專題強化練（十六）帶電粒子在立體空間中的運動

（40分鐘60分）

一、選擇題

1.（6分）（2022.重慶選擇考）2021年中國全超導托卡馬克核聚變實驗裝置創造了新的紀錄。為粗

略了解等離子體在托卡馬克環形真空室內的運動狀況，某同學將一小段真空室內的電場和磁

場理想化為方向均水平向右的勻強電場和勻強磁場（如圖），電場強度大小為E,磁感應強度大小

為及若某電荷量為q的正離子在此電場和磁場中運動，其速度平行于磁場方向的分量大小為

0,垂直于磁場方向的分量大小為電不計離子重力，則（）

A.電場力的瞬時功率為qEj吠+諺

B.該離子受到的洛倫茲力大小為qviB

C.V2與VI的比值不斷變大

D.該離子的加速度大小不變

2.（6分）（多選）（2023?長沙模擬）用圖1所示的洛倫茲力演示儀演示帶電粒子在勻強磁場中的運

動時發現，有時玻璃泡中的電子束在勻強磁場中的運動軌跡呈“螺旋”狀。現將這一現象簡化成

如圖2所示的情景來討論:在空間存在平行于x軸的勻強磁場,由坐標原點在xOy平面內以初速

度丫。沿與x軸正方向成a角的方向射入磁場的電子運動軌跡為螺旋線,其軸線平行于x軸，直徑

為2螺距為心,則下列說法中正確的是（）

圖1圖2

A.勻強磁場的方向為沿%軸正方向

B.若僅增大勻強磁場的磁感應強度，則直徑D減小,而螺距Ax增大

C.若僅增大電子入射的初速度叫則直徑D增大,而螺距X將減小

D.若僅增大?角（a<90。）,則直徑D增大,而螺距Ax將減小，且當a=90。時“軌跡”為閉合的整圓

二、計算題

3.（10分）如圖所示，豎直平面MNRS的右側存在方向豎直向上且足夠大的勻強磁場,從平面

MNRS上的0點處以初速度vo=lOm/s垂直MNRS面向右拋出一帶電荷量為外質量為m的

小球。若磁感應強度大小B臂,g取10m/s2o求：

（1）小球離開磁場時的速度大小；

（2）小球離開磁場時的位置與拋出點的距離。

4.（12分）（2023?汕頭模擬）如圖所示,在正交坐標系。孫z的空間中,同時存在勻強電場和勻強磁

場。勻強磁場的磁感應強度大小為民方向與。町平面平行，且與x軸的夾角為60%一質量為

如電荷量為q（q>0）的帶電粒子從丁軸上的點尸（0九0）沿平行于z軸正方向以速度no射入場區

保持勻速直線運動，不計重力o

⑴求電場強度E的大小;

⑵若撤去磁場，求帶電粒子從P射入后運動到Oxz平面時的坐標。

5.（12分）某離子實驗裝置的基本原理圖如圖所示，截面半徑為R的圓柱腔分為兩個工作區,/區

長度d=4尺內有沿y軸正向的勻強電場,〃區內既有沿z軸負向的勻強磁場,又有沿z軸正向的

勻強電場，電場強度與/區電場強度等大。現有一正離子從左側截面的最低點A處以初速度w

沿z軸正向進入/區，經過兩個區域分界面上的3點進入〃區，在以后的運動過程中恰好未從圓

柱腔的側面飛出,最終從右側截面上的C點飛出,3點和C點均為所在截面處豎直半徑的中點

（如圖中所示），已知離子質量為如電荷量為q,不計離子重力，求：

Fd-L小

（1）電場強度的大小;

⑵離子到達B點時速度的大小;

（3）〃區中磁感應強度的大小;

（4）〃區的長度L應為多大。

6.（14分）（2023?株洲模擬）如圖所示，一些質量為m、電荷量為+q的帶電粒子從一線狀粒子源射

出（初速度可視為0）,經過電壓為U的電場加速后，粒子以一定的水平初速度從MS段垂直射出

（S為MF中點），進入棱長為L的正方體電磁修正區內（內部有垂直面MPRG的方向如圖所示的

磁感應強度3和電場強度E大小未知的勻強磁場與勻強電場）。距離正方體底部省乙處有一與

RNAG平行且足夠大的平板，現以正方體底面中心。在平板的垂直投影點為原點，在平板內建

立直角坐標系（其中x軸與GR平行）。所有帶電粒子都從正方體底面離開，且從“點進入正方

體的粒子在正方體中運動的時間滿足空,不計粒子重力。

⑴求粒子進入棱長為L的正方體電磁修正區時速度的大小;

⑵粒子射出正方體電磁修正區后到達平板所需的時間;

