2025年中考數學二輪復習專題：四邊形與相似三角形綜合練習

1.若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形.

(1)已知△ABC是比例三角形，AB=2,BC=3,請直接寫出所有滿足條件的AC的長；

(2)如圖1,在四邊形ABC。中，AD//BC,對角線2。平分NABC,ZBAC^ZADC.求

證：△ABC是比例三角形.

(3)如圖2,在(2)的條件下，當乙4。。=90°時，求股的值.

AC

2.如圖，在正方形ABC。中，點G在邊上(不與點2,C重合)，連接AG,作。E_L

AG于點E,2FLAG于點R設幽=左.

BC

(1)求證：AE=BF.

(2)連接BE,DF,設NEBF=0.求證：tana=han0.

(3)設線段AG與對角線BD交于點H,AAHD和四邊形CDHG的面積分別為Si和S2,

So

求的最大值.

si

3.已知正方形A8CD中AC與8。交于。點，點M在線段8。上，作直線AM交直線OC

于E,過。作。HJ_AE于H,設直線。”交AC于N.

(1)如圖1,當M在線段8。上時，求證：MO=NO；

(2)如圖2,當〃在線段。。上，連接NE,當硒〃8。時，求證：BM=AB；

(3)在圖3,當M在線段。。上，連接NE,當NE_LEC時，求證：A^=NC?AC.

4.根據相似多邊形的定義，我們把四個角分別相等，四條邊對應成比例的兩個凸四邊形叫

做相似四邊形.相似四邊形對應邊的比叫做相似比.

(1)某同學在探究相似四邊形的判定時，得到如下三個命題，請判斷它們是否正確(直

接在橫線上填寫“真"或"假").

①四條邊成比例的兩個凸四邊形相似；(命題)

②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似；(命題)

③兩個大小不同的正方形相似.(命題)

(2)如圖1,在四邊形A8C。和四邊形4B1C1Q1中，ZABC=ZA1B1C1,ZBCD=Z

B1C1D1,研-=BC_=CD.求證：四邊形Age。與四邊形421C1D1相似.

A[B[Bl.CjDj

(3)如圖2,四邊形ABC。中，AB//CD,AC與8。相交于點。，過點。作分

別交A。，8C于點E,R記四邊形A8FE的面積為Si,四邊形EEC。的面積為S2,若

四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，求上Sn的值.

S1

5.如圖，矩形ABC。中，AB=a,BC=b，點、M,N分別在邊A8,C。上，點E,歹分別在

邊BC,上，MN,EF交于點P,記k=MN：EF.

(1)若a：6的值為1,當時，求左的值.

(2)若a：b的值為1，求上的最大值和最小值.

2

(3)若上的值為3,當點N是矩形的頂點，ZMPE=60°,MP=EB=3PE時，求a：b

的值.

6.在矩形ABC。中，AE_L8D于點E,點P是邊AD上一點.

(1)若BP平分入480,交AE于點G,于點兒如圖①，證明四邊形AGFP是

菱形;

(2)PELEC,如圖②，求證：AE-AB=DE-AP；

(3)在(2)的條件下，若A2=l,BC=2,求AP的長.

7.如圖，在正方形ABCD中，點￡是AB邊上一點，以DE為邊作正方形DEFG,DF與

8c交于點延長加交GF于點”，EF與CB交于點、N,連接CG.

(1)求證：CD±CG；

(2)若tan/MEN=2，求典的值；

3EM

(3)已知正方形ABC。的邊長為1,點E在運動過程中，的長能否為』？請說明理

2

由.

8.如圖，在正方形A8CZ)中，AB=6,M是對角線8。上的一個動點CQ<DM<^-BD\

2

連接AM,過點M作MN_LAM交8c于點N.

(1)如圖①，求證：MA=MN；

(2)如圖②，連接AN,。為AN的中點，M0的延長線交邊A8于點P,當,△啊上

^ABCDI*

時，求AN和PM的長；

(3)如圖③，過點N作NH_LBD于X,當AM=2遙時，求△HA/N的面積.

