專題三隱圓最值問題

知識與方法

一、定點與圓的距離的最值

①②③

圖3-3-1

說明：如圖3-3-1①,圓外一點P到圓的最短距離為PA,最長距離為PB（P,A,O,B四點在同一條直線上）.

理由如下：如圖②，由三角形三邊關系可知：PC+COPO,即PC+C8PA+0A,因為CO=AO,所以可知P&PA始

終成立，即線段PA為圓外一點P到圓的最短距離.

同理，如圖③，由三角形三邊關系可知：PC<PO+OC,因為CO=BO,所以可知PC<PO+OB,即PC<PB始終成立,

即線段PB為圓外一點P到圓的最長距離.

說明：如圖3-3-20,圓內一點P到圓的最短距離為PA,最長距離為PB（P,A,O,B四點在同一條直線上）,理由

同上.

圖3-3-2

二、隱圓模型

1.定點定長型（如圖3-3-3）

2.定邊對定角型（如圖3-3-4）

點點

P

構圓策略：尸在以四為弦的圓上

,周角L/網=a（00<a<90°）

（I

三角叫I

--------角ZAOB=2a

P'確定圓心J的位置和半徑長

四點共圓型（如圖）

3.3-3-5圖3-3-4

4.米勒問題

如圖3-3-6,已知A.B是/MON的邊ON上的兩個定點，P是邊OM上的動點，則當點P在何處時,NAPB

對米勒問題有如下重要結論稱之為米勒定理.

米勒定理:已知A,B是/MON的邊ON上的兩個定點，P是邊OM上的動點，則當且僅當三角形ABP的外

接圓與邊OM相切于點P時,NAPB最大.

證明:如圖3-3-7,設P是邊OM上不同于點P的任意一點，連接PAPBPA與圓交于點C,連接CB,根據三

角形外角的性質，可知/ACB>/APB,根據圓周角定理推論可知,/APB=/ACB,因此/APB>/APB也就是當且

僅當三角形ABP的外接圓與邊OM相切于點P時,NAPB最大

例1如圖338,在RtAABC中,NC=9(T,AC=6,BC=8,點F在邊AC上，并且CF=2,E為邊BC上的動點，將

ACEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是.

解題核心思路：狠抓不變量，即圖形是否存在定點、定角、定長.

思考：定點是誰？定長有嗎？軌跡如何？

ACEF沿直線EF翻折時，點F為定點,

?；CF=PF,，PF=2,即動點P到定點F的距離始終不變，

即點P在以F為圓心，PF長為半徑的圓上運動.

—轉化為圓上一點到直線的最短距離問題.

【簡析】延長FP交AB于M,當FPXAB時，點P到AB的距離最小.

ZA=ZA,ZAMF=ZC=90°,

-,.△AFM^AABC.

tAF_FM

AB-BC'

VCF=2,AC=6,BC=8,

22

AF=4',2B=y/AC+BC=1010..8-.—=—,

AFM=3.2.

VPF=CF=2,.\PM=1.2.

.?.點P到邊AB距離的最小值是1.2.

例2如圖339,正方形ABCD的邊長為6,G為CD邊的中點，動點E,F分別從B,C同時出發，以相同速度

向各自終點A,B移動，連接CE,DF交于點P,連接BP,貝UBP的最小值為.

解題核心思路：狠抓不變量，即圖形是否存在定點、定角、定長.

思考：定角是誰？定長有嗎？軌跡如何？

點E,F分別沿線段BA,CB運動時，始終有AEBC與AFCD全等，

可利用角的關系推出/DPC=90。，

即出現定角，VDC為定線，即點P在以G為圓心，PG長為半徑的圓上運動.

—轉化為圓外一點到圓的最短距離問題.

【簡析】如圖3310,連接BG,

VBE=CF,ZEBC=ZDCF,BC=DC,

AEBC^AFCD.

ZECB=ZFDC.

,?ZECB+ZDCP=90°,

ZFDC+ZDCP=90°,gpZDPC=90°.

