微專題24平行四邊形與多邊形

考點精講

構建知識體系

「定義

■■邊

定義］-角

山缶邊1［正多邊形卜多邊形平行四邊形卜-性質--對角線

內角岳H

外角1廣角二性質」-對稱性

對角線-田人【定'義］［性'質］1基本5素）

一邊

對稱性-（1）

內角和外角和對角線條數-判定一角

l對角線

I面積

考點梳理

1.平行四邊形的性質與判定（6年7考）

⑴定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形

⑵平行四邊形的性質

邊兩組對邊分別平行，兩組對邊分別①―

角兩組對角分別②______

DC

對角

對角線互相③______

線三

A?R

對稱是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點（北師獨

性有）

（3）平行四邊的判定

1.兩組對邊分別④_______的四邊形是平行四邊形（定義）；

邊2.兩組對邊分別⑤_______的四邊形是平行四邊形；

3.一組對邊⑥________的四邊形是平行四邊形

角兩組對角分別⑦_______的四邊形是平行四邊形（人教獨有）

對角線對角線⑧_______的四邊形是平行四邊形

2.平行四邊形面積

第1頁共16頁

面積計算公式：S=a/z（a表示一條邊長，"表示此邊上的高）.

【拓展知識】

①每條對角線將平行四邊形分成兩個全等的三角形;

②平行四邊形中的面積關系:

Si=S2=§3=S4

（源于人教八下P51習題）

S1+S3=§2+§4

S1$=S2-S4

（源于北師八下P158習題）

3.多邊形（6年2考）

⑴概念：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形

（2）多邊形的性質（“23,〃為整數）

內角和定理〃邊形的內角和等于⑨______

外角和定理任意多邊形的外角和等于⑩______

過n邊形一個頂點可引但一3）條對角線，把這個n邊形分成伽一2）

對角線

個三角形，〃邊形共有硬尸條對角線

【溫馨提示】"（八＞3）邊形具有不穩定性

第2頁共16頁

(3)正多邊形的性質但23,〃為整數)

邊正八邊形各條邊?

內角各個內角相等，正八邊形的每個內角為?_____

外角各個外角相等，正〃邊形的每個外角為?_____

練考點

1.如圖，在口A5CZ)中，對角線4C,相交于點0.

AD

RC.

第1題圖

(1)若N5O)—N4DC=60°,則NAZ)C=0；

(2)若口45。的周長為42,AB：BC=3：4,則A5=,AD=；

(3)若4。+5。=26,AB=11,則△0。的周長為.

2.如圖，在四邊形A5C。中，AD//BC,AC,BD交于點0,再添加一個條件,

不一定能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是()

A.AD=BCB.AB//CD

C.AB=CDD.0A=0C

第2題圖

3.如圖，在口458中，對角線AC,5。相交于點0,線段/過點0,分別交

AB,CD于點區E陰影部分的面積之和為10,則口A5CD的面積為()

第3頁共16頁

A.16

4.九邊形的內角和為.

5.若正多邊形的一個內角是120。，則這個正多邊形的邊數為.

高頻考點

考點1與平行四邊形性質有關的證明及計算(6年4考)

例1已知在口45。中，AB>AD,E是45邊上一點，連接。E

(1)核心設問如圖①，DELAB,AB=6,AD=242,ZC=45°,求5E的長;

[2023廣東19⑴題考查]

例1題圖①

(2)核心設問如圖②，連接CE,若CE平分/BCD,AE=3,EB=5,DE=4.[2021

廣東16題考查]

①求證：ZD￡A=90°；

②求CE的長；

例1題圖②

(3)如圖③，連接CE,若石是A5的中點，ZCED=9Q°,DE=4,且浮=g,

BC

求四邊形5CZ)目的面積；

ER

例1題圖③

第4頁共16頁

(4)如圖④，若。石平分NADC交A5于點E4/平分ND45交。。于點尸，過點

E作石。的垂線交。。于點G求證：FG=BC.

DFGC

ARR

例1題圖④

考點2平行四邊形的判定

例2(北師八下習題改編)如圖，在四邊形A5C。中，連接AC,分別過點5,D

作AC的垂線，垂足為石，F.

(1)如圖①，若四邊形A5CD是平行四邊形，分別延長52DF,交4。于點G,

交BC于點H,求證：四邊形5G。”是平行四邊形；

例2題圖①

(2)如圖②，連接。EBF,若BE=DF,AF=CE.

