專題02整式與因式分解

考情聚焦

課標要求考點考向

考向一單項式與多項式

1.會把具體數代入代數式進行計算。

2了解整數指數嘉的意義和基本性質。考向二同類項

整式

3.理解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則。

考向三整式的加減

4,能進行簡單的整式加減運算，能進行簡單的整式乘法運

算。考向四整式的乘除

22222

5.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a-b,(a±b)=a±2ab+b,了解公考向五整式的混合運算

式的幾何背景，能利用公式進行簡單的計算和推理。

因式

考向一提公因式法因式分解

6.能用提公因式法、公式法進行因式分解。

分解

考向二公式法因式分解

真題透視J

考點一整式

A考向一單項式與多項式

1.(2024?吉林長春?中考真題)單項式-2/。的次數是—.

【答案】3

【分析】此題考查單項式有關概念，根據單項式次數的定義來求解，解題的關鍵是需靈活掌握單項式的系

數和次數的定義，單項式中數字因數叫做單項式的系數，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數.

【詳解】單項式一2a2b的次數是：2+1=3,

故答案為：3.

2.(2024?江西?中考真題)觀察a,/,Y,/，…，根據這些式子的變化規律，可得第100個式子為.

【答案】a100

【分析】此題考查了單項式規律探究.分別找出系數和次數的規律，據此判斷出第〃個式子是多少即可.

【詳解】解：團a,a2,a3,.，…，

回第〃個單項式的系數是1;

團第1個、第2個、第3個、第4個單項式的次數分別是1、2、3、4，…，

13第n個式子是a"■

團第100個式子是"。。.

故答案為：儲。。,

3.（2024?重慶?中考真題）已知整式M：。"龍陵+%無"J+alx+a0,其中“，區為自然數，。“為正整

數,S.n+an+an_t++at+a0=5.下列說法:

①滿足條件的整式M中有5個單項式；

②不存在任何一個“，使得滿足條件的整式M有且只有3個；

③滿足條件的整式〃共有16個.

其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本題考查的是整式的規律探究，分類討論思想的應用，由條件可得0W〃W4,再分類討論得到答案

即可.

【詳解】解：回〃,。中，％為自然數，。,為正整數，且"+。“+凡_1++%+旬=5,

00<77<4,

當〃=4時，貝IJ4+4+/+電+4+/=5,

回。4=1,。3=。2==%=0，

滿足條件的整式有一,

當九=3時,則3+%+4+%+%=5,

0（a3,a2,a1,ao）=（2,O,O,O）,（1,1,0,0）,（1,0,1,0）,（1,0,0,1）,

滿足條件的整式有：2尤3,%3+%2,x3+x,%3+1,

當〃=2時，貝1]2+。2+。1+4=5,

回（出,%,%）=（3,0,0）,（2,1,0）,（2,0,1）,（1,2,0）,（1,0,2）,（1,1,1）,

滿足條件的整式有：3元2,2尤2+尤，2X2+1,X2+2X,X2+2,X2+X+1；

當”=1時，則1+4+4=5,

團（4,%）=（4,0）,（3,1）,（1,3）,（2,2）,

滿足條件的整式有：4x,3x+l,x+3,2x+2；

當〃=0時，0+“0=5,

滿足條件的整式有：5；

國滿足條件的單項式有：/,2x3,3/，4無，5,故①符合題意；

不存在任何一個〃，使得滿足條件的整式/有且只有3個；故②符合題意；

滿足條件的整式〃共有1+4+6+4+1=16個.故③符合題意；

故選D

A考向二同類項

易錯易混提醒

1.判斷同類項

標準：所含字母相同，且相同字母的指數也分別相等。

注意事項：同類項與系數的大小無關，與它們所含的字母順序無關，所有常數項都是同類項。

2.合并同類項

要點：字母和字母的指數不變，只把系數相加減。

考查角度1同類項的定義

4.（2024?河南?中考真題）請寫出2根的一個同類項：.

【答案】rn（答案不唯一）

【分析】本題考查的是同類項的含義，根據同類項的定義直接可得答案.

