幾何圖形初步、相交線與平行線

、知巫清單

在線的J&本事實:兩點確定?條直線

線段的基本事實:兩點之間線段最短r~ir~

兩點間的距離:兩點之間線段的尺度叫做這兩點之間的距肉圖?

線段和直線）線段的和與基：如圖I,在線段AC上取一點8,則有48+QBC=AC.RC=AC-2AB

線段的中點：如圖2,點〃把紋段\（：分成兩條相等的線段1〃與小：,點〃叫

做線段4G的中點,則仃AH=HC=3yAC

度、分、秒的換算:1周用=360。.1平角=180。，I。=60',7760”?角的度、分、秒

是60進制的

/［定義:。如果兩個用的和足?個，川?那么這兩個角互為余fk簡稱“五余二

余用t性質:同的（或等角）的余角相等

角及

其平“定義:如果兩個角的和足?個平川挪么這兩個角江為補角.簡稱F補”

’”性質：:,同角（或為川）的祚價相可

分線

幾「性質：0弁3’分級I的點到ffl兩邊的距離相等?如圖3,〃（；*/1（"的中分：'%.〃""I

何向平分線一點，〃占廣〃干點EJ）F1OR于點兒則〃「二⑦加

圖I逆定理：角的內部到角的兩邊距離相等的點在R介匕分加上

形

初

步舉例：41與43/2與⑨幺等

、人［性質：對頂角⑩相等

相

交鄰補力舉例：以與46/6與?Z.7等

線［性質:鄰補為之和等于通180。

與

平［同位角：乙I|」匕5/2加："6等

行

線三線八角內錯角：22與乙8,乙3與&

同旁內角：同2與25.Z3與?48

相交線圖4

（in184）定義:如果兩條電線相交，所成的四個角中有一個角是邕角,那么這兩條直線互相垂出其中一

條直線叫做另?條直線的垂線

垂線基本事實：在同一平面內,過一點rr11只有■一條直線與巳知直線垂直

在線外一點與直線上各點連接的所仃線段中,西垂線段最短

點到H線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度

性質：刀線段垂直平分線」；點的距於，

線段垂克平分線

逆定理:到線段兩端點跟離相寫的點在:該線段的鄴垂直上分線上

同一平面內.不相交的兩條在線叫做平行線

f基本事實:過在線外一點,有口只有?一條直線與這條直線平行

平行公理及推論推論：如果網條fi線都與第三條在線平行,那么這兩條直線也互相?平行.

I即如果〃〃*”〃,則?6%

同位角㈡相等7^=兩在線平行

平行線11W

平行線的性質與判定內錯角⑷相等兩出線平行

UiW

同旁內角?互補'::??兩直線平行

性質

【滿分技法】在同一平而內,垂直于同一條直線的兩克線平行；兩條平行線之間的距離處處相生

命題:判斷一件多情的句了?叫做命題

其命題：如果條件成憶那么結論成立.像這樣的命題叫做真.命題

命題假命題：如果條件成立時，不能保證結論總是正確的,也就是說結論不成立,像這樣的命題叫做假命題

無逆命題:在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第?個命題的結論乂是第..個

命題的條件.那么這兩個命題叫做〃.逆命題，其中一個命題是另一個命題的逆命題

方法清單

方法1:直線、線段、交點或角的數量問題

選擇題（共5小題）

1.（2023?西湖區校級三模）如圖，ZACB=90°,NC=4,點尸是直線上動點，則線段4P長度不可能是（）

C.5D.6

【分析】由垂線段的性質：垂線段最短，即可得到答案.

【解答】解：ZACB=90°,/C=4,點尸是直線C2上動點，則線段4P長度不可能是3.

故選：A.

【點評】本題考查垂線段最短，關鍵是掌握垂線段的性質：垂線段最短.

2.（2023?安岳縣二模）如圖，直線°//6,若/1=70。，Z2=46°,則N3的度數為（）

B.24°C.26°D.30°

【分析】由平行線的性質求出24=70。，由三角形外角的性質求出25=24。，由對頂角的性質得到N3=N5=24。.

【解答】解：

Z4=Z1=70°,

Z4=Z2+Z5,

Z5=Z4-Z2=70°-46°=24°,

Z3=Z5=24°.

【點評】本題考查平行線的性質，三角形外角的性質，對頂角的性質，關鍵是由平行線的性質求出N4的度數，由

三角形外角的性質得到N5的度數，即可由對頂角的性質得到答案.

