1.設(shè)集合a={-4,0,1,6,9},B={x||x|>3},則anB=()

A.{0,1}B.{-4,6,9}C.{6,9}D.0

2.已知命題>—1,\m\>0,命題qTx<0,2025x=%2,則()

A.p和q都是真命題B.「p和q都是真命題

C.p和都是真命題D.-ip和-,q都是真命題

3.圓G：(x-2)2+(y—4)2=9與圓G：(%—5)2+y2=16的位置關(guān)系為()

A.相交B.內(nèi)切C.外切D.相離

4.已知。為△ABC內(nèi)部一點，AP=^AB,設(shè)色？=落OB=b,~OC=c,則而=()

A.+—cB.五+—,3C.+b—D.+—c

5.已知7tan￡+1=0,2tan(a—￡)—1=0,則tan2a=()

A."2B；2C.73D.-73

3344

6.已知a,尸2分別為拋物線G：y2=2%,0：y2=—4%的焦點，平行于X軸的直線與C1，。2分別交于A,B

兩點，且|/0|=留尸2|,則四邊形4BF2&為()

A.任意不規(guī)則的四邊形B.直角梯形

C.等腰梯形D.平行四邊形

7.設(shè)甲：g<sW2;乙：函數(shù)/(%)=sin(3x—以3>0)在區(qū)間(一觸)上有唯一極值點，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.已知某圓錐的高為刀，且該圓錐的頂點和底面圓周上的各點均在半徑為R的球。的表面上，則當圓錐的

側(cè)面展開圖的圓心角與軸截面的頂角之差取得最大值時，)=()

h

A.4B，4C.-D.y

27TZ7T2

第1頁，共12頁

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6

分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知z=—(aeR),貝l]()

A.z有可能為實數(shù)

B.z不可能為純虛數(shù)

C.|z|的最小值為1

D.若z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第三象限，則a>0

10.已知函數(shù)/(%),g(%)的定義域均為凡且f(%)=g(久一1),/(%-1)=g(2-%),則下列選項一定正確

的是()

A./(%)的圖象關(guān)于直線1=1對稱B./(%)是奇函數(shù)

C.g(x)是偶函數(shù)D.g(%)的圖象關(guān)于直線％=1對稱

11.已知橢圓Z:^+/=l(a>b>0)的左、右焦點分別為尻，尸2，尸是Z上不同于長軸端點的一點，記4

&PF2的外接圓為S,當N&PF2最大時，為等邊三角形，則()

A.Z的離心率為，

B.若S的圓心在4&PF2外，貝肚anNP&Fz<7

C.若NF1PF2=I，則S的面積為兀爐

D.若|麗+厄|=Ca,則S的半徑為與

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知遞增數(shù)列｛即｝的通項公式為即=3n2+mn,則m的取值范圍為.

13.已知函數(shù)/(X)=恒(2-京)，則2"J(右)=.

14.已知8(%2，丫2)為曲線y=e”上兩個不同的點，過A,3分別作y=e”的兩條切線，若這兩條

切線交于點c(xo，y0>且這兩條切線的斜率之積為1，則當汕-彳取得最小值時，乙=.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

記％為首項為4的數(shù)列｛a工的前九項和，且國-1｝是以首項為3,公比為-3的等比數(shù)列.

(1)求54；

(2)求數(shù)列的通項公式；

第2頁，共12頁

(3)求數(shù)列｛(—1)"T?等｝的前n項和.

16.(本小題12分)

如圖，四棱錐P—4BCD中，△P(?￡＞是等邊三角形，AD1CD,AB//CD,CD=2AB,￡為PC中點，。為

C。中點.

(1)證明：平面E08〃平面PAD;

(2)若2D=PC=2,平面PCD1平面ABCD,求PA與平面尸BC所成的角的正弦值.

17.(本小題12分)

如圖，平面四邊形ABCD中，AD1AC,AB1BC,AC平分ABCD.

(1)若N4CD=30。，CD=2,求BD;

(2)若BD=CD,

①求cos/BCD;

(ii)求sin/BDC.

18.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(x)=x+sinx—ax(l+cosx).

⑴當a=1時,求fO)的單調(diào)區(qū)間；

第3頁，共12頁

(2)當a=0時，求曲線y=f(%)的對稱中心；

(3)當OWxW兀時，/(%)>0,求a的取值范圍.