【詳解】解：2加的一個同類項為機，

故答案為：加

考查角度2合并同類項

5.（2024?西藏?中考真題）下列運算正確的是（）

A.x-2x=xB.x（x+3）=x2+3

C.（-2/）3=_8尤6D.3x2-4x2=nx2

【答案】C

【分析】根據合并同類項、單項式乘以多項式、騫的乘方與積的乘方、單項式乘以單項式的運算法則逐項

判斷即可得出答案.

【詳解】解：A、x-2x=-x,故原選項計算錯誤，不符合題意；

B、x（x+3）=X2+3x,故原選項計算錯誤，不符合題意；

C、（-2X2）3=-8X6,故原選項計算正確，符合題意；

D、3X2-4X2=UX\故原選項計算錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了合并同類項、單項式乘以多項式、騫的乘方與積的乘方、單項式乘以單項式，熟練掌

握運算法則是解此題的關鍵.

A考向三整式的加減

6.（2024?四川德陽?中考真題）若一個多項式加上丁+3個-4,結果是3孫+2/-5,則這個多項式為.

【答案】/-I

【分析】本題考查整式的加減運算，根據題意"一個多項式加上丁+3町-4,結果是3呼+2/一5",進行列

出式子：（3孫+2/-5）-（丁+3孫-4）,再去括號合并同類項即可.

【詳解】解：依題意這個多項式為

（3孫+2>2-5）-（>2+3孫-4）

=3xy+2y2-5-y2-3xy+4

=/-1-

故答案為:/-I

7.（2024?重慶?中考真題）一個各數位均不為0的四位自然數”=麗，若滿足a+d=匕+c=9,則稱這

個四位數為“友誼數".例如：四位數1278,01+8=2+7=9,回1278是“友誼數".若礪是一個"友誼數"，

且6-a=c-6=1,則這個數為；若加=麗是一個"友誼數"，設尸（加）=々，且”是

整數，則滿足條件的M的最大值是.

【答案】34566273

【分析】本題主要考查了新定義，根據新定義得到a+d=b+c=9,再由匕-a=c-〃=1可求出。、b、c、d

的值，進而可得答案；先求出M=9994+906+99,進而得到尸（"）+"""=9”+8+3a+"6根據

1313

/（M）+ab+%是整數,得到%+8+細半2是整數，即3。+"6是整數,則3a+b+6是13的倍數，求

131313

出1<8,再按照〃從大到小的范圍討論求解即可.

【詳解】解：回礪是一個''友誼數〃，

3036

圖1圖2

又回b-a=c-b=l,

團b=4,c=5,

回。=3,d=6,

回這個數為3456；

=漏是一個"友誼數",

團M=1000a+1OOZ?+1Oc+d

=1000a+100b+10（9-b）+9-a

=999a+90b+99,

0F（M）=—=llla+10Z?+ll,

回F^M^+ab+cd

13

llla+10b+11+10〃+h+10c+d

~13

llla+106+ll+10a+b+10（9-6）+9-a

-13

120a+j?+110

13

117a+3a+Z?+104+6

一13

?c3a+b+6

=9a+8+------------

13

回b（M）+M+cd是整數,

13

3a+b+63a+b+6早敕痂

回9〃+8+是整數即At.?F3Vs>

1313

E13a+H6是13的倍數,

Ela、6、c、d都是不為。的正整數，且a+d=Z?+c=9,

0a<8,

回當a=8時，31<3a+Z?+6<38,此時不滿足3a+b+6是13的倍數，不符合題意；

當a=7時，28V3a+6+6<35,此時不滿足3a+b+6是13的倍數，不符合題意；

當a=6時，2543a+b+6432,此時可以滿足3a+b+6是13的倍數，即此時3=2,則此時d=3,c=7,

團要使M最大，則一定要滿足a最大，

團滿足題意的M的最大值即為6273；

故答案為：3456；6273.

