難點與解題模型09三角形中七種常考方法求角度問題

題型一：方程法求角度問題

題型二：分類討論法求角度問題

題型三：A字模型

題型四：8字模型

題型五：飛鏢（燕尾）模型

題型六：三角形折疊模型

題型七：雙角平分線模型

精淮提分

題型一：方程法求角度問題

|SiS?Si#...............................

，方程法的解題步驟

；第一步：找出題中的已知角，常涉及的概念有垂直、余角、補角、對頂角、角平分線等

i

;第二步：根據(jù)題干中出現(xiàn)的角度和差、倍分關(guān)系或者角度比例關(guān)系，考慮設(shè)一個角為未知數(shù)

I

，第三步：用所設(shè)角度表示出其他角度

i

，第四步：通過列方程求解

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2023?河南信陽?二模）【閱讀理解】如圖1,小明把一副三角板直角頂點。重疊在一起?如圖2固

定三角板AO3,將三角板COO繞點0以每秒15。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為/秒，當(dāng)0。邊與08邊重

合時停止轉(zhuǎn)動.

【解決問題】

⑴在旋轉(zhuǎn)過程中，請?zhí)畛觥狝OC、/3C?之間的數(shù)量關(guān)系

⑵當(dāng)運動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由;

⑶當(dāng)NAOC、ZAOB,/BOC中一個角的度數(shù)是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是—AOB的"優(yōu)線"，請直

接寫出所有滿足條件的f值.

【答案】(1)NAOC+N3QD=180。

（2）有，0。平分NAO3,OB平分NCOD,理由見解析

(3)r=2,3,4,9,12

【分析】（1）由題意，根據(jù)題目分析，然后畫出圖形可得結(jié)論;

（2）依據(jù)題意，畫出圖形，然后分別計算出角的度數(shù)可得解;

（3）依據(jù)題意，將所有可能情形梳理并分類討論可得f的值.

【詳解】（1）解：①如圖，ZAOC+ZB（9D=180°,理由如下:

由題意得，ZDOA=90°-ZAOC,ZCOB=90°-ZAOC.

0ZAOC+ZBOD=ZAOC+Z.DOA+ZAOC+ZCOB

=ZAOC+90°—ZAOC+ZAOC+90°-ZAOC

=180°,

D

②如圖，ZAOC+ZBOD=130°,理由如下:

由題意得，ZDOA=90°-ZDOB,ZCOB=90°-ZDOB.

0ZAOC+ZBOD=ZDOA+NDOB+ZCOB+ZBOD

=90°-ZDOB+NDOB+90°-NDOB+ZBOD

=180°,

A

D

0\B

C

綜上，ZAOC+ZBO/)=180°.

故答案為：NAOC+NBOD=180。；

(2)解：有，0。平分/AQ3,03平分NCO￡).

如圖所示，理由如下：

當(dāng)運動時間為9秒時，NAOC=15以9=135。，

0NBOC=ZAOC-ZAOB=135°-90°=45°.

0ZCOD=90°,

fflNBOD=ZCOD-ZBOC=90°-45°=45°,

0ZBOC=ZBO￡)=45°,

EOB平分ZCOD,

13ZBOD=45°=-ZAOB,

2

團(tuán)8平分NAO3；

(3)解：由題意得，ZAOB=90°,ZAOC=(15r)°.

當(dāng)/3OC=2ZAOC時，ZAOC=30°,

015?=30,解得r=2；

當(dāng)NAO3=2NAOC,OC在NAO3內(nèi)部時，ZAOC=45°,

Ell5t=45,解得，=3；

當(dāng)NAOC=2ZBOC時，ZAOC=60°,

即5f=60,解得f=4；

當(dāng)ZAOB=2ZBOC時,ZAOC=135°,

町5t=135,解得t=9；

當(dāng)NAOC=2NAO3時，ZAOC=180°,

町5/=180,解得f=12；

綜上，t—2,3,4,9,12.

【點睛】本題主要考查角的計算，解題時需要全面考慮分析所有可能，學(xué)會分類討論是解題的關(guān)鍵.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式1-1］（23-24陜西西安）新定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所

成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角.如圖1,若射線OC、0。在

的內(nèi)部，且？CODAOB,則NCOD是NAO3的內(nèi)半角，根據(jù)以上信息，解決下面的問題：

⑴如圖1,44。3=70。,44。。=25。，若NCOD是—AOB的內(nèi)半角，則NCOE>=,ZBOD=.

⑵如圖2,已知NAOB=60。，將NAO3繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度以0°<g<60。）至NCOD.若

NCO3是NAOD的內(nèi)半角，求a的值.

⑶把一塊含有30。角的三角板COD按圖3方式放置，使OC邊與Q4邊重合，OO邊與08邊重合，如圖4,

將三角板CQD繞頂點。以4度/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時間為f秒,當(dāng)射線04OB、OC,OD

構(gòu)成內(nèi)半角時，請求出f的值.