9.如圖1,在正方形A8C。中，點E是A8邊上的一個動點(點E與點A,B不重合)，連

接CE,過點B作BPLCE于點G,交A。于點？

(1)求證：AABF^ABCE；

(2)如圖2,當點E運動到AB中點時，連接。G,求證：DC=DG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點C作。0LOG于點H,分別交AD,8尸于點

N,求螞的值.

NH

10.如圖1,在正方形ABC。中，AE平分NC48,交BC于點、E,過點C作C尸，AE,交

AE的延長線于點G,交AB的延長線于點F.

(1)求證：BE=BF；

(2)如圖2,連接BG、BD,求證：BG平分NDBF；

(3)如圖3,連接。G交AC于點M,求30的值.

DM

11.如圖①，在正方形ABC。中，AB=6,M為對角線8。上任意一點(不與2、。重合),

連接CM,過點M作MNLCM,交線段A8于點N

(1)求證：MN=MC；

(2)若。M：DB=2：5,求證：AN=4BN；

(3)如圖②，連接NC交8。于點G.若BG：MG=3：5,求NG?CG的值.

DD

12.在矩形ABC。中，E為DC邊上一點、,把△AOE沿AE翻折，使點。恰好落在8c邊上

的點?

(1)求證：AABF^AFCE；

(2)若AB=2愿，AD=4,求EC的長；

(3)AE-DE=2EC,記/BAF=a,ZFAE=^,求tana+tan0的值.

13.如圖，在矩形42。中，42=20,點E是BC邊上的一點，將△A8E沿著AE折疊，點

2剛好落在C。邊上點G處；點廠在。G上，將△AOP沿著AP折疊，點。剛好落在AG

上點〃處，止匕時S^GF"：SAAFH=2：3,

(1)求證：AEGCsAGFH；

(2)求的長；

GD

(3)求tan/GF”的值.

14.如圖，己知邊長為10的正方形ABC。，E是2C邊上一動點(與B、C不重合)，連接

AE,G是BC延長線上的點，過點E作AE的垂線交/OCG的角平分線于點「若FG_L

BG.

(1)求證：/XABEs4EGF；

(2)若EC=2,求△CEF的面積；

(3)請直接寫出EC為何值時，△<7跖的面積最大.

15.如圖，在正方形ABC。中，點E在BC邊上，連接AE,/D4E的平分線AG與CD邊

交于點G,與BC的延長線交于點F.設生=入(入>0).

EB

(1)若48=2,入=1,求線段CP的長.

(2)連接EG,EGLAF,

①求證：點G為C。邊的中點.

BECF

②求人的值.

16.如圖，在矩形ABCD中，線段EF、G”分別平行于A。、AB,它們相交于點P,點尸1、

P2分別在線段PRPHI.,PPi=PG,PP尸PE,連接P1H、PiF,尸田與P2尸相交于點

Q.已知AG：GD=AE：EB=1：2,設AG=a,AE=b.

(1)四邊形的面積四邊形GPED的面積(填”或“<”)

(2)求證：△PIFQSZ\P2HQ

S,

(3)設四邊形PPQP2的面積為Si,四邊形CPQ”的面積為S2,求甘的值.

S2

17.如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,/ABC=90°,AD=CD,。是對角線AC的中

點，聯結B0并延長交邊CD或邊AD于點E.

(1)當點E在。上，

①求證：4cs△08C；

②若BE工CD,求媽的值；

BC

B

(2)若DE=2,0E=3,求CD的長.

18.如圖，在矩形ABC。中，AB=6,BC=4,點/、N分別在AB、AO上，1.MN±MC,

點E為CD的中點，連接BE交MC于點?

(1)當歹為BE的中點時，求證：AM=CE-,

(2)若旦2=2,求細的值;

BFND

(3)若MN〃BE,求幽的值.

ND

19.在矩形ABC。中，點E,尸分別在邊A。，BC上,將矩形ABCD沿EF折疊，使點A的

對應點尸落在邊C。上，點2的對應點為點G,PG交BC于點、H.

(1)如圖1,求證：XDEPs叢CPH；

(2)如圖2,當尸為C。的中點，AB=2,4。=3時，求G8的長；

(3)如圖3,連接BG,當P,”分別為。，8C的中點時，探究8G與4B的數量關系，

并說明理由.

