2025年河北省張家口市高考數學模擬試卷(一)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.設集合a=[-2-1,0,1}.B={y|y=x3,xe閩，則2nB=()

A,{0,1}B.{-1,0}C.[-1,0,1}D.{0}

2.數據2,3,8,5,4,2的中位數和平均數分別為()

A.3.5和2B,3和4C,4和2D.3.5和4

3.若復數z滿足zi=煞長為虛數單位)，則|z|=()

4.從集合{1,2,3，…,8,9}中隨機取出4個不同的數，并將其從大到小依次排列，則第二個數是7的概率為()

A-J-R—QT)

10103621

5.設a為鈍角，若直線x+y+2=0與曲線C：法嬴+忌=1只有一個公共點，則C的離心率為()

A.乎B.A/2C.1D.|

6.已知拋物線C：%2=y的焦點為F,過點F的直線/交C于P1，尸2兩點，若的勺一個方向向量為

aE(0^),則|尸也|=()

A.1+cos2aB.1+sin2aC.1+tan2aD..M

sinza

7.已知定義在實數集上的函數"%)滿足以下條件：

①f(l+%)=/(l-X)；

@f(3+x)+f(3—x)=0；

③/⑸=1.

則/(l)+/(2)+…+)(2025)=()

A.-1B.0C.1D.2

8.在平面直角坐標系中，2(—1,0),C(x,y),點、F,“分別是△ABC的外心和垂心，若麗=若荒

AB,則小的取值范圍是()

1

A.(-oo,0)B.(-1,0)C.(-co-]D.(0,+oo)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

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9.函數/(X)弓功式一支下一〃xl(a>1)的零點個數可以為()

A.0B.1C.2D.4

10.已知球。的表面積為16兀，點P,A,B,C均在球面上，且P4=PB=PC,AB=BC=CA=3,

PA>AB,貝弘)

A,球。的半徑為2

B.平面ABC截球面所得小圓的面積為3兀

C.點P到平面4BC的距離為2平

D.球體挖去四面體P-HBC后余下部分的體積為竽

11.如圖，在平面直角坐標系中，曲線c為伯努利雙紐線，其中％(-c,o),y，

尸2。。)為焦點，點P?y)為c上任意一點，且滿足|PFil“Pf2l=c2,曲線c/丁、'\/—：'\.

的方程為(/+y2)2—2c2(/—y2)=o,則下列說法正確的有()、一■y

A.曲線C為中心對稱圖形和軸對稱圖形

B.若直線y=-與曲線C恰有3個交點，則—六

C.曲線C在直線X=±也。與y=±京所圍成的矩形區域內

D.當參數c變化時，曲線C上的最高點均在曲線y=*|x|上

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知數列｛an｝滿足的=2,an>+i-a?=~+1,則成一n=.

13.已知函數f(久)=2(x-b)(x-2c),0<b<2c<1,則f(0)"(1)的取值范圍是.

14.我國歷史文化悠久，中國象棋就是國人喜聞樂見的一種娛樂方式.不同棋子行的規則各不相同：馬走日

字象走田，車走直路炮翻山，即“馬”只能由“日”字格子的頂點沿“日”字的斜線走到相對的另一個頂

點41，42，…，人8,如圖1.請據此完成填空：如圖2,假設一匹馬從給定的初始位置出發，且規定其只能向

“右前方走”，則其運動到點P所需的步數為:該馬運動到點P所有可能落點(包括點P)的個數為

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即圖2

四、解答題：本題共5小題共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題15分)

如圖，已知三棱錐P—4BC中，PA1PB,AC1BC,平面APB1平面ABC,4PAB=30°,ABAC=45°,

AB=4.

(1)求點P到平面ABC的距離；

(2)若Q為4C的中點，求PQ與平面P8C所成角的正弦值.

16.(本小題15分)

已知/1(x)=Inx—aQx+1),aeR.

(1)若。=2,求曲線f(x)在％=1處的切線方程；

(2)若三勾6(0,2],使/。o)>O,求a的取值范圍.

17.(本小題15分)

在△48C中，內角4B,C的對邊分別為a,b,c,A-^-,7sin2B=^bcosB.

(1)若cosB求c；

14-

(2)當BC邊上的中線最小時，求△力BC的面積.

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18.(本小題15分)

已知％,尸2分別為橢圓C：條+2=l(a>6>0)的左、右焦點，C為短軸的一個端點，2c是直角三

角形.