19.(本小題12分)

在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C:a-3=l(a>0,b>0),4(無1,乃)，^(肛,力)為C上不與左、

右頂點重合的兩點，記直線A3的斜率為中點為M.

(1)當直線斜率/COM存在時，求k'/oM(用a，6表示)；

(2)記C在點A處切線的斜率為心，在點2處切線的斜率為心，證明：七，k,,矽依次構(gòu)成等差數(shù)列的充

要條件為。M1AB.

參考公式：若點。o，y°)在雙曲線C4—，=1(。>0/>0)上，則。在即yO)處的切線方程為簧—爺=

1.

第4頁，共12頁

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由題意可得B={x\x<-3或x>3],故4nB={-4,6,9},故選5

2.【答案】B

【解析】解：取爪=0易得命題p為假命題，故命題「p為真命題；

數(shù)形結(jié)合可知指數(shù)函數(shù)y=2025*與二次函數(shù)y=/在x<0時有一個交點，

故命題q為真命題，命題「q為假命題，

綜上「p和q都是真命題.

故選B.

3.【答案】A

【解析】解：由題意可得Q的半徑R=3,。2的半徑「2=4,且「2-q=1，「2+G=7，IC1C2I=

V32+42=5￡(1,7),故兩圓相交.故選4

4.【答案】D

【解析】解：由題意可得加=衣一前/通一前=*加一兩一畫一四

1-,1__.—>__,2_.1—,—，2一1一

=aOB—弓OA-OC+OA—弓OA+弓。B—OC=q。+qb—c.

KJKJKJJJ

故選o.

5.【答案】C

1_1

【解析】解：由題意可得tana=tan[(a-0)+0]=黑管黑2-71

3,

1+溺

2tana3

故tan2a=

1—tan2a41

故選c.

6.【答案】D

【解析】解：設(shè)4(%i，yi)，以%2必)，

根據(jù)題意可知yi=丫2，故2%=-4%2，即％1=-2x?,

又由拋物線的定義可知|明|=%】+g,\BF2\=-x2+1,

1

當=IBF2I時,X1+^=-x2+l,

1_

f

故％】=1,%2=-2\yi\=

第5頁，共12頁

?2

所以I&F2I=\AB\=^,

即四邊形ABF2F1是平行四邊形.

故選D

【解析】解：由久e（—徐）且3>0,得皿一旨（—詈―也詈一》顯然|—詈—？>用Y

3"v710）71<71

一彳，】可一可—2,解得1<332,

<V-

{2-3---6-2

故甲是乙的必要不充分條件.

故選B.

8.【答案】A

【解析】解：設(shè)圓錐的母線長為/,軸截面的頂角為a,

側(cè)面展開圖的圓心角為6，底面圓半徑為r,則r=lsina

側(cè)面展開圖的扇形弧長，即圓錐底面的周長。=邛，

因止匕牛=2n7sin熱°=27rsin],°-a=2兀sin]—a.

、Cf

1己/(a)=27rsin--a,aG(O,TT),

則((a)=TTCOS^-1,

因為尸(a)在(0,兀)上單調(diào)遞減，

且f'(°)=TTCOSO-1=7T—l>0,—TTCOS^—1=—1<0,

所以存在唯一的劭6(0,兀)滿足/'(劭)=0,BpCOSy=

且當Qe(0,劭)時，/'(a)>0,則f(a)在(0,%)上單調(diào)遞增;

第6頁，共12頁

當a6(他,兀)時，/'(a)<0,則/(a)在(他,兀)上單調(diào)遞減，

于是劭是/(a)的極大值點，也是最大值點，此時cos￡=，

貝bin±=生二，所以tanS=A/^=①.

27r乙

在RgPOB中，tan尹"②，

聯(lián)立①②，得r=hV兀2_1③,

如圖，在圓錐中，高PO'=h,軸截面的頂角N4PB=a,

則|。口=|0B|=R,\OO'\=R-h,

在RtZsOO'B中，由勾股定理得改=(R—h)2+N,

化簡得F—2hR+r2=0@,

聯(lián)立③④，得九2—2hR+h2(/—1)=o,化簡得，

故選4

9.【答案】ABD

【解析】解：由題意知z=—=寫二=等=—2—山，

\z\=7(-2)2+(-a)2=Va2+4,其中aeR.若z為實數(shù)，則a=0,符合題意，故A正確;

z不可能純虛數(shù)，故B正確；

當a=0時，|z|取得最小值，且最小值為2,故C錯誤；

若z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第三象限，則-a<0,解得a>0,故D正確.