3.（2023?歷下區模擬）如圖，在AABC中，ZACB=90°,過點。作M,若NEC4=55。，則的度數為（）

C

EF

Az-------------------------------

A.55°B.45°C.35°D.25°

【分析】由EF//AB,得至I」NN=NECN=55。，由直角三角形的性質得到N3=90。一NN=35。.

【解答】解：,??￡〃//48,

NN=ZECA=55°,

■.■ZACB=90,

ZB=90°-ZA=35°.

故選：C.

【點評】本題考查平行線的性質，直角三角形的性質，關鍵是掌握平行線的性質.

4.（2023?南皮縣校級模擬）如圖，四邊形/BCD中，點河，N分別在48,上，將沿翻折得AFW,

若MF11AD,FN//DC,則角度是（）

【分析】先利用平行線的性質，再利用翻折變換的性質，進而求出的度數.

【解答】解：???MF/IAD,FN//DC,ZA=110°,ZC=90°,

=110°,AFNB=90°,

???將NBMN沿MN翻折得\FMN,

ZFMN=NBMN=55°,ZFNM=MNB=45°,

NF=/B=l80°-55°-45°=80°,

故選：D.

【點評】本題主要考查平行線的性質，多邊形內角和定理以及翻折變換的性質，找出其中隱含的角的等量關系是本

題解題關鍵.

5.（2023?東明縣一模）將一個長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、3E為折痕，若/4BE=20。，則/CAD等

A.50°B.60°C.70°D.80°

【分析】利用折疊對稱的關系，角的加減，求出NC8。的值.

【解答】解：由題意可知：^ABE=ZEBA',ZA'BD=ZDBC,

ZABE=20°,

ZCBD=^ZA'BC=^（180°-ZABA'）=1x（180°-2NABE）=1x（180°-2x20°）=70°,

故選：C.

【點評】本題考查了角的計算，折疊對稱，解題的關鍵是熟練掌握角的計算，圖形的折疊對稱的性質.

二.填空題（共1小題）

6.（2023?姜堰區一模）如圖，a、6是平面內兩條不相交的直線，Z3=90°,Zl=35°,則/2=55°.

b

【分析】延長Z8交直線6于C,由平行線的性質，得到N3CD=/I=35。，由三角形外角的性質求出NADC的度

數，由對頂角的性質即可求出/2的度數.

【解答】解：延長交直線b于C,

a>6是平面內兩條不相交的直線，

/.a11b,

/BCD=Z.1=35°,

???Z3=/BCD+ZBDC,

=90°-35°=55°,

Z2=ZBDC=55°.

故答案為：55.

【點評】本題考查平行線的性質，對頂角的性質，三角形外角的性質，關鍵是延長N8交直線6于C,求出/加。的

度數.

三.解答題（共2小題）

7.（2023?邯鄲模擬）用直尺畫數軸時，數軸上的點/,B,C分別代表數字a,b,c,已知43=6,BC=2,

如圖所示.設點p=a+b+c,該數軸的原點為。.

>

ABC

(1)若點/所表示的數是-1,則點C所表示的數是7；

(2)若點/,5所表示的數互為相反數，則點。所表示的數是—，此時夕的值為—；

(3)若數軸上點。表示的數為4,求夕的值.

【分析】(1)根據數軸上兩點間的距離與兩點表示的實數間的關系計算即可；

(2)根據相反數和線段的中點的定義，運用有理數的加、減法則計算即可；

(3)根據數軸上兩點間的距離與兩點表示的實數間的關系，以及有理數的加、減法則計算即可.

【解答】解：(1)?.?4§=6,BC=2,

:.AC=AB+BC=6+2=S,

???點力所表示的數是-1,

.,.點C所表示的數是-1+8=7.

故答案為：7；

(2)???點5所表示的數互為相反數，

原點O是線段45的中點，

,/AB=6,

OA=OB=3,

a=—3Jb=3,

BC=2,

c=3+2=5，

2=Q+Z?+C=—3+3+5=5,

故答案為5,5；

(3)?.?點。表示的數為4,AB=6,BC=2,

。=4,6=4-2=2,。=2-6=-4,

:.p=a+b+c=-4+2+4=2.

【點評】本題考查數軸上兩點距離、相反數的概念，涉及線段的中點，線段的和差計算，有理數的加減運算等知識.

8.(2023?江岸區模擬)如圖，點。、E、尸分別是三角形45C的邊5C、C4、48上的點，DEUBA,DF//CA.

(1)求證：ZFDE=ZA.

(2)若直接寫出的值.