A考向四整式的乘除

解題技巧/易錯易混

1.單項式與單項式相乘法則：將系數相乘作為積的系數，相同字母的號相乘，單獨在一個單項式里的字母

連同它的指數作為積的一個因式。

2.單項式與多項式相乘法則：用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。

3.多項式與多項式相乘法則：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

4.單項式除以單項式法則：把系數、同底數嘉分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母,

則連同它的指數一起作為商的一個因式。

5.多項式除以單項式法則：用多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。

考查角度1塞的運算

8.（2024?廣東?中考真題）下列計算正確的是（）

A.cr?Q5-B.=/C.-2a+5a=7。D.

【答案】D

【分析】本題主要考查了同底數褰乘除法計算，騫的乘方計算，合并同類項，熟知相關計算法則是解題的

關鍵.

【詳解】解：A、a2-a5=a7,原式計算錯誤，不符合題意；

B、原式計算錯誤，不符合題意；

C、-2a+5a=3a,原式計算錯誤，不符合題意；

D、（a2）5=a10,原式計算正確，符合題意；

故選：D.

9.（2024?河北?中考真題）若a,b是正整數，且滿足2"土2"+…+2"=2"且二=2〃，則“與萬的關系正

8個2"相加8個2"相乘

確的是（）

A.a+3=8bB.3a=8bC.a+3=b&D.3a=8+b

【答案】A

【分析】本題考查了同底數騫的乘法，騫的乘方的運算的應用，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

由題意得：8x2"=（2"『，利用同底數累的乘法，鬲的乘方化簡即可.

【詳解】解：由題意得：8x2。=（2今，

023x2a=28A,

03+a=8Z>,

故選：A.

10.（2024?天津?中考真題）計算的結果為.

【答案】尤2

【分析】本題考查同底數鬲的除法，掌握同底數鬲的除法，底數不變，指數相減是解題的關鍵.

【詳解】解：尤8+無6=尤2,

故答案為：/.

考查角度2單項式乘單項式

11,(2024?湖北?中考真題)2x?3尤2的值是()

A.5x2B.5x3C.6x2D.6x3

【答案】D

【分析】本題主要考查單項式與單項式的乘法.運用單項式乘單項式運算法則求出結果即可判斷.

【詳解】解:2X-3X2=6X3,

故選：D.

考查角度3單項式乘多項式

12.(2024?甘肅蘭州?中考真題)計算：2a(a-l)-2/=()

A.aB.-aC.2aD.-2a

【答案】D

【分析】本題主要考查了整式的混合運算，先計算單項式乘以多項式，再合并同類項即可.

【詳解】解：2a(a-l)-2a2

—24-2a-2a2

=—2a

故選：D.

考查角度4多項式乘多項式

13.(2024?山東威海?中考真題)因式分解：(x+2)(x+4)+l=.

【答案】(尤+3『

【分析】本題主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多項式乘以多項式展開，然后利用完全平方公

式分解因式即可.

【詳解】解：(x+2)(x+4)+l

=Y+4x+2x+8+1

=x2+6x+9

=(X+3)2

故答案為：(尤+3了.

考查角度5平方差公式

14.(2024?上海?中考真題)計算(。+切。-。)=.

【答案】b2-a2

【分析】根據平方差公式進行計算即可.

【詳解】解：(a+b^b-a)

=(b+d)(b—a)

=kr-a2,

故答案為：b2-a2.

【點睛】本題考查平方差公式，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

考查角度5完全平方公式

15.(2024?黑龍江大慶?中考真題)已知a+工=指，則/+《的值是

aa

【答案】3

【分析】根據a+-=75,通過平方變形可以求得所求式子的值.

a

【詳解】解：回a+工=指，

團a?H——+2=5,

a

1

團Q9H---y—3,

a

故答案為：3.

【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是熟練掌握完全平方公式.

A考向五整式的混合運算

16.(2024?湖南長沙?中考真題)先化簡，再求值：2根-根(m-2)+(m+3)(m-3),其中m=g.

【答案】4m-9；1

【分析】本題考查整式的混合運算及其求值，先根據整式的混合運算法則化簡原式，再代值求解即可

【詳解】解：2m-m(m-2)+(m+3)(m-3)

=2m一加2+2m+m2—9

=4m—9.

當機=9時，原式=4*』一9=10-9=1.

