專題5.4復(fù)數(shù)【七大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1復(fù)數(shù)的概念】.............................................................................6

【題型2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】........................................................................6

【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】........................................................................7

【題型4復(fù)數(shù)的相等】.............................................................................7

【題型5復(fù)數(shù)的模】...............................................................................7

【題型6復(fù)數(shù)的三角表示】........................................................................8

【題型7復(fù)數(shù)與方程】.............................................................................9

?考情分析

1、復(fù)數(shù)

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2022年新高考全國I卷：第2

題，5分、II卷：第2題，5

分

2023年新高考I卷：第2題，

(1)通過方程的解，認(rèn)識復(fù)復(fù)數(shù)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，是高考的

5分

數(shù)必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來

2023年新高考II卷：第1題，

⑵理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示看，高考對復(fù)數(shù)的考查比較穩(wěn)定，往往

5分

及其幾何意義，理解兩個以單選題、填空題的形式考查，考查內(nèi)

2024年新高考I卷：第2題，

復(fù)數(shù)相等的含義容、難度變化不大，主要考查復(fù)數(shù)的概

5分

(3)掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，念、運(yùn)算及其幾何意義，屬于簡單題.

2024年新高考II卷：第1題，

了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾預(yù)測明年高考復(fù)數(shù)依舊以單選題、填空

5分

何意義題形式呈現(xiàn)，比較簡單.

2024年全國甲卷(文數(shù))：第

1題，5分、(理數(shù))：第1

題，5分

?知識梳理

【知識點(diǎn)1復(fù)數(shù)的概念】

1.復(fù)數(shù)的概念

(1)復(fù)數(shù)的概念

我們把形如。+歷(a/CR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+歷I。/GR}叫

做復(fù)數(shù)集.這樣，方程x2+l=0在復(fù)數(shù)集C中就有解x=i了.

(2)復(fù)數(shù)的表示

復(fù)數(shù)通常用字母Z表示，即z=a+6i(a,6GR).以后不作特殊說明時，復(fù)數(shù)z=a+歷都有a,6GR,其中的。

與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.

(3)復(fù)數(shù)的分類

對于復(fù)數(shù)a+歷，當(dāng)且僅當(dāng)6=0時，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)厚0時，它叫做虛

數(shù)；當(dāng)a=0且厚0時，它叫做純虛數(shù).

顯然，實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即R殳C.

復(fù)數(shù)z=a+歷可以分類如下：

得和|實(shí)數(shù)(6=0)

1虛數(shù)(6/0)(當(dāng)。=0時為純虛數(shù)).

2.復(fù)數(shù)相等

在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,6GR}中任取兩個數(shù)q+歷，c+di(a,b,c,d^R),我們規(guī)定：。+歷與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)

a=c且nd,即當(dāng)且僅當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等時，兩個復(fù)數(shù)才相等.

【知識點(diǎn)2復(fù)數(shù)的幾何意義】

1.復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)平面

-■~■對應(yīng)一■-■對應(yīng)

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得復(fù)數(shù)z="+歷^-------＞有序?qū)崝?shù)對m,b),而有序?qū)崝?shù)對(/加^-------＞平面

直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.

如圖所示，點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是6,復(fù)數(shù)z=a+歷可用點(diǎn)Z(a,6)表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來

表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.

(虛軸)W

b-------RZ：Q+歷

除原點(diǎn)外，虛

軸上的點(diǎn)都仁

表示純虛數(shù)

(實(shí)軸)

oux

實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)

(2)復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對應(yīng)

由上可知，每一個復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點(diǎn)，有唯一

—■—■對應(yīng)

的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng).復(fù)數(shù)集C中的數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z=a+bi＜------＞復(fù)平面內(nèi)的

點(diǎn)Z(a,6),這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.

(3)復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)

在平面直角坐標(biāo)系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一

對應(yīng)的.這樣就可以用平面向量來表示復(fù)數(shù).

