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文檔簡介
2025年河北省張家口市高考數(shù)學(xué)模擬試卷(一)
一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求
的。
1.設(shè)集合a=[-2-1,0,1}.B={y|y=x3,xe閩,則2nB=()
A,{0,1}B.{-1,0}C.[-1,0,1}D.{0}
2.數(shù)據(jù)2,3,8,5,4,2的中位數(shù)和平均數(shù)分別為()
A.3.5和2B,3和4C,4和2D.3.5和4
3.若復(fù)數(shù)z滿足zi=煞長為虛數(shù)單位),則|z|=()
4.從集合{1,2,3,…,8,9}中隨機(jī)取出4個(gè)不同的數(shù),并將其從大到小依次排列,則第二個(gè)數(shù)是7的概率為()
A-J-R—QT)
10103621
5.設(shè)a為鈍角,若直線x+y+2=0與曲線C:法嬴+忌=1只有一個(gè)公共點(diǎn),則C的離心率為()
A.乎B.A/2C.1D.|
6.已知拋物線C:%2=y的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線/交C于P1,尸2兩點(diǎn),若的勺一個(gè)方向向量為
aE(0^),則|尸也|=()
A.1+cos2aB.1+sin2aC.1+tan2aD..M
sinza
7.已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)"%)滿足以下條件:
①f(l+%)=/(l-X);
@f(3+x)+f(3—x)=0;
③/⑸=1.
則/(l)+/(2)+…+)(2025)=()
A.-1B.0C.1D.2
8.在平面直角坐標(biāo)系中,2(—1,0),C(x,y),點(diǎn)、F,“分別是△ABC的外心和垂心,若麗=若荒
AB,則小的取值范圍是()
1
A.(-oo,0)B.(-1,0)C.(-co-]D.(0,+oo)
二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。
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9.函數(shù)/(X)弓功式一支下一〃xl(a>1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為()
A.0B.1C.2D.4
10.已知球。的表面積為16兀,點(diǎn)P,A,B,C均在球面上,且P4=PB=PC,AB=BC=CA=3,
PA>AB,貝弘)
A,球。的半徑為2
B.平面ABC截球面所得小圓的面積為3兀
C.點(diǎn)P到平面4BC的距離為2平
D.球體挖去四面體P-HBC后余下部分的體積為竽
11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,曲線c為伯努利雙紐線,其中%(-c,o),y,
尸2。。)為焦點(diǎn),點(diǎn)P?y)為c上任意一點(diǎn),且滿足|PFil“Pf2l=c2,曲線c/丁、'\/—:'\.
的方程為(/+y2)2—2c2(/—y2)=o,則下列說法正確的有()、一■y
A.曲線C為中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形
B.若直線y=-與曲線C恰有3個(gè)交點(diǎn),則—六
C.曲線C在直線X=±也。與y=±京所圍成的矩形區(qū)域內(nèi)
D.當(dāng)參數(shù)c變化時(shí),曲線C上的最高點(diǎn)均在曲線y=*|x|上
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.已知數(shù)列{an}滿足的=2,an>+i-a?=~+1,則成一n=.
13.已知函數(shù)f(久)=2(x-b)(x-2c),0<b<2c<1,則f(0)"(1)的取值范圍是.
14.我國歷史文化悠久,中國象棋就是國人喜聞樂見的一種娛樂方式.不同棋子行的規(guī)則各不相同:馬走日
字象走田,車走直路炮翻山,即“馬”只能由“日”字格子的頂點(diǎn)沿“日”字的斜線走到相對(duì)的另一個(gè)頂
點(diǎn)41,42,…,人8,如圖1.請(qǐng)據(jù)此完成填空:如圖2,假設(shè)一匹馬從給定的初始位置出發(fā),且規(guī)定其只能向
“右前方走”,則其運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P所需的步數(shù)為:該馬運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P所有可能落點(diǎn)(包括點(diǎn)P)的個(gè)數(shù)為
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即圖2
四、解答題:本題共5小題共77分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
15.(本小題15分)
如圖,已知三棱錐P—4BC中,PA1PB,AC1BC,平面APB1平面ABC,4PAB=30°,ABAC=45°,
AB=4.