【答案】（1）35。，10。

（2）20°

,、5—45—135—175

⑶5或彳或；一或可

【分析】(1)本題主要考查了角的和差，先根據(jù)題意算出NCOD的度數(shù)，再利用

NBOD=ZAOB-ZAOC-Z.COD即可解答；弄清楚角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；

(2)本題主要考查看旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、內(nèi)半角的定義、一元一次方程的應(yīng)用等知識點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可推出

NAOC=/3。￡)=夕和NCOD=403=60。，然后可用含有a的式子表示NA0D和NCOB的度數(shù)，根據(jù)

NCO3是/AOD的內(nèi)半角，即可求出a的值即可；掌握內(nèi)半角的定義是解題的關(guān)鍵；

(3)本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、內(nèi)半角的定義、一元一次方程的應(yīng)用等知識點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成內(nèi)半

角的情況總共有四種，分別畫出圖形，求出對應(yīng)/值即可.掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：EINCOD是NAO3的內(nèi)半角，ZAOB=10°,

ZCOD=-ZAOB=35°,

2

回NBOD=ZAOB-ZAOC-ZCOD=70°-25°-35°=10°.

故答案為：35°,10°.

(2)解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：ZAOC=ZBOD=a,ZCOD=ZAOB=60°,

0ZAOD=ZAOC+ZCOD=a+60°,ZCOB=ZAOB-ZAOC=60°-a,

團(tuán)NCOB是NAOD的內(nèi)半角，

SZAOD=2ZCOB,即0+60。=2(60。-可，解得:a=20°.

0a的值為20。.

(3)解:①如圖4：此時NCQ3是NAOD的內(nèi)半角，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：ZAOC=ZBOD=4t°,ZCOD=ZAOB=30°,

回ZAOD=ZAOC+ZCOD=4尸+30°,ZCOB=ZAOB-ZAOC=30°-4t°,

國NCOB是NAOD的內(nèi)半角，

SZAOD=2ZCOB,即4產(chǎn)+30°=2(30°-4『)，解得：?=|:

②如圖：此時NCO3是NAOD的內(nèi)半角，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：NAOC=NBa>=4/。，ZCODZAOB30°,

0ZAOD=ZAOC+ZCOD=4t°+30°,ZBOC=ZAOC-ZAOB=4t°-30°,

團(tuán)NCOB是NAOD的內(nèi)半角，

0?AODHBOC,即4尸+30°=2（4產(chǎn)一30°）,解得：/=，；

③如圖所示，此時NAOD是，BOC的內(nèi)半角，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：44。。=/8。。=360。-4產(chǎn)，ZCOD=ZAOB=30°,

0NBOC=ZBOD+ZCOD=390°-4尸，ZAOD=ZAOC-ZCOD=330°-4t°,

回/AOD是/3OC的內(nèi)半角，

135

SZBOC=2ZAOD,即390°—4/°=2（330°—4巧，解得：/=三;

④如圖所示，此時NAOD是/BOC的內(nèi)半角，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：ZAOC=ZBOD=360°-4t°,ZCOD=ZAOB=30°,

回NBOC=ZBOD+ZCOD=390°-4產(chǎn)，ZAOD=ZCOD-ZAOC=4產(chǎn)-330°,

團(tuán)/AOD是，BOC的內(nèi)半角，

175

B1ZBOC=2ZAOD,即390。-4佯=2（4產(chǎn)一330。），解得：t=

綜上所述：當(dāng)射線。4、OB、oaOD構(gòu)成內(nèi)半角時，t的值為5|■4或5?或13/5或175

【變式1-2］（23-24湖南長沙）定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成

的角與這個角互余，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)余角，如圖1,若射線OG8在NAO3的

內(nèi)部，且NCOD+NAO3=90。，則NCOD是的內(nèi)余角.

根據(jù)以上信息，解決下面的問題:

⑴如圖1,NAOS=72。，ZAOC=20°,若NCOD是NAO3的內(nèi)余角，貝1]/3。￡>=；

(2)如圖2.已知NAO3=60。將。4繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度以0°<a<60。)得到OC.同時將OB繞

點。順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度ga得到0。.若NCOB是NAOD的內(nèi)余角，求a的值；

⑶把一塊含有30。角的三角板COD按圖3方式放置，使OC邊與邊重合，0。邊與08邊重合，如圖4將

三角板COD繞頂點。以6度/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為f秒，在旋轉(zhuǎn)一周的時間內(nèi)，當(dāng)射線

OA,OB,OC,OD構(gòu)成內(nèi)余角時，請求出f的值.

【答案】⑴34°

(2)a的值為45。

⑶當(dāng)射線。4,OB,OC,8構(gòu)成內(nèi)余角時，。的值為7.5秒或52.5秒

【分析】本題主要考查角的和差的運算，掌握內(nèi)余角的概念及計算方法是解題的關(guān)鍵.

⑴根據(jù)內(nèi)余角可求出“OD的度數(shù)，再根據(jù)=-ZAOC-NCOD即可求解；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別用含a的式子表示/CO3,/BQD的度數(shù)，再根據(jù)NCO3是/AOD的內(nèi)余角列

式求解即可；

(3)根據(jù)內(nèi)余角的概念及計算方法，分類討論，當(dāng)OC在/AO3內(nèi)部時；當(dāng)OC在射線08下方時；當(dāng)

在。4上方時；當(dāng)。。在—AQ3內(nèi)部時；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)表示角的數(shù)量關(guān)系，列表求解即可.