圖1圖2圖3

20.某學校數學興趣小組在數學課外活動中，對多邊形內兩條互相垂直的線段做了如下探究:

圖1圖2圖3

（1）如圖1,在正方形ABC。中，點E,廠分別是42,上的兩點，連接。E,CF,

且。ELCR猜想并計算些的值;

CF

（2）如圖2,在矩形ABCD中，/Q8C=30°,點E是AD上的一點，連接CE,BD,

且CE_L8。，求煦的值;

BD

（3）如圖3,在四邊形ABC。中，NA=/B=90°,點E為AB上一點，連接。E,過

點C作。E的垂線交EZ）的延長線于點G,交AD的延長線于點R求證：DE?AB=CF?

AD.

21.正方形ABC。中，點E是邊8C上的動點（不與點8、C重合），Z1=Z2,AE=EF,

AF交CD于點H,FGLBC交2C延長線于點G.

圖1圖2

(1)如圖1,求證：AABE咨4EGF；

(2)如圖2,于點尸，交AD于點M.

①求證：點尸在NABC的平分線上；

②當里=時,

猜想AP與PH的數量關系，并證明;

DH1r

③作HN_LAE于點N,連接MN、HE,當時，若A8=6,求3E的值.

22.如圖，正方形ABC。邊長為6cm,點E為對角線AC上一點，CE=2AE,點P在A3邊

上以lcm/s的速度由點A向點8運動，同時點。在邊上以2cmis的速度由點C向點

B運動,設運動時間為f秒(0C/W3).

(1)求證：/XAEP^ACEQ.

(2)當△EP。是直角三角形時，求，的值.

(3)連接A。，當tan/AQE=《時，求△AE。的面積.

3

參考答案

1.若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形.

(1)已知△ABC是比例三角形，AB=2,BC=3,請直接寫出所有滿足條件的AC的長;

(2)如圖1,在四邊形ABC。中，AD//BC,對角線8。平分NABC,ZBAC^ZADC.求

證：AABC是比例三角形.

(3)如圖2,在(2)的條件下，當/AZ)C=90°時，求剪.的值.

AC

【分析】(1)根據比例三角形的定義分AB2=8UAC、BC1=AB-AC,AC2=AB?8C三種

情況分別代入計算可得；

(2)先證△A8Cs/\ocA得C^=BC-AD,再由/AD8=/CBO=NA8。知AB=AD

即可得；

(3)作A”_L8。，由知8H=」BD,再證△AB”SADJ5C得

2

BPAB-BC=^-BD2,結合A8?8C=AC2知工BZ)2=AC2,據此可得答案.

22

【解答】解：(1);△ABC是比例三角形，且AB=2、BC=3,

①當432=3。.AC時，得：4=3AC,解得：AC=A；

3

②當BC2=AB?AC時，得：9=2AC,解得：AC=a；

2

③當時，得：AC2=6,解得：AC=F)(負值舍去)；

所以當AC=&或2或右時，AABC是比例三角形；

32

(2)'：AD//BC,

：.ZACB=ZCAD,

又；/BAC=/ADC,

：.AABC^ADCA,

BCCA即

A=；CA2^BC.AD

CAAD

VAD//BC,

：.NADB=/CBD,

：2。平分/ABC,

ZABD=ZCBD,

：.ZADB=ZABD,

：.AB=AD,

：.C/^=BC'AB,

...△ABC是比例三角形；

（3）如圖，過點A作AHLBO于點H,

'：AB=AD,

2

'：AD//BC,ZA￡?C=90°,

；./BCD=90°,

：.ZBHA=ZBCD=90°,

又：ZABH=ZDBC,

：.△ABHs^DBC,

AAB=BH；gpAB'BC^BH-DB,

DBBC

：.AB'BC=—BDr,

2

y,'：AB'BC=AC2,

：.^BD2=AC2,

2

【點評】本題主要考查相似三角形的綜合問題，解題的關鍵是理解比例三角形的定義，

并熟練掌握相似三角形的判定與性質.