(1)求點(diǎn)P到平面ABC的距離;
(2)若Q為4C的中點(diǎn),求PQ與平面P8C所成角的正弦值.
16.(本小題15分)
已知/1(x)=Inx—aQx+1),aeR.
(1)若。=2,求曲線f(x)在%=1處的切線方程;
(2)若三勾6(0,2],使/。o)>O,求a的取值范圍.
17.(本小題15分)
在△48C中,內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,A-^-,7sin2B=^bcosB.
(1)若cosB求c;
14-
(2)當(dāng)BC邊上的中線最小時(shí),求△力BC的面積.
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18.(本小題15分)
已知%,尸2分別為橢圓C:條+2=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn),C為短軸的一個(gè)端點(diǎn),2c是直角三
角形.
(1)求橢圓E的離心率;
(2)若直線y=久-3恰好與橢圓E相切,求橢圓E的方程;
(3)在(2)的條件下,設(shè)直線Z不過點(diǎn)4(2,1)且與E交于兩點(diǎn)M,N,若前?俞=0,求愣喘的最大值.
19.(本小題17分)
某研究機(jī)構(gòu)開發(fā)了一款智能機(jī)器人,該機(jī)器人通過交替學(xué)習(xí)不同技能匕S,勿來提升綜合能力.初始時(shí),機(jī)
器人選擇學(xué)習(xí)技能y,且每次學(xué)習(xí)y后會(huì)等可能地選擇學(xué)習(xí)s或W;每次學(xué)習(xí)S后,有0.25的概率繼續(xù)學(xué)習(xí)
Y,0.75的概率學(xué)習(xí)W;每次學(xué)習(xí)”后,有0.25的概率繼續(xù)學(xué)習(xí)丫,0.75的概率學(xué)習(xí)S.設(shè)an,bn,%分別表示
第律次學(xué)習(xí)后接著學(xué)習(xí)技能y,s,W的概率.
(1)若機(jī)器人僅進(jìn)行三次學(xué)習(xí),求學(xué)習(xí)技能y次數(shù)的分布列及其數(shù)學(xué)期望;
(2)求斯及其最大值;
(3)已知%n=|5an—1|-2"t,yn=2+4+...+2n,
(V2,(n=1),
z
n\y/yn(.Xi+%2++Xn-i)+(A/YI+yfy?.++yfyn)xn,(n>2).
若數(shù)列侈}的前ri項(xiàng)和為Sn,證明:Sn<n(n+2).
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參考答案
l.c
2.D
3.C
4.D
5.B
6.C
7.4
8.i4
9.ACD
10.XB
11.ACD
124-去
13.(0,1)
14.510
15.解:(1)過P作P。1AB,POC\AB=0,
因?yàn)槠矫鍭PBJ.平面48C,平面4PBCl平面4BC=AB,POu平面力P8,
所以P。_L平面48C,
因?yàn)槭?1PB,AB=4,/.PAB=30°,
所以PB=2,PA=A/16-4=24,
在直角三角形R4B中,SAPAB=*BxPA=^ABxPO,所以P。=平,
所以點(diǎn)P到平面ABC的距離為烈;
(2)因?yàn)锳C1BC,過C作P。的平行線為z軸,以C4,CB所在直線分別為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,
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在△2BC中,AC1BC,Z.BAC=45。,AB=4,所以AC=BC=2避,
在直角三角形248中,因?yàn)镻41PB,AB=4,/.PAB=30。,
所以PB=2,PA=V16-4=28
所以p。=BOA=3,OB=1,
所以P(孝挈兩,B(0,272,0),4(2#,0,0),C(0,0,0),Q(#,0,0),
所以所=吟,一號(hào)-我,CB=(0,2/,0),而=嚕呼,我,
設(shè)平面PBC的法向量為五=(x,y,z),則蔡1而,nlCB,
n-CP=顯x+^z=0
所以一22y7,
1n.CB=2退y=0
取x=28,得y=。,z=-yfZ,所以n=(2避,0,-"),
設(shè)PQ與平面PBC所成角為仇
KCCW-伍屈I_-------亞+°+滬-------_2:_癖
物以一同X\PQ\-V12+0+2X一/x2嫄一W
16.解:(l)a=2時(shí),函數(shù)/(%)=Znx-2(x+1),
因此-1)=-4,f(%)=|-2,因此切線斜率k=r(1)=-1,
因此函數(shù)/(%)在久=1處的切線方程為y-(-4)=-1x(%-1)即%+y+3=0.