A

E

B

【分析】（1）根據。E//24,。尸//C4得四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得結論;

（2）根據平行線分線段成比例可得3。：。=8/：/歹=/￡:。￡=1:4,連接4D,根據等高的三角形面積之比等于

底之比即可解決，設三角形3。尸面積為s,表示出其余三角形的面積,

【解答】（1）證明：???DE/AB/,DF//CA,

四邊形/FDE是平行四邊形,

Z.FDE=ZA；

(2)解：連接ND,設S?DF=s,

:.BD:CD=BF:AF=1:4,

S^BDF:S^DF=BF:AF=1:4,

Sw=4sg國=4s，

S\ADF=^ADEA=4s,

又?；DEIIBA,

:.BD:CD=AE:CE=1:4,

^\ADE-S“DE=4E:CE=1:4,

4S&ADE=SACQE=16s,

S/UBC=S\ADE+SRCDE+\ADF+^ABDF,

S“BC=4s+16s+4s+s=25s，

S^CDE_16s_16

S^BC25s25

【點評】本題考查了平行線分線段成比例，高相等的兩個三角形面積之比等于底邊長之比，平行四邊形的判定與性

質.

方法2：豬腳模型

一.選擇題（共9小題）

1.（2023?五華區校級模擬）如圖，點5在ACQE的邊石C的延長線上，AB//CD,若NB=50°,NE=30°,則ZD

的度數為（）

AB

D

A.15°B.20°C.30°D.50°

【分析】根據平行線的性質和三角形外角的性質即可得出答案.

【解答】解：???/B//C。，/3=50。，

/B=NBCD=50°,

/BCD=ND+NE,/E=30°,

ZD=20°,

故選：B.

【點評】本題主要考查了平行線的性質，掌握三角形外角的性質是解題的關鍵.

2.（2023?大石橋市校級三模）如圖，直線Q//,等邊A48c的頂點C在直線6上，Zl=28°,則/2的度數為（）

A.36°B.24°C.28°D.32°

【分析】過點B作8///Q,然后利用豬腳模型進行計算，即可解答.

【解答】解：過點5作5///。，

Zl=AABF=28°,

KABC是等邊三角形，

NABC=60°,

/.ZFBC=/ABC-/ABF=32°,

allb,

:.BF//b,

Z2=AFBC=32°,

故選：D.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質，平行線的性質，熟練掌握豬腳模型是解題的關鍵.

3.（2023?合肥三模）如圖，a11b,矩形/8C。的頂點8在直線。上，若/1=34。，則N2的度數為（)

A.34°B.46°C.56°D.66°

【分析】過點/作4E//Q,利用矩形的性質和平行線的判定與性質解答即可.

【解答】解：過點4作4萬//〃，如圖,

NEAB=Z1=34°.

■:aI/b,AE//Q,

...AEIlb,

/.Z2=/DAE,

,??四邊形45C。為矩形,

ZDAB=90°,

NDAE=90°-NEAB=56°,

Z2=56°.

故選：C.

【點評】本題主要考查了矩形的性質，平行線的性質，本題是豬腳模型，過點/作4E//。是解題的關鍵.

4.（2023?合肥二模）如圖，將直尺與30。角的三角尺疊放在一起，若Nl=65。，則N2的大小是（）

C.60°D.65°

【分析】利用角的和差關系先計算/尸￡。，再利用平行線的性質得結論.

【解答】解：由題意知：ZFEG=60°,

/FED=Nl+NFEG=65°+60°=125°.

?/AB!/CD,

Z2+ZFED=1SO0.

Z2=180°-125°=55°.

【點評】本題主要考查了平行線，掌握平行線的性質是解決本題的關鍵.

5.（2023?臨胸縣一模）如圖，水面與水杯下沿平行，光線￡尸從水中射向空氣時發生折射，光線變成我，

點G在射線即上，已知/毋^二20。，AFED=45°,則/GM7的度數是（）

A.65°B.60°C.45°D.25°

【分析】本題從45//。，可以得到同位角相等，/GFB=/FED,然后相減可得到/GFH的度數.

【解答】解：???/8//C。，

ZGFB=NFED=45°,

ZGFH=/GFB-NBFH=45°-20°=25°，

故選Z）.

【點評】本題考查平行線的性質，兩直線平行，同位角相等.

6.（2023?海南模擬）如圖，已知=20°,/。=130。，那么/BCD等于（)

C.80°D.90°

【分析】兩直線平行，內錯角相等、同旁內角互補，在本題中，根據這兩條性質即可解答.