2.如圖，在正方形ABC。中，點G在邊上（不與點2,C重合），連接AG,作。

AG于點E,BFLAG于點凡設幽=人.

BC

（1）求證：AE=BF.

（2）連接BE,DF,設/EZ"=a,ZEBF=p.求證：tana=han0.

（3）設線段AG與對角線BD交于點H,AAHD和四邊形CDHG的面積分別為Si和S2,

S

求-29的最大值.

si

【分析】（1）利用同角的余角相等判斷出/B4G=ND4E,進而得出即

可得出結論；

（2）先判斷出AAgGs△￡?￡>1,進而得出坐=左，再根據銳角三角函數即可得出結論；

DE

2

（3）方法1、先判斷出SI=-4?S4BHG,再判斷出S2=k+1;卜SABHG,即可得出結論.

kk

方法2、先表示出S2=』8CXCD-工協，Si=-^ADXh'=^h',即可得出結

222222

論.

方法3,先判斷出S\=S&ADH=S&CHD,進而得出S?HG=-土3sABHG,再判斷出S^BHG

k

=詁S4AHD=aSl,進而得出S2=S1-左（左-1）Sl=-（廬-k-1）S1,即可得出結論.

【解答】解：（1）??,四邊形ABC。是正方形，

：.AD=AB,ZBAD=90°,

.'.ZBAG+ZDAG=90°,

■:DE工AG,BF±AG,

AZAED=ZBFA=90°,

ZADE+ZDAG=90°,

???ZBAG=NADE,

：.AADE^ABAF（A4S）,

：.AE^BF,

（2）由（1）知，/BAG=/EDA,

）：ZABG=ZDEAf

：.XABGs"DEA,

???—AB二BG,

DEAE

?.?-A--E-~--B--G_B1G_,K,

DEABBC

在RtZxDEF中，EF=DE'tana,

在Rtz\B跖中，所=8>tan0,

/.DE,tana=BF,tanp,

tana=*tanR=辿_?tan0=AtanB；

DEDE

（3）方法1、如圖，

:四邊形ABC。是正方形,

J.BC//AD,AD=BC,

,JAD//BC,

...△ADHs^GBH,

S1SAADH(AD)21

SABHGSABHGBGk2*

k2

設△瓦/G的邊8G上的高為//,的邊AD上的高為〃,

AADHsAGBH

h'AD

'.h=kh,

c^BG-h__,9

.??詠即=2________=BG*kh_/：xk_k

SABCDyBC(h+hz)BCkh'+h'k+1k+1

k+1

SABCD=——上SABHG,

k2

k+1-k2

?.S1=S/\BCD-SABHG=-----------SABHG,

k2

9

k+b小

c,2

—------------=-lc+k+\=-Ck--)(k-JL)2+$,

S<J_224

包的最大值為上，

.?.左=1時,

2

方法2、如圖1,

設正方形的邊長為1,

連接2。交AG于過X作MALLBC交A。于M,BC于N,

設HN=h,HM=h',

h+h'=1,

S2=—BCXCD--l^x/z=A-Ikh,

2222

Si=lADXh'=^h',

22

kh

,S2M

=1kh

_h+h'kh

.?.左=1時，包的最大值為9.

2S1

方法3、如圖，連接C”,

是正方形的對角線,

??Si=S/\ADH=S/\CHD,

：.S2=S四邊形CDHG=SACHD+SACHG=SI+SACHG,

..SABHG_BG__kk

S/kCHGCGk-ll-k

.k-1

??SACHG=~-----SABHG,

k

.?.S2=SI+A1KSABHG

k

?/AADH^ABHG,

.S^BHG,BG、2,2

,,■?；=(而)=k

bAAHDW

?*?SABHG=諾S/\AHD=SS1,

:.S2=Si-k(k-1)si=-(Fk-1)Si,

Sn)

——=-(F-%-l)=-(k-1)2+且

Si24

.?.4=工時，包的最大值為

【點評】此題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，

銳角三角函數，比例的性質，判斷出S2=」?SABHG是解本題的關鍵.

k

3.已知正方形A8CD中AC與8。交于。點，點M在線段8。上，作直線AM交直線OC

于E,過。作。H_LAE于H,設直線。“交AC于N.