【詳解】(1)解:EINCOD是-4QB的內(nèi)余角，

13ZCOD+ZAOB=90°,

0ZAOB=72°,

回ZCOD=90°-ZCOD=90°-72°=18°,

ElZAOC=20°,

團(tuán)ZBOD=ZAOB-ZAOC-ZCOD

=72°—20°-18°

=34°,

故答案為：34°；

(2)解：已知NAQ3=60。，Q4繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度磯0°<1<60。)得到0008繞點。順時

針方向旋轉(zhuǎn)一個角度;a得到OD,

0ZAOC—a,NBOD=—a,

3

0ZBOC=ZAOB-a^60°-a,ZAOD=ZAOB+ZBOD=60°+-a,

3

回NCO3是NAOD的內(nèi)余角，

0ZCOB+ZAOD=90°,

060°-a+60°+-a=90°,

3

解得，a=45。

0?的值為45。；

（3）解：根據(jù)題意可得，ZAOB=3Q°,三角板CO。繞頂點。以6度/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間

為/秒，

當(dāng)OC在一AOB內(nèi)部時，如圖所示，

SZAOC=6t,ZBOD=6t,

0ZBOC=ZAOB-ZAOC=30°-6t,ZAOD^ZAOB+ZBOD=30°+6t,

若ZCOB是ZAOD的內(nèi)余角時，得/COB+ZAOD=90°,

03O-6r+3O+6r=9O°,無解,

團(tuán)當(dāng)OC在NAQ8內(nèi)部時，射線0AOB,OC,OD不能構(gòu)成內(nèi)余角；

當(dāng)OC在射線08下方時，如圖所示，

團(tuán)ZBOC=6t—30°,ZAOD=6r+30°,

若ZBOC是ZAOD的內(nèi)余角，

06r-3Oo+6f+3O°=9O°,

解得，%=7.5（秒）；

當(dāng)在Q4上方時，如圖所示,

()H

aZAOD=360°—6r—30°=330°—6r,ZBOC=ZAOD+60°=330°—+60°=390°-6t,

若NAOD是23OC的內(nèi)余角，

033O°-6r+39O°-6z=9O°,

解得，t=52.5(秒)；

當(dāng)OD在NAO3內(nèi)部時，如圖所示，

0ZAOC=360°-6Z,ZBOD=360°-6t,ZAOD=6r-ZAOC=6t-（360°-6?）=12r-360°,

ElZBOC=NAOC+ZBOD=360°—6r+360°—6/=720°—12人

若NAOD是Z3OC的內(nèi)余角，

Ell2r—360+720—12,=90°,無解，

團(tuán)當(dāng)OD在-403內(nèi)部時，射線0AOB,OC,OD不能構(gòu)成內(nèi)余角；

綜上所述，當(dāng)射線Q4,OB,OC,8構(gòu)成內(nèi)余角時，f的值為7.5秒或52.5秒.

【變式1-3］（23-24河南焦作）一副三角板按如圖1所示放置，邊Q4,OC在直線MN上,

ZAOB=60°,ZCOD=45°.

圖3圖4

如圖2,將三角板COD繞點。順時針旋轉(zhuǎn)到C'OD,轉(zhuǎn)速為每秒鐘轉(zhuǎn)動5。，當(dāng)OC旋轉(zhuǎn)一周回到射線QV上

時停止轉(zhuǎn)動，設(shè)轉(zhuǎn)動時間為/秒.

(1)當(dāng)8'與08重合時，直接寫出的值；

⑵①當(dāng)OD正好平分ZBQ4時，在圖1中畫出此時的位置，并求出t的值；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，作ZBOD的角平分線0E,當(dāng)NAOE=15。時.直接寫出f的值.

【答案】⑴15秒

⑵①圖見詳解，f的值為21秒；②f的值為33或45秒

【分析】本題考查了角的計算，特殊角，角平分線的定義，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)已知角的度數(shù)和平角的定義直接求度數(shù)即可；

(2)①根據(jù)"00=105。求解即可；②根據(jù)題意分兩種情況得出的度數(shù)，求解即可.

【詳解】(1)解：由題知，ZBOD=180°-ZAOB-ZCOD

=180°-60°-45°

=75°

75°

t=——=15(秒)；

(2)①如圖所示:

圖1

---OD正好平分ZBO4

NBOD'=ZAOD'=-ZBOA=30°

2

QZBOD=75°,

ZD'OD=ZBOD+NBC?'=75。+30。=105°

105°~

??t--------21f

5°

二?￡的值為21；

②當(dāng)OS在NBQ4內(nèi)部時，

ZAOE=15°,

：.ZBOE=ZBOA-ZAOE=60。—15。=45°

OE平分N5QD'

ZBOE=ZD'OE=45。

：."'04=45。—15。=30。

ZDrOD=ZD'OA+ZAOD=30°+180°-45°=165°

165°”

t=-------=33

5°

當(dāng)OE在ZBOA外部時，

ZAOE=15°

：.ZBOE=ZBOA+NAOE=600+15°=75°

OE平分

，ZBOE=ZD,OE=75°

/.0。轉(zhuǎn)動的角度為：ZBOE+ZiyOE+ZBOD=y50+15°+15°=225°,

7750

解得「=言=45,

.,.當(dāng)NAOE=15。時.?的值為33或45（秒）.

