2024-2025學年高中數學第一章三角函數1.4.3正切函數的性質與圖象（10）教學教學設計新人教A版必修4學校授課教師課時授課班級授課地點教具教材分析同學們，我們今天要一起探索的是高中數學第一章中的“三角函數”這一部分，具體是1.4.3節——正切函數的性質與圖象。這部分內容是三角函數學習中的重要一環，我們將從正切函數的基本性質出發，逐步深入到它的圖象特征。這一章節的內容與課本緊密相連，也是我們理解三角函數應用的基礎。讓我們一起走進這個有趣的數學世界吧！??????核心素養目標分析在本節課中，我們旨在培養學生以下幾個方面的核心素養：首先，提升學生的數學抽象能力，讓他們能夠從具體情境中抽象出正切函數的一般性質；其次，加強邏輯推理能力，通過探究正切函數的性質，讓學生學會運用邏輯推理進行數學論證；再者，強化數學建模意識，讓學生能夠將正切函數應用于實際問題中，解決生活中的數學問題。通過這些活動，學生將更好地理解數學與生活的聯系。學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

學生們在進入本節課之前，已經學習了三角函數的基本概念，包括正弦、余弦和正切函數的定義。此外，他們應該已經掌握了函數的一般性質，如周期性、奇偶性和單調性。這些基礎知識是理解正切函數性質與圖象的前提。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

高中學生對數學的興趣因人而異，但普遍對三角函數這類具有實際應用背景的數學內容感興趣。他們的學習能力也各有特點，有的學生擅長邏輯推理，有的則更擅長圖形直觀理解。學習風格上，有的學生偏好通過公式推導來學習，而有的則更喜歡通過實例和圖形來理解概念。

3.學生可能遇到的困難和挑戰：

在學習正切函數的性質與圖象時，學生可能會遇到以下困難和挑戰：首先，理解正切函數的周期性和奇偶性可能比較抽象，需要通過具體的例子來幫助理解；其次，將正切函數的性質與實際應用場景相結合，可能會讓學生感到困難，因為他們需要從理論走向實踐；最后，對于一些學生來說，數學符號和公式的記憶可能會成為障礙，需要通過反復練習來克服。教學方法與策略為了達到教學目標并適應學生的學習特點，我將采用以下教學方法與策略：

1.結合講授法與討論法，通過講解正切函數的基本性質，引導學生思考，并在小組討論中分享不同觀點，促進深度理解。

2.設計“正切函數周期性挑戰”游戲，讓學生通過實際操作來探索正切函數的周期性，增強學生的動手能力和參與感。

3.利用多媒體教學，展示正切函數的圖象，通過動態變化幫助學生直觀理解函數的性質，同時配合動畫和圖表，提升學生的視覺學習效果。教學流程**用時：45分鐘**

1.**導入新課**

-詳細內容：

“同學們，我們之前學習了正弦和余弦函數，它們在描述周期性變化中起著重要作用。今天，我們將一起探索正切函數，這是三角函數家族的另一位成員。我們先來回顧一下正弦和余弦函數的一些基本性質，然后我們將揭開正切函數的神秘面紗。準備好了嗎？讓我們一起走進正切函數的世界！”

2.**新課講授**

-詳細內容：

1.**正切函數的定義**（用時5分鐘）

“首先，我們來明確正切函數的定義。正切函數是正弦函數除以余弦函數的結果，對于任意角度θ，正切θ等于正弦θ除以余弦θ。記住，當余弦θ為0時，正切函數沒有定義，這是我們需要特別注意的。接下來，讓我們通過幾個具體的例子來計算正切值。”

-示例：計算角度30°和45°的正切值。

2.**正切函數的性質**（用時10分鐘）

“接下來，我們來探討正切函數的性質。正切函數是周期函數，周期為π。這意味著每隔π弧度，函數的值會重復。此外，正切函數在第一和第三象限是正的，在第二和第四象限是負的。我們還會討論正切函數的奇偶性和單調性。讓我們通過圖象來直觀地看到這些性質。”

-示例：展示正切函數的圖象，并標注周期、奇偶性和單調性。

3.**正切函數的圖象**（用時10分鐘）

“現在，讓我們更深入地研究正切函數的圖象。我們將會看到，正切函數的圖象在y軸附近會有垂直漸近線，這是因為余弦函數在這一點上為0。圖象在x軸上的交點對應于正切值為0的角度。讓我們一起來繪制這個圖象，并分析它的特征。”