???點P在以DC為直徑的圓上運動.

.?.當B,P,G三點共線時BP長度最小.

由勾股定理可知BG=3V5,

ABP的最小值為3V5-3.

例3如圖3311在邊長為6的等邊三角形ABC中,E,F分別是邊AC,BC上的動點，且AE=CF,連接BE,AF交

于點P,連接CP,貝!]CP的最小值為.c

答案：2V3/\F

圖3-3-11

解題核心思路：由結論入手：求CP的最小值，C是定點，P是動點，P的軌跡如何?

由AABE注△CAF(SAS)可得NAPB=120。,定弦定角(AB/APB),即點P在圓上運動.

【簡析】e.?AABC是等邊三角形,AB=AC=BC,/CAB=/ACB=60。.

AB=CA,

在AABE和ACAF中.-ZBAC=ZACB,

AE=CF,

：.AABE^ACAF(SAS)..\ZABE=ZCAF.

ZBPF=ZPAB+NABP=ZCAP+ZBAP=60°.ZAPB=120°.

如圖3312,過點A,點P,點B作。O,連接CO,PO,AO,BO,.?.點P在AB.上運動.

VAO=OP=OB,.*.ZOAP=ZOPA,ZOPB=ZOBP,ZOAB=ZOBA.

ZAOB=360°-ZOAP-ZOPA-ZOPB-ZOBP=120°.ZOAB=30°.

ZCAO=90°.c

VAC=BC,OA=OB,

.?.co垂直平分AB；.NACO=30。.

CO=4V3,AO=2V3,圖3-3-12

在ACPO中,CPNCO-OP,.?.當點P在CO上時，CP有最小值，CP的最小值=4V3-2V3=2V3

進階訓練

1.如圖3-3-13,RtAABC中,NACB=90。，AC=2痘,BC=3..點P為AABC內一點，且滿足PA2+PC2=AC2..

當PB的長度最小時,AACP的面積是()

圖3-3-13

A.3B.3V3

「36D雪

42

2.如圖3314,點A,B的坐標分別為(2,0),(0,2),點C為坐標平面內一點BC=1,點M為線段AC的中點，連接

OM,則OM的最大值為)

X.V2+1B.V2+—

C.2V2+1O.2V2

3.如圖3-3-15,在四邊形ABCD中,AD〃BC,AB=AC=AD=2.5,CD=3,貝!|BD的長為.

4.在AABC中,/ABC=9(T,AB=2,BC=3.點D為平面上一個動點,NADB=45。,則線段CD長度的最小值

為.

5.如圖3-3-16,在正方形ABCD中,AB=2,E為邊AB上一點下為邊BC上一點.連接DE和AF交于點G,連接

BG.若AE=BF,則BG的最小值為,

圖3-3-16圖3-3-17

6.如圖3317,在RtAABC中,NACB=9(F,AC=8,BC=6,P是平面內一個動點，且AP=3,Q為BP的中點，在P點

運動過程中，設線段CQ的長度為m,則m的取值范圍是,

7.如圖3-3-18,四邊形ABDC中,AC=BC,NACB=9(T,AD，BD于點D.若BD=2,CD=4&,,則線段AB的

長為.

8.如圖3319,已知正方形ABCD的邊長為6,點F是正方形內一點，連接CF,DF，且/ADF=NDCF,點E是

AD邊上一動點，連接EB,EF,則EB+EF長度的最小值為

9.“隱圓”一般有如下呈現方式：定點定長定圓；定弦定角定圓.

“隱圓”現身，“圓”來如此簡單.

【小試牛刀】如圖3320在四邊形ABCD中,AB=AC=AD,若NCAD=70。，則NDBC=________度.

圖3-3-20

【大顯身手】如圖332LAACD是等腰直角三角形,/CAD=90。,過點A的直線a與CD平行，點B是直線a

上的一個動點，且/CBE=90。.