故選4BD

10.【答案】AC

【解析】解：因為/(%—1)=g(2—x),f(x)=g(x-V),

所以f(-x+1-1)=g(2-(-x+1)),BPf(-x)=g(l+x)=g(x+2-1)=f(x+2),

第7頁，共12頁

所以/'(x)關(guān)于直線％=1對稱，故A正確；

因為f(x)=g(x-1)，所以g(x)關(guān)于％=0對稱,即g(x)為偶函數(shù).故C正確.

故選4c.

11.【答案】ABD

【解析】解：當點P位于橢圓Z的短軸端點時，N&PFz最大，若此時△出「「?為等邊三角形，

貝U|PFi|=\PF2\=I&F2I=2c,由橢圓的定義知|P0|+\PF2\=2a,故橢圓的離心率為?=全故A正確;

若S的圓心在△6PF2外，可以先考慮S的圓心在△BPF?上的情況，此時為直角三角形，

b2

不妨設(shè)P在第一象限，則tanNPF]F2=粵=手='，

仍1白2l2c4

故若S的圓心在4&PF2外，此時NP&B小于S的圓心在4^PF2上的情況，

?2

故tanZ_PFiF?<“故3正確；

若上F]PF2=g則S的半徑由正弦定理可知2R=.3=4c，故s的面積為:兀〃，故C錯誤；

設(shè)坐標原點為O,則I西+耐I=2|同I=V7a=2b,故I同|=b,此時尸位于Z的短軸端點，

故乙F1PF2=g故2R=.=2,R=事故O正確.

1z

3smZ.F1PF2333

故選ABD.

12.【答案】(—9,+8)

【解析】解：由數(shù)列是遞增數(shù)列，可得%i+i-。九=3(n+I)2+m(n+1)-3n2-mn>0,

即6幾+3+TH>0,

可轉(zhuǎn)化為zn>—6n—3對于\/九GN*恒成立，

故771>—9.

故答案為(-9,+oo).

13.【答案】-1

【解析】解：由題意可得駕="(右)=f(^)+f(^)+…+f扁)=lg?x|x(x…X，)=1g=-1.

故答案為-1.

14.【答案】一竽

【解析】解：易得y'=〃,

X1X1X2X2

依題意可知兩條切線的方程分別為y=e(x-、i)+e,y=e(%-x2)+e,

聯(lián)立兩條切線的方程『=-%i)+e：；,

X2

(y=e(x—x2)+e2

第8頁，共12頁

徂_—(1—%])/1_%遇%1_%20%2

1可“°-e%i—e%2-e%i—e%2

x+x

(xi-%2)el2

xx

"0-el-e2

因為兩條切線的斜率之積為1,所以6%〃2=1,也即/+盯=0,

代入上式得X。=筆手手-1=噴等-1，%=沿，

所以2_上=/"盯一/1=%曰I3.曰

7/1

y042424-\242

當且僅當畔=中，即/=-殍時取得最小值.

N4Z

故答案為-竽.

15.【答案】解：Q)由題意可得%—1=3?(―3)"T,則%=3?(―3尸-1+1=l-(-3)n,則S4=1-

(—3)4=-80.

(2)S“_1=1—(―3)"T,當幾>2時，廝=Sn—Snr=4?(―3)"T,經(jīng)檢驗幾=1時，同樣成立，

故斯=4-(-3)"-1.

⑶由⑴可得(―1尸T華=n-3"T,記｛展3"T｝的前”項和為心,

4

所以Rn=1+2?31+3?32+…+(n—1)?3n-2+n-3rlT①.

則33=1?3+2?32+…+(n—2)?3n-2+(n-1)-3n-1+n-3"②.

①-②得，-2&=1+3+32+???+371T-n-3n=「丁？)-n-3n=(―里。,

1-3L

則&=也半

4

故數(shù)列｛(-1)"T?等｝的前〃項和為(21產(chǎn)+1.

