2025年河南省中原名校聯盟中考數學測評試卷（一）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在如圖所示的數軸上表示的數最小的點是(

)

A.點P B.點Q C.點M D.點N2.據初步統計，2025年春節初一到初七，全國博物館共接待觀眾萬人次，日均接待觀眾超1000萬人次，較去年增長數據“1000萬”用科學記數法表示為(

)A. B. C. D.3.“石瓢”最初被稱為“石銚”，后來，陶藝家顧景舟引用古文“弱水三千，僅飲一瓢”的句子，將長石銚改名為石瓢.如圖是一把做工精湛的“景舟石瓢”，其主視圖的大致形狀是(

)

A. B. C. D.4.若關于x的不等式組的解集是，則a的值可以是(

)A. B. C.0 D.25.抖空竹是我國傳統的體育、游藝與雜技項目，是國家級非物質文化遺產之一.如圖，某一時刻對空竹進行受力分析，抖線給空竹的拉力為和，空竹受到的重力為G，方向豎直向下.若，，則的度數為(

)A. B. C. D.6.如圖，在?ABCD中，點E是AD的中點，BE交對角線AC于點F，交AB于點G，若，則AD的長是(

)A.4

B.3

C.

D.27.計算的結果是(

)A.1 B. C.2025 D.8.2024年12月4日，我國申報的“春節——中國人慶祝傳統新年的社會實踐”通過評審，列入聯合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄.“福祿壽喜”是傳統春節吉祥文化的四重奏，四個字承載了中國人對美好生活的追求和期許.如圖所示的一個轉盤，盤面被等分成四個扇形區域，并分別標有“?！薄暗摗薄皦邸薄跋病?，若轉動轉盤兩次，每次轉盤停止后記錄指針所指區域的漢字當指針恰好指在分界線上時，不計，重轉，則兩次記錄的漢字中有“?！焙汀跋病钡母怕适?

)A. B. C. D.9.如圖，PA，PB分別與相切于點A，B，，，則劣弧AB的長度為(

)A.

B.

C.

D.10.如圖1，矩形ABCD中，點E為BC的中點，點P沿BC從點B運動到點C，設BP的長為x，，圖2是點P運動時y隨x變化的關系圖象，若，則在點P運動的過程中，周長的最小值為(

)A.5 B.7 C.10 D.16二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.寫出多項式中最高次項的一個同類項______.12.《義務教育課程標準年版》首次把學生學會烹飪納入勞動教育課程，并作出明確規定.某班50名同學已經學會烹飪的菜品種數統計如圖，則菜品種數這組數據的眾數是______.13.若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則實數k的值為______.14.如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形OABC的頂點B在第二象限，點A在y軸正半軸上，，將菱形OABC繞點O順時針旋轉得到菱形，則點B的對應點的坐標是______.

15.如圖，在中，，，D為平面內一點且滿足，E為BD的中點，則BE的取值范圍是______.

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.本小題10分

計算：；

化簡：17.本小題9分

2025年年初，一款由國內人工智能公司研發的大型語言模型DeepSeek憑借“深度思考”和“人味兒對話”火速出圈，以開源、降本與AI普惠，引發全球轟動，彰顯中國智慧.某教育平臺對A，B兩款AI學習軟件使用滿意度開展了評分測驗，從中各抽取20份數據進行整理、描述和分析評分分數用x表示，分為以下四個等級，不滿意：，比較滿意：，滿意：，非常滿意：，下面給出了部分信息.

對A款AI學習軟件的20份評分數據64707576787885858585868990909495989899100對B款AI學習軟件的評分數據中“滿意”的數據：

86，89，86，88，87，88，90，

對B款AI學習軟件的評分的扇形統計圖.