(2)由于W(0,2],使得f(%o)>O所以仇%o-Q(%o+1)>0,
因此a〈《招,令函數(shù)g(x)=等訶6(0,2],
那么導(dǎo)函數(shù)g'Q)=詈票=冷會(huì),久e(0,2],
因此導(dǎo)函數(shù)八'(久)=—2—§<。在(0,2]上恒成立,因此八⑴在(0,2]上單調(diào)遞減,
因此八(%)>/i(2)--ln2=111浮>0,因此g'(x)>0在(0,2]上恒成立,
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因此g(%)在(0,2]上單調(diào)遞增,因此g(%)mg=g(2)=—,
因此QG(一8罵芻.
17.解:在△ABC中,A=券,可得Be(0,f),cosB>0,
由7siTi2B=yf^bcosB,得14sinBcosB=y/^bcosB,可得=14群.
Sinti3
(1)若cosB="貝ijs譏B=盧石?百=翌(舍負(fù)),
J.414
可得sinC=sin(i4+B)=sinAcosB+cosAsinB=宓x與一④x正造=宜?,
214,1414
根據(jù)正弦定理導(dǎo)==亨,可知C=與口出C鬻=5;
(2)由48"=亨,得萬-AC=\AB\-|XC|cos^=一如,
根據(jù)上7=3="退,可得a=^-sinA=用lx史=7,
以"口sin/sinB3332
取中點(diǎn)。,貝!為邊上的中線,
可得而2=1(X5+AC)2=掘2+/2+掘.而=如2+c2—bc),
由余弦定理得層=b2+c2-2bccosA,故49=b2+c2+bc>2Mb2c2+匕已=3兒,
即兒W粵,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=¥時(shí)等號(hào)成立,
所以42=](49-2瓦)另(49-2義務(wù)=瑞,即而心要,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=攣時(shí)等號(hào)成立,
可知BC邊上的中線長的最小值為逑,止匕時(shí)S3BC=/sina=*等'孚=曙.
18.解:(1)設(shè)橢圓半焦距為c,則Fi(—c,0),F2(G0),不妨設(shè)C(06),
由于△尸1尸2c是直角三角形,所以力=C,結(jié)合。2-爐=。2,
解得Q=*b=y/2c,故e=?=孚,
a2
即橢圓E的離心率為孝.
(2)由a=y/2b="c可得橢圓方程為短+居=1,
(y=%—3
聯(lián)立衛(wèi)+g=1,消去y得3%2?12%+18-2扭=0,
12b2b2
因?yàn)橹本€y=%—3恰好與橢圓E相切,故4=122—4x3(18—262)=0,解得加=3,
所以橢圓方程為1+4=1.