如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z=a+歷，連接OZ,顯然向量&由點(diǎn)Z唯一確定；反過來，點(diǎn)

Z(相對于原點(diǎn)來說)也可以由向量OZ唯一確定.

因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的(實(shí)數(shù)。與零向量對應(yīng))，即復(fù)數(shù)z=a+6i

-■-■對應(yīng)T

<------->平面向量OZ,這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.

向量OZ的模廠叫做復(fù)數(shù)Z=a+歷的模或絕對值，記作|z|或|a+bi|.如果6=0,那么z=a+bi是一個實(shí)數(shù)a,它

的模等于同(就是“的絕對值).由模的定義可知，\z\=\a+bi\=r=Va2+b2(r^0,reR).

3.共飄復(fù)數(shù)

⑴定義

一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時，這這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共輾復(fù)數(shù).虛部不等于0

的兩個共朝復(fù)數(shù)也復(fù)數(shù)z的共軟復(fù)數(shù)用工表示，即若z=a+歷，則==a-歷.特別地，實(shí)數(shù)。的共輾復(fù)數(shù)仍是a

本身.

(2)幾何意義

互為共軌復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱(如圖).特別地，實(shí)數(shù)和它的共軟復(fù)數(shù)在復(fù)

平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)重合，且在實(shí)軸上.

(3)性質(zhì)

①(z)=z.

②實(shí)數(shù)的共輾復(fù)數(shù)是它本身，即z=Z—zeR,利用這個性質(zhì)可證明一個復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).

4.復(fù)數(shù)的模的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)2=a+歷(“力6即的模憶|就是復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z(a力)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，這是復(fù)數(shù)

的模的幾何意義.

(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z,7■表示一個大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點(diǎn)Z組成的集合是以

原點(diǎn)為圓心，廠為半徑的圓，|z|<r表示圓的內(nèi)部，|z|>廠表示圓的外部.

【知識點(diǎn)3復(fù)數(shù)的運(yùn)算】

1.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)Zi=°+歷，z2=c+di(a,b,c,d,-R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么Zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(6+t/)i.

(2)復(fù)數(shù)的減法法則

類比實(shí)數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+歷的復(fù)數(shù)

x+yi(x,yGR)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a,6GR)減去復(fù)數(shù)c+di(c,dGR)的差，記作(a+bi)-(c+di).

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+a=a,d+y=b,因此x=a-c,y=b-d,所以x+yi=(a-c)+(b-rf)i,即(a+歷)-(c+di)

=(a-c)+(6-4i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.

(3)復(fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)Zi=a+6i,z2=c+di(a,6,c,deR)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+6ci+adi+61i2

=(ac-bd)+(ad-^-bc)i.

可以看出，兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把產(chǎn)換成-1,并且把實(shí)部與

虛部分別合并即可.

(4)復(fù)數(shù)的除法法則

a+bi_(a+bi)(c—di)_(ac+bd)+(be—ad)i_ac+bdbe—ad

(a+/7i)：(c+di)=i(a,瓦c,d?R,且

c-\-d\(c+t/i)(c—di)c2+d，2c2+d，2c2+d2

c+di#O).

由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0),所得的商是一個確定的復(fù)數(shù).

2.復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義

在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)Zi=〃+bi,22=。+M(。,仇。,"￡即對應(yīng)的向量分別為021，OZ2,則OZi=(〃,b),OZ2=(c,d).

以區(qū)，衣對應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2(如圖所示)，則由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得次二醞

+OZ2=(a,b)+(c,d)=(a+c,b-^d),即z=(〃+c)+(Z?+6?)i,即對角線OZ對應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(〃+c)+3+J)i對應(yīng)的向

量.

(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義

兩個復(fù)數(shù)為=a+歷，Z2=c+di(a,b,c,dGR)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是赤，OZ2,那么這兩個復(fù)數(shù)的差

Z|-Z2對應(yīng)的向量是醞-近，即向量

如果作次=2,那么點(diǎn)Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是Z|-Z2(如圖所示).