對A，B兩款AI學習軟件的評分統計表軟件平均數中位數方差“非常滿意”所占百分比A86bB86ac根據以上信息，解答下列問題：

填空：______，______，______；

根據以上數據，你認為哪款AI學習軟件更受用戶歡迎？請說明理由寫出一條即可18.本小題9分

如圖，直線經過格點網格線的交點，若雙曲線也經過點

求直線與雙曲線的函數表達式；

請先描出雙曲線上不同于點A的三個格點，再畫出函數的圖象；

已知點，分別在直線與雙曲線上，當時，直接寫出n的取值范圍.19.本小題9分

如圖，四邊形ABCD中，，將四邊形ABCD折疊，使點A落在BC邊上的點處，折痕分別交直線AD，BC于點E，

請用無刻度的直尺和圓規作出折痕保留作圖痕跡，不寫作法；

連接AF，，求證：四邊形是菱形.20.本小題9分

“植樹節”期間，某校組織八年級學生開展“共植一抹綠，一起上春山”活動.計劃購買甲、乙兩種樹苗，已知購買2棵甲種樹苗和3棵乙種樹苗共需240元，購買3棵甲種樹苗和2棵乙種樹苗共需210元.

求購買一棵甲種樹苗、一棵乙種樹苗各需要多少元；

學校計劃購買甲、乙兩種樹苗共600棵，經過與供貨商溝通，每棵甲種樹苗的售價不變，每棵乙種樹苗的售價打9折，若要求購買時甲種樹苗的數量不超過乙種樹苗數量的2倍，則學校應該如何設計購買方案，才能使購買樹苗的總費用最少？21.本小題9分

假期期間，小明前往公園游玩，并乘坐了摩天輪，已知摩天輪是一個圓形如圖，小明在摩天輪客艙中，測得最低點A到地面的距離米，旋轉到B處時如圖，在點B處測得地面C處的俯角為，測得A處俯角為

請你幫小明估算摩天輪的半徑是多少米客艙大小忽略不計，結果保留整數.參考數據：，，，22.本小題10分

學?？茖W社團成員制作了一個物體發射器，可使用該發射器從地面豎直向上發射出物體，已知發射出的物體離地面的高度單位：滿足關系式，其中單位：是物體運動的時間，用發射器發射器的高度忽略不計將一個小球以初速度地面豎直向上拋.

小球從拋出到落回地面需要______s；

小球的高度能否達到？若能，請求出運動時間t；若不能，請說明理由；

小豫在實驗樓連續兩次看到這個小球經過觀察點，當觀察點離小球發射點的豎直高度為時，求這兩次間隔的時間差.23.本小題10分

定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”.請利用已有經驗對“等對角四邊形”進行探究：

已知四邊形ABCD是“等對角四邊形”，若，，則的度數是______.

如圖1，在中，，CD為斜邊AB上的中線，過點D作交AC于點E，判斷四邊形BCED是否為“等對角四邊形”，并說明理由.

如圖2，在中，，，，CD平分，點E在邊AC上，若以B，C，E，D為頂點的四邊形為“等對角四邊形”，請直接寫出線段CE的長.

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：：，Q：0，M：1，N：3，

在如圖所示的數軸上表示的數最小的點是點P，

故選：

根據數軸上的點所表示的數進行判斷即可．

本題考查了數軸，掌握數軸上的點是解題的關鍵．2.【答案】C

【解析】解：1000萬

故選：

科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，n是正數；當原數的絕對值時，n是負數．

此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．3.【答案】D

【解析】解：根據視圖的定義，選項D中的圖形符合題意，

故選：

根據主視圖的定義，從正面看所得到的圖形即為俯視圖．

本題考查簡單組合體的三視圖，理解視圖的定義是正確判斷的前提．4.【答案】D

【解析】解：關于x的不等式組的解集是，

，

的值可以是：2，

故選：

根據一元一次不等式組的解集，即可解答．

本題考查了解一元一次不等式組，不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．5.【答案】A

【解析】解：延長GC到E，

，

，

，

，

故選：

延長GC到E，由平行線的性質推出，由鄰補角的性質得到，即可求出的度數．

本題考查平行線的性質，對頂角、鄰補角，關鍵是由平行線的性質推出6.【答案】B

【解析】解：在?ABCD中，，，

∽，

，

點E是AD的中點，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

故選：

根據平行四邊形的性質求出，，結合相似三角形的判定與性質求出，再根據平行線分線段成比例定理求解即可．

此題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質，熟記平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．7.【答案】A

