難點17幾何綜合模型（5大熱考模型）

題型一：兩圓一中垂構造等腰三角形模型

題型二：兩垂一圓構造直角三角形模型

題型三：胡不歸模型

題型四：阿氏圓模型

題型五：瓜豆原理模型

,精淮握分

題型一：兩圓一中垂構造等腰三角形模型

指I點I迷I津

分類討論：

，若AB=AC,則點C在以點A為圓心，線段AB的長為半徑的圓上；

;若BA=BC,則點C在以點B為圓心，線段AB的長為半徑的圓上；

:若CA=CB,則點C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡稱“兩圓一中垂”

:“兩圓一中垂”上的點能構成等腰三角形，但是要除去原有的點A,B,還要除去因共線無法構成三角形的點MN

I

以及線段AB中點E（共除去5個點）需要注意細節

【中考母題學方法】

【典例1-1】（2022?建湖縣一模）如圖，每個小方格的邊長為1,A,B兩點都在小方格的頂點上，點C也是

圖中小方格的頂點，并且AABC是等腰三角形，那么點C的個數為（）

A

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據“兩圓一線”畫圖找點即可.

【解答】解：如圖，C點與P、Q、R重合時，均滿足△ABC是等腰三角形,

故選：C.

【點評】本題考查“兩圓一線”構造等腰三角形的方法，熟練使用兩圓一線的方法是解題關鍵.

【典例1-2](2020?武漢模擬)平面直角坐標系中，A(3,3)、B(0,5).若在坐標軸上取點C,使△ABC

為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是()

個V

A■

A.3B.4C.5D.7

【分析】由于沒有說明△ABC的腰長，故需要分三種情況進行討論，分別是AB=AC,AB=BC,AC=BC,

【解答】解：當AC=CB時，

作的垂直平分線，交x軸于G，交y軸于點C2

當AB=AC時，

以點A為圓心，AB為半徑作圓A,交y軸于C3，交x軸于C4、Cs，

當AB=BC時，

以點B為圓心，AB為半徑作圓B,交y軸于點C6、C7

故選：D.

【點評】本題考查等腰三角形的性質，解題的關鍵是根據等腰三角形的性質分三種情況進行討論，本題

屬于中等題型.

【典例1-3】(2022?開州區模擬)如圖，在等腰RtZXABC中，AB=BC,D是BC的中點，E為AC邊上任意一

點，連接OE,將線段DE繞點。逆時針旋轉90°得到線段OF,連接EF,交陽于點G.

(1)如圖1,若A8=6,AE=五,求ED的長；

(2)如圖2,點G恰好是EF的中點，連接BF,求證：CD=J5BF；

(3)如圖3,若AB=4'J丐，連接CF,當CF+1BF取得最小值時.請直接寫出的值.

5

【分析】(1)過點E作EH_LBC于點H,得/CHE=90°,在等腰直角三角形ABC中，求出BC=6,AC=

班,再證明△CHE也是等腰直角三角形，最后在RtZXOHE中，求出DE即可；

(2)過點E作EM〃芥于A3交點M,過點。作ONLBC交AC于N,得出△CON為等腰直角三角形，再

證明△BF。附NEO(SAS),AE/WG^AFBG(A4S),最后在等腰RtZXCON中，求出CD與BF關系；

(3)如圖3-1中，取AC的中點T,連接。丁，BT,則△BOT是等腰直角三角形.首先證明點F在直線

87■上運動，如圖3-2中，取卬■的中點Q,連接BQ,作“L8Q于點H,CBQ于點J,交B7■于點R.再

證明當點F與R重合時，CF+Y1_BF的值最小，即可解決問題.

5

【解答】解：(1)如圖，過點E作E”_L8C于點兒

G.