這說明兩個向量厲與近的差方就是與復(fù)數(shù)Qc)+(b⑷i對應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向

量的減法來進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.

2

0X

3.復(fù)數(shù)運(yùn)算的常用技巧

(1)復(fù)數(shù)常見運(yùn)算小結(jié)論

①(1+i)2=2i=]+i；

_7i

②(1—i)2=-2i----r=1—i----r=-1+i;

1—11—1

③(1+i)(1—i)=2--=1-i----r=1+i；

1十i1-i

公1+i.1—i.

---7J—T="I；

1—11+1

⑤i4"+l="i“，+2=_l,j4"+3=-i,i4，=l(〃wZ).

(2)常用公式

(a+Z?i)(a—bi)=a2+b2；

(a±6i)2=a?+62±2abi；

(<?iZ>i)3=a3-3ab2±(3。26—b')i.

【知識點(diǎn)4復(fù)數(shù)有關(guān)問題的解題策略】

1.復(fù)數(shù)的概念的有關(guān)問題的解題策略

(1)復(fù)數(shù)z=a+6i(a,bGR),其中a,b分別是它的實(shí)部和虛部.若z為實(shí)數(shù)，則虛部6=0,與實(shí)部。無關(guān)；

若z為虛數(shù)，則虛部bNO,與實(shí)部a無關(guān)；若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=0且bWO.

(2)復(fù)數(shù)z=a+8i(a,6GR)的模記作|z|或|a+6i|,即|二|=|a+bi|=y/a2+b2.

(3)復(fù)數(shù)z=a+6i(a,6GR)的共輾復(fù)數(shù)為z=a—bi,則z-z=|zf=H,gp|z|=|z|=y]z'z,若zeR,

貝！Jz=z.

2.復(fù)數(shù)的運(yùn)算的解題策略

(1)復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算；

(2)復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共輪復(fù)數(shù).

3.復(fù)數(shù)的幾何意義的解題策略

由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此解題時可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，把復(fù)數(shù)、向量

與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.

4.復(fù)數(shù)的方程的解題策略

(1)對實(shí)系數(shù)二次方程來說，求根公式、韋達(dá)定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.

(2)對復(fù)系數(shù)(至少有一個系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.

【方法技巧與總結(jié)】

1+i.1—i.

1.(l±i)92=±2i；K=1；kT=-1

2.i4”=l,i4"+i=i,i4”+2=—],i"+3=—i(〃eN*).

3,i4n+i4n+I+i4,,+2+i4n+3=0(〃eN*).

4.復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形

（l）aW|z|W6表示以原點(diǎn)。為圓心，以。和6為半徑的兩圓所夾的圓環(huán);

⑵|z-（a+bi）|=r（r>0）表示以（0力）為圓心，r為半徑的圓.

?舉一反三

【題型1復(fù)數(shù)的概念】

【例1】（2024?湖北.模擬預(yù)測）已知z=i（—l+2i）,則z的虛部為（）

A.2B.-1C.2iD.-i

【變式1-1]（2024?寧夏銀川?一模）已知復(fù)數(shù)2=爪2-1+（瓶+j2）.葭7neR）表示純虛數(shù)，則爪=（）

A.1B.-1C.1或一1D.2

【變式1-2]（2024?吉林白山?一模）復(fù)數(shù)z=i+2i2+3i3,貝！jz的虛部為（）

A.2iB.-2iC.2D.-2

【變式1-3]（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）己知復(fù)數(shù)z=爪2一7爪+6+（爪2—36）i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)小的值