【解答】解：過點。作CF//4B,

ABIIDE,

AB/IDE//CF；

ZB=/BCF，ZFCD+/D=180。，

/BCD=180°-ZD+Z5=180°-130°+20°=70°.

故選：B.

【點評】結合題意和圖形作出正確的輔助線是解決本題的關鍵.

7.（2023?祁陽縣一模）如圖，將直尺與30角的三角尺疊放在一起，若N2=50。，則N1的大小是（）

【分析】根據平角的定義和平行線的性質即可得到結論.

-,?Z2=50°，ABIICD，

Z4=Z2=50°，

Zl=180°-60°-50°=70°,

故選：C.

【點評】本題考查了平行線的性質，平角的定義，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

8.（2023?夏邑縣二模）如圖，a//b,將一個等腰直角三角板放置到如圖所示位置.若Nl=15。，則/2的大小是（

）

A.20°B.25°C.30°D.45°

【分析】過點3作3C//6,利用平行線的性質可得NC8O=15。，再利用等腰直角三角形的性質可得=45。，

從而可得N/3C=30。，然后再利用平行線的性質即可解答.

【解答】解：如圖：過點B作BC/力,

Zl=ZCBD=15°,

???A4皿是等腰直角三角形，

/ABD=45°,

/ABC=/ABD-ZCBD=30°,

vallbi

a//BC,

Z2=/ABC=30°,

故選：C.

【點評】本題考查了平行線的性質，熟練掌握豬腳模型是解題的關鍵.

9.（2023?永州模擬）一塊直角三角板按如圖所示方式放置在一張長方形紙條上，若Nl=28。，則/2的度數為（）

【分析】過直角的頂點￡作兒W///8,利用平行線的性質解答即可.

【解答】解：如圖所示，

過直角的頂點￡作人加///8,交/。于點交于點N,

?.,四邊形48co是矩形,

AB//CD,

AB//MN,

:.MN//CD,

Z4=Z1=28°，

???N3+/4=90°,

/.Z3=90°-Z4=62°.

N2=N3=62°.

故選：D.

【點評】本題主要考查平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等，過直角的頂點￡作〃乂///5是解題的關鍵.

二.填空題（共1小題）

10.（2023?寧江區一模）已知4/〃2,一個含有30。角的三角尺按照如圖所示的位置擺放，若/1=65。，則N2=25

【分析】先利用平行線的性質得出/1=/3,Z2=Z4,最后利用直角三角形的性質即可.

【解答】解：如圖,

過直角頂點作。/〃1，

,/4/〃2，

:.IJll2l/13,

Zl=Z3,Z2=Z4,

...Nl+N2=N3+/4=90°，

Z1=65°，

Z2=25°.

故答案為：25

【點評】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是熟記性質并靈活運用，平行線的性質：兩直線平行，同位角相等;

兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等.平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系.平

行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系.

方法3：鉛筆模型

一.選擇題（共12小題）

1.（2023?渝中區校級模擬）如圖，已知直線a//6,ABAC=90°,Z1=40°,則/2的度數為（）

A.40°B.50°C.130°D.140°

【分析】根據平角的性質和平行線的性質即可得出結論.

【解答】解：如圖，

???Zl+Z3+90°=180°,Z1=40°,

Z3=50°,

?/a!!b,

N2=N3,

Z2=50°,

故選：B.

【點評】本題主要考查了平行線的性質和平角的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

2.（2023?金安區一模）如圖，已知a//6,Z1=45°,Z2=125°,則42C的度數為（）

【分析】解法一：過點B作DE//a,貝U/。3/=/1=45。，易得DE/力,進而得至U/2+/D3C180°,求得

ZDBC=55°,于是NABC=NDBA+NDBC,代入計算即可求解.

解法二：延長48交6于點尸，由平行線的性質得到Nl=/3=45。，再利用三角形的外角性質可得N2二Z3+ZCBF,

進而求得NC8尸=80。，最后根據平角的定義即可求解.

【解答】解：解法一：如圖，過點8作DE//。，

A

，/DBA=Z1=45°，

■:aIlb,DE//a,

"DEIlb,

Z2+ZD5C=180°,

/.ZDBC=180。—N2=180。—125。=55。，

/ABC=/DBA+ZDBC=45°+55°=100°.

解法二：如圖，延長交6于點尸，

val1b,

/1=N3=45。，

Z2=125°,

?.?N2=N3+ZCBF，

/.NCBF=Z2-Z3=125°-45°=80°,

/ABC=180。—ZCBF=180。—80°=100。.