題型二：分類討論法求角度問題

「輻TAT速T系....................I

i；常考分類討論的情形i

i1.若題中出現(xiàn)角度大小，但不明確角度邊的位置，需對角的位置進(jìn)行分情況討論,再根據(jù)角度大小分別求解：i

2.若題中出現(xiàn)射線旋轉(zhuǎn)，并讓探究三條射線中某一條射線是另兩條射線夾角的平分線，需分別討論哪條射線是；

角平分線的情況；

3.若題中出現(xiàn)射線三等分角，但并未說明射線靠近角度的哪一邊,需對射線的位置進(jìn)行分情況討論.

【中考母題學(xué)方法】

【典例2］（22-23浙江）【問題提出】已知/3OC與—AOC有共同的始邊0C,且滿足/BOC=2NAOC,

若NAOC=28。，求/AO3的度數(shù).

【問題解決】圓圓首先畫出兩個符合題意的圖形，運用分類討論的數(shù)學(xué)思想，解決問題.

在圖①中，當(dāng)射線在/3OC的內(nèi)部時，由題意易得NAOB=28。；

在圖②中，當(dāng)射線。4在—3OC的外部時，由題意易得NAO3=84。.

-8-7-6-57-3-270I2345678

圖⑶

【問題應(yīng)用】請仿照這種方法，解決下面兩個問題

⑴如圖③，已知點A,B,C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為T,2,1,請在數(shù)軸上標(biāo)出線段AC的中點。并寫

出。所表示的數(shù)；若數(shù)軸上存在點E,它到點C的距離恰好是線段的長，求線段DE的長.

（2）如果兩個角的差的絕對值等于90。，就稱這兩個角互為垂角，例如：Zl=120°,Z2=30°,|Zl-Z2|=90°,

則Z1和Z2互為垂角（本題中所有角都是指大于0°且小于180。的角）.

①若/&=140。，求/々的垂角；

②如果一個角的垂角等于這個角的補角的;，求這個角的度數(shù).

【答案】（1）8^或3；

（2）①50°；②18。或126°

【分析】本題考查了互為垂角和補角的定義及運用，數(shù)軸，數(shù)軸上兩點之間的距離，絕對值，解題關(guān)鍵是

找準(zhǔn)角之間關(guān)系.

（1）根據(jù)中點的定義找到點。，由已知的A、B、C所表示的數(shù)求出A3的長度，就可以求出E點所在的位

置，再求出DE的長度.

（2）①根據(jù)互為垂角的定義求出即可.②根據(jù)已知條件，分類列出方程解之.

【詳解】（1）解：回點A,B,C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為T,2,1,點。的線段AC的中點，

SD所表示的數(shù)為號^=--，AB=2-（T）=6,

如圖，點。即為所求；

EiADCBEi

A▲▲/*A▲上▲上*▲*A*AAA

-8-7-6-5-4—3-2T012345678

團(tuán)點E到點。的距離恰好是線段A5的長，

團(tuán)CE=AB=6,

團(tuán)點c表示的數(shù)為7或-5,

EIDE的長為：7_]_：1；]=8：或_5_1_lgJ=3g；

（2）解:①設(shè)/a的垂角為x。，

根據(jù)題意得：|140°-x°|=90°,

即40°-x°=90°或140°—x°=-90°,

解得x=50或230（舍去），

0/a的垂角為50。；

②設(shè)這個角的度數(shù)為

當(dāng)0<y<90時，它的垂角為（90+y）。,

根據(jù)題意得90+y=§（180-y）,

解得：y=18,

當(dāng)90<”180時,它的垂角為(y-90)。,

9

根據(jù)題意得y-90=§(180-y),

解得y=126,

故這個角的度數(shù)為18。或126°.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式2-1](24-25?江蘇無錫)定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成

的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角.如圖①所示，若？COD

⑴如圖①所示，已知N40B=70。，ZAOC=15°,NCC?是/AO3的內(nèi)半角，貝.

(2)如圖②，已知NAOB=63。，將—493繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度1(0<]<63。)至/<?00,當(dāng)旋

轉(zhuǎn)的角度a為何值時，NCOB是NAOD的內(nèi)半角？

⑶已知ZAO8=30。，把一塊含有30。角的三角板如圖③疊放，將三角板繞頂點。以3。/秒的速度按順時針方

向旋轉(zhuǎn)，如圖④，問：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，且射線0。始終在-AO3的外部，射線。4,O3,OC,OD能否

構(gòu)成內(nèi)半角？若能，請直接寫出旋轉(zhuǎn)的時間；若不能，請說明理由.