C

F圖1

：.ZCHE=90°,

在等腰直角三角形ABC中，

'：AB=6,

：.BC=6,AC=6A/2-

?.,。為BC中點，

：.CD=—BC,

2

,:AE=g

：.CE=AC-CE=5^2，

,/ZC=45°,

?:△CHE也是等腰直角三角形,

：.CH=EH=5,

：.HD=CH-CD=2,

.?.在RQDHE中,DF=VEH2+HD2=^29-

(2)如圖，過點E作EM〃BF于八B交點M,過點。作。/V_LBC交47于N,

???△CDN為等腰直角三角形,

：.CD=ND,

?：BD=CD,

：.BD=DN,

'：Z5+ZBDE=Z6+ZBDE,

.\Z5=Z6,

在△BFD和△'￡￡>中，

，BD=DN

(N5=/6，

DF=DE

:ABFD咨NED(SAS),

：.BF=EN,N3=N4,

在.ZiE/WG和AFSG中，

rZl=Z2

-NMGE=NBGF，

GF=GE

AFMG^AFBG(AAS),

ME=BF,

：.ME=EN,

VZ2+Z3=45°,

/.Zl+Z4=45",

；./MEN=/l+/4+NFED=90°,

/.ZAEM=90°,

.?.△AEM是等腰直角三角形，

：.AE=ME=BF=EN,

：.BF=-AN,

2

?:DN〃BC,D是BC的中點，

：.CN=AN,

：.BF=—CN,

2

又：在等腰Rt^CCW中，CD=Y2C/V,

2

：.CD=\[2BF.

(3)如圖3-1中，取AC的中點丁，連接。T,BT,則△BOT是等腰直角三角形.

:./BDF=NTDE,

"：DB=DT,DF=DE,

.?.△BOF絲△TOE(SAS),

；.NDBF=NDTE=135°,

"：ZDBT=135°,

：.F,B,丁共線，

...點F在直線B7■上運動,

如圖3-2中，取正的中點Q,連接BQ,作F”，BQ于點“，CBQ于點J,交87■于點R.

圖3—2

1

"加嚼嚕=2

:.FH=^-BF,

5

CF+立-BF=CF+FHWCJ,

5

，當點F與R重合時，CF+J^-BF的值最小,

5

'：ZBTQ=ZCTR=90°,BT=CT,ZQBT=ZRCT,

.,.△BTQ^ACT/?(ASA),

：.TR=QT,

*:AB=BC=AM，ZABC=90°,

.'.AC=y/2AB=8,

：.AT=CT=BT=^,QT=RT=2,

:.BF=TE=2,

：.SACEF=—'CETT=~X2X2=2.

22

【點評】本題考查了幾何變換的綜合應用，解題關鍵是正確作出輔助線，能判定出全等三角形，解直角

等腰三角形.

【中考模擬即學即練】

【變式1-1］如圖，在Rt/XABC中，NACB=90°,AB=2BC,在直線BC或AC上取一點P,使得△fWB為等

腰三角形，則符合條件的點P共有（）

BC

A.4個B.5個C.6個D.7個

【分析】根據等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡稱：在同

一三角形中，等邊對等角）”分三種情況解答即可.

【解答】解：如圖，

①AB的垂直平分線交AC一點Pi（PA=PB）,交直線BC于點P2;

②以人為圓心，AB為半徑畫圓，交AC有二點P3,P4,交8c有一點P2，（此時AB=AP）；

③以B為圓心，BA為半徑畫圓，交BC有二點P5,P2,交AC有一點P6（此時BP=BZO.

2+（3-1）+（3-1）=6,

符合條件的點有六個.

故選：C.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定；構造等腰三角形時本著截取相同的線段就能作出等腰三角形來，

思考要全面，做到不重不漏.

【變式1-2］已知直線y=-愿x+3與坐標軸分別交于點A,B,點P在拋物線y=-(x-'/3)2+4上，能

使AABP為等腰三角形的點P的個數有()

A.8個B.4個C.5個D.6個

【分析】分三種情況考慮：①以點B為圓心，AB長度為半徑作圓可找出兩個點P；②以點A為圓心，AB

長度為半徑作圓可找出四個點P;③作線段AB的垂直平分線可找出兩個點P.綜上即可得出結論.

【解答】解：分三種情況考慮：

①以點B為圓心，AB長度為半徑作圓，交拋物線于點Pi、P2;

②以點A為圓心，AB長度為半徑作圓，交拋物線于點P3、24、P5、P6；

③作線段AB的垂直平分線，交拋物線于點P7、P8.

綜上所述：能使^ABP為等腰三角形的點P的個數為8個.

【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、一次函數圖象上點的坐標特征以及等腰三角形的判

定，依照題意畫出圖形，利用數形解決問題是解題的關鍵.

【變式1-3】如圖，已知點A（l,2）是反比例函數y=K圖象上的一點，連接A。并延長交雙曲線的另一分

X

支于點B,點P是X軸上一動點；若△RAB是等腰三角形，則點P的坐標是.

【分析】由對稱性可知。為AB的中點，則當ARAB為等腰二角形時只能有力=AB或PB=AB,設P點

坐標為（X,0）,可分別表示出％和PB,從而可得到關與X的方程，可求得X,可求得P點坐標.