o3
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⑶將點(diǎn)4(2,1)代入橢圓C的方程得*+9=1,所以點(diǎn)4在橢圓C上,
當(dāng)直線MN斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=kx+租,
y=kx+m
聯(lián)立身.+藝=i,消去y可得(1+2fc2)%2+4fcmx+2m2—6=0,
163
設(shè)N(%2,y2),則%1+%2=_1+2k2'X1X2=]:嬴2,
因?yàn)閕4M,AN=0,(%i—2)(%2-2)+(yi-l)(y2-1)=。,
即(%1—2)(%2—2)+仇-1)仇-1)
=%1%2-2(巧+%2)+4+(fc%i+m—l)(/cx2+血一1)
22
=(fc+1)%1久2+(km-k-2)Qi+x2)+(^―l)+4=0
即(爐+1)I7^+(a—1)2+4=0,
化簡得(2k+3m+l)(2fc+m—1)=0,
由于4(2,1)不在直線MN上,所以2/c+TH—1HO,故2/c+3血+1=0,k豐1,
故直線MN的方程為y=fc(x-|)-1>故MN過定點(diǎn)“(|,一》;
當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),可得NQi,-yi),
代入(久1-2)(乂2-2)+(%—1)(>2-1)=。可得(久i-2)2+l-yl=0,
結(jié)合苓+9=1可得卬=|或均=2(舍去),
此時(shí)直線MN也經(jīng)過爪|,一]
綜上可得直線MN恒經(jīng)過H(|,-卞.
因?yàn)樾?=庠0,結(jié)合施,麗,故黑喘為直角三角形"MN斜邊上的高的長,
又直線MN恒經(jīng)過小|,一鄉(xiāng),所以|愣端■W|他二早,
所以需喘的最大值為宇
19.解:(1)機(jī)器人通過交替學(xué)習(xí)不同技能丫,s,勿來提升綜合能力,
初始時(shí),機(jī)器人選擇學(xué)習(xí)技能丫,且每次學(xué)習(xí)丫后會(huì)等可能地選擇學(xué)習(xí)s或w,
每次學(xué)習(xí)S后,有0.25的概率繼續(xù)學(xué)習(xí)匕0.75的概率學(xué)習(xí)W,
第8頁,共10頁
每次學(xué)習(xí)勿后,有0.25的概率繼續(xù)學(xué)習(xí)丫,0.75的概率學(xué)習(xí)S,
設(shè)a”bn,4分別表示第九次學(xué)習(xí)后接著學(xué)習(xí)技能匕S,W的概率,
機(jī)器人僅進(jìn)行三次學(xué)習(xí),設(shè)三次學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)技能y次數(shù)為X,
則X的取值可以為1,2,
第一次學(xué)匕第二次學(xué)S,第三次學(xué)W,則。=”*0.75=看
第一次學(xué)y,第二次學(xué)W,第三次學(xué)S,則P=1x:xo.75=],
Zo
故P(X=1)=2XR*
o4
第一次學(xué)y,第二次學(xué)s,第三次學(xué)y,則P=ix〈xo.25=
Zo
第一次學(xué)匕第二次學(xué)W,第三次學(xué)匕則P=lxJxO.25=:,
Zo
故P(X=2)=2x!=J,
O4
故機(jī)器人僅進(jìn)行三次學(xué)習(xí),學(xué)習(xí)技能y次數(shù)的分布列的數(shù)學(xué)期望x的分布列為:
X12
31
p
44
Q1C
故E(X)
(2居1=0^1=
。2=0.25歷+0.25。1=0.25xJ+0.25X々
zZ4
設(shè)a九+1=0.25bn+0.25c九,又力九+cn=l—an,
a
?*,n+i=0.25(1—an),???an+i—1=—^(an—1),
{M一芻為等比數(shù)列,且公比為e,首項(xiàng)為y,
故=一(1)7,故斯=99扔一,
要使得斯最大,貝M為偶數(shù),此時(shí)斯=(+/351,
此時(shí){斯}單調(diào)遞減,故當(dāng)n=2時(shí),取到最大值士
n(22w)
(3)證明:yn=2+4+-+2n==n(n+
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