【解析】解：

故選：

首先把化成；然后根據積的乘方的運算方法，求出計算的結果即可．

此題主要考查了冪的乘方和積的乘方，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①是正整數；②是正整數8.【答案】B

【解析】解：畫樹狀圖得：

共有16種等可能的結果，兩次記錄的漢字中有“?！焙汀跋病钡挠?種情況，

兩個數字都是有理數的概率是

故選：

首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩個數字都是無理數的情況數，再利用概率公式求解即可求得答案．

考查用列樹狀圖的方法解決概率問題；得到兩次都摸出紅球的情況數是解決本題的關鍵；用到的知識點為：概率等于所求情況數與總情況數之比．9.【答案】B

【解析】解：連接OA，OB，OP，

、PB分別與相切于點A、B，

，，，，

，

，

是等邊三角形，

，

，

，

劣弧AB的長度為

故選：

首先連接OP，OA，OB，由切線長定理即，證得是等邊三角形，求得，，進而求得AP的長，繼而求出OA，由多邊形內角和定理求出，根據弧長公式即可得到答案．

此題考查了切線的性質，等邊三角形的判定與性質，含30度直角三角形的性質弧長公式．準確作出輔助線是解此題的關鍵．10.【答案】D

【解析】解：由圖象可知，，，

在中，，

令，則，

即，

解得：或4，

，

，，

點E為BC的中點，

，

作點A關于BC的對稱點，連接，

，，

的最小值為，

，

周長的最小值為

故選：

由圖象可知，，，根據勾股定理和已知條件得出，，作點A關于BC的對稱點，連接，進而得出答案．

本題主要考查動點問題的函數圖象，根據圖象得出，是解題的關鍵．11.【答案】答案不唯一

【解析】解：多項式中的最高次項是，

它的一個同類項可以是答案不唯一，

故答案為：答案不唯一

先找出多項式的最高次項，再根據同類項的定義解答即可．

本題考查了同類項，多項式，熟練掌握這兩個知識點是解題的關鍵．12.【答案】3

【解析】解：3出現次數最多，

這組數據的眾數是3，

故答案為：

根據眾數的定義求解即可．

本題主要考查眾數，解題的關鍵是掌握眾數的定義．13.【答案】

【解析】解：關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，

，

解得：，

實數k的值為

故答案為：

根據方程的系數，結合根的判別式，可得，解之即可得出實數k的值．

本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有兩個相等的實數根”是解題的關鍵．14.【答案】

【解析】解：過點作軸于d，如圖所示：

，，

將菱形OABC繞點O順時針旋轉得到菱形，

，，

，

，

，

，

，

，，

點的坐標為：，

故答案為：

過點作軸于d，根據旋轉的性質，利用含角的直角三角形及勾股定理即可求解．

本題考查了旋轉的性質、菱形的性質、含角的直角三角形和勾股定理的應用，熟練掌握旋轉的性質及勾股定理的應用，借助輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．15.【答案】

【解析】解：取AB的中點F，連接EF，

點E為BD的中點，點F為AB的中點，

是的中位線，

，

點E在以點F為圓心，為半徑的圓上．

則當點E在點M處時，BE取的最大值；當點E在點N處時，BE取的最小值．

又，

，，

故答案為：

取AB的中點F，連接EF，根據題意得出點E在以點F為圓心，為半徑的圓上，據此可解決問題．

本題主要考查了含30度角的直角三角形，能根據題意得出點E在以點F為圓心，為半徑的圓上是解題的關鍵．16.【答案】4；

【解析】解：原式

；

原式

先根據二次根式的乘法法則和負整數指數冪的意義計算，然后化簡二次根式后進行有理數的加法運算；

先把括號內通分和除法運算化為乘法運算，然后約分即可．

本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法和負整數指數冪是解決問題的關鍵．也考查了分式的混合運算．17.【答案】，，；