(1)如圖①，當BE與AD的交點P在邊AD上時,BC,BP的數量關系是________.

(2)如圖②，當BE與AD的交點P在AD的延長線上時，上述結論是否成立？請說明理由.

⑶如圖③，當BE與AD的交點P在DA的延長線上，且BP=5或,AD=8時，求AB的長

圖3-3-21

10.如圖3-3-22①,已知點O在四邊形ABCD的邊AB上，且OA=OB=OC=OD=2,OC平分/BOD與BD交于點

G,AC分別與BD,OD交于點E,F.

(l)^<ilE：OC//AD;

⑵如圖②，若DE=DF,求需的值；

⑶當四邊形ABCD的周長取最大值時，求的的值.

11.如圖3323①,在鈍角三角形ABC中,NABC=3(T,AC=4,D為邊AB中點,E為邊BC中點，將ABDE繞

點B按逆時針方向旋轉a(0SaS180)度

⑴如圖②，當0<a<180時，連接AD,CE,求證:ABDAsZ\BEC.

(2)如圖③，直線CE,AD交于點G.在旋轉過程中,ZAGC的大小是否發生變化？如變化，請說明理由；如不變，

請求出這個角的度數.

⑶將ABDE從圖①位置繞點B按逆時針方向旋轉180。，求點G的運動路程.

12.(1)如圖3324①點A,B,C在。。上，點D在。O外，比較/A與NBDC的大小，并說明理由；

(2)如圖②，點A,B,C在。O上,D在。O內，比較/A與NBDC的大小，并說明理由；

(3)利用解答上述兩題獲得的經驗,解決如下問題：在平面直角坐標系中，如圖③，已知點M(l,0),N(4,0),點P在

y軸上,試求當/MPN度數最大時點P的坐標.

①②③

圖3-3-24

13.發現問題：

⑴如圖3-3-25①,AB為0O的直徑，請在。。上求作一點P,使/ABP=45。(不必寫作法).

問題探究：

(2)如圖②，等腰直角三角形ABC中,/A=9(F,AB=AC=3&,D是AB上一點,AD=2VI在BC邊上是否存在點P,

使/APD=45。？若存在，求出BP的長度；若不存在，請說明理由.

問題解決：

⑶如圖③為矩形足球場的示意圖其中寬AB=66米，球門EF=8米，且EB=FA.P,Q分別為BC,AD上的點,BP=7

米2BPQ=135。,一位左前鋒球員從點P處帶球，沿PQ方向跑動，球員在PQ上的何處射門才能使射門角度(/

EMF)最大？求出此時PM的長度.

圖3-3-25

14.如圖3-3-26,0是坐標原點，過點A(-1,0)的拋物線y=必一.一3與x軸的另一個交點為B,與y軸交于點

C,其頂點為D點.

⑴求b的值;

(2)連接BD,CD,動點Q的坐標為連接OQ,CQ,當/CQO最大時，求出點Q的坐標.

15.如圖3327,拋物線y=收+法+3與x軸交于A(-1,O),B兩點與y軸交于點C,過點C作CD±y軸交拋

物線于另一點D,函數y=久久〉0)的圖象經過點D,連接BD.

⑴求拋物線的解析式；

(2)動點P從點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿OC方向運動，運動時間為t秒，當t為何值時，ZBPD

的度數最大？(請直接寫出結果)

圖3-3-27

答案

進階訓練I

1.D［解析］由.PA2+PC2=，根據勾股定理的逆定理得/APC=90。，則根據圓周角定理的推論可判斷點P

在以AC為直徑的圓上，如圖，取AC的中點0,以點。為圓心，AC為直徑畫圓，連接B0,點P為B0與。0

的交點時,PB最小，???0C=b,BC=3,；.NBOC=60o".PC=百,AP=3.

AACP的面積為|x3xV3=^.

2.B［解析］因為點C為坐標平面內一點,BC=1,所以點C在以點B為圓心、1為半徑的圓上，在x軸上取。4=

0A=2,連接AB,當A',B,C三點共線時,AC最大，A'C=+1,所以0M的最大值為V2+*因此本題選B.