【解答】解：

?..反比例函數丫=區圖象關于原點對稱，

X

.?.八、B兩點關于。對稱，

二。為AB的中點，且B（-1,-2）,

當△PAB為等腰三角形時有PA^AB或PB=AB,

設P點坐標為（X,0）,

（1,2）,8（-1,-2）,

22

（-1）]+[2-（-2）]=2V5,%=Y（X_I）2+22,PB=7（X+1）2+（_2）2,

當PA=A8時，則有Y（x-1）2+22=2\歷,解得x=-3或5,此時P點坐標為（-3,0）或（5,0）；

當PB=AB時，則有J（x+1）2+（-2）2=2代,解得x=3或-5,此時P點坐標為（3,0）或（-5,

0）；

綜上可知P點的坐標為（-3,0）或（5,0）或（3,0）或（-5,0）,

故答案為：（-3,0）或（5,0）或（3,0）或（-5,0）.

【點評】本題主要考查等腰三角形的性質和反比例函數的對稱性，判斷出只有PA=AB或PB=AB兩種情

況是解題的關鍵，注意方程思想的應用.

題型二：兩垂一圓構造直角三角形模型

rsiiriii￥..............................

平面內有兩點A,B,再找一點C,使得ABC為直角三角形

分類討論：

若NA=90°,則點C在過點A且垂直于AB的直線上（除點A外）；

若NB=90°,則點C在過點B且垂直于AB的直線上（除點B夕卜）；

若NC=90°,則點C在以AB為直徑的圓上（除點A,B外）.

以上簡稱“兩垂一圓”.

“兩垂一圓”上的點能構成直角三角形，但要除去A,B兩點.

【中考母題學方法】

【典例2-1】（2023?湖南懷化?中考真題）如圖，4B是；。的直徑，點尸是。外一點，上4與C。相切于點A,

點C為。上的一點.連接尸C、AC、OC,S.PC=PA.

⑴求證：PC為。的切線；

⑵延長PC與AB的延長線交于點。，求證：PDOC=PAOD；

（3）若NC鋁=30。，00=8,求陰影部分的面積.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

⑶8代-。兀

【分析】（1）連接尸0,證明,批必二尸。。，即可得證;

（2）根據sinD=/==,即可得證；

=S

(3)根據圓周角定理得出NCOD=2NC4s=60。，進而勾股定理求得CO,根據S陰影OCD\^OBC?即

可求解.

【詳解】(1)證明：團PA是。的切線,

^\ZPAO=90°

如圖所示，連接PO

在4序。與/、尸。。中,

PA=PC

<OA=OC

PO=PO

團

PAO^tPCO(SSS)

.\ZPCO=ZPAO=90°

團。為。上的一點.

團尸。是《。的切線;

(2)團PC是。的切線；

⑦OCLPD,

.OCPA

[?]sinD==

ODPD

^\PDOC=PAOD

(3)解：團BC=3C，ZC4B=30°,OD=8

團NCOD=2NC4B=60。，

^\OC.LPD

0ZD=3O°,

SOC=-OD=4

一2

0CD=473,

團S陰影=Soc?—S扇形OBCn/xCOxC。一

=—X4X4A/3--X427T

26

=8——7t

3

【點睛】本題考查了切線的性質與判定，圓周角定理，求含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，求扇

形面積，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

【典例2-2】（2023?福建泉州?二模）如圖，是半圓。的直徑，2尸，4瓦尸。與半圓。相切于點。，連接AD

并延長，交所的延長線于點C.

⑴求證：PB=PC；

（2）若。的半徑為5,AO=8,求取的長.

【答案】⑴見解析

建

【分析】（1）連接8。，通過證明PB=PD可得NPDB=NPBL>,然后求得/PDC=/C,從而使問題得證;

（2）利用-A的正切值分析計算.

【詳解】（1）證明：如圖，連接8。，

為半圓。的直徑,

.?.PB是半圓。的切線，ZADB=90°,

PD與半圓。相切于點。,

：.PB=PD,

:.NPDB=NPBD.

ZPDB+ZPDC=ZPBD+ZC=90°,

:.NPDC=NC,

:.PD=PC,

:.PB=PC.

(2)解：在及ABD中，AB=10,AD=8f

,\BD=y/102-82=6^

BD63

tanA==—=一,

AD84

ZA5C=90°,

【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質和判定，銳角三角函數，準確添加輔助線構造直角三角形是

解題關鍵.

