2025年九年級數學中考三輪沖刺練習二次函數的性質練習

一、選擇題

1.已知關于x的二次函數了="2+2°芯+3a2+3,當x'2時，y隨x的增大而增大，且

-2WxWl時，y的最大值為9,則a的值為()

C.1或-2D.Y或顯

2.已知一個二次函數y="2+6x+c的自變量x與函數y的幾組對應值如下表，則下列結論

正確的是()

X.??-4-20246

y.??-1192125219

A.當x<0時，y隨x的減小而減小

B.圖象的開口向上

C.圖象只經過第一，二，三象限

D.圖象的對稱軸為x=-2

3.無論人為何實數，直線y=2丘+1和拋物線y=x2+x+E()

A.有一個公共點

B.有兩個公共點

C.沒有公共點

D.公共點的個數不能確定

4.已知二次函數y=a(x-1)2-°(aWO),當-1WxW4時，y的最小值為-4,則a的

值為()

1—141—4

A.2八B.2或4C.3或4D.2小3

5.如圖，已知拋物線y=a/+bx經過等腰直角△048的三個頂點，點/在x軸上，點、B

是拋物線的頂點，/。8/=90°,則6=()

A

C.-2D.一但

1/12

二、填空題

8.已知拋物線了=加/-mx-4x+4,回答下列問題：

（1）無論加取何值，拋物線恒過定點和;

（2）當加＜0且拋物線的頂點位置最高時，拋物線經過兩點（2,為），（n,y2）,滿足

yi＜y2＞則"的取值范圍是.

9.拋物線y=/+6x+c的頂點為3,點/（xi，yi）,點C（必，＞2）為拋物線上的點.若4

A8C是底角為30°的等腰三角形，且xi+x2=-b,則△A8C的面積為

10.已知函數y=/-6x+3,當左左時，若y的最大值與最小值之差為8,則左=

三、解答題

11.已知二次函數y=ax2-4ax+2（a為常數，且a#0）.

（1）若函數圖象過點（1,0）,求a的值；

（2）當2（xW5時，函數的最大值為M,最小值為N,若M-N=12,求a的值.

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12.已知拋物線y=ax2+bx+c(a＞0),M(xp為)，N(初，＞2)是拋物線上兩點，拋物線

的對稱軸是直線工=九

(1)當，=2時，

①直接寫出b與a滿足的等量關系；

6)若＞1=＞2，貝!]11+工2=?

(2)已知Q=，-3,%2=汁1，點。(％3，為)在拋物線上.當3Vx3V4時，總有

乃＞為＞歹2，求t的取值范圍?

13.在平面直角坐標系xQy中，點"(修，/)，N(》2,及)是拋物線

y=ax2-2ax+c(a＞0)上任意兩點.

(1)直接寫出拋物線的對稱軸；

(2)若修=〃+1,l2=。+2，比較為與”的大小，并說明理由；

(3)若對于加＜%1＜加+1,加+1〈工2＜冽+2,總有為〈及，求冽的取值范圍.

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14.已知拋物線y=-x2+6x+c(b,c為常數)的頂點橫坐標是拋物線y=-/+4x+c頂點橫

坐標的2倍.

(1)求b的值；

(2)點/(所，ji)在拋物線夕=-X2+4X+C_L,點、B(xi+w,yi+Z)在拋物線

y—-x-+bx+c上.

①求t(請用含加，XI的代數式表示)；

②若尤1=機+1且-1WXIW2,求f的最大值.

15.已知拋物線y=-x2+&(b為常數)的頂點橫坐標比拋物線y=-/+2x的頂點橫坐標

大1.

(1)求b的值；

2

(2)點/(芍，方)在拋物線^=-『+2x上，點8(xi+f,yi+h)在拋物線>=-x+bx

上.

(i)若力=3a且xi》O,t>0,求〃的值；

(ii)若干=/1-1,求〃的最大值.

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參考答案

一、選擇題

題號12345

答案BABBC

二、填空題

6.已知二次函數y=tu：2+6x+c中，函數y與自變量x的部分對應值如表:

X.??345678???

y.??-3114415041m???

則表格中m的值是14.

【解答】解：當x=5時，y=41,當x=7時，y=41,

_5+7_

對稱軸為：直線2-6,

/.(4,14)和(8,m)關于直線x=6對稱,

??YYl~~14,

故答案為：14.