22

考點二因式分解

A考向一提公因式法因式分解

17.(2024?浙江?中考真題)因式分解：°2一7.=

【答案】?(?-7)

【分析】本題考查了提公因式法因式分解，先提公因式。是解題的關鍵.

【詳解】解：a2-7a=a(a-7).

故答案為:a(a-7).

18.(2024?江蘇徐州?中考真題)若"加=2,=則代數式的值是

【答案】2

【分析】本題考查代數式求值.先將代數式進行因式分解，然后將條件代入即可求值.

【詳解】解：I3mn=2,=1,

ir^n一mri1=mn(m-ri)=2x1-2,

故答案為：2.

A考向二公式法因式分解

19,(2024?西藏?中考真題)分解因式：尤2一以+4=.

【答案】(尤-2)2/(2-4

【分析】本題考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟練掌握完全平方公式是解此題的關鍵.

【詳解】解：X2-4X+4=(X-2)2,

故答案為：(尤-2)2.

20.(2024?四川涼山?中考真題)已知"2_/=12,且。一6=-2,則a+b=.

【答案】-6

【分析】本題考查了因式分解的應用，先把=12的左邊分解因式，再把。-。=-2代入即可求出。+人的

值.

【詳解】解:0a2-^=12,

0(a+Z?)(a-￡?)=12,

回。一b二-2,

團a+h=-6.

故答案為：-6.

21.(2024?陜西?中考真題)先化簡，再求值：(x+y『+x(x-2y),其中x=l,尸-2.

【答案】2/+死6

【分析】本題考查了整式的混合運算以及求值.根據完全平方公式和單項式乘以多項式法則進行運算，再

合并同類項，最后代入即可求解.

【詳解】解：(*+獷+x(x-2y)

=x1+2xy+y2+x2—2xy

=2x2+y2；

當x=l,產一2時，

原式=2x12+（—2）2=2+4=6

_.、bc

22.（2024■福建?中考真題）已知實數滿足3〃?+〃=—,〃?〃=—.

aa

⑴求證：廿-12砒為非負數；

⑵若a,b,c均為奇數，祖,”是否可以都為整數？說明你的理由.

【答案】⑴證明見解析；

（2）根,〃不可能都為整數，理由見解析.

【分析】本小題考查整式的運算、因式分解、等式的性質等基礎知識：考查運算能力、推理能力、創新意

識等，以及綜合應用所學知識分析、解決問題的能力.

（1）根據題意得出b=a（3〃z+〃）,c=a〃?〃，進而計算/-12農，根據非負數的性質，即可求解；

（2）分情況討論，①機，〃都為奇數；②加，"為整數，且其中至少有一個為偶數，根據奇偶數的性質結合

已知條件分析即可.

【詳解】（1）解：因為3加+〃=2,祖"=，

aa

所以6=a（3〃z+〃），c=a〃wz.

貝IJb2-12ac=[a（3m+M）]2-12a2nm

=a2（9m1+6mn+/）—12a2mn

=a2（9m1—6mn+tv）

=cr（3m.-n）2.

因為a,相,“是實數，所以小?m-“）2NO,

所以方-12ac為非負數.

（2）八”不可能都為整數.

理由如下：若私〃都為整數，其可能情況有：①機"都為奇數，?②私”為整數，且其中至少有一個為偶數.

①當牡〃都為奇數時，則3〃2+〃必為偶數.

b

又3機+〃=—,所以6=a（3〃z+〃）.

a

因為。為奇數，所以。（3機+”）必為偶數，這與人為奇數矛盾.

②當〃為整數，且其中至少有一個為偶數時，貝必為偶數.

又因為相〃=￡,所以c=a〃2”.

a

因為。為奇數，所以。〃優必為偶數，這與C為奇數矛盾.

綜上所述，私”不可能都為整數.

23.（2024?安徽?中考真題）數學興趣小組開展探究活動，研究了"正整數N能否表示為（的，均為

自然數）”的問題.

⑴指導教師將學生的發現進行整理，部分信息如下（〃為正整數）：

N奇數4的倍數

1=12-024=22-02

3=22-128=32-12

5=32-2212=42-2?