3.4［解析］如圖以A為圓心,AD為半徑作。A,延長DA交。A于E,連接EB,

：AD〃BC,；.EB=CD.

：ED=5,，BD=4.

4.V5-V2［解析］如圖所示.

...、、

,?1乙人口2七，八口?，作AABD的外接圓O,連接OAQBQC,當O,D,C三點共線且D在O,C之間時,CD的值

最小ZADB=45°,.\ZAOB=90°.AAOB為等腰直角三角形.AO=BO=sin45°AB=A/2,VZOBA=45°,Z

ABC=90O,；./OBC=45<M、OE_LBC于點E,/.AOBE為等腰直角三角形....OE=BE=sin45。?08=1.

CE=BC-BE=3-1=2.在R3OCE中,OC=（陽+BE?==逐.當O,D,C三點共線且D在O,C之間時,CD最

小，此時CD=OC-OD=小一企,因此本題答案為V5-V2.

5.V5-1［解析］由正方形ABCD的性質和AE=BF可以證明△ABFgADAE,從而可以得出/AGD=90。,由

于90。的圓周角所對的弦是直徑,所以點G在以AD為直徑的圓上運動.如圖所示，當點G運動到O,G,B三點共

線的時候，BG的值最小，在RtAOAB中，可以求出0B=逐，由于圓的半徑為1,所以BG的最小值為V5-1.

6.|<m<y［解析］如圖，取AB的中點M,連接QM,CM.

在RtAABC中,/ACB=9(F,AC=8,BC=6,

,>.AB=10.

是AB的中點，

1

???AM=BM=CM=-AB=5.

2

是PB的中點,M是AB的中點，

.*.QM是AAPB的中位線.QM==*在ACMQ+,CM-MQ<CQ<CM+MQ,|<m<y.

,-1C,M是定點,Q是動點，且點Q在以點M為圓心，QM長為半徑的圓上運動，

當C,M,Q三點共線，且點Q在線段CM上時,m取得最小值|

當C,M,Q三點共線，且點Q在線段CM延長線上時，m取得最大值y

綜上，m的取值范圍為

7.2V26［解析］如圖過C作CELCD,再截取CE=CD,連接DE,則/CDE=NCED=45。.

AD±BD,AC_LBC,NADB=/ACB=90。.

/.A,C,D,B四點在同一個圓上.

/.ZADC=ZABC.

VAC=BC,.\ZCAB=ZABC=45°.

.\ZADC=ZABC=45°.

AADB+/.ADC+乙CDE=90°+45°+45°=180°..*.B,D,E三點在同一直線上.

,/ZDCE=ZACB=90°,.\ZBCE=ZACD.

BC=AC,CE=CD,.\ABCE^AACD.

/.BE=AD.

,/CD=4V2,ADE=8.；.BE=10..\AD=10.

AB=y/AD2+BD2="02+22=V104=2同.

E

8.3V13-3［解析］:四邊形ABCD是正方形,

ZADC=90°..\ZADF+ZFDC=90°.

,/ZEDF=ZDCF,

ZFDC+ZFCD=90°.

ZDFC=90°.

???點F在以DC為直徑的半圓上移動.

記DC的中點為。，作正方形ABCD關于直線AD對稱的正方形ABCD,則B的對應點是B1,連接OB，

交AD于E,交半圓O于點F,則線段B'F的長即為EB+EF長度的最小值.

'.?正方形ABCD的邊長為6,

-OD=3,C'D=6,B'C=6

ACO=9.

在RtAB'C'O中,.B'O=V62+92=3V13,

.-.B'F=B'O-OF=3V13-3.

9.解：【小試牛刀】35［解析］；AB=AC=AD,

.?.點B,C,D在以A為圓心,AB為半徑的圓上.

zDBC=-ADAC=-x70°=35°.

