專題06三角形中的倒角模型之平行線+拐點模型

近年來各地中考中常出現一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內角和

定理、外角定理等）。平行線+拐點模型在初中數學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的

一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線+拐點模型（豬蹄模型（加

型）、鉛筆頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，

這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉化。

目錄^航］

...........................................................................................................................................................................1

模型1.豬蹄模型（M型與鋸齒型）............................................................1

模型2.鉛筆頭模型............................................................................4

模型3.牛角模型..............................................................................7

模型4.羊角模型..............................................................................9

模型5.蛇形模型（“5”字模型）...............................................................11

習題練模型］

.......................................................................................................................................................13

模型L豬蹄模型（M型與鋸齒型）

模型解讀

先說說這個名字的由來，為什么叫豬蹄模型呢？因為它長得像豬蹄，也有叫M模型或鋸齒模型的，都是根

據外形來取的，只要你喜歡，叫什么都無所謂，掌握其中的核心才是關鍵。。

①注意：拐角為左右依次排列；②若出現不是依次排列的，應進行拆分。

條件:如圖1,①己知：AM//BN,結論：ZAPB=ZA+ZB；②條件：ZAPB=ZA+ZB,結論：AM//BN.

證明：如圖1,過點尸作尸。〃AM,

'：PQ//AM,AM//BN,：.PQ//AM//BN,：.ZA=ZAPQ,ZB=ZBPQ,

：.ZA+ZB=ZAPQ+ZBPQ=ZAPB,即：ZAPB=ZA+ZB.

條件：如圖2,已知：AM//BN,結論：ZPI+ZP3=ZA+ZB+ZP2.

證明：根據圖1中結論可得，ZA+ZB+ZP^ZPx+ZPi,

條件：如圖3,已知：AM//BN,結論：ZPl+ZPi+...+ZP2n+i=ZA+ZB+ZP2+...+ZP2n.

,

證明：由圖2的規律得，ZA+ZB+ZP2+...+/2,!=ZPi+ZP3+ZP5+...+ZP2n+i

模型運用

例1.（2024.山西?二模）如圖是一種衛星接收天線的軸截面示意圖，衛星波束A3與OC平行射入接收天線,

經反射聚集到焦點。處，若NABO=38。，ZDCO=45°,則250。的度數為（）

A.90°B.83°C.76°D.73°

例2.（2024九年級下.遼寧?學業考試）如圖，AS〃CD,鉆=所,/4=25。,/石7（=130。，則/。的度

例3.（2023春?河南駐馬店?九年級專題練習）已知AB〃CD,NEAF=gNEAB,ZECF=；ZECD,若

ZE=66°,則ZF為（）

例4.（2023?廣東深圳?校聯考模擬預測）北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，谷愛凌的勵志故事也激勵著我們

青少年，很多同學紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運健兒在賽場上風馳電掣的感覺，但是第一次走進

滑雪場的你，如果不想體驗人仰馬翻的感覺，學會正確的滑雪姿勢是最重要的，正確的滑雪姿勢是上身挺

直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態，如圖所示，AB//CD,當人腳與地面的夾角

NCDE=60。時，求出此時上身A3與水平線的夾角/胡/的度數為（）

例5.（23-24七年級下?廣東云浮?期末）小明學習了角平分線的定義以及平行線的判定與性質的相關知識后，

對角之間的關系進行了拓展探究.如圖，直線AB〃CD,直線AC是直線AB,CO的第三條截線，AK,CK

分別是NBAC,NOC4的平分線，并且相交于點K.

問題解決：（1）/BAC,NDG4的平分線AK,CK所夾的NK的度數為；

問題探究：（2）如圖2,ZBAK,NDCK的平分線相交于點號,請寫出NA&C與NAKC之間的等量關系,

并說明理由;

拓展延伸：(3)在圖3中作NBA&,ZDCK,的平分線相交于點K,作ZBAK2,ZDCK2的平分線相交于點

K},依此類推，作/胡(。23，/QCK?儂的平分線相交于點長2必，求出/(。24的度數.

例6.(2024.上海.八年級校考期中)已知，直線(1)如圖(1),點、G為AB、間的一點，

聯結AG、CG.若/A=140。，ZC=150°,則/AGC的度數是多少？

(2)如圖(2),點、G為AB、間的一點，聯結AG、CG.ZA=x°,ZC=y°,則/AGC的度數是多少？

(3)如圖(3),寫出NAEF、/EFG、NFGC、NGCD之間有何關系？直接寫出結論.