為（）

A.±6B.1或6C.-6D.1

【題型2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】

【例2】（2024?西藏?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=2—i,則衛(wèi)=（）

z—z

1111

A.--+iB.--iC.-+iD.---i

2222

【變式2-1]（2024.河南.三模）已知i為虛數(shù)單位，臀=（）

（1-1）2

A.1+iB.1—iC.-1+iD.-1—i

【變式2-2]（2024?陜西西安?三模）已知復(fù)數(shù)z=3+i,則婦的虛部為（）

Z-1

33

A.-3B.--C.3D.-

55

【變式2-3]（2024?北京?三模）若復(fù)數(shù)2=￡1-1+5（￡1+1》為純虛數(shù)，其中a€R,i為虛數(shù)單位，則把=

1—ai

（）

A.iB.-iC.1D.-1

【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】

【例3】（2024?江西上饒?模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=④對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【變式3-1]（2024.重慶.二模）若復(fù)數(shù)z=（2-a）+（2a-l）i（aGR）為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z+a在復(fù)平面上的

對應(yīng)點(diǎn)的位置在（）

A.第一象限內(nèi)B.第二象限內(nèi)

C.第三象限內(nèi)D.第四象限內(nèi)

【變式3-2]（2024?黑龍江齊齊哈爾?三模）復(fù)平面內(nèi)4B,C三點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為l-i,2-i,3+i,若四

邊形力BCD為平行四邊形，則點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

A.2B.2+iC.1D.1+i

【變式3-3]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知Zi=2-i,z2=a-2i（a6R,i為虛數(shù)單位）.若z）z?在復(fù)平

面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z],Z2，點(diǎn)。為原點(diǎn)，且。Z11OZ2，則。=（）

A.1B.-1C.4D.-4

【題型4復(fù)數(shù)的相等】

【例4】（2023?全國?三模）已知i3=a—bi（a,beR）,貝b+b的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【變式4-1]（2024?遼寧?模擬預(yù)測）已知富=2—i,x,yER,則x+y=（）

A.2B.3C.4D.5

【變式4-2]（2023?內(nèi)蒙古包頭?一模）設(shè)a（l+i）+b=—i,其中a,b是實(shí)數(shù)，貝U（）

A.a=-1,b=-1B.a=-l,b=1C.a=1,b=1D.a=1,b=-1

【變式4-3]（2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測）已知i為虛數(shù)單位，式,y為實(shí)數(shù),若（％+yi）+2=（3-4i）+2yi,

則久+y=（）

A.2B.3C.4D.5

【題型5復(fù)數(shù)的模】

【例5】（2024.湖北黃岡.模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=3,，表示z的共軌復(fù)數(shù)，則因=（）

1—1

A.—B.-C.—D.V2

422

【變式5-1]（2024.河北.模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z=3-4i,則|z-i一切=（）

A.V2B.5C.5V2D.7V2

【變式5-2](2024?陜西西安.模擬預(yù)測)已知aeR,若2=怒為純虛數(shù)，貝U|z|=()

A.V2B.2C.1D.-

2

【變式5-3](2024?山東棗莊?模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)Zi，Z2，Z]#：z2,若同時滿足|z|=1和|z-l|=|z-i|,

則0-22|為()

A.1B.V3C.2D.2V3

【題型6復(fù)數(shù)的三角表示】

[例6](2024■內(nèi)蒙古赤峰.一模)棣莫弗公式(cosx+i-sinx)n=cos(nx)+i-sin(nx)(其中i為虛數(shù)單位)

是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667-1754)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)(cos^+i-sinf2在復(fù)平面內(nèi)所對

應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【變式6-1](2024?廣東?模擬預(yù)測)棣莫弗公式(cos%+isinx)n=cosnx+isinnx(i為虛數(shù)單位)是由法國

數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667—1754)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，已知復(fù)數(shù)3=cosg+i-sin^,則d的值是

()

A.—(A)B.-C.(JL)D.(JI)

3

【變式6-2](2024.黑龍江哈爾濱.三模)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,6eR,i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)為Z,設(shè)丁=

|。2|,8是以％軸的非負(fù)半軸為始邊，以。Z所在的射線為終邊的角，則2=a+出=N(：058+151116),把

NcosJ+isin。)叫做復(fù)數(shù)a+歷的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，[r(cos。+

isin6)『=rn(cosn0+isinn^)(n6N*),例如：(一:+手。=(cos+isin=cos2ir+isin2n=1,

(1+i)4=(V^(cos；+isin；))=4(cosn+isinir)=—4,復(fù)數(shù)z滿足：z3=1+i,則z可能取值為()

