標方法的簡單應用知識模塊四：函數

03究?考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（9大考點）

考點一；用有序數對表示位置考點二：實際問題中用坐標表示位置

考點三：判斷點所在的象限考點四：直角坐標系中點的坐標

考點五：點坐標規律探索考點六：點的坐標變換

考點七：自變量和函數值考點八：函數解析式

考法九：函數圖象

04辨易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（3大易錯點）

易錯點1：函數圖像中的動點問題

易錯點2：平面直角坐標系中的面積問題

易錯點3：函數圖像中的動點問題

思維。吩

基琳如說

知識模塊一：平面直角坐標系

有序數對概念：

有順序的兩個數。與b組成的數對，叫做有序數對，記作（a,b）.

相關概念具體內容

定義在平面內畫兩條互相垂直并且原點重合的數軸，這樣就建立了平面直角坐標系.

平水平的數軸叫做X軸或橫軸，通常取向右方向為正方向；

兩軸

面

豎直的數軸叫做y軸或縱軸，通常取向上方向為正方向.（見圖一）

直

角

原點兩坐標軸交點為平面直角坐標系原點.

坐

標坐標平面坐標系所在的平面叫做坐標平面.

系

X軸和y軸把平面直角坐標系分成四部分，每個部分稱為象限.

象限

按逆時針順序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（見圖一）

對于坐標軸內任意一點A,過點A分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上的對應

點的坐標

的數6分別叫做點A的橫坐標和縱坐標，有序數對A0,切叫做點A的坐標，記作

A（a,b）.（見圖二）

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川

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知識模塊二:點的坐標特征與變換

知識點一：點的坐標特征

第一象限x>0,y>0

第二象限x<0,y>0

在象限內

第三象限x<0,y<0

第四象限x>0,y<0

X軸y=0

坐標軸上

y軸x=0

點P（X,y）

x=y二0

的位置原點

在角平分線上第一、三象限x二y

第二、四象限x=-y

平行X軸所有點的縱坐標相等

在平行坐標軸的直線上

平行y軸所有點的橫坐標相等

知識點二：點的坐標變化

變換方式具體變換過程變換后的坐標

向左平移a個單位(x-a,y)

向右平移a個單位(x+q,y)

平移變換

向上平移a個單位(x,y+a)

向下平移a個單位(x,y-a)

簡單記為“點的平移右加左減,上加下減”

點p(x,y)

關于X軸對稱(x，-y)

關于y軸對稱Jx,y)

對稱變換

關于原點對稱-y)

簡單記為“關于誰對稱誰不變,關于原點對稱都改變”

關于x=m對稱(2m-x,y)

關于y=n對稱(x,2n-y)

繞原點順時針旋轉90。(y>-x)

繞原點順時針旋轉180°(-X，-y)

旋轉變換

繞原點逆時針旋轉90。X）

繞原點逆時針旋轉180°(-X,-y)

知識點三：點到坐標軸的距離

在平面直角坐標系中，已知點氣見6），則

1）點P至應軸的距離為|b|；

2）點P至Uy軸的距離為⑷；

3）點P到原點0的距離為P=y/a2+b2.

知識點四：坐標系內點與點之間的距離

22

點M（xi,yD與點N（xz,y2）之間的直線距離（線段長度）：|MN|=、-xj+（y2-yj

若AB〃x軸，則的距離為％-xB|；

若AB〃y軸，則/（%,%!）,8（%,坊）的距離為M-y^h

知識模塊三：坐標方法的簡單應用

用坐標表示地理位置的方法

1）選擇一個適當的參照點為原點建立直角坐標系，并確定X軸、y軸的正方向；

2）根據具體問題確定適當的比例尺，在坐標軸上標出長度單位；

3）坐標平面內畫出這些點，并寫出各點的坐標和各個地點的名稱.

知識模塊四：函數

知識點一：函數的相關概念

變量：在一個變化過程中，數值發生變化的量稱為變量.

常量：在一個變化過程中，數值始終不變的量稱為常量.

函數的定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y,并且對于x的每一個確定的值，y都

有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數.

函數的取值范圍：使函數有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍.