22

故答案為：35.

(1)BC=BP［解析］：a〃CD,

.\ZBAC=ZACD.

???△ACD是等腰直角三角形，

ZACD=45°..\ZBAC=45°.

ZCBP=ZCAP=90°,

...點A,B,C,P在以CP為直徑的圓上.

ZBPC=ZBAC=45°.

ABCP是等月要直角三角形.BC=BP.

故答案為:BC=BP.

⑵成立.理由如下：

如圖①，連接PC,

同理可得:點A,B,C,P在

以CP為直徑的圓上，①

/.ZBCP=ZBAP.

；a〃CD,

/.ZBAP=ZADC=45°.

ZBCP=45°.

???△BCP是等腰直角三角形.

/.BC=BP.

⑶如圖②，連接PC,取PC的中點O,連接OBQA,過點P作PHLAB于H.

/CBP=/CAP=9(F,OP=OC,

.*.OB=OP=OC=OA.

；.A,C,B,P四點共圓.

/.ZBCP=ZBAP.

VAB/7CD,/.ZBAP=ZD=45°.

/.ZPCB=ZBPC=45°..,.BC=PB=5&

PC=y/BC2+BP2=10.

???AD=AC=8,.-.PA=yJPC2-AC2=6.

ZPAH=45°,ZPHA=90°,

PH=AH=3V2.

在RtAPBH中，BH=7PB2-PH2=4vx

AB=BH+AH=7V2.

10.解:(1)證明:：OA=OD,

ZOAD=ZODA.

VZBOD是AAOD的外角，

ZBOD=ZOAD+ZODA=2ZOAD.

VOC平分/BOD,

???NBOD=2NBOC.

ZBOC=ZOAD.OC//AD.

(2)如圖①，以O為圓心，OA為半徑作圓.

?.?DE=DF,JZDFE=ZDEF.

VOA=OB=OC=OD=2,

???點A,D,C,B共圓.???AB是。。的直徑.

???ZADB=90°.AZDEF+ZDAE=90°.

VOA=OC,???ZOAC=ZOCA.

VOC/7AD,.\ZDAC=ZOCA.

AZDAC=ZOAC.

又NDFE二NAFO,

???ZOAC+ZAFO=90°.

AAOF=90°,AD=Vi4O2+DO2=2V2.

???ZAOF=ZADB=90°,ZDAC=ZOAC,

AADE^AAOF.

,AE_AD_2A/2_石

—————A/Z.

AF402

(3)如圖②,以O為圓心，OA為半徑作圓，延長BC,AD,交于點H.

,.,OA=OB=OC=OD=2,

?,?點4口,(22共圓.??.八8是。0的直徑.

???ZACB=ZADB=90°.

???AACH=90°=乙ACB.

VOA=OC,:.ZOAC=ZOCA.

VOC/7AD,.'.NDAC=NOCA.

???ZDAC=ZOAC.

在4ACB和AACH中,NACB=NACH,AC二AC/BAC二NHAC,

???AACBg△ACH.AAB=AH=4,BC=HC.

-1

又乙BDH=180。-乙ADB=90。，,DC=；HB=CB=CH.

點A,D,C,B共圓,，ZHCD=ZHAB.

又/H=/H,

...△HCDsi^HAB.，HC=HDB,即?=舞.

HD=-BC.

2

設BC=x,四邊形ABCD的周長為y,貝!]y=AB+AD+CD+BC=4+4-^BCe+BC+BC=+2x+8=

-|(%-2)2+10,

當x=2時,y有最大值.

當BC=x=2時(圖③),AD=CD=BC,

■?-AD?CD?BC,且它們所對圓心角都為60°.

??.OD±AC,ZDAC=30°.

.,.在RtAADE中，DE=?他在RtAADF中,DF=|X￡>.

DE—AD2\[3

11」分析］⑴在題圖①中，利用三角形的中位線定理推出DE〃AC,可得瑞=胃，在題圖②中，利用兩邊成比例

DADC

且夾角相等證明三角形相似即可.