【中考模擬即學即練】

【變式2-1]在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-1,2）,點B的坐標為（2,6）,點C在坐標軸上，若

△ABC為直角三角形，則滿足條件的點C共有（）

A.2個B.4個C.6個D.8個

【分析】過點A作AB的垂線，交x軸于點G，交y軸于點Q;過點B作AB的垂線，交x軸于點C3,交y

軸于點C4;根據直徑所對的圓周角為直角，以為直徑作圓，根據4和B的坐標求出AB的長度，即為圓

的直徑，可得出半徑的長，進而判斷得出圓與x軸相離，可得出圓與y軸交于2點.所以滿足條件的點共有

6個.

【解答】解：根據題意畫出相應的圖形，如圖所示：

分三種情況考慮：當A為直角頂點時，過A作ACLAB,交X軸于點Q,交y軸于點C2,此時滿足題意的點

為Q,C2；

當B為直角頂點時，過B作BC_L_LAB,交x軸于點C3,交y軸于點C4,此時滿足題意的點為C3，C4；

當C為直角頂點時，以AB為直徑作圓，由A（-1,2）,B（2,6）,得至l]AB=5,可得此圓與x軸相離,

則此圓與x軸沒有交點，與y軸有2個交點，分別為C5,C6.

綜上，所有滿足題意的C有6個.

故選：C.

【點評】此題考查了圓周角定理，勾股定理，以及坐標與圖形性質，利用了分類討論及數形結合的思想.注

意：若^ABC是直角三角形，則它的任意一個頂點都有可能為直角頂點.

【變式2-2](2022,浙江寧波?二模)如圖1,四邊形438是。的內接四邊形，其中=對角線

AC,應)相交于點E,在AC上取一點尸，使得=過點尸作G"_LAC交于點G、H.

⑴證明：△AEZKB4DC；

(2)如圖2,若AE=1,且GH恰好經過圓心0,求BCCD的值；

(3)若AE=1,EF=2,設BE的長為x.

①如圖3,用含有x的代數式表示△BCD的周長；

②如圖4,BC恰好經過圓心0,求△BCD內切圓半徑與外接圓半徑的比值.

【答案】⑴見解析；

(2)CBC￡)=12；

⑶①二；②內切圓半徑與外接圓半徑的比值為:；

x5

【分析】(1)利用等腰三角形的性質和圓周角定理即可證明;

(2)由垂徑定理得AC=2AF=2AD由(1)結論可得AD=2AE=2,求出AC,CE的長再由ElABCEBDEC,利

用比例的性質即可解答；

(3)①利用(1)結論求得AC的長，由132cE30AOE求得BC,OE的代數式，由BABEHaOCE求得C￡)的

代數式，再計算周長即可；

②根據①的解答先由勾股定理求出BC的長，再利用面積法求出7?同8。的內切圓半徑即可解答；

【詳解】(1)證明：^AB=AD,

^ABD=^ADB,

aS\ABD=SACD,

^\ACD=^ADB,

SECAD=^DAE,

00C4Z)00￡)AE；

(2)解：aaCAOGHZME,

ADAC

團---=----,

AEAD

團GH是直徑，A(SGHf

[?L4C=2AF,

又朋樂

國4O2AQ,

^\AD=2AE=2f

[?L4F=2,CF=2,EF=1,

胤4c=4,CE=3f

^BCA=^\ADB=^ABD=^ACDf

又團團BAC二團E0C,

「BCAC

0----二---，

ECDC

0CBCD=CACE=4X3=12；

(3)解：①0AE=1,EF=2,

^\AB=AD=AF=3,

ADAC

團---=----,

AEAD

0AC=9,即CE=8,

^\BCE^\ADE,

BEBCCE8

團---=---=---=Xj§nPnBC=3XfDE——,

AEADDEx

miBE^\DCEf

CDAB

團---二---=3

DEAE

…24

0C￡)=——

x

32

團C』8c0=4xH----

x

②BBC是直徑,

fflBAC=90°,

22

0BC=73+9=3710-

團外接圓半徑為亞，

2

在RZ0A5E中：BE川f+學=&5,

由①小題結論，＜^8。=4而+弟=迎?,

回5

8慶屈+上==而，CD=^4曬,

7105回5

設內切圓半徑為廠貝靦BC。的面積=:xaBCr）的周長xr,則

駿加乜屈」X型廂「，

25525

解得：片|所

畔徑之比二亞:亞二；

525

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，圓周角定理，垂徑定理，三角形內切圓半徑求法等知識；

熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題關鍵.