（3）若滿足關系式后電黑，求從M點入射的粒子最后打到平板上的位置坐標。（結果用L表示）

解析版

一、選擇題

1.（6分）（2022.重慶選擇考）2021年中國全超導托卡馬克核聚變實驗裝置創造了新的紀錄。為粗

略了解等離子體在托卡馬克環形真空室內的運動狀況，某同學將一小段真空室內的電場和磁

場理想化為方向均水平向右的勻強電場和勻強磁場（如圖），電場強度大小為E,磁感應強度大小

為及若某電荷量為q的正離子在此電場和磁場中運動，其速度平行于磁場方向的分量大小為

0,垂直于磁場方向的分量大小為電不計離子重力，則（）

A.電場力的瞬時功率為qEj說+諺

B.該離子受到的洛倫茲力大小為qviB

C.V2與VI的比值不斷變大

D.該離子的加速度大小不變

【解析】選D。根據功率的計算公式可知P="cos仇則電場力的瞬時功率為P=Eqvi,A錯誤;

由于V1與磁場B平行，則根據洛倫茲力的計算公式知F^=qv2B,B錯誤;根據運動的疊加原理可

知，離子在垂直于磁場方向做勻速圓周運動，沿磁場方向做加速運動，則VI增大,也不變，也與VI

的比值不斷變小,C錯誤;離子受到的安培力不變，靜電力不變，則該離子的加速度大小不變,D正

確。

2.（6分）（多選）（2023?長沙模擬）用圖1所示的洛倫茲力演示儀演示帶電粒子在勻強磁場中的運

動時發現，有時玻璃泡中的電子束在勻強磁場中的運動軌跡呈“螺旋”狀。現將這一現象簡化成

如圖2所示的情景來討論:在空間存在平行于x軸的勻強磁場，由坐標原點在xOy平面內以初速

度丫。沿與x軸正方向成a角的方向射入磁場的電子運動軌跡為螺旋線,其軸線平行于x軸,直徑

為。，螺距為心,則下列說法中正確的是（）

圖1圖2

A.勻強磁場的方向為沿x軸正方向

B.若僅增大勻強磁場的磁感應強度，則直徑D減小,而螺距A%增大

C.若僅增大電子入射的初速度w,則直徑D增大,而螺距Ax將減小

D.若僅增大a角（a<90。）,則直徑D增大,而螺距Ax將減小，且當a=90。時“軌跡”為閉合的整圓

【解題指南】解決本題需注意以下兩點：

⑴將電子的速度分解為沿x軸和V軸兩個方向，根據其不同方向上的受力特點，結合牛頓第二定

律和運動學公式完成分析；

⑵電子受到的洛倫茲力提供向心力，結合牛頓第二定律和運動學公式得出螺距的表達式，根據

題目選項完成分析。

【解析】選A、Do將電子的初速度沿x軸及y軸方向分解，沿x方向速度與磁場方向平行，做

勻速直線運動且x=vocosa-t沿y軸方向速度與磁場方向垂直，由左手定則可知，磁場方向沿%軸

2mi72C0

正方向，故A正確回3="忙萬=型且v=wsina,解得D=2/?=°—,T=—,/^=VXT=—°—,

RveBeBeB

可以判斷，若僅增大磁感應強度民則“△刀均減小，故B錯誤;若僅增大《）,則。、Ax皆按比例

增大，故C錯誤;若僅增大%則D增大，而Ax減小，且a=90。時Ax=0,“軌跡”為閉合的整圓，故D

正確。

二、計算題

3.（10分）如圖所示，豎直平面MNRS的右側存在方向豎直向上且足夠大的勻強磁場,從平面

MNRS上的0點處以初速度vo=lOm/s垂直MNRS面向右拋出一帶電荷量為外質量為m的

小球。若磁感應強度大小B號g取10m/s2o求：

（1）小球離開磁場時的速度大小；

答案:⑴10/m/s

【解析】（1）小球在水平方向做勻速圓周運動,在豎直方向做自由落體運動，水平方向小球恰好

轉半個周期離開磁場，故離開磁場的時間為f=T=ls,則離開磁場時在豎直方向上的速度

2qB

Vy=g/=10m/s,故小球離開磁場時的速度大小為+Vy=10V2m/So

（2）小球離開磁場時的位置與拋出點的距離。

答案:（）2+16m

21-1VTT

【解析】（2）小球離開磁場時在豎直方向的位移大小為產為尸=5m,小球在水平方向做勻速圓周

運動有小％等，解得R=翳,水平方向位移為直徑，即戶27?=鬻=胃m,則小球離開磁場時的位

222

置與拋出點的距離為s=y]x+y=|VTT+16mo

4.（12分）（2023?汕頭模擬）如圖所示,在正交坐標系。町z的空間中,同時存在勻強電場和勻強磁

