2025年中考第一次模擬考試

數學

第I卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.

1.下列各數中，最大的數是（）

A.-2B.-1C.TTD.4

2.智能座艙，是當前車企比拼的“紅海戰場”，多屏聯動、艙內游戲、端側//…要支持這

些功能，需要一顆強大的智能座艙芯片.新上市的小米汽車，選擇了高通驍龍8295,該

芯片采用5"加工藝，是目前市面上使用的汽車座艙平臺中工藝最先進的產品，5〃機相當

于0.000000005加，數據0.000000005用科學記數法表示為（）

A.5X10-10B.5X10-9C.5X10-6D.5X109

3.魯班鎖是我國古代傳統建筑的固定結合器，也是廣泛流傳的益智玩具.如圖是魯班鎖中

的一個部件，它從前面看，得到的圖形是（）

前面A._____匕二1_____B.C.IIII

D._____

4.下列運算正確的是（）

A.2a2?3。=6。3B.（2。）3=2a3C.tz6-=-a2=a3D.3a2+4a7

=7a9

5.二十四個節氣分別為春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小

滿、芒種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季

（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若從二十四個節氣中選一個節氣，則抽到的

節氣在冬季的概率為（）

1111

A.4B.6C.12D.24

6.如圖，將直尺與含30°角的直角三角板疊放在一起，若/1=52°,則N2的大小是（）

7.若q,b為方程/-3x+2=0的兩個實數根，則修一3Q+2仍的值為（）

A.-2B.0C.2D.4

8.如圖，P4是。。的切線，A為切點,夕。的延長線交OO于點5,連接4反若NP=26

°,則的度數為（）

A.64°B.52°C.42°D.32°

=k

9.反比例函數》一7與一次函數>=b-左在同一坐標系的圖象大致是（）

10.如圖，已知頂點為（-3,-6）的拋物線>=。/+區+。過（-1,-4）,則下列結論①

abc<0；②對于任意的m,均有am2+bm+c+6>0；③5〃-c=4；④若ax2+bx+c^-4,

貝！⑤4⑥不等式辦2+b%+c>x_3的解集為-3VxV-1其中正確的個數

為（）

A.2B.3C.4D.5

第n卷

二、填空題：本大題共5題，每小題3分，共15分.

11.下表記錄了甲、乙、丙三名射擊運動員最近幾次選拔賽成績的平均數和方差：

甲乙丙

平均數9.359.349.34

方差6.66.96.7

根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應選

擇.

12.因式分解：6x2-6=,

（x<a

L<b

13.如圖，數軸上4、8兩點表示的數分別為〃、b,則關于x的不等式組的解集

是.

____??

BA

3x3

14.化簡：有一口的結果為,

15.如圖，在扇形中，ZAOB=90°,0A=4y>2,/NO8的平分線交弧于點C,

過點C作CE±OA于點E,CFLOB于點F,則圖中陰影部分的面積為.

三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分.

6計算:酎T一酎聞麗一曙

17.如圖，在矩形N8C。中，AD是對角線.

（1）在邊上確定一點￡,將△BED沿8。翻折后，點￡的對應點尸恰好落在8C邊

上；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，連接BE、DF,判斷四邊形BED尸的形狀.

BC

18.綜合與實踐：小星學習解直角三角形知識后，結合光的折射規律進行了如下綜合性學

習.

【實驗操作】

第一步將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿/處投射到底部8處，

入射光線與水槽內壁NC的夾角為//；

第二步向水槽注水，水面上升到/C的中點E處時，停止注水.（直線MV'為法線，/O

為入射光線，為折射光線.）

【測量數據】

如圖，點、A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面內，測得NC=20c%,ZA=45

°,折射角NOON=32°.

【問題解決】

根據以上實驗操作和測量的數據，解答下列問題：

（1）求5c的長；

（2）求8,。之間的距離（結果精確到0.1c加.

（參考數據：sin32°"0.52,cos32°20.84,tan32°七0.62）

NDB

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.【問題提出】

共享單車不僅極大地方便人們的短途出行，而且低碳環保，受到用戶的喜愛.某社區周

邊有5個共享單車停車區，總計投放180輛的共享單車，某數學興趣小組發現每天早高

峰期間經常會出現有些停車區的單車不夠用，而有些停車區的單車使用率低的現象，為

探究早高峰期間共享單車的合理投放方案，同學們展開了研究.