(1)如圖1,當M在線段2。上時，求證：MO=NO；

(2)如圖2,當M在線段。。上，連接NE,當時，求證：BM=AB；

(3)在圖3,當M在線段。。上，連接NE,當NE_LEC時，求證：AI^^NC'AC.

【分析】(1)先判斷出。。=。4,ZAOM^ZDON,再利用同角的余角相等判斷出NODV

=ZOAM,判斷出△DONgZkAOM即可得出結論；

(2)方法1、先判斷出四邊形DENM是菱形，進而判斷出/BON=22.5°,即可判斷出

ZAMB=67.5°,即可得出結論；

方法2、先判斷出點A,D,E,N在以AE為直徑的圓上，得出/1=/3,即：Z2=Z3,

即可得出結論.

(3)先判斷出4。冊64^。￡得出DE1=AD-EN,再判斷出AC=42AD,EN=42CN,

AN=&OE，代換即可得出結論.

【解答】解：(1):正方形ABC。的對角線AC,8。相交于。，

：.OD^OA,NAOM=/DON=90°,

：.ZOND+ZODN=9Q°,

ZANH^ZOND,

：.ZANH+ZODN=90°,

'：DH±AE,

：.ZDHM=90°,

AZANH+ZOAM^90°,

：.ZODN=ZOAM,

：.ADON^/\AOM,

：.OM=ON；

(2)連接MN,

■:EN//BD,

:?/ENC=/D0C=9S,ZNEC=ZBDC=45°=/ACD,

:?EN=CN,同(1)的方法得，OM=ON,

OD=OD,

:?DM=CN=EN,

*：EN//DM,

???四邊形DENM是平行四邊形，

?：DN1AE,

???團。ENM是菱形，

：.DE=EN,

：?NEDN=NEND,

■:EN//BD,

：.ZEND=ZBDN,

:./EDN=/BDN,

VZBZ)C=45°,

:?/BDN=22.5°,

VZAHZ)=90°,

ZAMB=ZDME=90°-ZBDN=61.5°,

VZABM=45°,

:"BAM=675°=ZAMB,

：.BM=AB；

方法2、如圖2,?:NE//BD,

：.ZENO=90°,

???N2+NOND=90°,

AZ1=Z2,

VZADC+ZANE=180°,

???點A,D,E,N在以AE為直徑的圓上,

???N1=N3,

???N2=N3,

???N2+N4=N2+N5=90°,

/.Z3+ZMAB=90°,

：.ZMAB=Z5,

：.BA=BM

(3)如圖3,

?：DN工AE,：.ZDEH+ZEDH=90°,

9：ZDAE+ZDEH^90°,

ZDAE=/EDH,

?；EN1CD,

：.ZDEN=90°=ZADE,

:?叢DENs叢ADE,

?DEEN

ADDE

:.DE2=AD-EN,

VAC是正方形ABCD的對角線，

/.ZACD=ZBAC=45°,

：.CN=42EN,AC=yj2AD,

延長EN交AB于P,

...四邊形ADEP是矩形，

：.DE=AP,

"：AN=42AP=42DE,

：.AN2=AC'CN.

EC

圖3PB

【點評】此題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質，平行四邊形，菱形的判定，

全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，判斷出四邊形DENM

是菱形是解（2）的關鍵，判斷出是解（3）的關鍵.

4.根據相似多邊形的定義，我們把四個角分別相等，四條邊對應成比例的兩個凸四邊形叫

做相似四邊形.相似四邊形對應邊的比叫做相似比.

（1）某同學在探究相似四邊形的判定時，得到如下三個命題，請判斷它們是否正確（直

接在橫線上填寫“真”或"假"）.

①四條邊成比例的兩個凸四邊形相似；（假命題）

②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似；（假命題）

③兩個大小不同的正方形相似.（真命題）

（2）如圖1,在四邊形A8CD和四邊形A181C1D中，ZABC^ZAiBiCi,/BCD=N

B1C1D1,-嵋=_BC=/D_.求證：四邊形ABCD與四邊形A18C1O1相似.

AjB?B?C?C?D?