A.V2^cos+isinB.夜(cos亨+isin亨)

C.邁(cos號+isinD.達(dá)(cos等+isin等)

【變式6-3](2023?湖北恩施?模擬預(yù)測)任意一個復(fù)數(shù)z=a+歷都可以表示成三角形式，即a+bi=

r(cos6+isin。).棣莫弗定理是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667—1754年)創(chuàng)立的，指的是：設(shè)兩個復(fù)數(shù)z1=

丁i(cos6i+isin%),z2=^i(cos02+isin%)，則zm?=r1r2[cos(01+02)+isin(0i+4)]，已知復(fù)數(shù)z=|+

yi,貝口。23+z2+2=（）

11,V3.1V3.ci

AA.-BD.-d——iC.--------1D.1

22222

【題型7復(fù)數(shù)與方程】

【例7】（2024.山西陽泉.三模）已知2+i是實(shí)系數(shù)方程/+「久一q=o的一個復(fù)數(shù)根，則p+q=（）

A.-9B.-1C.1D.9

【變式7-1]（2024?黑龍江大慶?模擬預(yù)測）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程/-2久+2=0的兩個根分別為與，%2,則

\xi+2久21=（）

A.1B.V5C.V7D.V10

【變式7-2]（2024全國?模擬預(yù)測）已知1+21是方程/+?1刀+5=0（66/?）的一個根，則爪=（）

A.-2B.2C.iD.-1

【變式7-3]（2024.浙江杭州?模擬預(yù)測）已知方程/+改+1=o（其中i為虛數(shù)單位）的兩根分別為zi，z2,

則有（）

A.z1=z2>QB.zr+z2—ZiZ2C.11+zx|=11+z21D.=i

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?北京大興?三模）已知（m-i）2為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)租=（）

A.0B.1C.-1D.±1

2.（2024.新疆.三模）復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=|z|,則z的虛部為（）

A.-iB.iC.-1D.1

3.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z=^，則|z|=（）

1—v3i

A.V5B.V10C.5D.10

4.（2024?浙江?模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足z+22=3+i（i為虛數(shù)單位），貝Uz在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.（2024?浙江.模擬預(yù)測）已知2=若③，則怙2—1|=（）

A.1B.V3C.2D.—

2

6.（2024?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足z2—2z+4=0,則|z|=（）

A.V3B.2C.V5D.V2

7.（2024.陜西安康.模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足（B-i）z-i=B,則復(fù)數(shù)z的共粗復(fù)數(shù)，=（）

*1V3,1.V3,V31,V3.1.

A.-----1BD.-4——1C.-----1D.——FT

22222222

8.（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測）歐拉公式理=cos。+isin。把自然對數(shù)的底數(shù)e,虛數(shù)單位i,cos。和sin。聯(lián)

系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.則em+l=（）

A.-1B.0C.1D.i

二、多選題

9.（2024?江蘇無錫?模擬預(yù)測）設(shè)Zi，Z2為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.|z1z2|=|z1||z2|B.Z1+Z2=57+藥

C.若|z/=㈤，則zj=z/D."z】<Z2"是Z-Z2<0"的充分不必要條件

10.（2024?湖北荊州?三模）已知復(fù)數(shù)2=爪2-1+（機(jī)+1》（a€10，則下列命題正確的是（）

A.若z為純虛數(shù)，則m=±1

B.若z為實(shí)數(shù)，貝（Jz=0

C.若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線y=2x上，則m=-1

D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限

11.（2024?浙江舟山?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z1,Z2是關(guān)于x的方程/+6久+1=0（-2<b<2,beR）的兩根,

下列說法中正確的是（）

A.z7=zB.—GRC.\z^\=\z\=1D.若b=1,則z：=z,=1

2Z22

三、填空題

12.（2024?山東青島?二模）已知復(fù)數(shù)z滿足（z+2）i=2z-1,則復(fù)數(shù)2=.