確定函數取值范圍的方法：1）函數解析式為整式時，字母取值范圍為全體實數；

2）函數解析式含有分式時，分式的分母不能為零；

3）函數解析式含有二次根式時，被開方數大于等于零；

4）函數解析式中含有指數為零的式子時，底數不能為零；

5）實際問題中函數取值范圍要和實際情況相符合，使之有意義.

函數值概念：如果在自變量取值范圍內給定一個值a,函數對應的值為b,那么b叫做當自變量取值為a

時的函數值.

函數解析式：用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式.

函數圖像上點的坐標與解析式之間的關系：

1）將點的坐標代入到解析式中，如解析式兩邊成立，則點在解析式上，反之，不在.

2）兩個函數圖形交點的坐標就是這兩個解析式所組成的方程組的解.

知識點二：函數的三種表示法及其優缺點

解析法：兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示

法叫做解析法.

列表法：把自變量X的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法.

圖像法：用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法.

優點缺點

解析法準確反映整個變化過程中自變量與函數的關系求對應值是要經過比較復雜的計算，而且實

際問題中有的函數值不一定能用解析式表示

列表法自變量和與它對應的函數值數據一目了然所列對應數值個數有限，不容易看出自變量

與函數值的對應關系，有局限性

圖像法形象的把自變量和函數值的關系表示出來圖像中只能得到近似的數量關系

費考逝者法

考點一：用有序數對表示位置

【典例1】（2024?湖北宜昌?模擬預測）電影院中的第。排匕號位，簡記為（〃/）,那么（"。）（）

A.表示（。+6）排a號

B.表示第6排。號位

C.表示6排或。號

D.與（。,6）不可能代表同一個位置

【典例2】（2024.甘肅.中考真題）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術瑰寶，其中敦煌《算經》中出現的

《田積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準確地查出邊長10步到60

步的矩形田地面積，極大地提高了農田面積的測量效率.如圖2是復原的部分《田積表》，表中對田地的

長和寬都用步來表示，A區域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數對記為（15,16）,那

么有序數對記為（12,17）對應的田地面積為（）

mi

A.一畝八十步B.一畝二十步C.半畝七十八步D.半畝八十四步

【典例3】（2024?河北邯鄲?模擬預測）如圖所示為雷達在一次探測中發現的三個目標，其中目標4,8的位

置分別表示為（120。,4）,（240。,3）,按照此方法可以將目標C的位置表示為（）

A.（30°,1）B.（210°,5）C.（30°,5）D.（60°,2）

【典例4】（2024?江蘇鹽城?三模）小民和小澤兩姐弟拿著如圖的密碼表玩聽聲音猜漢字的游戲，若聽到“咚

咚一咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“kuo”，則聽到“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表

示的漢字可能為（）

4rkwbe

3thgiI

2adyuj

1ocnfX

12345

A.漢B.華C.鹽D.音

考點二：實際問題中用坐標表示位置

【典例1】（2024.廣西南寧.二模）中國陽明文化園部分平面圖如圖所示，若用（0,0）表示王陽明紀念館的位

置，用（L-3）表示游客接待中心的位置，則南門的位置可表示為（）

3

2

1王朋陽紀念館

A

-5-4-3-2：-1~0：；：X

1234_5?__

-2

□前正3露鬟福麻心

：：：-41111

--1-5

A.(-2,-3)B.(2,-3)C.(-3,-2)D.(-3,2)

【典例2】（2024?貴州?模擬預測）“在生活的舞臺上，我們都是不屈不撓的拳擊手，面對無盡的挑戰，揮灑

汗水，拼搏向前！”今年的春節檔《熱辣滾燙》展現了角色堅韌不拔的精神面貌，小星、小紅兩人也觀看了

此電影.如圖是利用平面直角坐標系畫出的影院內分布圖，若分別以正東、正北方向為尤軸、y軸的正方向，

建立平面直角坐標系xQy,他們這樣描述自己的座位：①小星：表示我座位的坐標為（-2,3）；②小紅：在小

星的座位向右走4個座位，再向上走2個座位,就可以找到我了，則表示小紅座位的坐標為

北

—?東

【典例3】（2024.貴州.模擬預測）如圖，小星從點。出發，先向西走400m,再向南走300m到達點Af,如

果點M的位置用（口-3）表示，那么（1,2）表示的位置是點—.