【開展研究】

該數學興趣小組分工合作在早高峰期間到每個停車區對行人使用共享單車的情況、人流

量進行數據收集，結果如表.

表一：經過停車區的行人使用單車情況的抽樣調查數據

停車區經過停車區的人數使用共享單車的人數

1號區603

2號區1004

3號區909

4號區12018

5號區707

表二：每日早高峰期間的平均人流量

停車區1號區2號區3號區4號區5號區

人流量(單位：人)240300160400200

【問題解決】

(1)記事件N為：經過1號區的行人使用共享單車.估計事件/的概率；

(2)為應對早高峰期間共享單車的使用需求，請你為該社區設計一個合理的共享單車投

放方案，并說明理由.

20.在古代，智慧的勞動人民已經會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長

度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉動，將糧食磨碎，物理學上稱這種動力傳輸工具

為“曲柄連桿機構”，如圖①.

小明受此啟發設計了一個“雙連桿機構”，設計圖如圖②，兩個固定長度的“連桿”/P,

AP的連接點P在上，當點尸在。。上轉動時，帶動點/,8分別在射線OA/,ON

上滑動，OMLON.當/P與。。相切時，點8恰好落在。。上，如圖③.

請僅就圖③的情形解答下列問題.

(1)求證：/PAO=2NPBO；

_20

(2)若O。的半徑為5,AP一3,求AP的長.

21.隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具,

某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售.據了解，2輛/型汽車、3輛8

型汽車的進價共計80萬元；3輛/型汽車、2輛8型汽車的進價共計95萬元.

（1）求N、8兩種型號的汽車每輛進價分別為多少萬元？

（2）若該公司計劃正好用200萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均

購買），若該汽車銷售公司銷售1輛/型汽車可獲利8000元，銷售1輛B型汽車可獲利

5000元，問：購進N型、8型各幾輛，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

五、解答題（三）：本大題2小題，第22題13分，第23題14分，共27分.

22.定義三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點到該邊所

對頂點連線的平方，則稱這個點為三角形該邊的“中項點”.

如圖1,△NBC中，點￡＞是BC邊上一點，連接若AD2=BD,CD,則稱點。是A/BC

中8C邊上的“中項點（1）如圖2,△/BC的頂點是4義3網格圖的格點，請僅用直尺

畫出邊上的一個“中項點”.

4

-2

3tanC=

(2)ZWC中，BC=9,點。是5C邊上的“中項點”，求

線段班）的長.

（3）如圖3,△ZBC是。。的內接三角形，點〃在上，連接C"并延長交。。于點

。.點〃是△5CQ中邊上的“中項點”.

①求證：OH±AB；

5DH

T=-jrBD---

②若OH〃BD,。。的半徑為r,且4,求CH的值.

圖1圖2圖3

23.綜合應用

如圖1,頂點為P的拋物線y=/+6x+c與x軸交于點/(-3,0)和點CU,0),與y

軸交于點3,連接/8、BP.(1)求6、c的值及/尸切的度數；

(2)如圖2,動點M從點。出發，沿著O/方向以1個單位/秒的速度向/勻速運動，

同時動點N從點/出發，沿著方向以個單位/秒的速度向8勻速運動，設運動

時間為/秒，ME_Lx軸交N8于E,AE_Lx軸交拋物線于尸，連接兒W、EF.

①當〃兒加時，求點尸的坐標；

②直接寫出在運動過程中，使得△8NP與相似的t的值.

圖1圖2圖3

2025年中考第一次模擬考試

數學.參考答案

第I卷

一、選擇題:本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

12345678910

DBBAAACDCB

第n卷

二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)

11.甲

12.6(x+1)(x-1).

13.x<.b.

14.-3.

15.8n-16.

三、解答題(本大題共8個小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

蹤r*鏟】:疑尸T一嘲+罐中■轂密一嘲

16.【詳斛】解：屋

=2-V3+2V3+1

=3+W

17.【詳解】解：(1)所作的圖形如圖:

(2)證明：四邊形BED尸是菱形.理由如下：

:四邊形/BCD為矩形，

C.AD//BC,

由翻折知，BE=BF,

由作圖知，BE=DE,

：.DE=BF,

四邊形BEDF是平行四邊形，

;BE=BF,

四邊形2￡。廠是菱形.