7.已知二次函數(a>0)圖象的對稱軸為直線x=2,且經過點(7,為)、

(4,以)，試比較大小：vi>V9.(填或“=”)

【解答】解：由題意，???拋物線對稱軸是直線x=2,。>0,

拋物線上的點離對稱軸越近函數值越小.

又1-2|=3>|4-2|=2,

故答案為：>.

8.已知拋物線>=加/-mx-4x+4,回答下列問題：

(1)無論加取何值，拋物線恒過定點(0,4)和(1,0)；

(2)當加<0且拋物線的頂點位置最高時，拋物線經過兩點(2,為)，(n,y2),滿足

ji<y2-則”的取值范圍是-1<〃<2.

【解答】解：(1)由題意，,.'y—mx2-mx-4x+4—m(x2-x)-4x+4,

x2-x=0,貝Ux=0或x=l.

.,.當x=0時，y—4；當x=l時，y—0.

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...無論加取何值，拋物線恒過定（0,4）,（1,0）.

故答案為：（0,4）,（1,0）.

—m1

（2）由題意，對稱軸是直線工—一赤一2.

拋物線上的點離對稱軸越近函數值越大.

又：為<、2,

11

.,.|22|>|n2|.

，-1<?<2.

故答案為：-

9.拋物線V=x2+6x+c的頂點為3,點/（X1，為），點C（X2，改）為拋物線上的點.若4

且

A8C是底角為30°的等腰三角形，且xi+x2=-b,則△A8C的面積為

【解答】解：由題意可知拋物線的對稱軸為/軸，則6=0,

?=X~~H'C,

：.B（0,c）,

設C（加，〃），則/（-冽，〃），如圖，w

,??△45。是底角為30°的等腰三角形，

BD3m,

OD3加+&即〃3加十0,

￡

把C的坐標代入y=/+c得，3m+c—m2+c,

B

解得m,m—0（舍去），

_2￡_1

：.AC~3,BD3,

112j31.亙

-AC-BD=-x——X—=

.?.△48C的面積為：2233-V.

目

故答案為：

10.已矢口函數y=/-6x+3,當左-4WxW4時，若v的最大值與最小值之差為8,則左=—

7—2^^或3+2-^/2.

【解答】解：當k-4Wx《k時，>=/-6x+3=（%-3）2-6,

6/1；

分情況討論如下：

①當左-左W3時，即左W3,

x=左時，y取得最小值，此時了=啟-6左+3；

x=笈-4時，y取得最大值，止匕時＞=（4-4）2-6（左-4）+3；

（左-4）2-6（左-4）+3-（衿-6左+3）=8,解得：k=4,

\'k＜3,

.,#=4不符合題意；

②當左-4W3且欄3時，即3WZ7,此時最小值為y=-6,

當x=64取得最大值時，y=（后-4）2-6（后-4）+3,

（左-4）2-6（左-4）+3-（-6）=8,

解得：k=7+2^/2,

:3WkW7,7+2電＞7,

.?.k=7+2?不符合題意；

.?.k=7-2但符合題意；

當x=4取得最大值時，y=啟-6左+3,

k2-6左+3-（-6）=8,

解得：k=3土2瓢,

由條件可知：卜=3+2但符合題意，卜=3—2但不符合題意，

./=3+2也

③當3W左-4WxW左時，即左》7,

%=《-4時，y取得最小值，此時y=（左-4）2-6（左-4）+3；x=左時，y取得最大值,

此時y=/-6左+3；廬-6左+3-[（左-4）2-6（左-4）+3]=8,解得：k=6,

:欄7,

.,.k=6不符合題意；

綜上所述，當左-4W尤W左時，若V的最大值與最小值之差為8,左的值為7—2根或

3+2@

故答案為：7—2隹或3+2低.

三、解答題

11.已知二次函數y=ox2-4辦+2（a為常數，且aWO）.

（1）若函數圖象過點（1,0）,求a的值；

7/12

（2）當2W無W5時，函數的最大值為最小值為N,若"-N=12,求°的值.