(1)求橢圓E的離心率；

(2)若直線y=久-3恰好與橢圓E相切，求橢圓E的方程；

(3)在(2)的條件下，設直線Z不過點4(2,1)且與E交于兩點M,N,若前?俞=0,求愣喘的最大值.

19.(本小題17分)

某研究機構開發了一款智能機器人，該機器人通過交替學習不同技能匕S,勿來提升綜合能力.初始時，機

器人選擇學習技能y,且每次學習y后會等可能地選擇學習s或W；每次學習S后，有0.25的概率繼續學習

Y,0.75的概率學習W；每次學習”后，有0.25的概率繼續學習丫，0.75的概率學習S.設an,bn,%分別表示

第律次學習后接著學習技能y,s,W的概率.

(1)若機器人僅進行三次學習，求學習技能y次數的分布列及其數學期望;

(2)求斯及其最大值;

(3)已知%n=|5an—1|-2"t,yn=2+4+...+2n,

(V2,(n=1),

z

n\y/yn(.Xi+%2++Xn-i)+(A/YI+yfy?.++yfyn)xn,(n>2).

若數列侈｝的前ri項和為Sn,證明：Sn<n(n+2).

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參考答案

l.c

2.D

3.C

4.D

5.B

6.C

7.4

8.i4

9.ACD

10.XB

11.ACD

124-去

13.(0,1)

14.510

15.解：(1)過P作P。1AB,POC\AB=0,

因為平面APBJ.平面48C,平面4PBCl平面4BC=AB,POu平面力P8,

所以P。_L平面48C,

因為尸41PB,AB=4,/.PAB=30°,

所以PB=2,PA=A/16-4=24，

在直角三角形R4B中，SAPAB=*BxPA=^ABxPO,所以P。=平，

所以點P到平面ABC的距離為烈；

(2)因為AC1BC,過C作P。的平行線為z軸，以C4,CB所在直線分別為x,y軸建立直角坐標系,

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在△2BC中，AC1BC,Z.BAC=45。，AB=4,所以AC=BC=2避，

在直角三角形248中，因為P41PB,AB=4,/.PAB=30。，

所以PB=2,PA=V16-4=28

所以p。=BOA=3,OB=1,

所以P(孝挈兩,B(0,272,0),4(2#,0,0),C(0,0,0),Q(#,0,0),

所以所=吟,一號-我，CB=(0,2/,0),而=嚕呼,我,

設平面PBC的法向量為五=(x,y,z),則蔡1而，nlCB,

n-CP=顯x+^z=0

所以一22y7,

1n.CB=2退y=0

取x=28，得y=。，z=-yfZ,所以n=(2避,0,-")，

設PQ與平面PBC所成角為仇

KCCW-伍屈I_-------亞+°+滬-------_2：_癖

物以一同X\PQ\-V12+0+2X一/x2嫄一W

16.解:(l)a=2時,函數/(%)=Znx-2(x+1),

因此-1)=-4,f(%)=|-2,因此切線斜率k=r(1)=-1,

因此函數/(%)在久=1處的切線方程為y-(-4)=-1x(%-1)即％+y+3=0.

(2)由于W(0,2],使得f(%o)>O所以仇%o-Q(%o+1)>0,

因此a〈《招，令函數g(x)=等訶6(0,2],

那么導函數g'Q)=詈票=冷會，久e(0,2],

因此導函數八'(久)=—2—§<。在(0,2]上恒成立，因此八⑴在(0,2]上單調遞減，

因此八(%)>/i(2)--ln2=111浮>0,因此g'(x)>0在(0,2]上恒成立，

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因此g(%)在(0,2]上單調遞增，因此g(%)mg=g(2)=—,

因此QG(一8罵芻.

17.解：在△ABC中，A=券，可得Be(0,f),cosB>0,

由7siTi2B=yf^bcosB,得14sinBcosB=y/^bcosB,可得=14群.

Sinti3

(1)若cosB="貝ijs譏B=盧石？百=翌(舍負)，

J.414

可得sinC=sin(i4+B)=sinAcosB+cosAsinB=宓x與一④x正造=宜？，

214，1414

根據正弦定理導==亨，可知C=與口出C鬻=5；

(2)由48"=亨，得萬-AC=\AB\-|XC|cos^=一如，

根據上7=3="退，可得a=^-sinA=用lx史=7,

以"口sin/sinB3332

取中點。，貝！為邊上的中線，

可得而2=1(X5+AC)2=掘2+/2+掘.而=如2+c2—bc),

由余弦定理得層=b2+c2-2bccosA,故49=b2+c2+bc>2Mb2c2+匕已=3兒，

即兒W粵，當且僅當b=c=￥時等號成立，

所以42=](49-2瓦)另(49-2義務=瑞，即而心要，當且僅當b=c=攣時等號成立,

可知BC邊上的中線長的最小值為逑，止匕時S3BC=/sina=*等'孚=曙.