-示例：繪制正切函數的圖象，并標記關鍵點。

3.**實踐活動**

-詳細內容：

1.**繪制正切函數圖象**（用時10分鐘）

“同學們，現在請拿出你們的直尺和圓規，或者使用計算器，嘗試自己繪制正切函數的圖象。注意觀察周期性、漸近線和零點。完成后，與旁邊同學分享你的發現。”

2.**周期性挑戰**（用時10分鐘）

“我們來玩一個‘周期性挑戰’游戲。我會給出一個角度，你們需要計算它的正切值，并找出下一個周期內具有相同正切值的下一個角度。比如，如果給定的角度是30°，你們需要找到下一個角度，它的正切值也是√3/3。”

3.**應用正切函數**（用時15分鐘）

“現在，讓我們將正切函數應用到實際問題中。假設一個輪子的半徑是10厘米，它的邊緣有一個指針，指針的長度是5厘米。當輪子旋轉時，指針尖端的位置如何變化？請用正切函數來描述這個變化。”

4.**學生小組討論**

-詳細內容舉例回答：

1.**周期性問題**：“為什么正切函數的周期是π？”

-學生回答：“因為當θ增加π時，正弦函數和余弦函數的值都會重復，所以正切函數的值也會重復。”

2.**圖象特征**：“為什么正切函數的圖象在y軸附近有垂直漸近線？”

-學生回答：“因為當余弦函數接近0時，正切函數的值會變得非常大或非常小，趨向于無窮大。”

3.**實際應用**：“如何用正切函數來描述輪子旋轉時指針尖端的位置變化？”

-學生回答：“我們可以用正切函數來表示指針尖端與輪子中心之間的角度θ，隨著輪子的旋轉，這個角度會以正切函數的周期性變化。”

5.**總結回顧**

-內容：

“今天，我們學習了正切函數的定義、性質和圖象。我們了解到正切函數是周期函數，周期為π，具有奇偶性和單調性。我們還通過繪制圖象和解決實際問題來加深了對正切函數的理解。在接下來的學習中，希望大家能夠將所學知識應用到更多的數學問題和實際問題中。今天的重點在于理解正切函數的周期性和圖象特征，難點在于將正切函數應用于實際問題。希望大家通過今天的課程，對正切函數有了更加清晰的認識。”拓展與延伸1.**拓展閱讀材料**

-《三角函數在工程中的應用》

這份閱讀材料可以讓學生了解三角函數在工程領域的實際應用，例如在建筑設計、機械工程和土木工程中的測量和計算。通過閱讀，學生可以認識到三角函數不僅僅是數學理論，而是有著廣泛實際應用的工具。

-《正切函數在物理現象中的角色》

學生可以通過這份材料了解正切函數在物理現象中的應用，如簡諧運動中的位移與時間的關系，以及如何利用正切函數來分析物理實驗數據。

2.**鼓勵學生進行課后自主學習和探究**

-**探索正切函數的極限**

學生可以嘗試探索當θ接近π/2時，正切函數的值如何接近無窮大。他們可以通過計算和繪制圖象來觀察這一現象，并思考為什么會出現這種情況。

-**正切函數在不同坐標系中的應用**

學生可以研究正切函數在極坐標系中的應用，探討在極坐標系中如何表示正切函數，并嘗試解決相關的幾何問題。

-**正切函數在解三角形中的應用**

學生可以嘗試使用正切函數來解決實際問題，如已知一個三角形的兩邊和一個非直角的角度，求出第三個角度和第三邊的長度。

-**項目導向學習：**

學生可以選擇一個與正切函數相關的項目，例如設計一個游戲，其中玩家需要通過解決與正切函數有關的問題來前進。這個項目可以包括編程、圖形設計和數學建模等多個方面。

-**數學競賽題目研究：**

學生可以收集一些涉及正切函數的數學競賽題目，嘗試獨立解決這些問題，并討論解題過程和策略。

-**小組合作研究：**

學生可以分成小組，每個小組選擇一個與正切函數相關的研究主題，如正切函數在歷史中的應用，或者正切函數在藝術和音樂中的象征意義。小組可以共同收集資料、撰寫研究報告，并在班級中進行展示。教學反思與總結今天這節課，我們共同探討了正切函數的性質與圖象。回顧整個教學過程，我覺得有幾個方面值得反思和總結。

