微專題31三種方法求陰影部分面積

一階方法訓練

方法解讀

1.公式法

所求陰影部分的面積是規則圖形，例如三角形、特殊四邊形、扇形時，直接用面

積公式計算.

BC

S陰影=S正方形ABC。

S陰影=S扇形MEN

方法一公式法[6年2考：2023.15>22(2)②，2022.15]

例1如圖，在口A5CD中，5。=8,點E在邊上，連接5E,CE,若點4到

直線的距離為4,則圖中陰影部分的面積為.

變式1如圖，在矩形中，AB=2,BC=V3,以點5為圓心，5A長為半

徑畫弧，交CD于點E,連接5E,則扇形A5E的面積為.

第1頁共13頁

變式1題圖

變式2如圖，在△人5。中，AB=AC,ZC=30°,AC=4,以AB為直徑的

交BC于點D,連接0。，則圖中陰影部分的面積為，

變式2題圖

方法解讀

2.和差法

(1)直接和差法

所求不規則陰影部分的面積若可以看成幾個規則圖形，則面積直接相加減.

S陰影=_5AAEF—5ABCE—5ACDF

S陰影=§△ABC-S扇形CAO

⑵構造和差法

所求不規則陰影部分的面積需要添加輔助線構造規則圖形，然后進行相加減.

第2頁共13頁

S陰影=§△OBO+S扇形OOC

S陰影=S\ABC-S&BOD-S扇形。0c

方法二和差法[6年2考:2021.13,2019.22(2)]

一、直接和差法

例2如圖，在矩形中，AB=6,BC=8,點、E,尸分別在邊A5,AD±,

連接CE,CF,EF.若AE=2BE,AF=DF,則圖中陰影部分的面積為.

例2題圖

變式3如圖，△A5C內接于連接。4,OB,若04=10,ZACB=45

則圖中陰影部分的面積為.

變式3題圖

第3頁共13頁

變式4如圖，四邊形495。是邊長為1的正方形，以0為圓心的力交04的延

長線于點。，則圖中陰影部分的面積等于

變式4題圖

二、構造和差法

例3如圖，四邊形A5C。，CE/G均為正方形，點。在CE上，其中正方形A5CQ

的面積為16cm2,正方形C"G的面積為36cm2,則圖中陰影部分的面積為.

cm7z.

變式5如圖，A5為。。的直徑，6。與相切，連接AC,與交于點

o0的半徑為2.若點D是a的中點，則圖中陰影部分的面積為

C

變式5題圖

變式6如圖，在矩形中，AB=4,fiC=4V2,以點5為圓心，分別以A5,

的長為半徑畫弧，與BC,分別交于點E,F,則圖中陰影部分的面積

為

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變式6題圖

方法解讀

3.等積轉化法

所求陰影部分的面積無法直接計算時，可利用等積轉化法將所求陰影部分的面積

轉化為規則圖形的面積或規則圖形面積的和差.

(1)直接等面積轉化(A5〃CD)

S陰影ABC

(2)全等轉化

D

S陰影=&AOB(DABCD)

A

s陰影=&ACD(。為A5的中點)

方法三等積轉化法

例4如圖，在口中，點E在邊上，連接5E,CE,若S°ABCD=20,則

圖中陰影部分的面積為

第5頁共13頁

例4題圖

變式7如圖，已知點C,。是以A3為直徑的半圓0的三等分點，長的長為壬

則圖中陰影部分的面積為.

變式7題圖

變式8如圖，A5為。。的直徑，5。與。0相切，連接AC,與。。交于點。,

。。的半徑為2,若NC=45°,則圖中陰影部分的面積為.

變式8題圖

二階綜合應用

1.如圖，A5是。。的直徑，0C=6,ZBAC=40°,則圖中陰影部分的面積

為，

第1題圖

2.如圖，E,尸分別是矩形A5co的邊ABCD上的一點，連接。E,4尸交于

點尸，連接CE,BF交于點Q,若四邊形E尸尸。的面積為15,則圖中陰影部分的

面積為.

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3.如圖，在矩形A5CD中，BC=4,CD=2,以AZ）為直徑的半圓。與相切

于點E,連接5。，則圖中陰影部分的面積為.（結果保留九）

4.如圖，將邊長為舊的正方形繞點5逆時針旋轉30°,得到正方形

A3CZ/,點4,C,。分別對應點4,C,D',則圖中陰影部分的面積為.

第4題圖

5.如圖，在正方形A5CD中，AB=4,點E,尸分別是A。，5。的中點，分別以

點A,5為圓心，AE長為半徑作弧，兩弧交A5于點G,以E/為直徑在E尸的

右側作半圓，則圖中陰影部分的面積為.

6.如圖，E為正方形A5co內的一點，BELCE,CE=巾,則圖中陰影部分的

面積為.

第6題圖

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7.如圖，在矩形A5CD中，AB=6,BC=10,點、E,尸在邊上，點G,H

分別是A5,CD的中點，G尸和EH交于點V,若石尸=%。，則圖中陰影部分的

面積為

AEFD

R

第7題圖

第8頁共13頁

一階方法訓練

例116【解析】?「A。〃與。，點A到直線的距離為4,.?.點E到直線

的距禺為4,.,.S^?=|x8X4=16.

變式1y【解析】?.?四邊形A5C。是矩形，.?.NA5C=NC=90°,,：BA=

BE=2,BC=43,.*.cosZCBE=—,：.ZCBE=30°,：.ZABE=90°-30°

BE2

2

—乙八。?c—60HX2—如

—60,-S扇形ABE—---一y-

變式2y【解析】VAB=AC=4,ZC=30°,A5為。。的直徑，.?.N5=

ZC=30°,OA=OB=-AB=2,，NAO。=2/3=60°,/.S陰影啊.