13.（2024?上海.三模）設(shè)2=瓶2一1+（小一1》（i為虛數(shù)單位）,若z為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)根的值為.

14.（2024.江蘇南通?模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)2-3i與-1+i分別表示向量瓦?與方，記表示向量屈的復(fù)數(shù)為z,則

ZZ=.

四、解答題

15.（2024?甘肅蘭州?一模）實(shí)數(shù)6取什么值時，復(fù)數(shù)z=ni+3+（爪—3）i是

⑴實(shí)數(shù)？

⑵虛數(shù)？

（3）純虛數(shù)？

16.(2024.河南.模擬預(yù)測)己知復(fù)數(shù)z=學(xué)生.

(1)若復(fù)數(shù)(V^z-m)2-2m在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)若z2,&z+z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為8,C,求cosNBOC(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

17.(2024?黑龍江大慶?模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z=m-i(znER),且，?(1+3i)為純虛數(shù)(5是z的共輾復(fù)

數(shù)).

(1)設(shè)復(fù)數(shù)Z1=爐，求ZI；

1—1

C:2021

(2)復(fù)數(shù)Z2="一在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Z

18.(2024.上海?模擬預(yù)測)已知關(guān)于%的方程%2-3a%-3a=0(aeR)的虛數(shù)根為%1、x2.

(1)求㈤+的取值范圍;

(2)若|%1-121=1，求實(shí)數(shù)。的值.

19.(2024.黑龍江大慶.模擬預(yù)測)歐拉(1707-1783),他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明

了歐拉公式=cose+isin。，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，若將其中的6取作n就得到了歐拉

恒等式2近+1=0,它是令人著迷的一個公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個量聯(lián)系起來，兩個超越數(shù)——自然

對數(shù)的底數(shù)e,圓周率it,兩個單位——虛數(shù)單位i和自然數(shù)單位1,以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0,數(shù)學(xué)

家評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，請你根據(jù)歐拉公式：eie=cos0+isin0,解決以下問題：

(1)將復(fù)數(shù)6表示成a+bi(a,b€R,i為虛數(shù)單位)的形式；

⑵求岸+e0i|(8eR)的最大值；

(3)若z71=1,貝!Jz=Zk(k=0,1,2,…，71—1)，這里Zk=cos等+isin等(k=0,1,2,…，n-1)，稱縱為1的一

個幾次單位根，簡稱單位根.類比立方差公式，我們可以獲得/一I=(X—1)(X4+/+/+-+D，復(fù)

2Tl.

數(shù)Z=數(shù),1H(x)=X2+X+2,求H(Z)H(Z2)H(Z3)H(Z4)的值.

專題5.4復(fù)數(shù)【七大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1復(fù)數(shù)的概念】.............................................................................6

【題型2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】........................................................................6

【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】........................................................................7

【題型4復(fù)數(shù)的相等】.............................................................................7

【題型5復(fù)數(shù)的模】...............................................................................7

【題型6復(fù)數(shù)的三角表示】........................................................................8

【題型7復(fù)數(shù)與方程】.............................................................................9

?考情分析

1、復(fù)數(shù)

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2022年新高考全國I卷：第2

題，5分、II卷：第2題，5

分

2023年新高考I卷：第2題，

⑴通過方程的解，認(rèn)識復(fù)復(fù)數(shù)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，是高考的

5分

數(shù)必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來

2023年新高考II卷：第1題，

⑵理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示看，高考對復(fù)數(shù)的考查比較穩(wěn)定，往往

5分

及其幾何意義，理解兩個以單選題、填空題的形式考查，考查內(nèi)

2024年新高考I卷：第2題，

復(fù)數(shù)相等的含義容、難度變化不大，主要考查復(fù)數(shù)的概

5分

(3)掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，念、運(yùn)算及其幾何意義，屬于簡單題.