【典例4】（2024?山西朔州.模擬預測）我國水墨畫發展有著悠遠歷史，相傳始于唐代，成于五代，盛于宋

元，明清及近代以來續有發展，重于意境優美，圖為水墨畫“早有蜻蜓立上頭”，若將其放在平面直角坐標系

中，點A（2,-l）,則點C坐標為

A

【典例5】（2024.四川?中考真題）如圖，在一個平面區域內，一臺雷達探測器測得在點A,B,C處有目標

出現.按某種規則，點4B的位置可以分別表示為（1,90°）,（2,240。），則點C的位置可以表示為

【典例6】（2024?貴州六盤水?一模）如圖，小黔與小紅在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋盤

坐標的。，-2）上，則小紅下的白色第三子的棋盤坐標是

小紅下的第三子

考點三：判斷點所在的象限

【典例1】（2024.貴州.中考真題）為培養青少年的科學態度和科學思維，某校創建了“科技創新”社團.小

紅將“科”“技，，“創”“新”寫在如圖所示的方格紙中，若建立平面直角坐標系，使“創，，“新”的坐標分別為（-2,0）,

（0,0）,貝『'技”所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【典例2】（2024?福建福州?模擬預測）己知一次函數y=（〃L3）x+〃+3的圖象如圖所示，則點尸（根-％2〃）

所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【典例3】（2024?黑龍江齊齊哈爾.中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，以點。為圓心，適當長為半徑

畫弧，交無軸正半軸于點交y軸正半軸于點N,再分別以點N為圓心，大于;的長為半徑畫弧，

兩弧在第一象限交于點H,畫射線OH,若"（2a-l,a+1）,貝ija=.

【典例4】（2024?山東臨沂?模擬預測）已知a+b<0,ab>0,則在如圖所示的平面直角坐標系中，小手蓋

住的點的坐標可能是（）

A.（a,b）B.（一〃力）C.（一。,一5）D.一5）

【典例5】（2024.內蒙古呼倫貝爾?中考真題）點P（x,y）在直線y=-；x+4上，坐標（x,y）是二元一次方程

5x-6y=33的解，則點尸的位置在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【典例6】（2024.四川雅安?模擬預測）在平面直角坐標系中有五個點，分別是

4（1,2）,3（-3,4）,C（-2,-3）,。（4,3）,E（2,-3）從中任選一個點恰好在第二象限的概率是.

【典例7】（2024?湖南?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x,y）,若x,y均為整數，則稱點P

為“整點”.特別地，當!（其中孫力。）的值為整數時，稱“整點”尸為“超整點”，已知點「（2。-4,。+3）在第

二象限，下列說法正確的是（）

A..。v—3

B.若點尸為“整點”，則點P的個數為3個

C.若點尸為“超整點”，則點P的個數為1個

D.若點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的距離之和大于10

【典例8】（2024.甘肅.模擬預測）從小到大的三個整數：-1,2,3,從中隨機抽取一個數作為點尸的橫坐

標，在余下的兩個數中隨機抽取一個數作為點尸的縱坐標.

（1）請用畫樹狀圖或列表的方法寫出點P所有可能的坐標.

（2）在所有可能的點P中，求點尸落在第二象限的概率.

考點四：直角坐標系中點的坐標

【典例1】（2024?貴州貴陽?一模）中國象棋趣味濃厚，基本規則簡明易懂，而棋子活動的場所，叫作“棋盤”.觀

察如圖所示象棋盤，以“炮”為原點，分別以正東、正北方向為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，請

寫出“，焉”的坐標是________.

【典例2】（2024?遼寧錦州.模擬預測）已知a,方都是實數，設點P（a,6）,若滿足3a=26+5,則稱點P

為“新奇點”.若點而+2）是，新奇點”，則M的坐標為.

【典例3】（2024?四川廣元.中考真題）若點。（x,y）滿足‘+'=」，則稱點。為“美好點”，寫出一個“美好

xyxy

點”的坐標.