(2)利用相似三角形的性質求解即可.

(3)點G的運動路徑是一段弧，求出圓心角、半徑，利用弧長公式計算即可.

解:⑴證明如題圖①，

：D為邊AB中點,E為邊BC中點，

/.DE/7AC.

?BD=BE.BD=BA

"BA~BC'"BE~BC,

在題圖②中，：ZDBE=ZABC,

ZDBA=ZEBC..\ADBA^AEBC.

(2)ZAGC的大小不發生變化,NAGC=30。.

理由:如圖①中，設AB交CG于點M.

ADBA^AEBC,.'.ZDAB=ZECB.

VZDAB+ZAMG+ZAGC=180°,ZECB+ZCMB+ZABC=180°,ZAMG=ZCMB,

JZAGC=ZABC=30°.

⑶如圖②，設AB的中點為K,連接DK,以AC為邊向左作等邊三角形ACO,連接OG,OB.

以O為圓心，OA為半徑作。O,

???ZAGC=30°,ZAOC=60°,

1

???乙AGC=-Z.AOC.

2

???點G在。。上運動.

以B為圓心,BD為半徑作。B,當直線AG與。B相切時,BDJ_AD,???NADB=90。.

BK=AK,JDK二BK=AK.

BD=BK,JBD二DK二BK.

???△BDK是等邊三角形.

???ZDBK=60°.NDAB=30°.

???ZGOB=2ZDAB=60°.

???BG的長=竺"1=匕

1803

觀察圖形可知，點G的運動路程是BG長的2倍，為8兀3.

12.解:(1)NA>NBDC,理由如下：

設CD交。O于點E,連接BE,如圖①所示：

ZBEC=ZBDC+ZDBE,

JZBEOZBDC.

ZA=ZBEC,AZA>ZBDC.

(2)/A</BDC,理由如下：

延長CD交。。于點F,連接BF,如圖②所示:

ZBDC=ZBFC+ZFBD,

/.ZBDOZBFC.

又：/A=NBFC,

/.ZA<ZBDC.

⑶由⑴⑵可得當點P是經過M,N兩點的圓和y軸相切的切點時，NMPN度數最大.

①當點P在y軸的正半軸上時，如圖③所示：

;/，、、，

ONx

③

連接OPQMQN,過點O作OHLMN于H,則四邊形OPOH是矩形,MH=HN,

OP=O'H,O'P=0H=O'M.

M(1,0),N(4,0),OM=1,MN=3.

13

.?.MH=HN=-MN=

22

.?.O'P=OH=O'M=

2

O'H=y/O2M2-MH2=J(|)2-(|)2=2.

.*.OP=2.

二點P的坐標為(0,2).

②當點P在y軸的負半軸上時，如圖④所示：

二點P的坐標為(0,-2).

綜上所述，當NMPN度數最大時點P的坐標為(0,2)或(0,-2).

13.解:⑴如圖①所示，點P或P即為所求.

⑵存在.如圖②③所示:

在AABC中,；NBAC=90c>,AB=AC=3V2AD=2V2,/.ZB=ZC=45°,BD=&,BC=

V2AB=6.ZBDP+ZBPD=135°.

ZAPD=45°,.\ZAPC+ZBPD=135°.

/.ZBDP=ZAPC.

cncCACBDBP

△BPD△CAP,—=—.

PCAC

設BP=x，則PC=6-=矗?

解得%i=3+V3,x2=3—V3.

BP=3+b或BP=3-V3.

⑶如圖④，過點E,F作圓與PQ相切于點M：圓心為點O,連接FM；EM：此時NFM舊的度數最大.

④

理由：在。O上取一點G,連接FG并延長交PQ于點M,連接EG,EM,

ZFGE=ZFM'E,ZFGE>ZFME,

ZFM'E>ZFME.

；?ZFM'E的度數最大.

作線段EF的中垂線1,1經過圓心O,且