⑴

模型2.鉛筆頭模型(子彈模型)

模型解讀

因為它長得像鉛筆頭或，也有叫子彈模型的，都是根據外形來取的，叫什么都無所謂，掌握其中的核心才

是關鍵。

①注意拐角朝同一方向②若出現拐角不朝同一方向的，應進行拆分.

HU

mNoN

圖1圖2圖3

條件：如圖1,已知：AM//BN,結論：Z/+Z2+Z3=360°；（該結論和條件互換結果任然成立）。

證明：在圖2中，過尸作AM的平行線尸尸，：.PF//CD,

.*.Z1+ZAPF=18O°,Z3+ZCPF=180°,Zl+Z2+Z3=360°；

條件：如圖2,已知：AM//BN,結論：Z1+Z2+Z3+Z4=54Q°

證明：在圖2中，過Pi作AM的平行線PiE,過點22作4〃的平行線P2尸，

：：

'：AB//CD,.PYE//BN//P2F,.Z1+ZAPIE^180°,ZP2P\E+ZP^F^180°,ZFP2B+Z4=180°,

/l+N2+N3+/4=540°；

條件：如圖3,已知：AM//BN,結論：Z1+Z2+...+ZM=（H-1）180°.

證明：在圖3中，過各角的頂點依次作A8的平行線，

根據兩直線平行，同旁內角互補以及上述規律可得：Nl+N2+N3+...+N"=（??-1）180°.

模型運用

例1.（2024.遼寧?模擬預測）如圖，平行于主光軸"N的光線和C。經過凸透鏡的折射后，折射光線班;

和折射光線。歹交主光軸于點P,若NABE=155。，ZCE>F=160°,則NEPE=°.

例2.（2024陜西咸陽模擬預測）如圖，直線乙〃/2〃/3，/1=25°,乙西7=73。，則/2的度數為（）

A.142°B.140°C.138°D.132°

例3.（2023下?江蘇南通?七年級統考期末）如圖，直線AB"CD,盡E,P分別是直線AB,8上的兩點,

點尸在直線AB和8之間，連接瓦^依/尸仍和/口的平分線交于點。，下列等式正確的是（）

AEB

A.NP+2NQ=360°B.2NP+NQ=360°C,NQ=2/PD./P+/Q=180°

例4.（2023上?廣東廣州?八年級校考開學考試）如圖①所示，四邊形MNBD為一張長方形紙片.如圖②所

示，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（/BAE、ZAEC,NECD）,則ZBAE+ZAEC+NECD=（度）；

（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（NBAE、NAEF、NEF、NFCD）,貝U

ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD=（度）；

（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（NBAE、NAEF、/EFG、NFGC、/GCD）,

貝U/A4E+/AEb+/EFG+NTGC+ZGCD=（度）；

（3）根據前面的探索規律，將本題按照上述剪法剪"刀，剪出〃+1個角，那么這”+1個角的和是（度）.

例5.（2023下?江蘇南京?七年級統考期中）從特殊到一般是數學研究的常用方法，有助于我們發現規律，

探索問題的解.

2。

4〃

（圖1）（圖2）（圖3）

⑴如圖1,AB〃CD,點E為AB、8之間的一點.求證：Z1+ZMEN+Z2=360°.

⑵如圖2,AB//CD,點、E、F、G、H為AB、CD之間的四點.貝UNl+N2+N3+N4+N5+N6=

⑶如圖3,AB//CD,則Nl+N2+N3+...+/〃=.

模型3.牛角模型

模型解讀

因為它長得像犀牛角，故取名牛角模型。

條件：如圖1,已知：AB//CD,且/ABE=0,/CDE=y,結論：/3=a+y.

證明：如圖，延長A2交。E于點R'：AB//CD,:.NBFE=NCDF=y,

：/48￡=/8/￡+/石（外角定理），；./ABE=NCDF+NE,：.J3=a+y；

條件：如圖2,已知：AB//CD,且/E=a,/ABE=。，NCDE=y,結論：/?=cr+180°-/.