【典例4】（2024?湖南岳陽?模擬預測）如圖1所示，該幾何體為長方體，記作長方體ABCD-A^QD,,

如圖2所示，以頂點4為原點。，分別以棱4月，42，AA所在的直線為X軸、y軸、Z軸，建成的坐

標系稱為立體坐標系（亦稱三維坐標系）。-孫Z,立體空間中點的位置由三個有序的實數確定，記作（x,y,z）,

稱為該點的坐標.若長方體的長寬高分別為44=3,4。=2,44=1,我們知道，在平面直角坐標系O-W

中，點G的坐標為（3,2）,由點G豎直向上平移1個單位可得到點C,所以點C在立體坐標系中的坐標記

為C（3,2,l）,由此可知點。和點B的坐標分別記為0（0,0,0）,3（3,0,1）.照此方法，請你確定點D在立

體坐標系中的坐標為（）

C.(0,2,1)D.(1,2,1)

【典例5】（2024?寧夏銀川?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點A（2,3）,點2在x軸的正半軸上，

且。4=AB,將△OAB沿x軸向右平移得到ECD,AB與CE交于點F.若CF：EF=3:1,則點Z）的坐標

【典例6】（2024?四川樂山?模擬預測）如圖所示，矩形。4BC中，Q4=6,OC=4,NCOx=60。，則點8的

坐標為（）.

B.卜2+3班,2+3指)

C.^—2+5/3,2+A/3jD.(2-3?2+3@

考點五：點坐標規律探索

【典例1】（2024?湖北?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，將點P（l，3）繞點A（2,0）順時針旋轉90。后得

到點片，再將點片繞點A順時針旋轉90。后得到乙，再將點鳥繞點A順時針旋轉90。后得到乙，依此類推,

則心。23的坐標是（）

勺.3)

P*,

r疝

.p、

A.(5,1)B.(3,-3)C.(-L-1)D.(1,3)

【典例2】（2024?廣東惠州?模擬預測）如圖，在單位長度為1米的平面直角坐標系中，曲線是由半徑為2

2

米，圓心角為120。的弧多次復制并首尾連接而成.現有一點尸從A（A為坐標原點）出發，以每秒§萬

米的速度沿曲線向右運動，則在第2024秒時點尸的縱坐標為（）

【典例3】（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OMAP頂點M的坐標

為（3,0）,△OAB是等邊三角形，點8坐標是（1,0）,△Q4B在正方形OMNP內部緊靠正方形OMNP的邊（方

向為OTM—NTP—OTMT）做無滑動滾動，第一次滾動后，點A的對應點記為A，A的坐標是

（2,0）；第二次滾動后，A的對應點記為4，4的坐標是（2,0）；第三次滾動后，4的對應點記為4，4的

坐標是3-^-,-；如此下去，……，則4必的坐標是.

【典例4].（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知A（L-石），A（3,-73）,4（4,0）,4（6,0）,4口網,

4（9,⑹,4（10,0）,a（u,-⑹…,依此規律，則點&）24的坐標為.

【典例5】（2024?黑龍江齊齊哈爾?模擬預測）在平面直角坐標系中，點4、4、4、4…在無軸的正半軸

上，點耳、與、B3…在直線、=#.尤20）上.若點A的坐標為（2,0）,且AAS出、△&與4、△&用4…

均為等邊三角形.則點不口的縱坐標為.

【典例6】（2024?寧夏銀川?二模）如圖，2&一出“（W為正整數）均為

等邊三角形，它們的邊長依次是2,4,6,…，2n,頂點4,4,A?,4“均在y軸上，點。是所有等邊三角

形的中心，點A?的坐標為.

【典例7】（2024河北?中考真題）平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數，且橫、縱坐標之和大

于。的點稱為“和點將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數（當

余數為0時，向右平移；當余數為1時，向上平移；當余數為2時，向左平移），每次平移1個單位長度.