【變式2-3］（2021?浙江杭州?一模）如圖，點E是正方形A8C。邊BC上一點（點E不與8、C重合），連接

BE

AE交對角線瓦）于點尸，的。尸的外接圓。交邊C。于點G,連接GA、GE,設~=a.

CE

（1）求回EAG的度數.

（2）當a=:時，求tanHAEG.

（3）用a的代數式表示嘗，并說明理由.

CG

【答案】（1）45。；（2）3；（3）J

2a

【分析】（1）根據同弧所對的圓周角相等即可求出結果；

（2）連接G廠，根據正方形推出NADG=90。，再根據圓的內接四邊形對角互補推出NAGF=90。，然后根

1

據第一問推得/E4G=/AG尸，即AF=G尸，然后利用已知e=彳得出==3,再根據⑷/即可

2BE

得出結果；

（3）過點P作切LCD,連接CT然后根據正方形的對稱性得CF=AF,由（2）得W=GR,由小，CD

和三線合一得CH=HG,然后根據已知得出嬰=差=5.,再根據ABEF^ADAF得出蕓=竽=巳擔,

BEBEaBFBEa

根據NF//CD利用比例線段得出名=空=4里，然后根據ZX7=DH-GH,G〃=C"等量代換即可得到

CHBFa

結果.

【詳解】解：（1）Q3。是正方形ABC。的對角線,

,\ZBDC=45°,

FG=FG，

ZGAF=ZFDG,

「.ZE4G=45。；

(2)連接G/，

，在正方形ABC。中NADG=90。,

又?「在圓。的內接四邊形ADG/中NAFG+NADG=180。,

:.ZAFG=90°,由（1）得NG4￡=45。，

/.ZAGF=45°f

.-.ZFAG=ZAGF,

:.AF=GF,

ZGFE=180°-ZAFG=90°,

GF

tanZAEG=—,

FE

AF

tanZAEG=——,

FE

BE1

OL=----=—,BE+CE=BC,

CE2

.工3,

BE

正方形ABCD中AD/ABC,AD=BC,

:.\BEF^/\DAF,

.AFADBC

??瓦—正一標‘

/.tanZAEG=3；

(2)過廠作FHLCD,垂足為H,連接b,

利用正方形軸對稱可得CF=AFf

由⑵知AF=GF

:.CF=GF,

FH±CDf

:.CH=HG,

BE

—=a,AD=BC=BE+CE,

CE

ADBCa+1

BEBEa'

AB￡F^AZMF,

DFADa+1

BFBEa'

FH±CD,ZADC=90°,

.-.HF//CD//BC,

,PHDF

'CH-BF(

.PH<7+1

~CH~a

DG=DH-GH,GH=CH,

DG_DH-GH_DH—CH_c+l-c_J_

GC~CH+GH~2cH~la~la

【點睛】本題考查了圓的綜合題，圓的相關概念同弧所對的圓周角，圓的內接四邊形是解本題的必備條件.利

用平行出相似，平行出比例線段以及線段的等量代換是解本題的關鍵.

【變式2-4］（2023?黑龍江哈爾濱?二模）如圖1,VABC內接于。中，43為直徑，點。在弧2C上，連接

圖1圖2圖3

⑴求證：ZG4B+ZD=90°；

（2）如圖2,連接OC交AD于點/，若NDAB+2NC4D=90。，求證：AC=CD-

⑶在（2）的條件下，如圖3,點E在線段CF上，連接AE,BE交AD于點H,若NEHA=2NEAH,AE=6,

OF^y/2,求線段班的長.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

（3）BE=2y/l4

【分析】（1）根據圓周角定理可得NACB=90。，ZB=ZD,由三角形內角和定理可得/6B+/B=90。，

從而可得/。1B+ND=90。；

（2）設/CAD=c,可得/6止=90。-20,從而得到NC4B=90。—。，由等腰三角形的性質可得

ZOCA=ZOAC=90-a,即可得到NAFC=90。，即OC_LAD,從而即可得證；

（3）連接05BD,由（2）可得：OC垂直平分A。，可得A￡=OE=6,根據等腰三角形的性質及三角

形外角的定義可得=設乙HED=4HDE=B，則=ZDBE=9Q°-2J3,過點6作

BG，3E交即的延長線于點G,根據三角形的中位線定理可得80=26=20尸=20，過點5作成，ZX；

于點L,則"=GL,設DL=GL=x,根據同角的余角相等可得/LBG=NL￡B,從而可得

sinZLBG=sinZLEB,因此黑=磐，即（2應丫=x（6+2x）,解方程即可得到答案.