故選：A.

【點評】本題主要考查平行線的性質、三角形外角性質，熟練掌握平行線的性質和三角形外角性質是解題關鍵.

3.(2023?龍湖區校級三模)如圖所示，直線1alib,N2=31。，乙4=28。，則/1=()

A.61°B.60°C.59°D.58°

【分析】根據三角形外角的性質+欲求/I,需求根據平行線的性質，由。//,得

N1=/DBC,從而解決此題.

【解答】解：

Z1=/DBC,

NDBC=/A+N2,

=28°+31°

=59°.

故選：C.

【點評】本題主要考查平行線的性質、三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質、三角形外角的性質是解決本題

的關鍵.

4.（2023?中原區校級一模）一把直尺和一個含30。角的直角三角板按如圖所示方式放置.其中三角板的直角頂點C

落在直尺ZE上，若AE//BF,則的度數為（）

A.130°B.120°C.110°D.100°

【分析】根據4￡//5/，得出NEC尸=30。，由于AC5分為直角三角形，由此得出答案.

【解答】解：??,4&//8尸，

ZCFB=ZECF=30°,

ZBCF=90°，

NBCE=120。，

故選：B.

【點評】本題主要考查平行線的性質，求出NECF的度數是解題的關鍵.

5.（2023?南昌二模）如圖，把一塊含有30。角的直角三角板的兩個頂點放在直尺的對邊上.如果/1=37。，那么N2

C.23°D.37°

【分析】根據平行線的性質，兩直線平行，內錯角相等，進而可以得出答案.

?.,直尺的兩條邊平行，Zl=37°,

Zl=Z3=37°,

?.?直角三角板的一個角為30。,

Z2+Z3=60°,

22=60。-37。=23。,

故選：C.

【點評】本題主要考查了平行線的性質，注意隱含條件，直尺的兩條對邊平行和直角三角板的一個銳角是30。是解

題的關鍵.

6.（2023?城廂區校級模擬）如圖，直線。，6被直線c所截，若a"b,Z1=70°,則/2的大小是（）

A.70°B.80°C.100°D.110°

【分析】根據鄰補角得出/3的度數，再由平行線的性質即可得出答案.

???Zl+Z3=180°,

/3=180°-70°=110°,

,:a11b,

Z2=Z3=110°,

故選：D.

【點評】本題主要考查平行線的性質，解題的關鍵是兩直線平行，內錯角相等.

7.（2023?鄭州二模）如圖，一副三角尺按如圖所示的方式放置，若AB"CD,則/a的度數為（）

A.75°B.90°C.105°D.120°

【分析】根據三角尺得出=45。，由于CQ///8,由平行線的性質即可得出答案.

【解答】解：???/5=45。，CD//AB,

ZBCD=45°,

ND=60°,

二./a=60。+45。=105。，

故選：C.

【點評】本題主要考查平行線的性質，已知三角尺的各個角的度數是解題的關鍵.

8.（2023?重慶模擬）如圖，已知45//CQ,將一塊直角三角板按如圖的位置放置，使直角頂點在直線C5上，若

Zl=66°,則/2的度數為（）

A.14°B.24°C.34°D.66°

【分析】根據平行線的性質和平角的定義即可得到結論.

vABI/CD,Z1=66°

/I=N3=66°,

???Z2+Z3+90°=180°,

/.Z2=24°,

故選：B.

【點評】本題主要考查了直角三角形的性質和平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

9.（2023?蕭山區一模）如圖，AB//CD,乙4=52。，/C—NB=6。，則的度數為（）

B-A

CD

A.46°B.49°C.55°D.58°

【分析】根據/B//C。，得出//=/C=52。，再由/。一/5=6。，即可得出答案.

【解答】解：???45//CD,

ZA=ZC=52°,

?//C—NB=6°,

28=52。-6。=46。，

故選：A.

【點評】本題主要考查平行線的性質，求出/C是解題的關鍵.

10.（2023?南寧一模）如圖，將一塊三角板的頂點放在對邊平行的紙條一邊上.若Nl=50。，則N2的度數是（）

【分析】根據圖示Nl+N3=90。，求出N3,再根據平行線的性質，即可求出/2的度數.

Z1=50°，

Z3=40°,

???紙條的對邊平行，

N2=N3=40°,

故選：C.

【點評】本題主要考查平行線的性質，理解題意是解題的關鍵.