表示結果

7=42-3?16=52-32

9=52-4220=62-42

LL

一般結論2n-l=n2-(?—l)24〃=

按上表規節目,完成下列問題：

（i）24=（）2_（）2；

（ii）4n=；

（2）興趣小組還猜測：像2,6,10,14,這些形如4〃-2（〃為正整數）的正整數N不能表示為V（%,y均

為自然數）.師生一起研討，分析過程如下：

假設4〃-2=/-四其中x,y均為自然數.

分下列三種情形分析：

①若天，y均為偶數，設x=2hy=2m,其中上根均為自然數，

則x2-/=（2k）2-（2m）2=4（/_療）為4的倍數.

而4〃-2不是4的倍數，矛盾.故工，y不可能均為偶數.

②若劉y均為奇數，設x=2左+1,y=2m+l,其中后加均為自然數，

則x2-y2=（2k+l）2-（2m+l）2=為4的倍數.

而4〃-2不是4的倍數，矛盾.故劉》不可能均為奇數.

③若X，y一個是奇數一個是偶數，則/-y2為奇數

而4〃-2是偶數，矛盾.故X，y不可能一個是奇數一個是偶數.

由①②③可知，猜測正確.

閱讀以上內容，請在情形②的橫線上填寫所缺內容.

【答案】⑴(案7,5；(ii)(M+1)2-(?-1)2；

(2)4(笈2—府+k-m)

【分析】(1)(i)根據規律即可求解；(ii)根據規律即可求解；

(2)利用完全平方公式展開，再合并同類項，最后提取公因式即可；

本題考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的運算是解題的關鍵.

【詳解】(1)(i)由規律可得，24=72-52,

故答案為：7,5；

(ii)由規律可得，4?=(?+1)2-(?-1)2,

故答案為：+-(〃一1)2；

(2)解：假設4"-2=尤2_憶其中x,y均為自然數.

分下列三種情形分析：

①若%丁均為偶數，設尤=2笈，y=2m,其中左，機均為自然數，

則?-y-=(2k)2-(2m)2=-也為4的倍數.

而4〃-2不是4的倍數，矛盾.故龍，y不可能均為偶數.

②若X，y均為奇數，設尤=2左+1,y=2m+l,其中七均為自然數，

貝UX2-y2=(2左+1了+=4^2-nr+k-nij為4的倍數.

而4〃-2不是4的倍數，矛盾.故%，丫不可能均為奇數.

③若X，y一個是奇數一個是偶數，則f-產為奇數.

而4〃-2是偶數，矛盾.故尤，y不可能一個是奇數一個是偶數.

由①②③可知，猜測正確.

故答案為：4伊_療+左一時.

新題特訓

一、選擇題

1.（2024?廣西?模擬預測）若），則括號中應填入（）

A.b—cB.—b+cC.b+cD.-b—c

【答案】C

【分析】本題主要考查了添括號，添括號時，若括號前是添括號后，括號里的各項都不改變符號；若

括號前是"-"，添括號后，括號里的各項都改變符號，據此求解即可.

【詳解】解：=（6+C）,

故選：C.

2.（2024?河南關B州?模擬預測）給出下列判斷：①在數軸上，原點兩旁的兩個點所表示的數都互為相反數；

X，丫

②多項式3孫2一40+12是三次三項式；③任何正數都大于它的倒數；④&=法+1變為30x=100x+15利

用了等式的基本性質.其中正確的說法有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】B

【分析】本題主要考查相反數的概念、數軸的基本概念、等式的基本性質、單項式與多項式的基本概念以

及倒數的概念。

根據相反數，可判斷①，根據多項式的項、次數，可判斷②，根據有理數的大小比較，可判斷③，根據

等式的性質，可判斷④.

【詳解】解；①只有符號不同的兩個數互為相反數，故①錯誤；

②多項式3孫2-4尤3y+12是四次三項式，故②錯誤；

③小于1的正數小于它的倒數，故③錯誤；

④祗=云+1變為30x=100x+15利用了等式的基本性質，故④正確；

故選：B.