【詳解】（1）證明：鉆為直徑，

:.ZACB=9Q°f

團/C4B+4=90。，

AC=AC，

⑦ZB=ZD,

^ZCAB+ZD=90°；

（2）證明：設N6D=a,

團ZDAB+2ZCAD=90°,

0ZZMB=9O°-2cr,

團NC鉆二90。—。，

團OC=OA,

mZOCA=ZOAC=90-af

f?JZCAF+ZACF=90°,

團NAFC=90。，

團OCJ_AD,

BAF=CFf

團AC=CD；

（3）解：連接DEBD,

由（2）可得：0C垂直平分AD,

團AE=DE=6,

⑦ZEDA=NEAH,

⑦ZEHA=2/EAH,

^ZEHA=2ZEDA,

團ZEHA=ZEDH+ZHED,

⑦ZHED=NHDE,

AB為直徑，

^ZADB=90°,

設/HED=/HDE=B,

⑦/DHB=2/3,

⑦NDBE=9O0—20,

過點B作3G_L班交中的延長線于點G,

團NGDB=90°—a,/DBG=2/3,

團/G=2〃，

團BD=BG,

國AF=DF,AO=BO,

⑦BD=BG=2OF=2拒，

過點3作BLLDG于點L,

團DL=GL,

^DL=GL=x,

⑦NLBG+NG=ZLEB+NG=90。,

?ZLBG=NLEB,

團sinZLBG=sinNLEB,

LGBG

團---=---,

BGEG

回（2何=x（6+2x）,

解得玉=-4（舍去），x2=l,

SLD=LG=1,

團EL—7,

0LB=V7,

025=2舊.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、三角形外角的定義、等腰三角形的判定與性質、三角形內角和定理、

三角形的中位線定理，正弦的應用，熟練掌握圓周角定理、三角形外角的定義、等腰三角形的判定與性質、

三角形內角和定理、三角形的中位線定理，添加適當的輔助線，是解題的關鍵.

題型三：胡不歸模型

-1

i指I點I迷I津

一動點尸在直線"N外的運動速度為巴,在直線MN上運動的速度為“，且匕＜4,4、B為定點,

點C在直線上，確定點C的位置使生+生的值最小.（注意與阿氏圓模型的區分）。

%匕

1）—+—=—（BC+^Ac],記無=匕，即求BC+X1C的最小值.

匕匕匕（KJV2

2）構造射線AD使得sinNZMN=Z,—=k,將問題轉化為求BC+CH最小值.

AC

3）過8點作BH±AD交MN于點C,交AD于H點,此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小.

【解題關鍵】在求形如“必+初中的式子的最值問題中，關鍵是構造與小2相等的線段，將“B4+d2”型問題

轉化為“出+PC理.（若A1,則提取系數，轉化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】垂線段最短。

【中考母題學方法】

【典例3-1】（2022?內蒙古鄂爾多斯?中考真題）如圖，在0A8C中，AB=AC=4,13cA2=30。，ADSBC,垂

足為。，尸為線段上的一動點，連接PB、PC.則公+2PB的最小值為.

【答案】472

【分析】在回8AC的外部作EICAE=15。,作WBAE于尸，交A。于P,此時B4+2P3=2尸4+「修=+PB)

=2BF,通過解直角三角形42凡進一步求得結果.

【詳解】解:如圖,

在I3BAC的外部作EICAE=：L5。，作BRSAE于尸，交于P,

此時B4+2PB最小，

幽4/8=90。

0AB=AC,AD0BC,

^S\CAD=^BAD=-ZBAC=-x300=15°,

22

B0EAD=EICAE+OCAD=30°,

SPF=-PA,

2

0B4+2PB=2QPA+PB=；（PF+PB）=2BF\

在RtEAB尸中，AB=4,0BAF=0BAC+0CAE=45°,

SBF=AB?sin45°=4x旦2應，

2

團（B1+2P5）最大=23尸=40,

故答案為：472.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，解直角直角三角形，解題的關鍵是作輔助線.

4

【典例3-2】(2022?廣西梧州,中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，直線＞分別與x,y軸交于

⑴求此拋物線的解析式；

(2)若點C的坐標是(0,6),將△ACO繞著點C逆時針旋轉90。得到AECF，點A的對應點是點E.