（3）如圖2,四邊形ABC。中，AB//CD,AC與2。相交于點。，過點。作所〃A2分

別交AD,BC于點E,F.記四邊形A2FE的面積為Si,四邊形跖CZ）的面積為S2,若

Sn

四邊形ABFE與四邊形EPC￡＞相似，求上的值.

S1

【分析】(1)根據相似多邊形的定義即可判斷.

(2)根據相似多邊形的定義證明四邊成比例，四個角相等即可.

(3)四邊形A8CO與四邊形EFC。相似，證明。E=AE即可解決問題.

【解答】(1)解：①四條邊成比例的兩個凸四邊形相似，是假命題，角不一定相等.

②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似，是假命題，邊不一定成比例.

③兩個大小不同的正方形相似.是真命題.

故答案為假，假，真.

'：ZBCD=ZBiCiDi,且BC=.CT)

B1C1C1D1

：.ZCDB=ZCiDiBi,ZCiBiDi^ZCBD,

..AB_BC_CD

'AIB]BQCiDj

-BD_AB

B1D1A1B1

ZABC=ZAiBiCi,

.ZABD^ZAiBiDi,

AABD^/XAiBiDi,

：氈_=—^―,ZA=ZAi,ZADB=ZAiDiBi,

A1D1A1B1

.?^—=BC=CD=AD,ZADC=ZA1D1C1,ZAZAi,ZABC=ZAiBiCi,

A[BiB]CiC】DiA[Di

/BCD=/BiCiDi,

四邊形ABCD與四邊形AiBiCiDi相似.

(3)如圖2中,

四邊形A8FE與四邊形EFCD相似.

.DE=EF

"AEAB，

；EF=OE+OF,

.DEOE-K)F

"AEAB

'：EF//AB//CD,

.DE=OEDE=OC=OF

,,ADAB，ADACAB'

.DE+DE=OE+OF

"ADADABAB'

.2DE_EF_DE

,?而AB而，

'：AD=DE+AE,

.2_1

"DE+AEAE)

；.2AE=DE+AE,

：.AE=DE,

：.四邊形AB巫與四邊形EFCD相似比為1

【點評】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，相似多邊形的判定

和性質等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

5.如圖，矩形中，AB=a,BC=b，點、M,N分別在邊AB,CD上，點E,尸分別在

邊BC,AD±,MN,EF交于點P,記k=MN：EF.

(1)若a：b的值為1,當MNLEP時，求左的值.

(2)若a：b的值為工，求上的最大值和最小值.

2

(3)若上的值為3,當點N是矩形的頂點，/MPE=60°,MP=EF=3PE時，求a：》

【分析】(1)作切_L8C于"，MQ_LC。于。，設EF交MN于點、0.證明△口/￡1絲△

MQN(44S),即可解決問題.

(2)由題意：2aWMNW爬a,aWEFW遙a,當MN的長取最大時，EF取最短，此時

上的值最大最大值=遍，當的最短時，的值取最大，此時人的值最小，最小值為

275

5

(3)連接五N,ME.由左=3,MP=EF=3PE,推出期=更=3,推出里=理=2,

PMPEPMPE

由NNFsAPME,推出空=型=2,ME//NF,設PE=2tn,則PF=4m,MP=6m,

MEPM

NP=12m,接下來分兩種情形①如圖2中，當點N與點。重合時，點M恰好與3重合.②

如圖3中，當點N與C重合，分別求解即可.

【解答】解：(1)如圖1中，

圖1

作FH1.BC于H,MQ_L。于Q,設所交MN于點O.

:四邊形是正方形，

：?FH=AB,MQ=BC,

VAB=CB,

:?FH=MQ,

■:EF1MN,

：.ZEON=90°,

9：ZECN=90°,

ZMNQ+ZCEO=1SO°,NFEH+/CE0=18U°

：.ZFEH=ZMNQ,VZEHF=ZMQN=90°,

：.AFHE^AMQN(A4S),

：.MN=EF,

：.k=MN：EF=\.

(2)9：a：b=l：2,

??b~~2〃，

由題意：2a&MNa,aWEFWyf^a,

???當MN的長取最大時，E尸取最短，此時人的值最大最大值=遙，

當跖V的最短時，的值取最大，此時左的值最小，最小值為22;叵.