18.解：(1)設橢圓半焦距為c,則Fi(—c,0),F2(G0),不妨設C(06),

由于△尸1尸2c是直角三角形，所以力=C，結合。2-爐=。2,

解得Q=*b=y/2c,故e=?=孚，

a2

即橢圓E的離心率為孝.

(2)由a=y/2b="c可得橢圓方程為短+居=1,

(y=%—3

聯立衛+g=1，消去y得3%2?12%+18-2扭=0,

12b2b2

因為直線y=%—3恰好與橢圓E相切，故4=122—4x3(18—262)=0,解得加=3,

所以橢圓方程為1+4=1.

o3

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⑶將點4(2,1)代入橢圓C的方程得*+9=1,所以點4在橢圓C上,

當直線MN斜率存在時，設直線方程為y=kx+租,

y=kx+m

聯立身.+藝=i,消去y可得(1+2fc2)%2+4fcmx+2m2—6=0,

163

設N(%2，y2)，則％1+%2=_1+2k2'X1X2=］：嬴2,

因為i4M,AN=0,(%i—2)(%2-2)+(yi-l)(y2-1)=。，

即(%1—2)(%2—2)+仇-1)仇-1)

=%1%2-2(巧+%2)+4+(fc%i+m—l)(/cx2+血一1)

22

=(fc+1)%1久2+(km-k-2)Qi+x2)+(^―l)+4=0

即(爐+1)I7^+(a—1)2+4=0,

化簡得(2k+3m+l)(2fc+m—1)=0,

由于4(2,1)不在直線MN上，所以2/c+TH—1HO,故2/c+3血+1=0,k豐1,

故直線MN的方程為y=fc(x-|)-1>故MN過定點“(|,一》；

當直線MN的斜率不存在時，可得NQi,-yi),

代入(久1-2)(乂2-2)+(%—1)(>2-1)=。可得(久i-2)2+l-yl=0,

結合苓+9=1可得卬=|或均=2(舍去)，

此時直線MN也經過爪|,一］

綜上可得直線MN恒經過H(|,-卞.

因為需1=庠0,結合施,麗,故黑喘為直角三角形"MN斜邊上的高的長,

又直線MN恒經過小|,一鄉，所以|愣端■W|他二早，

所以需喘的最大值為宇

19.解：(1)機器人通過交替學習不同技能丫，s,勿來提升綜合能力,

初始時，機器人選擇學習技能丫，且每次學習丫后會等可能地選擇學習s或w,

每次學習S后，有0.25的概率繼續學習匕0.75的概率學習W,

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每次學習勿后，有0.25的概率繼續學習丫，0.75的概率學習S,

設a”bn,4分別表示第九次學習后接著學習技能匕S,W的概率，

機器人僅進行三次學習，設三次學習中學習技能y次數為X,

則X的取值可以為1,2,

第一次學匕第二次學S,第三次學W，則。=”*0.75=看

第一次學y,第二次學W,第三次學S,則P=1x：xo.75=],

Zo

故P(X=1)=2XR*

o4

第一次學y,第二次學s,第三次學y,則P=ix〈xo.25=

Zo

第一次學匕第二次學W,第三次學匕則P=lxJxO.25=:，

Zo

故P(X=2)=2x!=J,

O4

故機器人僅進行三次學習，學習技能y次數的分布列的數學期望x的分布列為:

X12

31

p

44

Q1C

故E(X)

(2居1=0^1=

。2=0.25歷+0.25。1=0.25xJ+0.25X々

zZ4

設a九+1=0.25bn+0.25c九,又力九+cn=l—an,

a

?*,n+i=0.25(1—an),???an+i—1=—^(an—1),

｛M一芻為等比數列，且公比為e，首項為y，

故=一(1)7，故斯=99扔一，

要使得斯最大，貝M為偶數，此時斯=(+/351,

此時｛斯｝單調遞減，故當n=2時，取到最大值士

n(22w)

(3)證明：yn=2+4+-+2n==n(n+