11.（2023?巨野縣三模）已知直線/"4，將含30°角的直角三角板按如圖所示擺放.若N1=120°，則/2=（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

【分析】過點5作研///1,交/C于點尸，利用三角形的外角的性質，平行線的性質定理和對頂角相等的性質解答

即可.

【解答】解：過含30。角的直角三角板的直角頂點8作8/交ZC于點尸，

N4=90°—NC=60°.

???/1=乙4+乙4。￡,

NADE=60°.

??.BF/4,

/ABF=NADE=60°,

ZFBG=90°-ZABF=30°.

?/BF//I.,/"〃2,

BF/4，

NBGH+NFBGH80。,

ZBGH=180。—ZFBG=150。，

/2=NBGH=150。.

故選：D.

【點評】本題主要考查了直角三角形的兩個銳角互余，平行線的性質定理，三角形的外角的性質，對頂角相等，過

點、B作BF〃k，交4c于點尸是解題的關鍵.

12.（2023?西城區二模）如圖，直線45//CQ,直線物分別交45,CD于點E,F,廠的平分線交CQ點G,

若/BEF=116°,則/EGC的大小是（）

A.116°B.74°C.64°D.58°

【分析】先利用角平分線的性質和平角的性質求出//￡尸，再利用平行線的性質求出/MG,最后根據三角形的內

角和即可得出答案.

【解答】解：；EG為/班尸的平分線，ZBEF=\\6°,

:.NFEG=58。,

:.ZAEF=l80°-\\6°=64°,

直線AB//CD,

ZEFG=AEF=64°,

在A￡FG中，AFEG+ZEFG+ZEGF=180°,

ZEGF=180°-58°-64°=58°,

ZEGC=58°,

故選：D.

【點評】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的性質和平角的性質，熟練掌握性質的內容是解題的關鍵.

二.解答題（共1小題）

13.（2023?新洲區校級模擬）如圖，點3,E,C,尸在同一條直線上，ABAC=ZEDF,AB//DE,4c與DE

相交于點O.

（1）求證：ZACB=ZF；

（2）若BE=CF=；CE,且S^OD=1,直接寫出S四邊物MD的值為15.

【分析】（1）由AB//DE得ZB=ZDEF,進而證明\ABC^\DEF即可；

（2）先證明AA8C三ADM后即可證明四邊形/BED是平行四邊形，貝I]/D=且4D//8E,利用三角形面積的

比等于相似比的平方即可得證.

【解答】證明：（1）???/B/ADE,

NB=ZDEF,

又；NBAC=NEDF,

\ABC^\DEF,

ZACB=NF；

解：（2）設CF=x,

?1-BE=CF=-CE,

2

BC=CE+BE=CE+CF=EF=3x,CE=2x,

由（1）知ZB=ZDEF,ABAC=ZEDF,

/.\ABCw\DEF⑷S),

AB=DE,

ABIIDE,

二.四邊形ABED是平行四邊形，

AD=BE=x,AD//BE,ZADE=NB,

.AD_x_1

AD!IBC,

NDAO=/ACB,

\ADOsbCBA,

.S^DO_(4。)2_]

,?二F~9

?「S^AOD~1，

S*BC=9，

...\ADOsbCOE,

S"DO_(X、2_]

「不元"41

SbcoE=4，

???\ABC=\DEF,

一S四邊形Z8E0—S四邊形O0CF—S^BC~S^COE=9-4=5i

,,S四邊形0BFD=S\ABC+^&AOD+5四邊形00。尸+$^??=9+5+1=15.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質、平行線的判定和性質，熟悉已知條件，利用相似三角形的面積的比

等于相似比的平方是解決問題的關鍵.

方法4：鋸齒模型

一.選擇題（共9小題）

1.（2023?金寨縣校級模擬）如圖，/"/心Zl=35°,Z2=50°,則/3的度數為（）

C.105°D.115°

【分析】首先根據平行線的性質可得出Nl+N2+N3=180。，據此可得出N3的度數.

【解答】解：?.?/"/分?

Zl+Z2+Z3=180°，

vZ1=35°,Z2=50°,

Z3=180°-Zl-Z2=95°.

故選：B.

【點評】此題主要考查了平行線的性質，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握兩直線平行，同旁內角互補.

2.（2023?西峽縣三模）如圖是一款手推車的平面示意圖，其中45//CO,/I=30°，Z2=70°，則Z3的度數為（）

130°C.140°D.150°

【分析】首先根據平行線的性質得出//=60。，再根據平角的定義求出乙4跖=110。，最后再根據三角形的外角定

理可求出/3的度數.