例：“和點”尸（2,1）按上述規則連續平移3次后，到達點6（2,2）,其平移過程如下：

,、右，、上，、左

P(2.1)-----?4(3,1)一?鳥(3.2)-----?P,(2.2)

若“和點”。按上述規則連續平移16次后，到達點。6（-1，9），則點0的坐標為（）

A.（6,1）或（7,1）B.（15,—7）或（8,0）C.（6,0）或（8,0）D.（5,1）或（7,1）

【典例8】（2024.全國.模擬預測）觀察規律±=1-;,7r運用你觀察到的規律

1x222x3233x434

解決以下問題：如圖，分別過點匕（〃,。）（〃=1、2、）作工軸的垂線，交丁=加（〃＞。）的圖象于點4,交直線

111

丁二一衣于點3〃.貝++…+------的值為（）

444不

202220232025a2024

2023。2024。20242025。

考點六：點的坐標變換

【典例1】（2024?山東淄博?中考真題）如圖，已知A,B兩點的坐標分別為A（-3,1）,3（-1,3）,將線段AB

平移得到線段CD.若點A的對應點是C（l,2）,則點B的對應點。的坐標是.

【典例2】（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，在直角坐標系中，等邊三角形ABC的頂點A的坐標為（0,4）,

點民C均在無軸上.將VABC繞頂點A逆時針旋轉30。得到△AB'C,則點C的坐標為.

【典例3】（2024?遼寧撫順?一模）如圖，平面直角坐標系內，小正方形網格的邊長為1個單位長度，VABC

（1）畫出7ABC關于原點。的中心對稱圖形△A4cl.

⑵將一DEF繞點、E順時針旋轉90。得到△。田片，畫出.

（3）若.3EF由VABC繞著某點旋轉得到的，則這點的坐標為

【典例4】（2024?廣西柳州.三模）如圖，VABC的頂點坐標分別是4（3,6）、3（1,3）、C（4,2）,

(1汝口果將VABC沿龍軸翻折得到44瓦G,寫出瓦G的三個頂點坐標;

(2)如果將耳G繞點G按逆時針方向旋轉90。得到.

【典例5】(2024?江蘇常州?中考真題)對于平面內有公共點的兩個圖形，若將其中一個圖形沿著某個方向

移動一定的距離d后與另一個圖形重合，則稱這兩個圖形存在“平移關聯”，其中一個圖形叫做另一個圖形的

“平移關聯圖形”.

IIIII

ABCDE

圖1

(1)如圖1,B、C、。是線段AE的四等分點.若A￡=4,則在圖中，線段AC的“平移關聯圖形''是

d=(寫出符合條件的一種情況即可)；

(2)如圖2,等邊三角形ABC的邊長是2.用直尺和圓規作出VABC的一個“平移關聯圖形”，且滿足d=2(保

留作圖痕跡，不要求寫作法)；

(3)如圖3,在平面直角坐標系x0y中，點。、E、G的坐標分別是(-1,0)、。，0)、(0,4),以點G為圓心，「

為半徑畫圓.若對：G上的任意點尸，連接小、EF、ED所形成的圖形都存在“平移關聯圖形”，且滿足d23,

直接寫出「的取值范圍.

考點七：自變量和函數值

【典例1】（2024?山東東營?中考真題）在彈性限度內，彈簧的長度y（cm）是所掛物體質量x（kg）的一次函數.一

根彈簧不掛物體時長12.5cm,當所掛物體的質量為2kg時，彈簧長13.5cm.當所掛物體的質量為5kg時,

彈簧的長度為cm,

【典例2】（2024?湖南婁底?模擬預測）y與尤之間的函數關系可記為y=f（x）.例如：函數y=Y可記為

f（x）=x2.若對于自變量取值范圍內的任意一個x,都有/（—）=/（久），則〃尤）是偶函數；若對于自變量

取值范圍內的任意一個無，都有f（r）=一/⑺，則“力是奇函數.例如：/（尤）=/是偶函數，/（力=%是

奇函數.已知函數Ax）是奇函數，當x＞0時，/。）=5/+1,那么/（-4）=

【典例3】（2024.黑龍江齊齊哈爾?中考真題）在函數y=7|三+占中，自變量x的取值范圍是

【典例4】（2024?江西宜春?模擬預測）閱讀下面的材料:

如果函數y=/（x）滿足：對于自變量x的取值范圍內的任意4，%,若不＜%，都有/4）＜〃■，則稱

是增函數；若無］＜々，都有〃%）＞〃馬），則稱〃x）是減函數.