【答案】⑴20。

⑵a=21。

⑶當(dāng)旋轉(zhuǎn)的時間為gs或3ch或90s或與s時，射線。4,OB,OC,能構(gòu)成內(nèi)半角

【分析】(1)由內(nèi)半角的定義得？COD^AOB=35°,再由/3OD=NAOB-NAOC-NCOD即可求解；

(2)由旋轉(zhuǎn)得：ZAOC=ZBOD=a,由角的和差得N3OC=63。-。，ZAOD=630+a,再由內(nèi)半角的定

義得NCOB=；NAOD,即可求解；

(3)分四種情況討論，利用內(nèi)半角的含義，建立一元一次方程，即可求解.

【詳解】(1)解：ZAOB=70°,NCOD是的內(nèi)半角，

ZCOD=-ZAOB

2

=-x70°

2

=35°,

ZBOD=ZAOB-ZAOC-/COD

=70°-15°-35°

=20。；

故答案：200；

(2)解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度a為21。時，NCOB是NAOD的內(nèi)半角；

理由如下：

由旋轉(zhuǎn)得：ZAOC=ZBOD=a,

/.ZBOC=ZAOB-ZAOC

=63。—a,

ZAOD=ZAOB+ZBOD

=630+a,

NCC出是NAQD的內(nèi)半角，

ZCOB=-ZAOD

2f

63°-a=1(63°+a),

解得：a=21。；

(3)在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線Q4,OB,OC,O。能構(gòu)成內(nèi)半角，理由如下;

理由：設(shè)按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度。，旋轉(zhuǎn)的時間為3

如圖1,團(tuán)。是NAOD的內(nèi)半角，ZAOC=ZBOD=a,

團(tuán)NAOD=300+a,

團(tuán)3（30。+1）=30。-1,

解得：a=10。,

10z、

團(tuán)”可⑸；

如圖2,回。是NAOD的內(nèi)半角,ZAOC=ZBOD=a,

團(tuán)NAOD=300+a,

團(tuán)：（30。+1）=a—30。

0a=90°,

90

mr=——=30（s）；

3

如圖3,回NAOD是N3OC的內(nèi)半角,ZAOC=ZBOD=360-a,

0ZBOC=360°+30°-a,

團(tuán)1（360°+30°-a）=360°一a-30°

0?=270°,

0r=9O（s）,

如圖4,回NAOD是—BOC的內(nèi)半角,ZAOC=NBOD=360—,

B

圖4

團(tuán)ZBOC=3600+30。一。，

01（360。+30。-c）=30。+30°-（360°+30。-a）,

解得：e=350。，

350、

0^=—（zs），

綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的時間為gs或33或90s或—s時，射線Q4,OB,OC,OD能構(gòu)成內(nèi)半角.

【點睛】本題考查了新定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角的和差，一元一次方程的應(yīng)用，理解新定義，能根據(jù)旋轉(zhuǎn)的

過程確定時間范圍，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（23-24?廣東廣州）（1）如圖，線段AS=20cm,C為A3的中點，點P從點A出發(fā)，以2cm/s的

速度沿線段A3向右運動，到點B停止；點。從點2出發(fā)，以lcm/s的速度沿線段向左運動，到點A停

止.若尸，。兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點停止運動時，另一點也隨之停止.設(shè)點尸的運動時間為x（x>0）

S.

APCQB

（0）AC=cm.

5）是否存在某一時刻，使得C,P,0這三點中，有一點恰為另外兩點所連線段的中點？若存在，求出

所有滿足條件的x的值；若不存在，請說明理由.

（2）一副三角板按左圖中的方式拼接在一起，其中邊。4、OC與直線跖上，ZAO5=45°,ZCOD=60°.

（0）NBOD=度.

（0）如圖，三角板COD固定不動，將三角板AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角。（即NAOE=cr）,在轉(zhuǎn)動

過程中兩個二角板一直處于直線EF的上方.

②在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻滿足N3OC=2NAOD?若存在，求此時的角若不存在，請說明理

由.

【答案】（1）（回）10（0）%=6；x=9（2）（團(tuán)）75（團(tuán)）①a的值為30°,90°,105°②當(dāng)￡=105°或125°

時，存在/30C=2NA0D

【分析】（1）（回）根據(jù)線段中點，可得答案；（回）根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答

案.

（2）（0）根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；（團(tuán)）①根據(jù)已知條件和角平分線的定義即可得到結(jié)論；②當(dāng)。4

在。0的左側(cè)時，當(dāng)。4在OD的右側(cè)時，列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）（E）團(tuán)C為的中點

120

0AC=-AB=y=10（C/77）.

故答案為：10；

（0）存在,

①I3P的速度2c〃z/s,。的速度是lcro/s,

^AP^BQ,

又AC=3C,

OPCxCQ

回C不是線段尸。的中點；

②尸為線段CQ的中點，得

2（2x-10）=10-x,解得x=6；

③。為線段尸C的中點，得

2x-10=2（10-%）,解得了=修

綜上所述：久=6或》=二.