【解答】解：???/B//C。，Zl=30°,

ZA=Z1=30°

/3=//+NAEF=30°+110°=140°.

故選：C.

【點評】此題主要考查了平行線的性質，三角形的外角定理，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握平行線的性質.

3.(2023?雙峰縣一模)如圖，AB//CD,EG平濟/AEN,若/EFD=108。，則NGEN=()

N

B.36°C.108°D.54°

【分析】首先根據平行線的性質得/瓦力+/5斯=180。，進而可求出/瓦明=108。，然后根據對頂角相等得

ZAEN=ZBEF=72°,最后根據角平分線的定義可求出AGEN的度數.

【解答】解：???AS//CD,

:.ZEFD+ZBEF=180°,

■ZEFD=1QS°,

ZBEF=180°-NEFD=180°-l08°=72°,

ZAEN=ZBEF=72°,

EG平分ZAEN,

AGEN=-ZAEN=-x72°=36°.

22

故選：B.

【點評】此題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，對頂角的性質等，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌

握平行線的性質.

4.（2023?六安三模）如圖，線段/8//CD,￡為線段CO上一點，AE,BC交于點F,連接己知N/8C=50。，

ABED=72°,則NCBE=（）

A.12°B.22°C.50°D.72°

【分析】先由平行線的性質得出NABE=ABED=72°,再由NCBE=NABE-ZABC即可得出此題的答案.

【解答】解：?.?/3//C。，ABED=72°,

NABE=ABED=72°,

又,；NABC=5Q°,

ZCBE=NABE-ZABC=72°-50°=22°.

故選：B.

【點評】此題主要考查了平行線的性質，解答此題的關鍵是準確識圖，理解兩直線平行，內錯角相等.

5.（2023?清苑區二模）如圖，要判斷一張紙帶的兩邊",6是否相互平行，提供了如下兩種折疊與測量方案:

對于方案I,II,下列說法正確的是（）

A.I可行，II不可行B.I不可行，II可行

C.I、II都不可行D.I,II都可行

【分析】根據“內錯角相等，兩直線平行”可對方案I進行判斷；對于方案II,先證AO/C和AO2D全等，從而得

NO4c=ZOBD,進而根據平行線的判定可對方案II進行判斷.

【解答】解：對于方案I,

?/Zl=Z2,

al1b,

：.方案I可行；

對于方案II,

在ACUC和AOB。中，

AO=BO

<ZAOC=ZBOD,

AO=BO

AOAC=AOBD(SAS),

AOAC=ZOBD,

:.AC//BD,

即：aIlb,

：.方案n可行，

綜上所述：方案i,n都可行.

故選：D.

【點評】此題主要考查了圖形的折疊變換，平行線的判定，全等三角形的判定和性質，解答此題的關鍵是熟練掌握

平行線的判定，難點是正確理解圖形的折疊變換.

6.（2023?西峽縣一模）如圖，直線/直線交丸于點。，直線。E_L3C交4于E，ZADC=145°,則48EO

C.35°D.60°

【分析】首先根據對頂角的性質得到NED3=N4DC=145。，再根據OE，8C可求出N1=55。，最后再根據平行線

的性質可求出ABED的度數.

【解答】解：?.,NFD8=N/DC=145。，

即：ZFDE+ZBDE=145°,

■：DE1BC,

/BDE=90°,

ZFDE=90°-ZBDE=145°-90°=55°，

?/4/〃2，

/BED=ZFDE=55°.

【點評】此題主要考查了平行線的性質，對頂角的性質，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握平行線的性質.

7.（2023?竦州市一模）直角三角板/8C與直角三角板DEF如圖擺放，其中ZB/C=NED尸=90。，ZE=45°,

ZC=30°,NC與DE相交于點若BCI/EF,則NCME的大小為（）

A.75°B.80°C.85°D.90°

【分析】首先根據平行線的性質得出NE/M=/C=30。，然后根據三角形的外角定理可求出NEMC的度數.

【解答】解：???BC//E尸,

ZEAM=ZC=30°,

又=45°，

AEMC=ZEAM+ZE=30°+45°=75°.

故選：A.

【點評】此題主要考查了平行線的性質，三角形外角定理，解答此題的是準確識圖，熟練掌握平行線的性質及三角

形的外角性質.

8.（2023?東昌府區二模）將含30。角的一個直角三角板和一把直尺如圖放置，若Nl=48。，則/2等于（）.

【分析】首先根據直尺的對邊平行得出/3=/1=48。，再根據三角板的形狀特征得出N4=60。，然后再根據三角形

的外角定理即可求出Z2的度數.