5

(3)連接印，ME.

,:k=3,MP=EF=3PE,

>.?-M---N--E---F.o3

PMPE

里=里=2,,:NFPN=NEPM,

PMPE

△PNFS^PME,

NF=PN=2,ME//NF,

MEPM

設PE=2m,貝iJPF=4加，MP=6m,NP=12m,

①如圖2中，當點N與點。重合時，點M恰好與2重合.作切于H.

D(N)

Baf)Ec

圖2

VZMPE=ZFPH=60°,

：.PH=2m,FH=2y/3m,DH=lOm,

.a_=AB=FH=V3_

'TAD而

②如圖3中，當點N與C重合，作￡7九LMN于凡則尸8=根，HE=^m,

圖3

,.HC=PH+PC=13m,

MB=HE=f

tanZHCE=

BCHC^3

CME//FC,

\/MEB=ZFCB=ZCFD,

：ZB=ZD,

?.AMEBsACFD,

.CD=FC=2

,MBME，

.a_CD_2MB_273

"7BC~bC13

綜上所述，a：》的值為近或漢

513

【點評】本題屬于相似形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，矩

形的性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造

直角三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

6.在矩形ABCQ中，于點E,點尸是邊AD上一點.

(1)若3尸平分NAB。，交AE于點G,PFLBD于點、F,如圖①，證明四邊形AGFP是

菱形；

(2)若PELEC,如圖②，求證：AE-AB=DE-AP；

【分析】（1）想辦法證明AG=PRAG//PF,推出四邊形AG叮是平行四邊形，再證明

以=尸尸即可解決問題.

（2）證明可得膽=空，由此即可解決問題.

DEDC

（3）利用（2）中結論.求出。E,AE即可.

【解答】（1）證明：如圖①中，

???四邊形A5CD是矩形，

，NBAD=90°,

9：AE±BD,

：.ZAED=90°,

：.ZBAE+ZEAD=90°,ZEAD+ZADE=90°,

：?/BAE=/ADE,

VZAGP=ZBAG+ZABG,ZAPB=ZADE+ZPBD,NABG=NPBD,

：.ZAGP=ZAPGf

???AP=AG,

9：PALAB,PFtBD,BP平分NABD,

：.PA=PF,

：.PF=AGf

VAE±BD,PFLBD,

：.PF//AG,

四邊形AGFP是平行四邊形,

'：PA^PF,

，四邊形AGEP是菱形.

'：AE±BD,PE工EC,

：./AED=/PEC=90°,

：./AEP=ZDEC,

,：ZEAD+ZADE^9Q°,ZADE+ZCDE^90°,

NEAP=/EDC,

：.AAEPsADEC,

.AE=AP

"DE而’

'：AB=CD,

：.AE-AB=DE'AP；

(3)解：：四邊形ABC。是矩形,

：.BC^AD=2,ZBA￡>=90°,

?■?BD=VAB2+AD2=^>

\'AE±BD,

：.SMBD^—-BD-AE^—'AB'AD,

22

.\A￡=

5_

"E=JAD2-AE2=嚕，

D

,：AE9AB=DE9AP；

*1

：.AP=5f--=」.

既2

5

【點評】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，解直

角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型.

7.如圖，在正方形ABCZ)中，點E是邊上一點，以。E為邊作正方形。EFG,DF與

BC交于點M,延長交G尸于點X,EF與CB交于點N,連接CG.

(1)求證：CDYCG-,

(2)若tan/MEN=工，求迎的值；

3EM

(3)已知正方形ABC。的邊長為1,點E在運動過程中，的長能否為工？請說明理

2

由.