2

（2）（0）ZAO3=45°,ZCOD=60°,

:ZBOD=180°-ZAOB-ZCOD=75°,

故答案為：75；

（團(tuán)）①當(dāng)03平分NAOD時，

ZAOE=a,ZCOD=60°,

ZAOD=180°-ZAOE-ZCOD=120。—2,

ZAOB=-ZAOD=60°--a=45°,

22

...oc=30°,

當(dāng)05平分/AOC時，

ZAOC=lSO0-a,

:.ZAOB=90°--a=45°,

2

a=90°；

當(dāng)05平分NDOC時，

NZX?C=60。，

:.ZBOC=30°,

c=180。—45°-30°=105°,

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角度。的值為30。，90°,105°；

②當(dāng)Q4在。。的左側(cè)時，則ZAOD=120。-e,NBOC=135。—a,

ZBOC=2ZAOD,

.?.135。—a=2（120。—a）,

「.a=105°；

當(dāng)。4在OD的右側(cè)時，貝|NAOD=a—120。，ZBOC=1350-af

ZBOC=2ZAODf

:.135°-a=2（a-120）,

.”=125°,

綜上所述，當(dāng)a=105。或125。時，存在NBOC=2NAQD.

【點睛】本題考查了兩點間的距離，角的計算，特殊角，角平分線的定義，利用線段中點的性質(zhì)得出關(guān)于X

的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏.

【變式2-3］（24-25陜西西安）探究與實踐

將一副三角板按如圖方式拼接在一起，已知NAOB=90。，ZCOD=60°,按如圖1所示擺放，將。4、OC邊

重合在直線MN上，OB、邊在直線肋V的兩側(cè)：

【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)保持三角板不動，將三角板COD繞點。旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則

①ZAOC+ZBOD=；

②ZBOC-ZAOD=.

【問題探究】

(2)若三角板COD按每分鐘6。的速度繞點。逆時針方向旋轉(zhuǎn)，三角板A08按每分鐘4。的速度也繞點。

逆時針方向旋轉(zhuǎn)，OC旋轉(zhuǎn)到射線QV上時都停止運動，設(shè)旋轉(zhuǎn)f分鐘，計算/MOC-NAOD(用含f的代數(shù)

式表示).

【問題解決】

(3)保持三角板不動，將三角板CQD繞點。逆時針方向旋轉(zhuǎn)〃°(〃<360),若射線OE平分NAOC,

射線OP平分4BOD,求NEOP的大小.

【答案】(1)①150。；②30。；(2)ZMOC-ZAOD=(8f-60)°；(3)NEOR=15。或165。

【分析】本題考查的是角的和差運算，角平分線的定義，角的動態(tài)定義的理解；

(1)①將NAOC+/3OD轉(zhuǎn)化為NCOD+NAO3即可得；②依據(jù)/BOC=NAO3-NAOC、

ZAOD=/COD—ZAOC,將原式轉(zhuǎn)化為/AOB-/COD計算可得；

(2)設(shè)運動時間為f秒，0<fW30,/MOC=(6f)°,只需表示出/AOD即可得出答案，而/AOD在O￡)與。4

相遇時，/=30,再畫出圖形求解即可；

(3)設(shè)△DOC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)”。，再分①①0(相4180。時，如圖；②180。(廢4360。時，如圖，分

別畫出圖形求解即可.

【詳解】解：(1)0ZAOC+ZBOD=ZAOC+ZAOD+ZAOB

=ZCOD+ZAOB=60°+90°=150°,

②NBOC-ZAOD=(ZAOB-ZAOC)-(ZCOD-ZAOC)

=ZAOB-ZAOC-NCOD+ZAOC

=ZAOB-ZCOD=90°-60°=30°；

(2)設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為/秒，則0<K30,ZMOC=(6r)°,

當(dāng)OD與OA相遇時，6-4t=60,

解得：7=30,

如圖，

BC

ZAOD=(60+4f-6r)0=(60-2t)。,

*A

NOM

D

團(tuán)ZMOC-ZAOD=(8r-60)°；

(3)設(shè)OS繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)九°，

①0<〃。4180。時，如圖，

回AAOB=90°,ZMOD=60°-n°,

ISABOD=ZAOB+ZMOD=(150-n)°,

團(tuán)OP平分/BOD，

U1NB0尸=工(150—")°=75°—；"°>

22

團(tuán)NMOC=〃°，OE平分/A℃，

團(tuán)ZMOE=:Z-MOC=不相

0Z.BOE=(90-；,

團(tuán)/.EOF=/BOE-NBOF=15°；

②180。<〃。4360。時，如圖，

B

C□

團(tuán)ZAOB=90°,/MOD=n°-60°,

^ZBOD=ZMOD-ZAOB=(n-\50)°,

國。尸平分/BOD，

0ZBOF=NDOF=g-150)°,

0ZMOC=360°-rf,OK平分ZAOC,

0ZMOE=NCOE=-ZMOC=180°--M°,

22

0ZEOF=360°-NBOE-NBOF=360°-90°-(180°-j一-150°)=165°.

綜上，NEO尸=15°或165°.

題型三：A字模型

iiirs..................

i?

；模型結(jié)論：Z.DBC+AECB=180°+ZA.