證明：如圖，延長AB交DE于點R

'：AB//CD,:./BFD=NCDF=y,：.ZBFE^1SO°-ZBFD^180°-7,

：/48￡=/￡+/8尸￡（外角定理），/.ZABE^ZE+1SO°-ZBFD,.,./?=?+180°-/；

模型運用

例1.（2024?山西?模擬預測）抖空竹是一種傳統雜技節目，是國家級非物質文化遺產之一.如圖1是某同

學“抖空竹,,的一個瞬間，若將其抽象成圖2的數學問題：在平面內，已知AB〃CD,ZEBA=80°,NE=25。,

則NEDC的度數為（）

C.105°D.95°

例2.（2023?安徽滁州?校聯考二模）如圖，若ABUCD,則（）

E

A.N1=N2+N3B.Zl+/3=/2C.Zl+Z2+Z3=180°D.Zl-Z2+Z3=180°

例3.（2022.湖北洪山.七年級期中）如圖，已知48〃。，尸為直線AB,C。外一點，BF平分/ABP,DE

平分NC￡）P,8尸的反向延長線交。E于點E,若/FED=a,試用。表示/尸為

例4.（2023春?廣東深圳?九年級校校考期中）已知直線AB〃C0，點P為直線A3,。所確定的平面內

的一點，（1）問題提出：如圖1,ZA=120°,ZC=130°.求/APC的度數:

（2）問題遷移：如圖2,寫出/APC,—A,-C之間的數量關系，并說明理由:

(3)問題應用：如圖3,ZEAH,ZHAB=1:3,ZECH=20°,

P

圖1

例5.（2023下?遼寧大連?七年級統考期末）如圖，ZABE+ABED=ZCDE.

EEE

(1)如圖1,求證AB〃CD；(2)如圖2,點P在AB上，NCDP=NEDP,BF平分NABE,交PD于點F,探

究NBFP,N3即的數量關系，并證明你的結論；(3)在(2)的條件下，如圖3,P。交EO延長線于點

Q，ZDPQ=2ZAPQ,ZPQD=80°,求NC0E的度數.

模型4.羊角模型

模型解讀

因長像酷似山羊角，故取名羊角模型。

條件：如圖1,已知：AB//DE,且/C=a,/B=0,/D=y,結論：y=a+/3.

證明：'：AB//DE,：.ZAFC=AD=y,

：NAEC=N2+NC（外角定理），/.ZD=ZB+ZC,：.y=a+/3-,

條件：如圖2,已知：AB//DE,且NC=a,/B=B，/D=y,結論：180°-7=々+尸.

證明：'."AB//CD,：.ZBFD+ZD=180°AZBFD=180°-ZZ）=180°-y,

,.,N2F￡）=NB+NC（外角定理），.,.180°-Z￡）=ZB+ZC,/.180°-/=?+/?；

模型運用

例1.（2024.重慶江津.模擬預測）如圖，已知NCDE=110。，如果AC〃DE,AC=BC,那么—8的度數

為.

例2.（2024.山東濟南.中考真題）如圖，已知/|〃LVABC是等腰直角三角形，ABAC^90°,頂點A,2分

別在//上，當/1=70。時，/2=

例3.（2023?河南?統考三模）如圖，已知/ABC=150。，ZCDE=75°,則的度數為（）

C

A.55°B.60°C.45°D.50°

例4.（23-24七年級下?湖北武漢?期末）如圖，AB//CD,的角平分線3尸交N/7CD的角平分線的反

向延長線于點P,直線網交CO于點M若ZHCD—2ZBNC=24。，貝i」NP+NH=°

D

例5.（2023七年級下?江蘇?專題練習）已知AB〃MV.

（1）如圖1,求證：ZN+NE=NB；

⑵若/為直線A/N、之間的一點，NE=：NEFB,BG平分ZABF交MN于點、G,EF交MN于點、C.

①如圖2,若NN=57。，且BG〃EN,求NE的度數；②如圖3,若點K在射線BG上，且滿足

NKNM=2/ENM,若ZNKB=NEFB,ZE=NFBD,直接寫出—E的度數.

4

模型5.蛇形模型（“5”字模型）

模型解讀

因模型像一條彎曲的水蛇，故取名蛇形模型。

條件：如圖1,已知：AB//DE,ZC=a,ZB=/3,ND=y,結論：a+y=)3+180°.