18.【詳解】解：(1)在RtZkNBC中，ZA=45

48=45°,

:.BC=AC=2Qcm；

(2)由題可知ON=￡C-AC=10cm,

：.NB=ON=10cm,

又?：/DON=32°,

：.DN=ON-tanZDON=10?tan32°^10X0.62=6.2cw,

:*BD=BN-DN=10-6.2=3.8cm.

19.【詳解】解：(1)由表格數據知，經過1號區的行人有60人，使用共享單車有3人,

31

則估計事件/的概率是60-20；

(2)故計5個共享單車停車區每天早高峰期間的共享單車平均使用次數分別是

3__4_9__18

240x60一口,300*100-12,160乂90~16，400*120-60

200

7

x7n'=

/U20,

所以每天早高峰期間的共享單車總使用次數估算為：12+12+16+60+20=120（次）,

所以5個共享單車停車區180輛共享單車的投放方案為：

12

"二18

I號區投放共享單車180（輛）;

12

、西二18

2號區投放共享單車180（輛）;

16_

3號區投放共享單車180XW二4（輛）；

60

4號區投放共享單車180X120-90（輛）；

x-2-0---

5號區投放共享單車18012030（輛）.

20.【詳解】（1）證明：如圖②，

連接。尸，延長80與圓交于點C,貝UO尸=05=0。,

??ZP與。。相切于點尸，

；?NAPO=9U°,

AZPAO+ZAOP=90°,

■:MO1CN,

：.ZAOP+ZPOC=90°,

???ZPAO=ZPOC,

?：OP=OB,

：.ZOPB=ZPBO,

：.ZPOC=ZOPB+ZPBO=2ZPBO,

???ZPAO=2ZPBO；

（2）解：如圖③所示，

連接。尸，延長50與圓交于點C,連接尸C,過點尸作尸于點。,

★場癖.豳脾，=可

則有：AO

由（1）可知/尸。。=/尸/0,

/?RtAPOO^RtAO^P,

PDPO0D

/.'P0~0A~~0P,

PD5OD

解得PD=3,0D=4,

：.CD=OC-OD=\,

在RtAPDC中，PC=y/PD2+CD2=>/10

為圓的直徑，

:./BPC=9Q°,

Vio

故BP長為3

21.【詳解】解：（1）設每輛/型汽車的進價是x萬元，每輛8型汽車的進價是y萬元,

根據題意得:

x=25

解得:y=io

答：每輛/型汽車的進價是25萬元，每輛3型汽車的進價是10萬元；

（2）設該公司購進加輛/型汽車，全部售出后獲得的總利潤為w元，則該公司購進

200—25?n

-io一輛8型汽車,

x200-25m

根據題意得：w=8000^+500010,

即w=-4500m+100000,

：-4500<0,

.'.w隨m的增大而減小，

200-25m

又?..〃?，10均為正整數，

：.m的最小值為2,

當加=2時，w取得最大值，最大值為-4500X2+100000=91000（元），此時

200-25m200-25x2

10-10—15（輛）.

答：購進2輛/型汽車，15輛3型汽車時，才能獲得最大利潤，最大利潤是91000

元.

22.【詳解】（1）解：取格點K,連接CK交48于〃，如圖：

點M即為N3邊上的一個“中項點”；

理由：

由圖可知，NACK=/CBA,

：.ZACK+ZCAM=ZCBA+ZCAM=90°,

J.CMLAB,

根據射影定理可知，CM2^AM*BM,

為邊上的一個“中項點”

（2）解：過N作/兀L8C于7,

當。靠近。時，如圖:

由taiBtanC3知BT3,CT3,

設力丁=4加，貝！)37=3加，CT=6m,

9：BC=9,

BT+CT=3m+6m=9,

??加=1,

:.BT=3,4T=4,CT=6,

設DT=x,則5O=3+x,CD^6-x,

,：DT2+AT1=AD1=BD'CD,

.'.X2+42—(3+X)(6-x),

解得x=2(負值已舍去)，

：.BD=3+x=3+2=5；

當。靠近2時，如圖：

同理可得2。工

5

線段8。的長為5或2;

(3)①證明：：躺—盛，BC=BC

：.NACH=ZDBH,/CAH=ZBDH,

:AACHs/XDBH,

CH_AH