I

【中考母題學(xué)方法】

【典例3】（2024?貴州?模擬預(yù)測）教材回顧

我們知道，直角三角形的兩個銳角互余，你能對直角三角形的這一性質(zhì)進(jìn)行證明嗎？

性質(zhì)證明

（1）為了證明該性質(zhì)，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1）,并寫出了"已知"和"求證"，請你完成證明過程.

已知：在直角三角形ABC中，ZC=90°

求證：ZA+ZB=90°

性質(zhì)運用

（2）如圖2,在_旗河中，AB=10,點C,。分別在41/上，且MC=4,AD=CD=5,NB=/MDC,

求證：ZA+ZB=90°.

拓展提升

(3)如圖3,在VABC中，AB=BC=20,AC=24,D,E分別為AB,AC的中點.M,N分別在AC,

BC±,且EN=2MC,CN=6,DM與BE相交于b，AE與DAf相交于。求證：點。是萬河的中點

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析

【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理逆定理：

(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可得出結(jié)論；

MCCD

(2)先證明,CDMS,.ABM,得到求出AM的長，進(jìn)而求出。欣的長，勾股定理逆定理得到

AMAB

VCDM是直角三角形，且NM=90。，即可得證；

(3)先證明,得到Z4MD=NCEN,進(jìn)而得到OE=OAf,三線合一，得到BE_LAC,得

至!!ZBEC=90。，進(jìn)而得到NMFE=NFEO,推出N=OE,等量代換得到。尸=。加，即可得證.

【詳解】(1)證明：由三角形的內(nèi)角和定理可得NA+NB+NC=180。，

又NC=90°,

0ZA+ZB=9O°.

(2)證明：EI4=NMDC,ZM=ZM,

0CDMs,ABM,

MC―,即/-=2

a——=解得A"=8,

AMABAM10

EIDM=AM—AD=3.

在VCDM中，CM=4,CD=5,DM=3,

SCM2+DM2=CD2

團(tuán)VCDM是直角三角形，且/M=90。，

fflZA+ZB=90°.

(3)證明：EIAC=24,Er為AC的中點,

0EC=12,

又EM=2MC,

0CAf=4,

團(tuán)AM=20.

回AB=20,點。為AB的中點,

EIAD=1O,

CN6AD10_1

團(tuán)---=--

CE122~AM~2^~2

團(tuán)AB=BC,

BZDAM=ZNCE,

?LADMsACNE，

⑦ZAMD=/CEN,

^OE=OM.

SAB=BC,點E是AC的中點，

0BE±AC,即ZB￡C=900.

團(tuán)ZOEM+ZOEF=ZEMF+ZEFM=90°,

BZMFE=ZFEOf

回OF—OE,

團(tuán)OF=OM,

團(tuán)點。為的中點.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式3-1］如圖，ABC中，NA=65。，直線。石交AB于點，交AC于點瓦則N3DE+NCED=(

-----'C

A.180°B.215°C.235°D.245°

【答案】D

【詳解】解：.NA=65。，

/.ZADE+ZAED=180°-65°=115°,

/.ZBZ)E+ZCED=360°-115°=245°,

故選：D.

【變式3-2】如圖所示，的兩邊上各有一點民C,連接3C,求證/。5。+/￡。5=180。+44.

A

【詳解】解：NDBC和ZECB是,ABC的外角，

ZDBC=NA+ZACB,NECB=NA+ZABC.

又;ZA+ZASC+ZACB=180°,

ZDBC+ZECB=ZA+ZACB+ZABC+ZA=180°+ZA.

【變式3-3］如圖1,直線/與一ABC的邊AC,A3分別相交于點。，E（都不與點A重合）.

⑴若NA=64。，①求N1+N2的度數(shù)；②如圖2,直線加與邊AB,AC相交得至ljN3和N4,直接寫出N3+24

的度數(shù).（2）如圖3,EO,分別平分N8ED和NCDE,寫出/EOD和—A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖4,在四邊形3CDE中，點V,N分別是線段DC、線段BE上的點，NG,MG分別平分/3NM和

ZCMN,直接寫出NNGM與NE,"的關(guān)系.

【答案】（1）①244。；②244o（2）/EOD=90。一g/A,理由見解析⑶NE+/D+2NWGM=360。.

【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義等

知識點，靈活運用相關(guān)知識是正確解答的關(guān)鍵.（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義進(jìn)行計算

即可；②根據(jù)①的結(jié)論即可解答；（2）由（1）的結(jié)論以及三角形內(nèi)角和定理即可解答；

（3）由（2）的結(jié)論可得+=再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可.

【詳解】（1）解：①如圖1,

VZ1=ZA+ZADE,Z2=ZA+ZAED,Z1+Z2=ZA+ZADE+ZAED+ZA,

-：ZA+ZADE+ZAED=180°,NA=64。，Zl+Z2=ZA+180°=64o+180o=244°；

②由①方法可得：/3+N4=Nl+N2=244°.

(2)解：^EOD=90°--^A,理由如下：由(1)可得/5匹+/。￡)￡=180。+/4.