3.（2024?河南?一模）在學習數與代數領域知識時，小明對代數式做如圖所示的分類，下列選項符合▲的

是（）

「單項式——例如：2a

一整式

有理式［、多項式——例如：▲

I分式一例如：|

代數式〈

1無理式一例如:后罰

3a+b

A.-------B.-------C.-Ja+bD.2ab

a+b3

【答案】B

【分析】本題考查代數式的分類，根據多項式的定義求解即可.

3

【詳解】是分式，故A選項不符合題意；

B.一是多項式，故B選項符合題意；

C.而K是無理式，故C選項不符合題意；

D2ab是單項式，故D選項不符合題意；

故選：B.

4.（2024?云南?模擬預測）觀察下列按一定規律排列的幾個數：x,3d,5x3,7x4...........按照上述規律,

第9個單項式是（）

A.9x9B.17x9C.17x10D.19x9

【答案】B

【分析】本題考查單項式中的規律問題，觀察已有單項式，得到第〃個單項式為：（2〃-l）x",進而求出第9

個單項式即可.

【詳解】解：觀察已有單項式可知：第"個單項式為：

國第9個單項式是：17f；

故選B.

5.（2024?云南?模擬預測）下列命題正確的是（）

A,對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形

B."水漲船高”是隨機事件

C.單項式2xy2的次數是2

D.一元二次方程必+%+3=0有兩個不相等的實數根

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的判斷定理，隨機事件與必然事件，單項式的次數，根的判別式，運用相關知

識定理一一判斷即可.

【詳解】解：A、對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，正確，符合題意；

B、“水漲船高〃是隨機事件，錯誤，"水漲船高〃是必然事件，選項不符合題意；

C、單項式2肛2的次數是2,錯誤，單項式2孫2的次數是3,選項不符合題意；

D、一元二次方程/+丁+3=。有兩個不相等的實數根，A=12-4X3<0,錯誤，選項不符合題意；

故選：A.

6.（2024?河北唐山?三模）與395z+2x395x5+5?相等的是（）

A.（395-5）2B.（395+5）（395-5）

C.（395+5）2D.（395+io）2

【答案】C

【分析】此題考查完全平方公式進行因式分解，根據完全平方公式因式分解即可得答案.

【詳解】解：3952+2X395X5+52=（395+5）1

故選：C.

7.（2024?河北?模擬預測）下列運算中，與2〃%?（-26）2運算結果相同的是（）

A.2b-（2ab^B.-8a2+b3C.（-2a）2-Zj3D.一（2/域

【答案】A

【分析】本題考查了同底數騫相乘、騫的乘方、合并同類項、積的乘方，根據同底數幕相乘、騫的乘方、

合并同類項、積的乘方的運算法則逐項判斷即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關

鍵.

【詳解】解:2a24（-26）2=2/6.4/=8片"，

A、2b-（2oft）2=2b-4a2b2=8a2b3,故A符合題意；

B、-8〃和〃不是同類項，故不能直接相加，故B不符合題意；

C（-2af-b3=4a2-b3=4a2b3,故C不符合題意;

D、-（2a2Z?）3=-8a6Z73,故D不符合題意；

故選：A.

8.（2024?浙江?模擬預測）小江去超市購物，打算購買一件商品，在結賬時遇到了問題（如圖），你選擇

的辦法是（）

小江：送件商品正在

U舉行促德活動,可以

?打八折.我不里還在

一.素20元的優惠分.

你能通過計告訴

、我用需我的辦法嗎？J

A.先打折，再用券B.先用券，再打折

C.都一樣D.無法確定，取決于商品價格高低

【答案】A

【分析】本題考查了列代數式，整式加減的應用.設商品標價為x元，分別得到先打折，再用券以及先用券，

再打折需要支付的費用，再比較即可求解.

【詳解】解：設商品標價為x元，

先打折，再用券需要支付0.8了-20元，

先用券，再打折需要支付0.8(x-20)元，

0.8x一20—0.8(尤一20)=T<0,

即先打折，再用券比先用券，再打折更省錢，

故選：A.

9.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測)現定義一種新運算"團”，對任意有理數正、〃都有;豚"=m?(〃L"),

貝1J(a+方)※(a-b)=()

A.2ab2-2b2B.2a2b-2b3C.2ab2+2b2D.lab-lab2

【答案】B

【分析】該題主要考查了整式的混合運算，解題的關鍵是根據新定義列出等式.