①求證：四邊形A5CZ)是平行四邊形；

第5頁共16頁

AD

R

例2題圖②

②求證：四邊形5EDb是平行四邊形;

變式1（2024佛山二模）如圖，點石是口A5C。邊A。延長線上一點，連接5石，

CE,BD,BE與CD交于點F,添加以下條件，不能判定四邊形5CED為平行四

邊形的是（）

A.DE=DAB.ZABD=ZDCEC.EF=FBD.ZDEB=ZBCD

考點3多邊形（6年2考）

例3如圖①是一個八角亭，亭子的八個立柱在地面上圍出了一個正八邊形結

構，如圖②，若從其中一個頂點出發，分別連接這個頂點與其他頂點，該多邊形

被分成的三角形個數為（）

kA二

圖①圖②

例3題圖

A.5B.6C.8D.16

第6頁共16頁

變式2（人教八下習題改編）如圖是一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中

一邊與對角線的夾角N4CB=15°,算出這個正多邊形的邊數是（）

A.9B.10C.11D.12

變式3（2024佛山模擬）如圖，在正五邊形45CDE中，的平分線交4E

于點尸，連接CE,則NEb的度數為（）

變式3題圖

A.15°B.18°C,36°D.54°

真題及變式

命題點1與平行四邊形性質有關的計算（6年7考）

1.（2022廣東8題3分）如圖，在口A5C。中，一定正確的是（）

A.AD=CDB.AC=BDC.AB=CDD.CD=BC

2.（2021廣東16題4分）如圖，在口A5CQ中，AD=5,AB=12,sinA=g.過點。

作DE±AB,垂足為E,則sinZBCE=.

DC

A

第7頁共16頁

第2題圖

變式

2.1變條件——將邊的高線變為角平分線

如圖，在口A5CZ）中，AD=8,ZA=60°,CE平分NBCD交AB于點E,連接

DE.若BE=2AE,則DE的長為.

拓展訓練

3.（2024棗莊）如圖，點石為045。的對角線4。上一點，4C=5,CE=1,連接

。石并延長至點尸，使得EF=DE,連接5尸，則5尸為（）

57

A.-B.3C.-D.4

22

命題點2多邊形（6年2考）

4.（2020廣東4題3分?人教八上習題改編）若一個多邊形的內角和是540°,則該

多邊形的邊數為（）

A.4B.5C.6D.7

變式

4.1變條件——結合內外角的倍數關系

若一個正多邊形的內角和是外角和的3倍，則這個正多邊形的邊數為.

拓展訓練

5.（2023陜西）如圖，正八邊形的邊長為2,對角線45,。相交于點E,則線段

BE的長為.

第8頁共16頁

第5題圖

新考法

6.［綜合與實踐］(2024達州改編)

【主題】在學習特殊的平行四邊形時，我們發現正方形的對角線等于邊長的魚倍,

某數學興趣小組以此為方向對菱形的對角線和邊長的數量關系進行探究.

【探究發現】步驟具體如下：

如圖①，???四邊形A5CD是菱形，

：.AC±BD,AO=CO,BO=DO.

：.AB2=AO2+BO2.

又?..4C=2AO,BD=2BO,

：.AB2=+.

化簡整理得A^+BD2=.

【猜想與探究】

(1)補全【探究發現】中的步驟；

(2)如圖②，若四邊形A5CD是平行四邊形，請說明邊長與對角線的數量關系.

第9頁共16頁

考點精講

①相等②相等③平分④平行⑤相等⑥平行且相等⑦相等⑧互相

平分⑨(八-2)X180°

⑩360。⑩目等翅匚產鴛：

練考點

1.(1)60；(2)9,12；(3)24

2.C

3.C【解析】?.?四邊形A5C。是平行四邊形，AOD=SABOCFS&BOE=S&DOF，

===

FOCS/^AOEfSaABCD2(SAAOD+SABOE+SACOF)2X10=20.

4.1260°

5.6【解析】設所求正多邊形邊數為小則120°-n=(n—2)-180°,解得〃=6.

高頻考點

例1(1)解：?..四邊形A5CD是平行四邊形，

AZA=ZC=45°.

DELAB,

.?.在R34E。中，ZAED=90°,ZA=45°,

AE^ADcosA=2V2X—=2,

2

：.BE^AB-AE=6~2=4；

(2)①證明：:CE平分/BCD,

：.ZBCE=ZDCE,

?四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC,AB//CD,

：.ZBEC=ZDCE,

：.ZBEC=ZBCE,

：.BC=BE=5,

第10頁共16頁

：.AD=5,

"：AE=3,DE=4,32+42=52,

.'.AE2+DE2=AD2,

...△ADE是直角三角形，且NZ)EA=90°；

②解：由⑴可知，ZDEA=90°,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

：.ZCDE=ZDEA=90°,CD=AB=AE+EB=3+5=S,

在RSEDC中，由勾股定理得。石=JD￡2+CD2=[42+82=4后

.??。石的長為4遍；

(3)解：如解圖，取CD的中點尸，連接麻，過點石作EH_LCD,垂足為

■:E,尸分別是AB的中點，四邊形458為平行四邊形，

J.BE//CF,BE=CF,即四邊形5C尸石為平行四邊形.

又?.?/。瓦＞=90°,尸為。。的中點，

：.1_-

.EF=-2CD=CF.

四邊形5C尸石為菱形.

1

：.BC=CF=-CD.

2

：

.CE^y[3BC=—2CD,

.CFV3

,?CD2，

AZCDE=60°,：.ZECD=3Q°,

VDE=4,

：.CD=2DE=S,EH=DEsin60°=4Xy=2V3.