2

VEO,OO分別平分ZBED和NCDE,ZOED=-ZBED,ZEDO=-ZCDE,

22

ZOED+ZEDO=；(ABED+ZCDE)=1(180°+ZA)=90°+1zA,

ZEOD=180°-(ZOED+NEOO)=180。-190。+；NAJ=90。-gNA.

(3)解：ZE+ZD+2ZNGM=360°,理由如下：由圖2可得，ZBNM+ZCMN=ZD+ZE,

,/NG,MG分別平分和NCMV,:.NBNG=NMNG=；NBNM，NCMG=NNMG=gNCMN,

：.ZMGN=180°-(NMNG+NNMG)=180°-1(NBNM+NCMN)=18O°-1(ZD+ZE),

2/MGN+NO+NE=360°.

題型四：8字模型

【中考母題學(xué)方法】

【典例4】(2024?寧夏?中考真題)綜合與實踐

如圖1,在VA3C中，5□是/ABC的平分線，的延長線交外角NC4"的平分線于點E.

【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】

結(jié)論1：ZAEB=NACB；

結(jié)論2：當(dāng)圖1中NACB=90。時，如圖2所示，延長BC交AE于點/，過點E作"的垂線交所于點G,

交AC的延長線于點H.則AE與EG的數(shù)量關(guān)系是.

【應(yīng)用結(jié)論】

(1)求證：AH=GF；

(2)在圖2中連接FH,AG,延長AG交F”于點N,補全圖形，求證：FN=NH+y/2AE.

圖1圖2

【答案】【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】結(jié)論1：結(jié)論2：相等（或AE=EG）；【應(yīng)用結(jié)論】（1）見解析；（2）見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)、等邊對等角、

等角對等邊、勾股定理等知識，熟練掌握知識點推理證明是解題的關(guān)鍵.

［發(fā)現(xiàn)結(jié)論］結(jié)論L根據(jù)角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)，推出

2AEB?MAE1ABE-IMAC-?ABC,1ACB?MAC1ABC,即可得出/AE2=；

222

結(jié)論2：根據(jù)已知NACB=90。，和結(jié)論1NAEB=gzACB,得出/AEB=45。，根據(jù)角平分線的定義得出

2

ZABE=ZGBE,進(jìn)一步推出ZAEB=NGEB,利用ASA證明△ABE四△GBE,即可得出AE=EG；

［應(yīng)用結(jié)論］（1）根據(jù)過點E作AF的垂線交加于點G,得出？7GEF90?,推出？AHE?GFE,

結(jié)合結(jié)論2：AE=EG,利用AAS證明一空GEF,即可證明AH=GP；

（2）連接加，AG,延長AG交五”于點N,根據(jù)垂線的定義得出？AEG?FEH90?,由結(jié)論2得：

AE=EG,由（1）過程得：一絲,G￡F,根據(jù)等邊對等角、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)，推出

NEiG=NEGA=45。,AG=?AE,EH=EF,根據(jù)對頂角相等得出?NGH?EGA45?,推出

NEFH=NEHF=45。,進(jìn)一步得出？A/W?FAN45?!?NGH?NHG45?,根據(jù)等角對等邊得出

FN=AN=NG+AG,NH=NG,即可證明=NH+gAE.

【詳解】解：［發(fā)現(xiàn)結(jié)論］結(jié)論1：

團(tuán)是ZABC的平分線，BD的延長線交外角Z.CAM的平分線于點E,

0ZMAE=ZCAE--ZMAC,ZABE=ZCBE=-ZABC,

22

0??MAE?ABE-IMAC-1ABC,

22

又EI?ACBIMAC7ABC,

SZAEB=-ZACB,

2

故答案為：

結(jié)論2

團(tuán)ZAC5=90。，由結(jié)論1得NAEB=』NAC5,

2

團(tuán)？AE5-?0=45?,

2

團(tuán)是NA6C的平分線，過點￡作AF的垂線交互于點G,

@ZABE=NGBE,ZAEG=90°,

GEB?AEG?AEB90?45?45?,

BZAEB=ZGEB,

在，A8石和GBE中,

NABE=NGBE

<BE=BE,

NAEB=NGEB

團(tuán)ABE空GBE(ASA),

團(tuán)AE=EG,

故答案為：相等(或AE=￡G)；

［應(yīng)用結(jié)論］(1)證明：回過點E作AF的垂線交戰(zhàn)于點G,

團(tuán)？1GEF90?,

國？AHE?EAH90?,

BZACB=90°,

GFEEAH=90?,

團(tuán)？AHE?GFE,

又團(tuán)由結(jié)論2得：AE=EG,

團(tuán)在AAEH和△GEF中，

ZAEH=ZGEF

<NAHE=ZGFE

AE=EG

團(tuán)AEH-GEF(AAS),

回AH=GF；

(2)證明：如圖，連接FH,AG,延長AG交于點N,

國過點E作AF的垂線交所于點G,

0?AEG?FEH90?,

回由結(jié)論2得：AE=EG,由（1）過程得：AEH^GEF,

1QQ990?___________

13?EAG?EGA-------------=45?,AG=JAE?+EG?=垃AE，EH=EF,