證明：在圖2中，過C作A8的平行線CF,

'：AB//DE,C.CF//DE,：.ZFCD+ZD=180°,：.ZBCF+ZFCD+ZD=ZB+l80°,

：.ZBCD+ZD=ZB+180°,/.a+/=/7+180°.

條件：如圖2,已知：AB//DE,NC=a,/B=/3,ND=y,結論：。=7+180°-尸.

證明：在圖2中，過C作AB的平行線CF,：.ZB+ZBCF=18Q°,

".,AB//DE,J.CF//DE,:./FCD=/D,：.ZB+ZBCF+ZFCD=ZD+1800,

：.ZBCD+ZD=ZB+180°,a+7=分+180°.

模型運用

例1.（2023?四川廣元?統考三模）珠江流域某江段江水流向經過8、C、。三點，拐彎后與原來方向相同,

如圖，若/ABC=120。，ZBCE>=80°,則NCDE等于（）

例2.（23-24七年級下?遼寧葫蘆島?期末）如圖，AB//CD,/DCE的角平分線CG的反向延長線和—ABE

的角平分線所交于點RZE-ZF=66°,則NE=

例3.（23-24七年級下?湖北鄂州?期中）如圖，已知點A,C,8不在同一條直線上，AD//BE.

（1）求證28+/。一44=180。；（2）如圖2,AH,BQ分別為三等分/D4C、NEBC所在直線，ZDAH=^ZDAC,

ZEBQ=|NEBC,試探究NC與^AQB的數量關系；（3）如圖3,在（2）的前提下，且有AC〃QB,直線AQ、

2c交于點尸，ZAPC=60°,請直接寫出NZMC:NACB:NCBE=.

例4.（23-24七年級下?廣東廣州?期末）如圖1,NACB=90。，MA//BN.

（1）①如果/MAC=30。，求NCBN的度數；②設NA4AC=<z,NCBN=0,直接寫出a、萬之間的數量關

系:；（2）如圖2,ZMAC,NCBN的角平分線交于點P,當—M4c的度數發生變化時，NAPB

的度數是否發生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出4P3的度數;

⑶在（2）的條件下，若NM4c=40°,點E為射線3N上的一個動點，過點E作跖〃BC交直線AP于點產,

連接EP.己知NFEP=10。，求/班￡的度數.

習題練模型

1.（2023?湖南長沙?九年級校聯考期中）如圖，若AB〃CD,Za=65%々=25。，則少的度數是（）

A.115°B.130°C.140°D.150°

2.（2023?山西呂梁?校聯考模擬預測）如圖，這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行?若

A.118°B.148°C.150°D.162°

3.（2024?陜西咸陽?模擬預測）如圖，直線AB〃CD.若ZEDC=2NE,ZABC=60°,則NE=（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

4.（2024?廣東深圳?模擬預測）抖空竹是我國的傳統體育，也是國家級非物質文化遺產之一.明代《帝京

景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間流行的

歷史至少在600年以上.如圖，通過觀察抖空竹發現,可以將某一時刻的情形抽象成數學問題：AB//CD,

ZBAE=94°,ZDCE=122°,則/E的度數為（）

A.28°B.38°C.18°D.25°

5.（2023?廣東佛山?模擬預測）如圖，若AJB〃CD,CD//EF,Zl=30°,N2=130。，那么/BCE的度數為

（）

A-------

C^~----------D

\____________

EF

A.160°B.100°C.90°D.80°

6.（24-25九年級上?湖北?課后作業）①如圖①，則NA+NC=NE；

②如圖②，AB//CD,則NP=NA—NC；③如圖③，AB//CD,則/E=Z4+/1；

④如圖④，直線AS〃CD〃EF,點。在直線族上，則為-々+々=180。.以上結論正確的是（）

圖①圖④

A.①②③④D.②③④

7.（2024?江蘇徐州?模擬預測）如圖,是某款嬰兒車的幾何示意圖，若AD〃BC,Nl=125。，Z3=40°,

則Z2的度數是'

8.（23-24七年級下?浙江杭州?期中）如圖，AB//CD,—DCE的角平分線CG的反向延長線和的角

平分線即交于點F，NE—N尸=63。，則.

9.（23-24七年級下?江蘇無錫?期中）如圖，AB//CD,尸為A3上方一點，E、F分別為A3、C。上的點,

NPEB、/尸FD的角平分線交于點。，/PFC的角平分線與的延長線交于點G,若NPe=76。，

ZG=68°,則NGEP的度數等于.