例題：證明函數/（無）=2%＞0）是減函數.

X

證明：設。＜玉＜%2，

“A1A〃》,）=g_9=6%6%=6（尤2一百）.

XX

玉X2王％2\2

0＜%!＜x2,/.x2-＞0,^x2＞0.6（%：）＞0.gp

.?.函數”無）=?（x＞0）是減函數.

根據以上材料，解答下面的問題：

已知函數/（x）=4+x（尤＜0）

X

（1）計算：/（一3）=,/（T）=；

（2）猜想：函數+元（尤＜0）是_________函數（填“增”或“減”）；

（3）請仿照例題證明你的猜想.

【典例5】（2024?陜西咸陽?模擬預測）周末，愛好騎行的許一一同學和爸爸從家出發，騎行去渭河運動公

園鍛煉.許一一先出發，并且勻速騎行完全程，爸爸隨后出發并且出發一段時間后速度提高為原來的2倍.如

圖所示是許一一和爸爸騎行離家的距離s（米）與許一一騎行時間f（分）之間的函數圖象，根據圖象解答

下列問題：

（2）求爸爸騎行過程中8C段對應的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍.

（3）求許一一出發多長時間后爸爸追上她.

【典例6】（2024.北京?中考真題）小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯），在科技活動中，小云用所學數

學知識和人工智能軟件設計了一個新水杯，并將其制作出來，新水杯（記為2號杯）示意圖如下,

■

當1號杯和2號杯中都有VmL水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度用（單位：cm）和2號杯的水面高

度外（單位：cm）,部分數據如下：

V/mL040100200300400500

%/cm02.55.07.510.012.5

h21cm02.84.87.28.910.511.8

（1）補全表格（結果保留小數點后一位）；

（2）通過分析數據，發現可以用函數刻畫4與V,外與V之間的關系.在給出的平面直角坐標系中，畫出這兩

個函數的圖象；

Ah/cm

O1QOJ2QOJ.3QQ.：4OOJ.5QO：.L

（3）根據以上數據與函數圖象，解決下列問題:

①當1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為cm

（結果保留小數點后一位）；

②在①的條件下，將2號杯中的一都分水倒入1號杯中，當兩個水杯的水面高度相同時，其水面高度約為

cm（結果保留小數點后一位）.

考點八：函數解析式

【典例1】（2024?海南?中考真題）設直角三角形中一個銳角為x度（0<x<90）,另一個銳角為y度，則

y與x的函數關系式為（）

A.y=180+xB.y=180-%C.y=90+xD.y=90-尤

【典例2】（2024?山西?模擬預測）某樹苗的初始高度為50cm,如圖，這是該樹苗的高度與生長的月數的有

關數據示意圖，假設以后一段時間內，該樹苗高度的變化與月數保持此關系，則該樹苗的高度，（cm）與生

長月數x之間的函數關系式為（）

50cm60cm70cm80cm

里始生長l個月生長2個月生長3個月

A.y=50+5(%—1)B.y=50+5%c.y=50+10(%-1)D.y=50+10x

【典例3】（2024?廣西?中考真題）激光測距儀L發出的激光束以3義1。5km/s的速度射向目標附后測距

儀工收到M反射回的激光束.則乙到M的距離曲〃與時間ts的關系式為（）

A.d=^^-tB.d=3xlO"C.rf=2x3xl05rD.J=3xlO6Z

2

【典例4】（2024.甘肅.中考真題）如圖1,“燕幾”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進士黃伯思

設計.全套“燕幾”一共有七張桌子，包括兩張長桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都相等.七張桌面

分開可組合成不同的圖形.如圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方式，若設每張桌面的寬為

x尺，長桌的長為y尺，則y與尤的關系可以表示為（）

F回文

圓

1周

圖I圖2

A.y=3xB.y=4xC.y=3x+1D.y=4x+l

【典例5】（2024四川綿陽.三模）某茶葉銷售商計劃將120罐茶葉按甲、乙兩種禮品盒包裝出售，其中甲

種禮品盒每盒裝4罐，每盒售價240元；乙種禮品盒每盒裝6罐，每盒售價300元，恰好全部裝完.已知

每罐茶葉的成本價為30元，設甲種禮品盒的數量為x盒，乙種禮品盒的數量為>盒.