【分析】(1)由正方形的性質得出/A=/AOC=NEOG=90°,AD=CD,DE=DG,

即NAZ)E=NCr)G,由SAS證明△AOE0ZXCDG得出NA=/OCG=90°,即可得出結

論；

(2)先證明△EFM四△GFM得出EM=GM,NMEF=/MGF,在證明田之△GFN

得出HF=NF,由三角函數得出Gb=EE=3HE=3NF,得出GH=2HF,作NP//GF交

EM于P,則△PMNsAHMG,△PENsXHEF,得出型=幽，旦1=典=2,PN=Z

GHGMHFEF33

HF,即可得出結果；

(3)假設先判斷出點G在BC的延長線上，同(2)的方法得，EM=GM=L,

22

得出GM=A,再判斷出BM<^,得出CM>^,進而得出CM>GM,即可得出結論.

222

【解答】(1)證明：?..四邊形ABC。和四邊形。EFG是正方形，

NA=NAOC=/E￡)G=90°,AD=CD,DE=DG,

：.ZADE=ZCDG,

'AD=CD

在△&￡>￡和△COG中，，ZADE=ZCDG，

DE=DG

:.AADE2ACDG(SAS),

NA=N￡>CG=90°,

J.CDLCG-,

(2)解：?.?四邊形。E/G是正方形，

:.EF=GF,/EFM=/GFM=45°,

'EF=GF

在△￡尸M和△GFM中，ZEFM=ZGFM，

MF=MF

:.AEFM%叢GFM(.SAS),

；.EM=GM,/MEF=/MGF,

，ZEFH=ZGFN

在AEFH和aGFN中，<EF=GF

ZMEF=ZMGF

△EFH咨△GFN(ASA),

:.HF=NF,

tanNMEN=

3EF

GF=EF=3HF=3NF,

:.GH=2HF,

作NP〃GF交EM于P,則△PMNS/^HMG,△PENsdHEF,

.PN=MNPN=EN=2

"GHGM，IFEFT

：.PN=^HF,

3

—HF

?MN^MN^PN^3_1.

??麗GMGHIHF3'

（3）EM的長不可能為工,

2

理由：假設EM的長為工,

2

:點E是AB邊上一點，且/EDG=/A￡）C=90°,

...點G在8C的延長線上，

同(2)的方法得，EM=GM=1,

2

：.GM=~,

2

在RtZXBEM中，EM是斜邊，

2

,/正方形ABCD的邊長為1,

2

：.CM＞GM,

...點G在正方形ABC。的邊BC上，與“點G在2C的延長線上”相矛盾,

，假設錯誤，

即：的長不可能為

2

【點評】此題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判

定和性質，構造出相似三角形是解本題的關鍵，用反證法說明不可能為」是解本題

2

的難度.

8.如圖，在正方形A8C￡＞中，AB=6,M是對角線2D上的一個動點(0＜。河＜22。)，

2

連接AM,過點M作MNLUZ交BC于點N.

(1)如圖①，求證：MA=MN；

(2)如圖②，連接AN,。為AN的中點，的延長線交邊48于點P,當,△刖八2

^ABCDI*

時，求A7V和的長；

(3)如圖③，過點N作于H,當AM=2代時，求△HMN的面積.

【分析】（1）過點M作MFLAB于凡作MGL8C于G,由正方形的性質得出/A8￡>=

NDBC=45°,由角平分線的性質得出MF=MG,證得四邊形是正方形，得出/

FMG=90°,證出/AMF=/MWG,證明/絲△MWG,即可得出結論；

（2）證明RtZWWNsRtZ^BC。，得出但蹦=（幽）2,求出AN=2jI§,由勾股定

^ABCDBD

理得出B^=7AN2-AB2=4,由直角三角形的性質得出OM=OA=ON=￡AN=。五

0M_LA2V,證明△必OS2\M4B,得出空=空，求出。尸=過亙，即可得出結果；

BNAB3

（3）過點A作AFLBD于F,證明△AFA/g得出AF=MH,求出AF=-^BD^^-

22

X672=3&,得出MH=3&,MN=2遍,由勾股定理得出HN=標百滔=近，

由三角形面積公式即可得出結果.

【解答】（1）證明：過點M作于尸，作MGJ_BC于G,如圖①所示：

ZAFM=ZMFB=ZBGM=ZNGM=900,

二?四邊形ABC。是正方形，

AZABC=ZDAB=90°,AD=AB,NABD=NDBC=45°,

'：MF±AB,MG1BC,

：.MF=MG,

V