44

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

16.【答案】證明：(1)因為在△「＜:￡)中，E為PC的中點，。為CO中點，所以EO〃PD,而E。C平面

PAD,PDu平面PAD,

所以￡。〃平面P2D.因為48〃C。，CD=2AB,所以28=。。，AB//DO,所以四邊形480。是平行四邊

形，

所以8。〃2。，而B0U平面尸4。，2。u平面PAD,所以B0〃平面PAD,又E0CB0=0,EO,8。u平

面EOB,

所以平面￡08〃平面P2D

(2)如圖，連接P0.易得P。1CD.因為平面PCD1平面ABCD,平面PCDn平面ABCD=CD,P0u平面

第9頁，共12頁

PCD,

所以P。1平面ABCD,5LB0//AD,AD1CD,所以8。_LCD

故以O(shè)為坐標原點，。8,OD,。尸所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標系,

則P(0,0,C)，4(2,1,0),B(2,0,0),C(0,-l,0),所以刀=(2,1,—6)，PB=(2,0,-/3),PC=

(0,-1,-73).

設(shè)平面P8C的一個法向量為元=?y,z),所以竹上=2"一個=°,令z=i,則元=(苧廠門?

(n,PC=—y—V3z=0)

設(shè)直線PA與平面P3C所成的角為e,貝Using=|cos<元，刀>1=1就篙I=_V3_

^2x2/2一38

故PA與平面PBC所成的角的正弦值為雪.

38

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

17.【答案】解:(1)由題意可知AC平分NBCD,因此NACB="CD=30。.

則AC=CDcos/LACD=門，BC=ACcos^ACB=|,

而/BCD=2AACD=60°,

故在△BCD中，由余弦定理可得BD=VBC2+CD2-2BC-CDcosABCD=乎.

(2)(i)設(shè)乙4CD=氏貝ijNBCD=2仍設(shè)CD=80=a,則AC=acos。，BC=acos20.

2

由余弦定理可得cos2。=":a8S窘"=1cose,解得cos?。=I，cos2。=

2a-acos￡U233

(ii)由于在直角三角形AC￡)中6為銳角，則cos。=苧，sin。=等，sin2。=2sin6cos6=?空，

i^sinZ-BDC=sin46=2sin20cos20=

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

18.【答案】解：(1)當a=1時,/(%)=sinx—xcosx,//(x)=xsinx,

令f'(x)>0,得2k7i<x<7i+2km—n—2/CTT<x<—2k7i(J<.6N),

第10頁，共12頁

令/'(%)<0,得7i+2kn<%<2TT+2kli,-2兀—2Mr<%<—n—2kn(keN),

所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2攵兀,兀+2/CTT],[—71—2kji,—2kn](kGN),

單調(diào)遞減區(qū)間為[7+2kn,2n+2kn],[—2n—2kn,—TT—2kn\(kEN).

(2)當Q=0時，f(x)=x+sinx,設(shè)曲線y=/(%)的對稱中心為(加九)，

則f(%)+/(2m—%)=%+sin%+2m—x+sin(2m—x)=2m+2sinmcos(x—rri)=2n,

所以｛:置？二;'解得771=n=kn(keZ),所以曲線y=/(%)的對稱中心為(ATT,左兀)(左eZ).

(3)當a<0時，f(x)=%+sinx—ax(l+cos%)>0在[0,兀]上恒成立，滿足題意；

當a>0時，/'(%)=1+cosx—a(l+cos%—xsinx)=(1—a)(l+cosx)+axsinx,

當0<a<1時,/'(%)=(1—a)(l+cosx)+axsinx>0,所以/(%)在上單調(diào)遞增，/(%)>/(0)=

0,滿足題意；

當a>1,%e[0,芻時，令九(%)=/'(%),//(%)=—sin%+a(2sinx+xcosx)>sinx+xcosx>0,所以

廣⑴在[0弓]上單調(diào)遞增,

又因為r(0)=2—2a<0,r6)=1—a(l—$>0,

所以存在尤o￡(0,方，使得/(無0)=0，

當xG(0,久0)時,f'(x)<0,/Q)單調(diào)遞減，所以/(x)</(0)=0,不符合題意.

綜上所述：a的取值范圍為(-8,1].

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

19.【答案】解：(1)顯然丫24。?'存在，顯然打力叼，又直線OM斜率存在，故%1+尤24。，

則A,8不關(guān)于y軸對稱即%不力,直線O/斜率存在，故AB不過坐標原點O,則A,8不關(guān)于原點對稱,

即月+火力0?由題可知上'=合，M(空，空)，故k°M=霍，

由A,B在雙曲線上，故最一?=1,1-