2024年新高考II卷：第1題，

了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾預(yù)測明年高考復(fù)數(shù)依舊以單選題、填空

5分

何意義題形式呈現(xiàn)，比較簡單.

2024年全國甲卷(文數(shù))：第

1題，5分、(理數(shù))：第1

題，5分

?知識梳理

【知識點(diǎn)1復(fù)數(shù)的概念】

1.復(fù)數(shù)的概念

(1)復(fù)數(shù)的概念

我們把形如〃+歷(a,6GR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+歷/GR}叫

做復(fù)數(shù)集.這樣，方程—+1=0在復(fù)數(shù)集c中就有解x=iT.

(2)復(fù)數(shù)的表示

復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+歷(a,6GR).以后不作特殊說明時，復(fù)數(shù)z=a+歷都有a,6GR,其中的。

與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.

(3)復(fù)數(shù)的分類

對于復(fù)數(shù)a+bi,當(dāng)且僅當(dāng)6=0時，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)厚0時，它叫做虛

數(shù)；當(dāng)a=0且厚0時，它叫做純虛數(shù).

顯然，實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即R殳C.

復(fù)數(shù)z=a+歷可以分類如下：

復(fù)數(shù)［實(shí)數(shù)的=0)

員奴I(xiàn)虛數(shù)(6W0)(當(dāng)。=0時為純虛數(shù)).

2.復(fù)數(shù)相等

在復(fù)數(shù)集C={a+歷|a,6GR}中任取兩個數(shù)a+bi,c+di(a力,c,dGR)，我們規(guī)定：。+歷與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)

°=c且匕=力即當(dāng)且僅當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等時，兩個復(fù)數(shù)才相等.

【知識點(diǎn)2復(fù)數(shù)的幾何意義】

1.復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)平面

-■-?對應(yīng)一,-?對應(yīng)

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得復(fù)數(shù)z=a+6i^-----------＞有序?qū)崝?shù)對(。力)，而有序?qū)崝?shù)對36)^----------＞平面

直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.

如圖所示，點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是6,復(fù)數(shù)z=a+歷可用點(diǎn)Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來

表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，尤軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.

(虛軸)y

bRZ：Q+歷

除原點(diǎn)外，虛

軸上的點(diǎn)都仁

表示純虛數(shù)

(實(shí)軸)

ox

實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)

(2)復(fù)數(shù)的幾何意義?與點(diǎn)對應(yīng)

由上可知，每一個復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點(diǎn)，有唯一

---"對應(yīng)

的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng).復(fù)數(shù)集C中的數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是---對應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z=a+6i^------------＞復(fù)平面內(nèi)的

點(diǎn)Z(a,b),這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.

(3)復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)

在平面直角坐標(biāo)系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一

對應(yīng)的.這樣就可以用平面向量來表示復(fù)數(shù).

如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi,連接OZ,顯然向量OZ由點(diǎn)Z唯一確定；反過來，點(diǎn)

Z（相對于原點(diǎn)來說）也可以由向量OZ唯一確定.

因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的（實(shí)數(shù)0與零向量對應(yīng)），即復(fù)數(shù)z=“+6i

~~■對應(yīng)T

《------->平面向量OZ,這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.

向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模或絕對值，記作|z|或|a+歷|.如果b=0,那么z=a+bi是一個實(shí)數(shù)a,它

的模等于⑷（就是a的絕對值）.由模的定義可知，\z\=\a+bi\=r=y/a2+b2（r^O,reR）.

3.共朝復(fù)數(shù)

⑴定義

一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時，這這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共輾復(fù)數(shù).虛部不等于0

的兩個共軌復(fù)數(shù)也復(fù)數(shù)z的共軟復(fù)數(shù)用W表示，即若z=a+6i,則==a-歷.特別地，實(shí)數(shù)。的共輾復(fù)數(shù)仍是。

本身.