原式利用題中的新定義計算即可得到結果.

【詳解】解：根據題中的新定義得：(。+切※(a-切

=(a+6)(a-6)](a+6)_(a_》)]

-2b^a+b)^a-b)

=2b(a2—川)

=2a2b-2b3,

故選：B.

10.(2024?重慶?模擬預測)有n個依次排列的算式：第1項是/,第2項是/+2〃+1,用第2項減去第

1項，所得之差記為白，將4加2記為打，將第2項與&相加作為第3項，將&加2記為4,將第3項與3

相加作為第4項.....以此類推.某數學興趣小組對此展開研究，得到3個結論①&=2"+9；②若第6

項與第5項之差為4057,則a=2024；③當〃=左時，偽+&+&+&++4=2以+產；其中正確的個數是

()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本題主要考查了完全平方公式，數字類的規律探索，整式的加減計算，根據所給計算方式，依次

求出第1項，第2項，第3項，…，及偽，瓦,b3，…，發現規律即可解決問題.

【詳解】解：由題知，第1項為：

第2項為：a2+2a+l=(a+l)2,

回偽=(a+1)~—cr—2a+1,

回優=白+2=2〃+3,

團第3項為：/+2a+l+2a+3=(a+2)2,Z?3=b2+2=2a+5}

第4項為：/+4。+4+2。+5=（。+3）2,

以此類推，

第w項為：（"+〃-1）1bn=2a+2n-1（〃為正整數）

當〃=5時，"=2。+9.故①正確.

第6項與第5項之差可表示為：（4+5）2-5+4）2,

0（a+5）2-（a+4）2=4057,

解得a=2024.故②正確.

當〃=太時，

4+%+4++4

—2a+1+2a+3+2a+5++2a+2左一1

=2ak+k2■故③正確.

故選：D.

11,（2024?湖南?模擬預測）下列運算正確的是（）

A.a64-02=a3B.（a-2y=a2-4

C.（-2加2丫=-8m6D.2ab+3a2b=5a3H

【答案】C

【分析】本題考查整式的運算，根據同底數鬲的除法，完全平方公式，積的乘方，鬲的乘方，合并同類項

的法則，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：A、a6^a2=a\原選項計算錯誤，不符合題意；

B、（a-2）2=a2-4?+4,原選項計算錯誤，不符合題意；

C.（-2m2）3=-8m6,原選項計算正確，符合題意；

D、2",3/6不能合并，原選項計算錯誤，不符合題意；

故選C.

12.（2024?重慶?一模）在多項式-a-S+c）-"（其中a>b>c>d）中，對每個字母及其左邊的符號（不包

括括號外的符號）稱為一個數，即：-。為"數1",6為"數2",+C為"數3",為"數4",若將任意兩個數

交換位置，后得到一個新多項式，再寫出新多項式的絕對值，這樣的操作稱為對多項式-〃-S+c）-d的“絕

對換位變換"，例如：對上述多項式的"數3"和"數4"進行"絕對換位變換"，得到卜a-S-d）+c|,將其化簡后

結果為a+6-c-d,….下列說法：

①對多項式的"數1"和"數2"進行"絕對換位變換"后的運算結果一定等于對"數3"和"數4"進行"絕對換位變

換"后的運算結果；

②不存在"絕對換位變換”，使其運算結果與原多項式相等；

③所有的"絕對換位變換"共有5種不同運算結果.

其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本題考查了整式的加減運算，對于新定義的理解及絕對值的性質的應用是解題關鍵.按照所提供

的運算，將所有存在的結果計算，即可解題.