場。勻強磁場的磁感應強度大小為民方向與。町平面平行，且與x軸的夾角為60%一質量為

加、電荷量為q（q>0）的帶電粒子從,軸上的點尸（0九0）沿平行于z軸正方向以速度no射入場區

保持勻速直線運動，不計重力。

⑴求電場強度E的大小；

答案:⑴加。

【解析】（1）帶電粒子所受的合力為零，根據受力平衡條件可得:qE=/o3,解得:E=3w

⑵若撤去磁場，求帶電粒子從P射入后運動到Oxz平面時的坐標。

答案:（2）（遮初,2忌

【解析】（2）撤去磁場后,粒子在電場中做類平拋運動，根據牛頓第二定律可得:

根據運動學公式可得:焉=/P,z=W

COSoUz

聯立解得:z=2又x=/ztan60°=V3/z

7qB

粒子經過的坐標為（8人,0,2%）。

7qB

【解題指南】解決本題需注意以下兩點：

⑴根據電場力和洛倫茲力的等量關系得出場強的大小；

（2）根據牛頓第二定律和運動學公式得出對應的坐標。

5.（12分）某離子實驗裝置的基本原理圖如圖所示，截面半徑為R的圓柱腔分為兩個工作區,/區

長度d=4尺內有沿y軸正向的勻強電場,〃區內既有沿z軸負向的勻強磁場,又有沿z軸正向的

勻強電場，電場強度與/區電場強度等大。現有一正離子從左側截面的最低點A處以初速度vo

沿z軸正向進入/區，經過兩個區域分界面上的3點進入〃區，在以后的運動過程中恰好未從圓

柱腔的側面飛出,最終從右側截面上的C點飛出,3點和C點均為所在截面處豎直半徑的中點

（如圖中所示），已知離子質量為加、電荷量為名不計離子重力，求：

A

⑴電場強度的大小;

【解析】⑴離子在/區做類平拋運動，根據類平拋運動的規律有軌=加胃=夕",根據牛頓第二

定律有斫察解得電場強度的大小為E=鬻。

⑵離子到達B點時速度的大小；

答案:叫

【解析】（2）類平拋過程由動能定理有等=加/-刎%2,解得離子到達B點時速度的大小為

5

V=-VOo

4

（3）〃區中磁感應強度的大小；

答案:⑶絮

【解析】（3）離子在〃區內做復雜的旋進運動。將該運動分解為圓柱腔截面上的勻速圓周運

動和沿z軸正方向的勻加速直線運動，根據題意可得,在圓柱腔截面上的勻速圓周運動軌跡如圖

所示。

設臨界圓軌跡半徑為廣,根據幾何知識有（Rr）2=?+￡解得離子的軌跡半徑為廣V,離子沿y軸

4o

正方向的速度為辦=尸詔=力。,則根據洛倫茲力提供向心力有"避=小解得〃區中磁感應

4T

強度大小為B=*

（4）〃區的長度L應為多大。

222

答案:（4）“冰+筌rl1以T〃=1,2,3,...）

【解析】（4）離子在圓柱腔截面上做勻速圓周運動的周期為T=西，由題意知離子在〃區運動的

vy

時間為T的整數倍,離子在z軸正方向上做勻加速直線運動，根據勻變速直線運動的位移公式可

12n2什2

得L=vo〃T+，（⑺2（〃=1,2,3,…），聯立解得〃區的長度為L=miR+^R（n=l,2,3,...）o

6.（14分）（2023?株洲模擬）如圖所示，一些質量為m、電荷量為+q的帶電粒子從一線狀粒子源射

出（初速度可視為0）,經過電壓為U的電場加速后，粒子以一定的水平初速度從MS段垂直射出

（S為MF中點），進入棱長為L的正方體電磁修正區內（內部有垂直面MPRG的方向如圖所示的

磁感應強度§和電場強度E大小未知的勻強磁場與勻強電場）。距離正方體底部百工處有一與

RNAG平行且足夠大的平板，現以正方體底面中心0在平板的垂直投影點為原點，在平板內建

立直角坐標系（其中x軸與GR平行）。所有帶電粒子都從正方體底面離開，且從“點進入正方

體的粒子在正方體中運動的時間滿足篝，不計粒子重力。

3qB

4-

⑴求粒子進入棱長為L的正方體電磁修正區時速度的大小;

答案:⑴J當

【解析】（1）設粒子進入棱長為L的正方體電磁修正區時的速度大小為匕根據動能定理有

］。=如，2,解得V=2qU

m

⑵粒子射出正方體電磁修正區后到達平板所需的時間;

答案：（2叫就

【解析】（2）在正方體中,粒子在平行于MPRG平面方向的分運動為勻速圓周運動，在垂直于

MPRG平面