（1）求y關于x的函數關系式；

（2）若120罐茶葉全部售出后的總利潤不低于3000元，則甲種禮品盒的數量至少要多少盒？

【典例6】（2024?廣東深圳?中考真題）

【繽紛618,優惠送大家】

今年618各大電商平臺促銷火熱，線下購物中心也亮出大招，年中大促進入“白熱化”.深圳各大購物

中心早在5月就開始推出618活動，進入6月更是持續加碼，如圖，某商場為迎接即將到來的618優

惠節，采購了若干輛購物車.

0.2m

素如圖為某商場疊放的購物車，右圖為購物車疊放在一起的示意圖，若

材一輛購物車車身長1m,每增加一輛購物車，車身增加0.2m.

ooooooooo

問題解決

任

務若某商場采購了"輛購物車，求車身總長L與購物車輛數〃的表達式;

1

任

若該商場用直立電梯從一樓運輸該批購物車到二樓，已知該商場的直立電梯長為2.6m,且一次可以

分幺

運輸兩列購物車，求直立電梯一次性最多可以運輸多少輛購物車？

2

任

若該商場扶手電梯一次性可以運輸24輛購物車，若要運輸100輛購物車，且最多只能使用電梯5次，

務

求：共有多少種運輸方案？

3

考法九：函數圖象

【典例1]（2024.江西?中考真題）將常溫中的溫度計插入一杯60℃的熱水（恒溫）中，溫度計的讀數》（℃）

與時間x（min）的關系用圖象可近似表示為（）

【典例2】（2024?江蘇徐州?中考真題）小明的速度與時間的函數關系如圖所示，下列情境與之較為相符的

A.小明坐在門口，然后跑去看鄰居家的小狗，隨后坐著逗小狗玩

B.小明攀巖至高處，然后順著桿子滑下來，隨后躺在沙地上休息

C.小明跑去接電話，然后坐下來電話聊天，隨后步行至另一個房間

D.小明步行去朋友家，敲門發現朋友不在家，隨后步行回家

【典例3】（2024?山東煙臺?中考真題）如圖，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm,5C=8cm,菱形EFGH

的頂點E,G在同一水平線上，點G與A3的中點重合，EF=2>/3cm,ZE=60°,現將菱形EFG8以1cm/s

的速度沿8C方向勻速運動，當點E運動到上時停止，在這個運動過程中，菱形EFGH與矩形重

疊部分的面積S（cn?）與運動時間r（s）之間的函數關系圖象大致是（）

【典例4】（2024.江蘇鎮江?中考真題）甲、乙兩車出發前油箱里都有40L油，油箱剩余油量丁（單位：L）

關于行駛路程x（單位：百公里）的函數圖像分別如圖所示，已知甲車每百公里平均耗油量比乙車每百公里

平均耗油量少2L,則下列關系正確的是（）

mmmm16202016

【典例5】（2024?山東淄博?中考真題）某日，甲、乙兩人相約在一條筆直的健身道路上鍛煉.兩人都從A地

勻速出發，甲健步走向B地.途中偶遇一位朋友，駐足交流1。min后，繼續以原速步行前進；乙因故比甲晚

出發30min,跑步到達8地后立刻以原速返回，在返回途中與甲第二次相遇.下圖表示甲、乙兩人之間的距

離y（m）與甲出發的時間x（min）之間的函數關系.（）

那么以下結論：

①甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為20min；

②甲出發86min時，甲、乙兩人之間的距離達到最大值3600m；

③甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后lOOmin；

@A,8兩地之間的距離是11200m.