首先，在教學方法的運用上，我嘗試了講授、討論和實踐活動相結合的方式。我發現，通過講授法引入新知識，再通過討論和實踐活動加深理解，這樣的教學流程比較有效。學生們在討論環節表現得非常積極，他們能夠主動提出問題，并與同伴分享自己的見解。這讓我感到欣慰，因為這說明學生們對正切函數這一主題有了濃厚的興趣。

然而，我也注意到，在講授過程中，有些概念對于部分學生來說可能還是有些抽象。例如，正切函數的周期性和漸近線，這些內容需要學生具備一定的抽象思維能力。因此，我意識到在今后的教學中，我應該更加注重幫助學生建立數學模型，通過具體的例子和圖象來幫助他們理解抽象的概念。

在教學策略上，我設計了一些實踐活動，如繪制正切函數圖象、周期性挑戰游戲和實際應用問題解決等。這些活動旨在讓學生在實踐中學習，通過動手操作和解決問題來加深對知識的理解。我發現，這些活動確實提高了學生的參與度和學習興趣，但也暴露出一些問題。比如，在周期性挑戰游戲中，部分學生對于如何找到下一個周期內的角度感到困惑。這說明我在活動設計上可能還需要更加細致，以便更好地滿足不同學生的學習需求。

在教學管理方面，我注意到課堂氣氛整體較為活躍，但也有一些學生在課堂上顯得比較被動。這可能是因為他們對某些概念理解不夠，或者缺乏足夠的自信。為了改善這一點，我計劃在今后的教學中更多地關注每一個學生的個體差異，提供個性化的輔導，幫助他們克服學習上的困難。

至于教學效果，我認為整體上是積極的。學生們對正切函數的性質有了更深入的理解，他們能夠運用所學知識解決一些實際問題。在情感態度方面，學生們對數學學習的興趣有所提高，他們開始認識到數學與生活的緊密聯系。

當然，也存在一些不足之處。例如，課堂時間有限，有些內容可能沒有講解得足夠深入。此外，學生在實踐活動中的表現也參差不齊，這說明我在教學資源的分配和活動設計上還需要進一步優化。

針對這些問題，我提出以下改進措施和建議：

1.在今后的教學中，我將更加注重學生的個體差異，提供分層教學，確保每個學生都能跟上教學進度。

2.在活動設計上，我會更加細致，確保活動既有挑戰性，又能夠幫助學生鞏固知識點。

3.我會利用課余時間進行備課，確保教學內容更加豐富和深入，同時也會利用網絡資源和其他教學輔助工具來增強課堂互動。

4.我會鼓勵學生進行課后自主學習和探究，通過布置一些拓展性作業來提高他們的學習興趣和解決問題的能力。教學評價與反饋1.**課堂表現：**

在今天的課堂上，學生們整體表現積極，對于正切函數的性質與圖象表現出濃厚的興趣。在講授新知識時，學生們能夠認真聽講，并積極參與到課堂討論中。特別是在討論環節，學生們能夠主動提出問題，并分享自己的見解，這表明他們對這一主題有了自己的理解和思考。

2.**小組討論成果展示：**

在小組討論活動中，學生們展現出了良好的團隊合作精神。每個小組都能夠圍繞正切函數的周期性、奇偶性和單調性等性質進行深入討論，并能夠將討論結果清晰地向全班展示。例如，一個小組通過繪制正切函數的圖象，展示了函數的周期性和漸近線，他們的展示不僅準確，而且富有創意。

3.**隨堂測試：**

為了評估學生對本節課內容的掌握程度，我進行了一次隨堂測試。測試包括選擇題和解答題，涵蓋了正切函數的定義、性質和圖象特征。從測試結果來看，大部分學生能夠正確回答選擇題，但在解答題部分，部分學生對于如何將正切函數的性質應用到實際問題中還存在困難。這表明在今后的教學中，我需要加強對學生應用能力的培養。

4.**實踐活動反饋：**

在實踐活動環節，學生們通過繪制正切函數圖象、參與周期性挑戰游戲和解決實際問題，對正切函數有了更加直觀和深入的理解。許多學生表示，通過實踐活動，他們不僅鞏固了知識，還提高了動手操作和解決問題的能力。

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