4.2全等三角形

第4章

三角形學習目標1.理解全等三角形的概念，能識別對應頂點、對應邊和對應角;2.掌握全等三角形對應邊相等、對應角相等的性質;（重點）3.能利用全等三角形的性質進行簡單的推理和計算．（難點）ABCD2.如圖所示，AD是△ABC的角平分線,則∠BAD=

=

∠BAC.BACE

新課導入復習回顧4.三角形的三條中線交于

，這點稱為三角形的

．三角形的三條角平分線交于

．三角形的三條高

交于一點.

重心一點一點所在的直線EC

∠CAD

3.從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線,

和

之間的

叫做三角形的高線,簡稱三角形的高.

頂點垂足線段新課導入情境引入觀察下面各組圖形，它們有什么共同特點？（1）（2）（3）（4）

在生活中，我們會看到完全一樣的圖形，如果把它們疊在一起，它們就能夠完全重合.例如，在下圖中，△ABC與△DEF能夠完全重合，它們是全等三角形.新課講授

探究一：全等三角形的概念及表示方法其中，頂點A與頂點D重合，它們是對應頂點;邊AB與邊DE邊重合，它們是對應邊；∠A與∠D重合，它們是對應角.能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.1.全等三角形的概念新課講授你還能在上圖中找出其他的對應頂點、對應邊和對應角嗎?B和E，C和F是對應頂點；BC和EF，AC和DF是對應邊；∠B和∠E，∠C和∠F是對應角.2.全等的表示方法△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF.注意:記兩個三角形全等時,通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.讀作“△ABC全等于△DEF”新課講授1.如圖，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出這兩個全等三角形的對應邊；若△ADO≌△AEO，指出這兩個三角形的對應角.解：△BOD與△COE的對應邊為：BO與CO，OD與OE，BD與CE；△ADO與△AEO的對應角為：∠DAO與∠EAO，∠ADO與∠AEO，∠AOD與∠AOE.新課講授

探究二：全等三角形的性質在全等三角形中，對應邊和對應角之間有什么關系呢？思考·交流全等三角形的對應邊相等、對應角相等.1.全等三角形的性質：2.幾何語言表達：如圖所示，因為△ABC≌△DEF，所以AB=DE，BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.新課講授2.如圖，△ABC與△ADC全等，請用數學符號表示出這兩個三角形全等，并寫出相等的邊和角.解：△ABC≌△ADC;相等的邊為：AB=AD，AC=AC，BC=DC；相等的角為：∠BAC=∠DAC，∠B=∠D，∠ACB=∠ACD.新課講授解：(1)全等三角形對應邊的高相等；

全等三角形對應邊的中線相等；

全等三角形對應的角平分線相等.操作·交流(1)每人準備兩張全等三角形紙片，并畫出兩張三角形紙片對應邊的高.全等三角形對應邊的高相等嗎?對應邊的中線呢?對應的角平分線呢?新課講授(2)如圖，已知△ABC≌△A'B'C'，點D，E分別在BC邊、AB邊上，請在△A'B'C'中畫出與線段DE相對應的線段?圖中有哪些相等的線段、相等的角？與同伴進行交流.(2)在B'C'上截取B'D'=BD，在B'A'上截取B'E'=BE，連接D'E'，則D'E'是與DE相對應的線段.D'E'圖中相等的線段有：AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'，BE=B'E'，BD=B'D'，CD=C'D'，AE=A'E'，DE=D'E'.

準備一張等邊三角形紙片，你能用折紙的辦法把它分成兩個全等的三角形嗎？能把它分成三個全等三角形嗎？能把它分成四個全等三角形嗎？與同伴進行交流.嘗試·交流新課講授提示：折出等邊三角形的角平分線、高線或中線，借助角平分線、高線或中線即可把等邊三角形分成兩個、三個或四個全等的三角形.典例分析例1：如圖所示，△ABD≌△ACE，AB=AC，寫出它們的對應邊和對應角.解：AB和AC，AD和AE，BD和CE是對應邊;∠A和∠A，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是對應角.典例分析例2：如圖所示，已知△ABC≌△DEF，點E,C,F,B在同一直線上，∠A=32°，∠B=48°,BF=3,求∠DFE的度數和EC的長.解:∵△ABC≌△DEF,∠A=32°,∠B=48°.∴∠D=∠A=32°,∠E=∠B=48°.在△DEF中,∠D+∠E+∠DFE=180°,∴∠DFE=100°.∵△ABC≌△DEF,∴BC=EF,即BF+FC=EC+FC,∴BF=EC.∵BF=3,∴EC=3.1.如圖所示,已知△ABC≌△CDE，那么下列結論中，不正確的是(

)A.AC=CE B.∠BAC=∠ECD

C.∠ACB=∠ECDD.∠B=∠DABCDE學以致用2.如圖所示,已知兩個三角形全等,則∠α的度數是(

)A.72° B.60° C.58

D.50°DC學以致用3.如圖所示，△ABC≌△BAD，則A和

，C和

是對應頂點，若AB=8cm，BD=7cm，AD=4cm，則BC=

cm.

BD44.如圖所示，△ECD≌△BCA，AC⊥BD于點C，AB=5cm，∠A=40°，則DE=

cm，∠CED=

°.

550學以致用5.如圖所示，點B，E，C，F在同一條直線上，△ABC≌△DEF,∠A=75°,∠B=60°,BE=5.求∠F的度數與CF的長.解:∵△ABC≌△DEF,∴EF=BC,∠F=∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-75°-60°=45°,∴EF-EC=BC-EC,即CF=BE=5.學以致用6.如圖所示，點A,B,C在同一直線上，點E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB=2cm，BC=3cm.(1)求DE的長;(2)判斷AC與BD的位置關系,并說明理由;解:(1)因為△ABD≌△EBC,所以BD=BC=3cm,BE=AB=2cm,所以DE=BD-BE=3-2=1(cm).又因為點A,B,C在同一直線上,所以∠ABD+∠EBC=180°,所以∠ABD=∠EBC=90°,所以AC⊥BD.(2)AC⊥BD.理由:因為△ABD≌△EBC,所以∠ABD=∠EBC.學以致用(3)AD⊥CE.(3)判斷直線AD與直線CE的位置關系,并說明理由.F理由:如圖,延長CE交AD于點F.因為△ABD≌△EBC,所以∠D=∠C.因為在Rt△ABD中,∠A+∠D=90°,所以∠A+∠C=90°,所以∠AFC=90°,即AD⊥CE.7.如圖所示，CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，△ABE≌△ACD，∠C=37°，AB=10，AD=6，G為AB延長線上一點，求∠EBG的度數和CE的長.學以致用解:因為△ABE≌△ACD,所以∠ABE=∠C=37°,所以∠EBG=180°-∠ABE=180°-37°=143°.因為△ABE≌△AC