10.（2023?江蘇?八年級假期作業）如圖，兩直線45、CD平行，貝!]Nl+N2+N3+N4+N5+N6=

AH

11.（2023?內蒙古鄂爾多斯?七年級校考期中）問題探究：如下面四個圖形中，AB//CD.

（1）分別說出圖1、圖2、圖3、圖4中，/I與N2、/3三者之間的關系.

（2）請你從中住選下個加以說明理由.

解決問題：（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于。點的燈泡發出兩束光線08、0c經燈碗

反射后平行射出.如果乙42。=57。，ZDCO=44°,那么NBOC=°.

12.（2023春?湖北黃岡?七年級校考期中）如圖，已知：點A、C、8不在同一條直線，AD//BE

圖①圖②圖③

（1）求證：ZB+ZC-ZA=180°：（2）如圖②，AQ,分別為ND4C、NEBC的平分線所在直線，試探究NC

與的數量關系；（3）如圖③，在（2）的前提下，且有AC〃QB,直線A。、8C交于點p,QP±PB,

直接寫出NZMC：ZACB：NCBE=.

13.（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習）已知：AB//CD,點E在CD上，點G、尸在43上，點a

在48、CO之間，連接FE、EH、HG,ZAGH=NFED,FEYHE,垂足為點E.

（1）如圖1,求/EHG的度數；（2）如圖2,GM平分/HGB,EM平分/HED,GM、EN交于點求

的度數；⑶如圖3,在（2）的條件下，FK平分NAFE交CD于點K,若NKFE：ZMGH=23:13,FK與ME

所在直線交于點。，若射線QP從射線。歹的位置開始繞著點。逆時針以每秒5°的速度進行旋轉，射線QP交

直線C。于點旋轉時間為f秒，當f為何值時，QP第一次與G"平行？并求此時NFQE的度數.

圖1圖2圖3

14.（24-25八年級上?四川瀘州?開學考試）（1）如圖1,已知AB〃C」D,ZBAP=40°,NPCD=30。，則

求/ARC的度數；（2）如圖2,在（1）的條件下，A"平分44P,CM平分/PCD,則N4WC的度數.

（3）如圖2,已知至〃C。，411平分44P,CM平分/PCD,.當點P、M在直線AC同側時，直接

寫出NAPC與一⑷WC的數量關系：_；

（4）如圖3,已知AB〃CD,AM平分NS4P,CM平分NPCD.當點尸、M在直線AC異側時，直接寫

出—ARC與/AWC的數量關系：

圖1圖2圖3

15.(23-24七年級下?河北邯鄲?期中)已知,直線AB〃CD,點尸為平面上一點，連接AP與CP.

K

圖2

(1)如圖1,點P在直線AB、CD之間,當NBAP=60。，NDCP=20。時，求，APC的度數.

(2)如圖2,點尸在直線AB、之間,ZBAP與NDCP的角平分線相交于點K,寫出ZAKC與NAPC之間

的數量關系，并說明理由.(3)如圖3,點尸落在C。下方，44P與/DCP的角平分線相交于點K,請直接

寫出NAKC與ZAPC的數量關系.

16.(23-24七年級下?湖北武漢?期中)點￡、尸分別在A3、C。上；點。在直線48、之間,

且NEO尸=80。(1)如圖1,①若NOFC=20。，求NAEO的度數;

②若NOFC=a,請你直接寫出ZOFC+ZAEO=.

(2)如圖2,直線MN分別交/BE。、NOR?的角平分線于點/、N,求的值

(3)如圖3,EG在ZAEO內,ZAEG=mZOEG；FH在ZDFO內，ZDFH=mZOFH，直線MN分別交EG、

分別于點M、N,旦NFMN—NENM=80°,直接寫出機的值

圖1圖2圖3

17.（23-24七年級下?遼寧大連?期末）【問題初探】（1）數學活動課上，李老師和同學們共同探究平行線

的作用.李老師給出如下問題：AB//CD,點P為C。下方一點，連接PAPC,得到NAPC,試探究-APC

與的數量關系.（1）小紅的做法是：如圖2,過點尸作尸

（2）小明的做法是：如圖3,設反交CD于點E