①寫出點E的坐標，并判斷點￡是否在此拋物線上；

3

②若點尸是y軸上的任一點，求gBP+EP取最小值時，點P的坐標.

【答案】⑴y=亮尤,一9一4

lo2

⑵①點E在拋物線上；②尸(0,

【分析】(1)先求出A、B坐標，然后根據待定系數法求解即可；

(2)①根據旋轉的性質求出EF=AO=3,CF=CO=6,從而可求E的坐標，然后把E的坐標代入(1)的函

數解析式中，從而判斷出點E是否在拋物線上；

②過點E作E/fflAB,交y軸于P,垂足為“，sinZABO=—=——=工則HP='BP,得二BP+EP=HP+PE,

ABBP555

可知"尸+PE的最小值為E”的長，從而解決問題.

【詳解】(1)解:當光二。時，y=-4,

4

當y=0時，_§%_4=0,

取二-3,

媯(-3,0),B(0,-4),

把A、3代入拋物線y+Zzx+c,

5

—X(—3)92—3"C=0

得18

c=-4

b=--

2,

c=-4

團拋物線解析式為了=。2-葭-4.

1o2

(2)解：①她(-3,0),C(0,6),

[?L4O=3,C0=6,

由旋轉知：EF=AO=3.CF=CO=6,0FC(?=9OO

EIE到x軸的距離為6-3=3,

團點E的坐標為(6,3),

當尤=3時，y=—x62--x6-4=3,

182

團點E在拋物線上；

②過點片作由AS交y軸于尸，垂足為H,

回04=3,03=4,

她3=5,

AQHP3

團sinNA30=-----

ABBP~5

3

^\HP=-BP,

3

^\-BP+EP=HP+PE,

WP+PE的最小值為EH的長,

作EGHy軸于G,

團團GEP=M80,

團tan團G石尸=tan團A3。,

9

團PG=3，

2

八八93

回0尸=--3=-,

22

3

團尸(0,——).

2

【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，旋轉的性質，三角函數，兩點之

間、線段最短等知識，利用三角函數將1BP轉化為HP的長是解題的關鍵.

【典例3-3】(2024?四川成都?模擬預測)探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探

究.

【嘗試初探】

(1)如圖①，在四邊形ABCD中，若NABC=NADC=90。，AB=AD=5,ZBAD=120°,求AC的長；

【深入探究】

(2)如圖②，在四邊形ABCD中，若NABC=NADC=90。，ZBCD=45°,AC=8?，求8。的長；

【拓展延伸】

(3)如圖③，在四邊形ABCD中，若ZABC+NM>C=180。，NADC=60。，AD=AB=2A/3,延長相

交于點E,DEICE,尸是線段AC上一動點，連接PZ),求2DP+CP的最小值.

【答案】(1)10；(2)8；(3)672+4.76.

【分析】本題是三角形綜合題，涉及了解特殊的直角三角形、對角互補模型、最值胡不歸模型、角平分線

性質及判定、全等三角形的判定，解題關鍵是利用三角形全等轉化線段和角的關系，由30度角、45度角的

解直角三角形，求邊長，構造胡不歸模型利用垂線段最短求出最值.

(1)易證AABC四△AOC(HL),從而可得NBAC=，/BAD=60。，ZACD=-ZBC￡>=30°,進而由含30

22

度直角三角形性質可得AC=2AD=10；

(2)如圖2,取AC的中點O,連接08、OD,由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可證明，3QD是等腰

直角三角形，00=03=3AC=40,即可求出加>=而第兩7=8?

(3)由已知可以求得證明/ACD=/AC8=；NBCr)=15。，ZCAD=105°,再構造含30度的直角三角形求

出0)=(70+00=6+46,再利用胡不歸模型構造PD+；PC的折線段，根據垂線段最短，得出PD+〈PC的

最小值即可求解.

【詳解】解：(1)0ZABC=ZAZ)C=90°,AB=AD=5,AC=AC；

ElRtAABC^RtAADC(HL)；

0ABAC=ACAD=-ABAD=60°,

2

ElZACD=90°-ZC4D=30°,

0AC=2AD=1O.