23603

例220【解析】?：AE=2BE,AF=DF,AB=6,BC=S,.,.AE=|AB=4,BE

111

======

-AB2jAFDF-AD-BC4,S陰影=S矩形ABCD—SAAEF一BCE-SACDF

ill

=6X8--X4X4--X8X2--X6X4=20.

222

變式325兀一50【解析】???/AC5=45。，，/AO5=2NAC5=90°,又

=05=10,.\S陰影=S扇形A08—5"。8=叱—三0405=膽叱一10X10=25兀

36023602

-50.

變式4；【解析】?.?四邊形A05C是邊長為1的正方形，.\AC=AO=1,

42

ZOAC=90°,OC=V2,ZAOC=45°,，S陰影=S扇形c。。—&AOC=^^一

360

-xixi=---.

242

例310【解析】?.?四邊形ABC。，CE/G均為正方形，且面積分別為16cm2,

1

=

36cm?,??BC=CZ)=4cm,CGC￡=6cm,??S陰影=S^BEG—S△BDG=~^(4+6)義6

-jx(4+6)X4=10cm2.

第9頁共13頁

變式52+K【解析】如解圖，連接0。，,點。是&的中點，??.NA0D=NJD05

=90°,AAO。是等腰直角三角形，的半徑為2,?*S陰影=$(△AOD~\~S扇形。。8

190HX22_cI

=-X2X24------=2十兀.

2360

變式5題解圖

變式68【解析】如解圖，連接5尸，,四邊形A5C。為矩形，.??NA5C=NA4。

=90°，VAB=4,BF=BC=A>TL：.AF=BF2~AB2=4,.'.△AB尸是等腰直

角三角形，ZABF=ZCBF=45°，:?S陰影=S扇形A5尸一S扇形=]?

360

+1X4X4-90TTX42=8

2360

變式6題解圖

例410【解析】如解圖，連接,四邊形A5C。是平行四邊形，.?.AO〃BC,

1?

5ABCD=-S^ABCD=10?S陰影=SA5CD=10?

R

例4題解圖

變式75【解析】如解圖，連接8，OC,OD,VC,。是以A5為直徑的半

6

圓的三等分點，ZAOC=ZCOD=ZDOB=60°,AC=CD,XVOA=OC=

OD,：.△OAC,△OCD是等邊三角形，.??N40C=N0C。，.?.CD〃A5...SAACD

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=8。皿，:力的長為設半圓。的半徑為r,???嘿::/，解得r=1,.\S陰

31803

2

—c_60HX1_Tl

影=3扇形COD=r/c=二?

變式7題解圖

變式84【解析】如解圖，連接5。，OD?「BC與。O相切，.?.NA5C=90°,

?.?NC=45°,??.△A5C為等腰直角三角形，為直徑，.?.NAO5=90°,J

點。是AC的中點，是△人與。的中位線，,.,BCLA5,.,.0Z)，A5,即NAO。

=N5OZ)=90°,??.扇形40。的面積與扇形50。的面積相等，易得S陰影=SaBDC，

.?.在R35QC中，SABDC=|BD-CD=|X(V2AO)2=4,即S陰影=4.

變式8題解圖

二階綜合應用

1.871【解析】:⑷？是OO的直徑，.?.NAC5=90°,又YOA=OB,，線段

CO是RtAA5C斜邊A5上的中線，J&AOC=%COB，???S陰影=S扇形BOC，ZBAC

=40°,ZB0C=2ZBAC=SQ°,VOC=6,扇形BOC=^^=8TI,，S陰影

360

=871.

2.15【解析】如解圖，連接EF,*??四邊形ABC。是矩形，???AB〃CZ),???△￡尸。

的邊FC上的圖與^BCF的邊FC上的IWJ相等，???SzkE/c=S2k5cv,-5AFQC

=

—5ABCF-S&FQC,:?S&EFQ=S&BQC,同理,5AEFDS^ADFF:.SAEFP=S〉APD,*?*S

四邊形石尸尸Q=SAEFP~\~S&EFQ=15???S陰影=$*△APD~\~5ABQC=S四邊形石尸尸Q=15.

AEB

nF

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第2題解圖

3.7i【解析】如解圖，連接0E交于點尸,?..四邊形A5C。為矩形，

ZFBE=N0,又?二A。為圓O的直徑，半圓O與BC相切于點E,：.OE±BC,

易得BF=DF,BE=OD=^BC=2,.*.△ADOF(SAS),陰影=S扇形EOD=

^nr2=^n：X22=n.

44

第3題解圖

4.3-V3【解析】如解圖，設AZ),CD交于點E,連接5石，二?四邊形A5CQ

是正方形，:.AB=BC,ZA=ZABC=ZC^90°,由旋轉的性質，得NC5C=

30°,BC'=BC,ZC'=ZC=90°,ZA=ZC'=90°,AB=C'B,又?:BE=

BE,.*.RtAABE^RtAC'BE,：.ZABE=ZC'BE=^ZABC'=^(90°-NCBC)=

==

30°,S&CBE=S&ABE，在RtAABE中，AEAB-tdn^ABE1,S陰影=S正方形ABCQ

一s四邊形ABC,E=gxV^—2x]x1XV3=3-V3.

第4題解圖

5.8【解析】如解圖，設E尸的中點為O,連接GO并延長，交CD于點H,,:E

為中點，AG=AE,AD^AB,，點G為A3的中點，易得OE=OF=DE,扇

形EOH與扇形G5尸面積相等，扇形”0尸與扇形石AG面積相等，可得S陰影=5

=

矩形A8產￡，二?點E是的中點，AB^AD=4,：.AE=2,：.S陰影=S矩形ABFE4X2

=8.

第12頁共13頁

第5題解圖

6.1【解析】如解圖，