其中正確的結論有：

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【典例6】（2024.甘肅蘭州.中考真題）甲，乙兩人在相同條件下各射擊10次，兩人的成績（單位：環）如

圖所示，現有以下三個推斷：

①甲的成績更穩定；

②乙的平均成績更高；

③每人再射擊一次，乙的成績一定比甲高.其中正確的是.（填序號）

【典例7】（2024?四川資陽?中考真題）小王前往距家2000米的公司參會，先以%（米/分）的速度步行一

段時間后，再改騎共享單車直達會議地點，到達時距會議開始還有14分鐘，小王距家的路程5（單位：米）

與距家的時間單位：分鐘）之間的函數圖象如圖所示.若小王全程以%（米/分）的速度步行，則他到達

時距會議開始還有分鐘.

易錯點1:坐標規律探究

ri.解決與點坐標變化有關的規律問題一般方法：

II

1）若點的坐標在坐標軸上或象限內循環（周期）變化時，先求出第一個循環周期內相關點的坐標，然后找出

所求點經過循環后位于第一個循環周期內的哪個位置，從而求出坐標；

ii

；2）點的坐標是成倍遞推變化時，先求出前幾個點的坐標，然后歸納出后一個點坐標與前一個點坐標之間存;

在的規律.

2.解決與點坐標變化有關的規律問題的注意事項：

1）求什么找什么的規律；

2）變化規律最好用算式而不是得數表示；

3）找算式中數字與序號間的變化規律；

4）找坐標的變化規律，分兩步進行：先找位置規律再找數字規律（點的坐標題型首先用這一條）.

【典例1】（2024.黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，數學活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發現了

如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標系中，點O的坐標為（0,0），點B的坐標

為（1,0）,點C在第一象限，NO8C=120。.將△03C沿尤軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與無軸

重合，第一次滾動后，點。的對應點為O',點C的對應點為C\OC與的交點為4,稱點A為第一個

“花朵”的花心，點4為第二個“花朵”的花心；……；按此規律，△03C滾動2024次后停止滾動，則最后一

個“花朵”的花心的坐標為.

【典例2】（2024?四川廣安?中考真題）已知，直線/：y=Ylx一正與x軸相交于點4，以。4為邊作等邊

33

三角形OA4,點片在第一象限內，過點用作X軸的平行線與直線/交于點為，與y軸交于點C-以G4為

邊作等邊三角形GAB?（點在點耳的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形GA4,等邊三角形

c3A4區-，則點的橫坐標為.

【典例3】（2024?山東?中考真題）任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將

該數除以2.反復進行上述兩種運算，經過有限次運算后，必進入循環圈這就是“冰雹猜想”.在

平面直角坐標系xOy中，將點（x,y）中的x,y分別按照“冰雹猜想”同步進行運算得到新的點的橫、縱坐標，

其中X,y均為正整數.例如，點（6,3）經過第1次運算得到點（3,10）,經過第2次運算得到點（10,5）,以此

類推.則點（1,4）經過2024次運算后得到點.

【典例4】（2024?廣東韶關.模擬預測）如圖，一個機器人從點。出發，向正西方向走2m到達點4；再向正

北方向走4m到達點&；再向正東方向走6m到達點再向正南方向走8m到達點4;再向正西方向走10m

到達點A;…，按如此規律走下去，當機器人走到點&必時，點兒必的坐標為

易錯點2：平面直角坐標系中的面積問題

在平面直角坐標系中，解決與面積有關的問題時,要會求出點到坐標軸的距離.在求面積時,要會應用轉化方

法，將圖形補成規則的圖形或將圖形分割成規則的圖形進行求解.

在求幾何圖形面積時，線段的長度往往通過計算某些點橫坐標之差的絕對值，或縱坐標之差的絕對值去實

現.（橫坐標相減時最好用右邊的數減左邊的數，縱坐標相減時用上邊的數減下邊的數，這樣所得結果就是邊

或高的長度，就不用絕對值符號了）.

【典例1】（2024.江蘇無錫?三模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知4（9,0）,C（0,6）,四邊形QA5c是

矩形，過點C的動直線I與x軸交于點M,將/XCOM沿直線I翻折，使點。的對應點。，落在矩形OABC內，

當。與VABC一端點的連線所在直線能將VABC