第11頁共16頁

11

：.BE=-AB=-CD=4,

22

四邊形8的=沙石+。。）回=以（8+4）X2g=12V3；

例1題解圖

（4）證明：???四邊形A3。是平行四邊形，

C.DC//AB,DA=BC,

：.ZADC+ZDAB=180°,

丁DE平分NA。。，4月平分ND45,

11

，

ZADE=-2ZADC2,ZDAF=-ZDAB,

：.ZDAF+ZADE=90°,

：.DE±AF,

DELEG,

：.AF//EG,

???四邊形AEGF是平行四邊形，

：.FG=AE,

,JDC//AB,

：.ZCDE=ZAED,

?「DE平分NA。。，

：.ZCDE=ZADE,

：.ZADE=ZAED,

：.DA=AE,

：.FG=BC.

例2證明：（1）...四邊形A5CD是平行四邊形,

.,.AD//BC,即DG//BH,

第12頁共16頁

"：BE±AC,DF±AC,

：.BG//DH,

???四邊形BGDH是平行四邊形；

(2)@V5E±AC,DF±AC,

：.ZCEB=ZAFD=90°,

在△4。/和△C5E中，

(AF=CE

\^\AFD=^\CEB>

[DF=BE

...△ADF空ACBEISAS),

：.AD=CB,ZDAF=ZBCE,

：.AD//BC,

???四邊形ABCD是平行四邊形；

②，；AF=CE,

：.AF-EF=CE-EF,

即AE=CF,

由①知4D=C5,ZEAD=ZFCB,：.△ADE^ACBF(SAS),

：.DE=BF,

同理△A5石且△CDF,

：.BE=DF,

；?四邊形5瓦>/是平行四邊形.

變式1D【解析】:四邊形ABCD是平行四邊形，.?.AD=5C,AD//BC,,：DE

=A。，.?.DE=5C,.?.四邊形5CE。是平行四邊形，故A正確；二?四邊形45。

是平行四邊形，：.AD//BC,AB//CD,：.ZABD=ZBDC,'：ZABD=ZDCE,

：.ZBDC=ZDCE,J.BD//CE,，四邊形5CED是平行四邊形，故B正確；：

四邊形A5CD是平行四邊形，C.AD//BC,：.ZFDE=ZFCB,ZFED=ZFBC,

第13頁共16頁

又EF=FB,：.△EFD^AfiFC(AAS),Z.DE=CB.：.四邊形BCED為平行四邊

形，故C正確；由硬=N5C。，得出NDE5=NA,但不能得出四邊形5CE。

為平行四邊形，故D錯誤.

例3B【解析】〃邊形從一個頂點出發，有(八一3)條對角線，則該八邊形從一

個頂點可引出5條對角線，將八邊形劃分為6個不重合的三角形.

變式2D【解析】依題意，ZACB=15°,：.ZBAC=ZACB=15°,

：.ZABC=180°—NAC5—NR4C=150°,.?.這個正多邊形的一個外角為180°

-150°=30°..這個正多邊形的邊數為篝=12.

變式3B【解析】?.?五邊形A5CZ)石為正五邊形，...N5CZ)=NJD=：X(5—

1

2)X180°=108°,CD^DE,：.ZDCE=ZDEC=|X(180°-ZD)=36°，?:CF

平分N5C。，.?.NZ)b=±NJBCZ)=±X108°=54°,：.ZECF=ZDCF-ZDCE

22

=54°-36°=18°.

真題及變式

1.C【解析】???四邊形是平行四邊形，.?.根據平行四邊形兩組對邊分別

相等可得C選項一定正確.

2.答【解析】,JDELAB,AB=12,AD=5,sinA=-,：.DE=4,：.AE=

JAD2—DE2=3,：.BE=AB-AE^9,如解圖，過點5作5尸，CE于點尸，在

口人50)中，45=。。=12,5。=4。=5,45〃0),，。后，。。，...。石=JDE2+CD2

=4VTO,由三角形面積公式可得石.?出廠=史史，石二生

2210BC

_9V10

50,

DC

第2題解圖

第14頁共16頁

變式2.14V3【解析】，.?四邊形458是平行四邊形，.,.N5CD=N4=60°,

BC=AD=8,CD〃AB,，NBEC=/DCE.YCE平分NDCB,；./DCE=/BCE,

：.ZBEC=ZBCE,；.BE=BC=8.，：BE=2AE,：.2AE=S,解得AE=4,如解

圖，過點石作于點尸，則/E=90°,ZAEF=9Q°-ZA

=90°-60°=30°,：.AF=-AE=2,EF=—AE=2V3,：.DF=AD~AF^6,

22

在R3DE尸中，由勾股定理，得ED=EF2+r)F2=4V3.

DC

AER

變式2.1題解圖

3.B【解析】如解圖，連接交AC于點O.：四邊形45。為平行四邊形，

153

AC=5,CE=1,：.AO=CO=-AC=~,BO=DO,：.OE=CO~CE=~."：EF=

222

。石，為。尸的中中點，又為的中點，.為廠的中位線，.?.5/

=2OE=3.

第3題解圖

4.