（2）幾何意義

互為共軌復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱（如圖）.特別地，實(shí)數(shù)和它的共輾復(fù)數(shù)在復(fù)

平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)重合，且在實(shí)軸上.

>"Z.:a+6i

b----?

Q\a~T

I

(3)性質(zhì)

①(z)=z.

②實(shí)數(shù)的共輾復(fù)數(shù)是它本身，即z=』OzdR,利用這個性質(zhì)可證明一個復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).

4.復(fù)數(shù)的模的幾何意義

⑴復(fù)數(shù)z=a+6i（a力GR）的模|z|就是復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z（a,6）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，這是復(fù)數(shù)

的模的幾何意義.

（2）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z,r表示一個大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點(diǎn)Z組成的集合是以

原點(diǎn)為圓心，廠為半徑的圓，團(tuán)＜廠表示圓的內(nèi)部，團(tuán)＞廠表示圓的外部.

【知識點(diǎn)3復(fù)數(shù)的運(yùn)算】

1.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)Zi=q+6i,z2=c+di(a,b,c,d-R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么Zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+S+60i.

(2)復(fù)數(shù)的減法法則

類比實(shí)數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)

x+yi(x,yGR)叫做復(fù)數(shù)a+歷(a,6GR)減去復(fù)數(shù)c+di(c,dGR)的差，記作(“+歷)-(c+di).

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有C+JJ=CZ,d+y=b,因此x=a-c,y=b-d,所以x+yi=(a-c)+(b-＜7)i,即(a+歷)-(c+di)

=3c)+(b⑷i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.

(3)復(fù)數(shù)的乘法法則

2

設(shè)Zi=a+6i,z2=c+di{a,b,c,deR)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們^]^(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi

二(〃c-她+(〃d+/?c)i.

可以看出，兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把i?換成-1,并且把實(shí)部與

虛部分別合并即可.

(4)復(fù)數(shù)的除法法則

,,..,...a+bi(a+bi)(c—di)(ac+bd)+(be—ad)iac+bdbe—ad,八

(4+Zn)=(c+dl)=―r-yr=，，，且

c+di(c+di)(c—di)-------------------------------=+1("&cdeR

c+di#O).

由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0),所得的商是一個確定的復(fù)數(shù).

2.復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義

在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)Zi=a+bi,Z2=c+di(a,瓦c,dGR)對應(yīng)的向量分別為OZI,OZ2,則QZ[=(a,6),OZ2-(c,d).

以歷，礪對應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形OZiZZz(如圖所示)，則由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得次=醞

+OZ2=(^,/?)+(c,J)=(?+c,/?+J),即z=(〃+c)+S+J)i,即對角線OZ對應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(〃+c)+3+J)i對應(yīng)的向

量.

(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義

兩個復(fù)數(shù)Zi=q+0i,Z2=c+di(〃,A,Gd￡R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是OZi,OZ2,那么這兩個復(fù)數(shù)的差

Z|-Z2對應(yīng)的向量是醞-5N,即向量入

如果作次=可，那么點(diǎn)Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是Z|-Z2(如圖所示).

這說明兩個向量厲與近的差就是與復(fù)數(shù)3-c)+S0i對應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向

量的減法來進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.

2

0X

3.復(fù)數(shù)運(yùn)算的常用技巧

(1)復(fù)數(shù)常見運(yùn)算小結(jié)論

①(1+i)2=2i=]+i；

_7i

②(1—i)2=-2i-----r=1—i-----r=-1+i;

1—11—1

③(1+i)(1—i)=2--=1-i-----r=1+i；

1十i1-i

公1+i.1—i.

----7J—T="I；

1—11+1

⑤i4"+l="i“，+2=_l,j4"+3=-i,i4，=l(〃wZ).

(2)常用公式

(a+Z?i)(a—bi)=a2+b2；

(a±6i)2=a?+62±2abi；

(<?iZ>i)3=a3-3ab2±(