(2)如圖②，取AC的中點O,連接QB、OD,

圖②

^ZABC=ZADC=90°,

^OD=OC=-AC,OB=OC^-AC,

22

⑦NODC=NOCD,ZOBC=ZOCB,

團ZAOD=/ODC+/OCD=2ZOCD,ZAOB=/OBC+NOCB=2ZOCB；

0ZAOD+ZAOB=2(ZOCD+ZOCB),即ZBOD=2ZBCD,

回/BCD=45。，

^ZBOD=90°f

^OD=OB=-AC=-xSyf2=4y[2,

22

^BD=y]0D2+0B2=7(4V2)2+(4^)2=8，

(3)如圖③，過點A作AFLCD,

0ZABC=12O°,ZABE=60°,

又團。石_LCE,

團NB4E=90。—Z4B￡=30。，

團ND4B=150。,

團NDCB=360°-ZDAB-(ZADC+ZABC)=30°,

在，ABE■和△ADb中，

ZAEB=ZAFD=90°

<ZABE=ZADF=60°

AD=AB

團ABE沿AZ)F(AAS),

0AF=AE,

0AF1CD,AE1.EC,

^ZACD=ZACB=-ZBCD=-x300=15°

229

^ZCAF=90°-ZACD=15°,

ZCAD=180°-ZADC-ZACD=105°

過點A作A。，A。交8于點Q,

^ZAQD=90°-ZADC=30°,ZQAC=ZCAD-ZDAQ=105°-90°=15。，

團OQ=2AO=4G，AQ=^DQ2-AD2=7(4A/3)2-(2^)2=6，

團NQAC=ZACD=15。，

SAQ=CQ=6,

SCD=CQ+DQ=6+4s/3,

如圖④，作Z4CG=30。，過點P作/W1.CG,垂足為H,過點。作DNLCG,垂足為N,交AC于M,

SPH=-PC,ZDCG=ZACD+ZACG=45°,

2

^DP+PH=DP+^-PC,DN=CD-sinZDCG=（6+4右）x"=3忘+2后,

22

QDP+PH2DN,當點尸在點M位置時，點〃與N重合，DP+PH取最小值，最小值為3日+2",

國。P+；PC的最小值為3點+2#,

團2OP+PC最小值為6拒+4".

【中考模擬即學即練】

【變式3-1］（22-23九年級上?山東濟寧?期末）如圖，VABC中，AB=AC=15,tanA=2,鹿，4。于點￡,

。是線段BE上的一個動點，則CZJ+@2D的最小值是（

5

C.5亞D.10

【答案】B

BE

【分析】如圖，作于a,CMJ_AB于M.由tanA=-；—=2,設AE=a,BE=2a,利用勾股定

AE

理構建方程求出。，再證明好B。，推出CO+@8D=CO+Df7,由垂線段最短即可解決問題.

55

【詳解】解：如圖，作W/_LAB于H,CM_LAB于

A

BE±AC,

tanA,=-B-E--=2,

AE

設AE=a,BE=2a,

則有：225=(2“y+(a)2,

a2=45,

解得a=3/a=-3百（舍去）,

@BE=2a=6由，

AB=AC,BELAC,CMLAB,則工ABCM=工ACBE

22

SCM=BE=645,

ZDBH=ZABE,ZBHD=ZBEA,

.?.si?n//DMBUH=_DH=_AE——,

BDAB5

:.DH=—BD,

5

:.CD+—BD=CD+DH,

5

當C、D、”三點共線時，CD+—BD=CM,

5

；.CD+率D的最小值為6q.

故選：B.

【點睛】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔

助線，用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型.

【變式3-2］（2023?安徽黃山?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數＞=x-也的圖象

22

與x軸交于點A,C兩點，與y軸交于點8,對稱軸與x軸交于點。，若P為y軸上的一個動點，連接PD,

則;EB+P。的最小值為（

C.布D.-V3

4

【答案】A

【分析】作射線,作PE_L始于E,作DF_L如于F,交y軸于尸'，可求得ZABO=30°,從而得出PE=gpB,

進而得出PD+gp8=PO+EP,進一步得出結果.

作射線54,作PE_LH4于E,作Z)FJ_54于R交y軸于P,

T_1

拋物線的對稱軸為直線天=-

242

2

0OD=-

2

當x=0時，y=-A/3,

⑦OB=A

當y=0時，走丁―走冗―6=0,

22

回玉二-1,X?=2,

團A(—1,0),

團。4=1,

041_V3

[?]tanZABO=——

OB耳，’

團Z4BO=30。，

^\PE=-PB,

—2

^PB+PD=PD+PE>DF,當點P在P時，PD+PE最小,最大值等于DR,

13

在RtADb中，ZDAF=90°-ZABO=60°fAD=OD+PA=-+1=-f

0DF=ADsin/DAE=）又顯一空,

224

國弓i尸^+尸。）最小=。尸=3]A_"，

故選：A.