【詳解】解：對多項式的"數1"和"數2〃進行"絕對換位變換"后的運算，也-（-a+c）-d|=a+。-c-d,故①

正確；

對多項式的"數1'和"數3"進行"絕對換位變換"后的運算，卜-伊-。）-4=a-"c-d,

對多項式的"數1"和"數4"進行絕對換位變換"后的運算，卜1-（6+。）-a|=a+6+c+d或-a-b-c-d

對多項式的"數2〃和"數3"進行"絕對換位變換〃后的運算，卜。-（。+6）-4=。+6+°+1或一a—b—c-d對多

項式的"數2"和"數4"進行"絕對換位變換"后的運算，卜d+c）+b|=a-6+c-d,

綜上共4種結果，故③錯誤；

其中存在，，絕對換位變換，，，使其運算結果與原多項式相等，故②錯誤.

故選：B.

二、填空題

13.（2024?甘肅?三模）如果-4x3yi與3尤3y是同類項，那么"=.

【答案】2

【分析】本題主要考查了同類項的定義，所含字母相同，相同字母的指數也相同的單項式叫做同類項，據

此解答即可.

【詳解】解：根據題意得：〃-1=1,

.\n=2,

故答案為：2.

1。

14.（2024?福建廈門?二模）已知=貝弘2尤+1）一一3x（x+l）的值為.

【答案】2

【分析】本題考查整式的混合運算、代數式求值，熟練掌握運算法則，利用整體代入思想求解是解答的關

鍵.先根據x-L=-l得出Y+x=l,然后利用完全平方公式、單項式乘多項式化簡原式，再整體代值求解

即可.

【詳解】解：0x--=-l,

X

回彳2+尤=1,

(2元+1)~—3元(x+1)

=4x2+4x+l-3x2-3%

=無？+X+1

=1+1

=2.

15.(2024?湖北?一模)我國南宋時期數學家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給

出了(。+6)"展開式的系數規律.

1....(。+6)。=1

11....Ca+b^a+b

I21....Qa+b}2=a2+2ab+b2

1331....(a+by=a3+3a2b+3ab2+b3

當代數式V一9尤2+27X-27的值為8時，則X的值為.

【答案】5

【分析】此題考查了多項式中乘法規律問題.觀察題中的圖表，表示出(a+?3,根據已知代數式的值為8,

確定出x的值即可.

【詳解】解：根據題意得：(。+6丫=/+3。%+3。。2+。3,

x3—9X2+27x—27

=x3+3x2-(-3)+3x-(-3)2+(-3)3

=(x-3)3,

(A:-3)3=8,

開立方得：x-3=2,

解得：x=5.

故答案為：5.

16.(2024?湖南?模擬預測)某班開展圖書交換閱讀活動.甲、乙、丙三名同學有相同數量的圖書、甲同學

借給乙同學4本，丙同學借給乙同學2本，一段時間后，他們約定：乙同學須將手中甲、丙兩名同學現有

圖書數量總和的一半，借給甲同學，而后乙同學手上剩余圖書的數量為本.

【答案】9

【分析】本題主要考查了整式加減的意義，設一開始三名同學各有x本圖書，則甲、丙借完圖書給乙后乙有

圖書(x+4+2)本,而甲、丙剩余圖書之和為(x-4+x-2),再根據題意列式求解即可.

【詳解】解：設一開始三名同學各有x本圖書，

由題意得，乙同學手上剩余圖書的數量為x+4+2-=x+6-(》-3)=9本，

故答案為：9.

三、解答題

17.(2024?河北?模擬預測)如圖1是一個長為m,寬為n的矩形(，”>").用7張圖1中的小矩形紙片,

3

按圖2的方式無空隙不重疊地放在大矩形內，未被覆蓋的部分用陰影表示.若大矩形的長是寬的1.

m

圖1圖2

(1)求m與n的關系；

⑵若圖2中，大矩形的面積為18,求陰影部分的面積.

【答案】(l)m=4n

,26

(2)T

【分析】本題考查列代數式、整式的加減、多項式乘多項式、代數式求值，看懂圖形，正確列出代數式是

解答的關鍵.

(1)先根據圖形，用小、〃表示出矩形的長、寬，再根據長和寬的關系可得結論；

(2)根據圖形，用根、〃表示出大矩形的面積，進而求得〃2,進而可得陰影面積的值.

【詳解】(1)解：由題意，大矩形的長為根+5孔，寬為機+2〃，

3

團大矩形的長是寬的萬,

3

團加+5〃=5（加+2