【解答】解：?.?Zl=48。,

由平行線的性質得：Z3=Z1=48°,

依題意可知：Z4=60°,

Z2=Z3+Z4=48°+60°=108°.

故選：C.

【點評】此題主要考查了平行線的性質，解答此題的關鍵是理解題意，讀懂圖形，熟練掌握兩直線平行，內錯角相

等；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.

9.（2023?西藏）如圖，已知a//6,點/在直線〃上，點8,C在直線6上，NBAC=90°,Zl=30°,貝U/2的度

數是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【分析】根據平行線的性質與三角形的內角和為180。進行解題即可.

【解答】解：由題可知：NBAC=90°,Zl=30°,

,.ta!lb,

Z1=NABC=30°,

又知NABC+Z2=90°,

故N2=90°-30°=60°.

故選：C.

【點評】本題考查平行線的性質，掌握平行線的性質是解題的關鍵.

二.填空題（共3小題）

10.（2023?永州）如圖，AB//CD,BC//ED,ZB=80°,則NO=100度.

【分析】首先由48//CD得出ZBCD=ZB=80°,再由BC//即得出40+ZBCD=180°,據此可得出此題的答案.

【解答】解：vAB//CD,/5=80,

/BCD=/B=80°,

???BC//ED,

ND+N5CZ）=180。,

...ND=180。—/BCD=180。—80°=100。.

故答案為：100.

【點評】此題主要考查了平行線的判定和性質，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握平行線的判定及性質：兩直

線平行，同位角相等，兩直線平行，內錯角相等，兩直線平行，同旁內角互補.

11.（2023?船營區一模）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，點/在邊上，BC//即，則的度數是

【分析】設48與￡尸交于點〃，根據平行線的性質得乙4"F=N5=60。，再根據三角形的外角定理可求出

ZBAE=15°,進而根據平角的定義可求出的度數.

【解答】解：依題意得：ABAC=90°fAB=60°,N￡=45。，

設AB與EF交于點H,

???BC//EF,

ZAHF=NB=60°,

又ZAHF=ZE+ZBAE,

60°=45°+ZBAE,

NBAE=T5。,

ADAC+/CAB+NBAE=180°,

ZDAC+90°+15°=180°,

/DAC=750.

故答案為：75.

【點評】此題主要考查了平行線的性質，三角形的外角定理，平角的定義等，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌

握平行線的性質，理解三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.

12.（2023?成武縣校級三模）平面鏡在光學儀器中有廣泛的應用.平面鏡反射光線的規律是：射到平面鏡上的光線

和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等.如圖①，一束光線加射到平面鏡。上，被。反射后的光線為〃，則

Nl=/2.如圖②，兩平面鏡（W,ON的夾角NM9N,若任何射到平面鏡ON上的入射光線23,經過平面鏡ON,

【分析】首先根據題意可得出/1=/2,Z3=Z4,再根據平角的意義得2N2+45C=180。，2Z3+ZDCS=180°,

即2(N2+/3)+(N48C+/DCB)=360。，然后根據48//CD得N48C+=180。，進而可求出/2+/3=90。，

據此可求出AMON的度數.

【解答】解：依題意得：Zl=Z2,Z3=Z4,

Z1+Z2+/ABC=180°,Z3+Z4+ZDCB=180°,

，2N2+NA8C=180。，2Z3+ZDC5=180°,

2/2+/ABC+2/3+ZDCB=360°,

即：2(/2+/3)+(4BC+NDC8)=360。，

AB//CD,

ZABC+ZDCB=,

2(22+N3)+180°=360°,

Z2+Z3=90°,

ZMON=180°-(Z2+Z3)=90°.

故答案為：90°.

【點評】此題主要考查了平行線的性質，平角的意義，三角形的內角和定理，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌

握平行線的性質.

、考斌清單

認識平面圖形（共1小題）

1.（2023?連云港）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形；乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成

的圖形；丙是由不過圓心。的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形.下列敘述正確的是（）

C.只有丙是扇形D.只有乙、丙是扇形

【分析】根據扇形的定義進行判斷.

【解答】解：由扇形的定義可知，只有乙是扇形，

故選：B.

【點評】本題主要考查了認識平面圖形一扇形，應熟知扇形的定義：由圓心角的兩條半徑和圓心角所對的圓弧圍成

的圖形叫做扇形.

二.幾何體的展開圖（共1小題）

2.（2023?達州）下列圖形中，是長