【解答】解：（1）.??二次函數y=a/-4ax+2的圖象過點（1,0）,

/.a-4。+2=0,

_2

：?a3；

（2）\9y=ax2-4ax+2=。（x-2）2+2-4。，

???拋物線的頂點為（2,2-4a）,

??x~2時，y=2-4Q,

當x=5時，y=25a-20q+2=5a+2,

當q>0時，當2WxW5時，M=5a+2,N=2-4a,

U：M-N=n,

：.5a+2-（2-4a）=12,

_4

**?ci3；

當qVO時，當2WxW5時，N=5a+2,M=2-4a,

U：M-N=n,

：.2-4a-（5〃+2）=12,

_4

:?a3；

44

??“的值為§或一5

12.已知拋物線歹（a>0）,M（%1，為），N（%2，>2）是拋物線上兩點，拋物線

的對稱軸是直線I=九

（1）當，=2時，

①直接寫出b與Q滿足的等量關系；

8）若刃=為，貝ll、1+%2=4.

（2）已知修=%-3,工2=什1，點。（%3,為）在拋物線上.當3V工3<4時，總有

為>為>丁2，求，的取值范圍.

b

【解答】解：⑴①???「一五一2,

??b~~~4。；

②（xi，為），N（x2,y2）是拋物線上兩點,

'.M（X1，為），N（X2，夕2）關于對稱軸對稱，

8/12

:拋物線的對稱軸為直線尤=2,

/+叼_

2,

?.X1+X2=4.

故答案為：4；

（2）由題意可知，M（xi，乃）在對稱軸的左側，N（冷，72）在對稱軸的右側,

;點C（X3,.3）在拋物線上，3<X3<4,

.?.點C（右，為）關于對稱軸的對稱點為⑵-叼,為），

It-4<2f-X3<27-3,

當點C（叼，為）在對稱軸的左側時，

,/當3<》3<4時，總有為>73>以，

（t—3<3

2t-4N1+1,解得5W/W6；

當點C（無3,為）在對稱軸的右側時，

,/當3<X3<4時，總有為>為，

（t+1<3

...任一3<2t-4r解得gW2；

：.t的取值范圍是1W1W2或5WW6.

13.在平面直角坐標系xOy中，點M（xi，為），N5,為）是拋物線

y—ax2-2ax+c（a>0）上任意兩點.

（1）直接寫出拋物線的對稱軸；

（2）若xi=a+l,無2=°+2，比較乃與絲的大小，并說明理由；

（3）若對于加ZM+1<X2<"?+2,總有為<如求"2的取值范圍.

—2a

【解答】解：（1）拋物線-2ax+c（a>0）的對稱軸為：工一2a一1,

...拋物線的對稱軸為直線x=l；

（2）Va>0,拋物線開口向上，對稱軸為直線x=l；

：.M（xi，為），N（尤2,拉）都在對稱軸右側，

:當x>l時，y隨x的增大而增大，且X1<X2，

?'?乃〈及；

（3）m+l<X2<ni+2,

2m+1xi+x22m+3

------<------<------

222

9/12

??力〈/，。〉0，

：.M（xi，為）距離對稱軸更近，xi<x2,則"N的中點在對稱軸的右側,

1

>-

解得：m2.

14.已知拋物線歹=-J+bx+c(乩。為常數)的頂點橫坐標是拋物線y=-、2+4x+c頂點橫

坐標的2倍.

(1)求6的值；

(2)點4(xp為)在拋物線歹=-X2+4X+C_b,點、B(xi+m,力+力在拋物線

y=-N+bx+c上.

①求，(請用含加，xi的代數式表示)；

②若%i=m+l且-1W2,求t的最大值.

【解答】(1)解：??)=-X2+4X+C=-(x-2)2+C+4,

拋物線歹=-X2+4X+C頂點橫坐標為2,

b

-x=--

,.)=-N+fcr+c的頂點橫坐標為2,且為拋物線歹=-/+4%+c頂點橫坐標的2倍，

b

-=2x2

???2,

解得6=8；

(2)①??,點4(xi，乃)在拋物線歹=-/+4x+c上，點3(xi+m,為+力在拋物線

y=-j^+bx+c±.6=8,

.?.乃——“1+4jq+c,為+/=~(%i+m)2+8(%i+m)+c,

.*./=-(%i+m)2+8(xi+m)+。-乃，

即￡=-(%i+m)2+8(%i+m)+c-(~x\4xi+c),

t=-m2+4%i-2加xi+8冽,

②?.,修=加+1,

:?t=-m2+4%i-2mxi+8m

=-m2+4(m+1)-2m(m+1)+8m

=-3m2+10m+4

V-^2,

-1W機+1W2,

10