Page7開遠市2024年春季學期高二年級期中考試數學考生注意：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考號填涂在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。超出答題區域書寫的答案無效，在試卷、草稿紙上作答無效。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合M=xx2-2x≤3，NA．-1,1 B．0,+∞ C．0,3 D．2.已知復數z滿足（為虛數單位），則（）A.3B.C.5D.3.設α,β是兩個不同的平面，l,m是兩條直線，且m?α,l⊥α.則A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4.已知向量，則在上的投影向量的坐標為（

）A． B． C． D．5.安排包括甲、乙在內的4名大學生去3所不同的學校支教，每名大學生只去一個學校，每個學校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所學校，則不同的安排方法有（

）A．36種 B．30種 C．24種 D．12種6.設，，，則（

）A． B． C． D．7.已知，則的值是（）A. B. C. D.8.過圓上的兩點分別作圓的切線，若兩切線的交點恰好在直線上，則的最小值為（）A.B.3C.D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題中，真命題有（）A.若隨機變量，則B.數據6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的分位數是8.5C.若隨機變量，，則D.若事件，滿足且，則與相互獨立已知拋物線y2＝2px(p>0)過點M(1，2)，其焦點為F，過點F的直線l與拋物線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2).設直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，則下列結論正確的是（

）A．p＝2B．AB≥4C．·＝－4D．k1k2＝－411.已知函數和是定義域為的函數.若，，且，則下列結論正確的是（）A.函數的圖象關于直線對稱B.C.函數的圖像關于直線對稱D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，常數項為．（用數字作答）13.記為數列的前項和，已知則．14.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，是右支上一點，線段與的左支交于點．若△PMF2為正三角形，則的離心率為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知△ABC的內角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若是的角平分線，，△ABC的面積為，求的值.16.（15分）長跑可提高呼吸系統和心血管系統機能，較長時間有節奏的深長呼吸，能使人體呼吸大量的氧氣，吸收氧氣量若超過平時的7—8倍，就可以抑制人體癌細胞的生長和繁殖．其次長跑鍛煉還改善了心肌供氧狀態，加快了心肌代謝，同時還使心肌肌纖維變粗，心收縮力增強，從而提高了心臟工作能力．某學校對男、女學生是否喜歡長跑進行了調查，調查男、女生人數均為200，統計得到以下列聯表：喜歡不喜歡合計男生12080200女生100100200合計220180400(1)試根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為學生對長跑的喜歡情況與性別有關聯？(2)為弄清學生不喜歡長跑的原因，從調查的不喜歡長跑的學生中按性別采用分層抽樣的方法隨機抽取9人，再從這9人中抽取3人進行面對面交流，記隨機變量X表示抽到的3人中女生的人數，求X的分布列；(3)將頻率視為概率，用樣本估計總體，從該校全體學生中隨機抽取12人，記其中喜歡長跑的人數為Y，求Y的數學期望．附：，其中．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82817.（15分）如圖，在四棱臺中，底而為平行四邊形，側棱平面，，，.

(1)證明：；(2)若四棱臺的體積為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.18.（17分）已知橢圓：的短軸長等于，離心率．（1）求橢圓的方程；（2）過右焦點的直線與橢圓交于、兩點，線段的垂直平分線交軸于點，證明：為定值．19．（17分）已知曲線在點處的切線為．（1）求直線的方程；（2）證明：除點外，曲線在直線的下方；（3）設，求證：．高二年級期中考試數學參考答案一、單選題題號12345678答案DDACBBCD1.【解析】解不等式x2-2由指數函數y=2-x所以M∩N=x2.【解析】復數，故.3.【解析】l⊥β，且l⊥α，所以α//如圖：滿足m//β，m?所以“l⊥β”是“m//4.【解析】因為，所以在上的投影向量的坐標為．5.【解析】若每名大學生只去一個學校，每個學校至少去1名，則不同的安排方法有種，若甲、乙安排在同一所學校，則不同的安排方法有種，所以甲、乙不能安排在同一所學校，則不同的安排方法有種.6.【解析】，，而，則，即，所以.7.【解析】因為，可得，所以.8.【解析】因為圓的方程為，所以圓心，半徑.因為是圓的兩條切線，所以，由圓的知識可知四點共圓，且，所以，又，所以當最小，即時，取得最小值，此時，所以.二、多選題題號91011答案ADABDBC9.【解析】對于A：根據二項分布的方差公式可得，A正確；對于B：數據1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位數，，則，B錯誤；對于C：隨機變量，，則，C錯誤；對于D：因為，所以，故與獨立，D正確.10.【解析】因為拋物線y2＝2px(p>0)過點M(1，2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A正確；拋物線方程為y2＝4x，則焦點F為(1，0)，設直線l：x＝my＋1，聯立消去x整理得y2－4my－4＝0，則Δ＝16m2＋16>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，則x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，x1x2＝(my1＋1)·(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，所以AB＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正確；因為＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C錯誤；k1k2＝·＝－4，故D正確．11.【解析】由可知的圖象關于直線對稱，C正確；所以，則①，令為，則②.的圖象關于點對稱，，令，故B正確；由①②可知，所以的圖象關于直線對稱.故錯誤；所以4是的周期，由，得，令，由①得是的周期.有2024項，故，故D錯誤.三．填空題12.【答案】448【解析】展開式的通項為，令，解得，故常數項為．13.【答案】【解析】由題意，所以.14.【答案】【解析】因為點是右支上一點，線段與的左支交于點，且，因為△PMF2為等邊三角形，所以，，由雙曲線定義得，，又由，解得，則，且，在中，由余弦定理得，化簡整理得，所以雙曲線的離心率為.四、解答題15.【解析】（1）由及正弦定理得，，所以，因為，所以，又，所以.……………………5分（2）由，得，又所以，由余弦定理得所以.…………………13分16.【解析】（1）解：零假設為：學生對長跑的喜歡情況與性別無關聯.由列聯表中的數據，可得，依據小概率值的獨立性檢驗，可以推斷不成立，即認為學生對長跑的喜歡情況與性別有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.050．………4分（2）從調查的不喜歡長跑的學生中按性別采用分層抽樣的方法隨機抽取9人，其中男生的人數為人，女生的人數為人，從9人中隨機抽取3人，所以隨機變量的可能取值為，可得，，則隨機變量的分布列為：…………………11分0123（3）解：由題意知，任抽1人喜歡長跑的概率為，所以隨機變量服從二項分布，即，所以.………………15分17.【解析】(1)底面為平行四邊形，，.，，由余弦定理可得：，，則，，側棱平面，平面，，又平面，平面，且，平面，又平面，.…………6分（2）四棱臺中的體積為，，，，解得：.如圖，以點為原點，，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖的空間直角坐標系，

則，，，，，，設平面的法向量為，則有，所以平面的法向量為，設平面與平面所成銳二面角為，則.…………………………15分18.【解析】（1）橢圓：的短軸長等于，離心率可得，，解得，所以橢圓的方程為.……………5分（2）由橢圓的方程，可得右焦點，當直線斜率不存在時被軸垂直平分，不符合題意；當直線斜率為0時，；直線斜率存在且不為0時，設直線的方程為，，中點為，聯立方程組，整理得，可得，所以，則，即，則中垂線的方程為，令，可得，所以，又由，所以（定值）；綜上所述，為定值.……………17分19．【解析】（1）因為，所以，所以直線的方程為：………4分（2）令，則，令，則，由，解得，由，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，當且僅當等號成立，所以除