B款AI學習軟件更受用戶歡迎，理由見解答答案不唯一

【解析】解：款軟件的中位數為第10、11個數據的平均數，而這2個數據分別為86、87，

所以B款軟件的中位數，

A款軟件“非常滿意”所占百分比，

B款軟件“非常滿意”所占百分比，

故答案為：，，；

款AI學習軟件更受用戶歡迎，

由表知，A、B款軟件評分的平均數相等，而B款軟件評分的中位數大于A款，

所以B款軟件評分高的人數多于A款，

所以B款AI學習軟件更受用戶歡迎答案不唯一

根據中位數及百分比的概念逐一求解即可；

根據中位數、方差的意義求解即可．

本題考查扇形統計圖，中位數、眾數、方差以及樣本估計總體，理解中位數、眾數的意義，掌握中位數、眾數的計算方法是解決問題的前提．18.【答案】直線OA的解析式為；反比例函數的解析式為；

圖象見解答；

或

【解析】解：點在雙曲線上，

，

反比例函數的解析式為；

點在直線上，

，

解得，

直線OA的解析式為；

對于，當時，，當時，，當時，，

在坐標系中畫出對應的點，然后畫出函數圖象，再根據函數的對稱性畫出函數在第四象限的圖象，

如圖：

由的圖象可知，當時，n的取值范圍為或

用待定系數法求出函數表達式，進而求解；

畫出函數圖象即可；

由函數圖象得出結論．

本題考查了反比例函數與一次函數的交點，關鍵是求出函數解析式．19.【答案】見解答．

見解答．

【解析】解：如圖，連接，作線段的垂直平分線，分別交直線AD，BC于點E，F，

則直線EF即為所求．

證明：設直線EF交于點O，

由可知，直線EF為線段的垂直平分線，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

四邊形是平行四邊形．

，

四邊形是菱形．

連接，作線段的垂直平分線，分別交直線AD，BC于點E，F，則直線EF即為所求．

設直線EF交于點O，由可知，直線EF為線段的垂直平分線，可得，證明≌，可得，則可得四邊形是平行四邊形．再由，可知四邊形是菱形．

本題考查作圖-復雜作圖、翻折變換折疊問題、菱形的判定，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．20.【答案】購買一棵甲種樹苗需要30元，一棵乙種樹苗需要60元；

購買甲種樹苗400棵，乙種樹苗200棵，才能使購買樹苗的總費用最少．

【解析】解：設購買一棵甲種樹苗需要x元，一棵乙種樹苗需要y元，

由題意得：，

解得：，

答：購買一棵甲種樹苗需要30元，一棵乙種樹苗需要60元；

設購買甲種樹苗m棵，則購買乙種樹苗棵，

由題意得：，

解得：，

設總費用為w元，

由題意得：，

，

隨m的增大而減小，

當時，w有最小值，

此時，，

答：購買甲種樹苗400棵，乙種樹苗200棵，才能使購買樹苗的總費用最少．

設購買一棵甲種樹苗需要x元，一棵乙種樹苗需要y元，根據購買2棵甲種樹苗和3棵乙種樹苗共需240元，購買3棵甲種樹苗和2棵乙種樹苗共需210元，列出二元一次方程組，解方程組即可；

設購買甲種樹苗m棵，則購買乙種樹苗棵，根據購買時甲種樹苗的數量不超過乙種樹苗數量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再設總費用為w元，由題意列出w關于m的一次函數關系式，然后由一次函數的性質即可得出結論．

本題考查了一元一次不等式的應用、二元一次方程組的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出二元一次方程組；找出數量關系，正確列出一元一次不等式和一次函數關系式．21.【答案】摩天輪的半徑約為11米．

【解析】解：過點B作，垂足為D，

設，

，

，

在中，，

，

在中，，

，

，

解得：，

，，

設摩天輪的半徑是r米，

在中，，

，

解得：米，

摩天輪的半徑約為11米．

過點B作，垂足為D，設，則，然后分別在和中，利用銳角三角函數的定義求出BD的長，從而列出關于x的方程，進行計算可求出AD，BD的長，最后設摩天輪的半徑是r米，從而在中，利用勾股定理進行計算即可解答．

本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．22