函數與導數

一、單選題

1.已知函數〃x)=J+3依2+笈+片在x=_i處取得極值o,則廣⑴=()

A.6B.12C.24D.12或24

1

2.定義在R上的函數/(%)滿足/(%+2)=/(%),若/(%)在區間(0,1)上單調遞增，。=/(1口2),b=f

e

5

，則()

A.b<a<cB.c<a<bC.a<b<cD.b<c<a

3.已知/(x)是定義在R上的奇函數，尸(x)是函數/(x)的導函數且在［(),+◎上7若

/(2024-ni)-f(m)>2024-2m,則實數機的取值范圍為()

A.[-1012,1012]B.[1012,4<x>)C.(^?,-1012]D.(^?,-1012],[1012,+oo)

4.已知函數〃x)滿足/(x+3)=/(l-x)+9/(2)對任意xeR恒成立，又函數〃尤+9)的圖象關于點(-9,0)

對稱，且"1)=2025,貝|/(53)=()

A.2024B.-2024C.2025D.-2025

5.函數=的圖象大致是()

、7e+e-X

A.B.

Ox

D.

x<0

6.函數/(尤)=,若不等式/(尤+2加)+/m2<0恒成立，則實數機的取值

x>0

范圍是()

A.(-3,1)B.(-1,3)

C.(―℃,—3)l(1,+co)D.(ro,T)U(3,+oo)

7.已知曲線,=^-1與曲線y=alnx+a(a>0)只有一個公共點，則〃=()

A.-B.1C.eD.e2

e

flO%Y<0

8.已知函數/（%）=（'八，g（x）=/（x）+2x-m,若g（%）有一個零點，則機的取值范圍是（）

[1gx,x>0

A.（-oo,l]B.（-oo,l）C.1X+8）D.（L+8）

9.碳14具有放射性.活體生物組織內的碳14含量大致不變，當生物死亡后，其組織內的碳14開始衰減.已

t

知碳14的半衰期約為5730年，即生物死亡/年后，碳14含量c（/）=Co[；："。，其中C。為活體生物組織內

碳14的含量.科學家一般利用碳14這一特性測定生物死亡年代.2025年科學家在我國發現的某生物遺體中碳

14的含量約為原始含量的0.92,已知W0.23,則根據所給的數據可推斷該生物死亡的朝代為（）

A.宋（公元960~1279年）B.元（公元1271~1368年）

C.明（公元1368?1644年）D.清（公元1636?1912年）

10.P是平面直角坐標系無Qy內一點，我們以x軸正半軸為始邊，射線。尸為終邊構成角[0,2萬0P的

長度「作為。的函數，若其解析式為:=|2sin2q+kin4，|,則P的軌跡可能為：（）.

二、多選題

11.設函數〃司=彳3-3/+5,則下列說法正確的有（）

A.函數僅有1個零點

B.x=。是/'（X）的極小值點

C.函數“X)的對稱中心為(1,3)

D.過(3,1)可以作三條直線與y=的圖象相切

12.已知函數/(x)=e￡+sinx,尸(x)為/'(x)的導函數，則()

A.曲線y=/(%)在(0,/(0))處的切線方程為y=x+1

B./(x)在區間(0,+oo)上單調遞增

C./(%)在區間(-無,0)上有極小值

D.7'(X)在區間(-兀,+8)上有兩個零點

13.設函數/(X)=(X—1)2(X-4),則()

A.x=l是〃X)的極大值點

B.f(2+x)+/(2-x)=-4

C.Y<f(2x—1)<0的解集為{x[l<x<2}

D.當0<x<g時，/(siiu)>/(sin2x)

14.湖南矮寨特大懸索橋，創造了4個世界第一，堪稱世界建橋史上的經典之作.它的兩個主塔之間的懸索

可近似看作一條“懸鏈線”，通過適當建立坐標系，懸鏈線可以為雙曲余弦函數cosh(x)=T^的圖象，相

應的雙曲正弦函數為sinh(x)=三寸.則下列說法正確的是()

A.cosh2(x)-sinh2(x)=1

B.y=cosh(x)sinh(x)是偶函數

sinh(x)/、

c.函數y=的值域為-1,i

cosh(x)

D.當直線V=相與y=cosh(%MDy=sinh(x)共有3個交點時，加目1,+8)

15.若孫〃分別是函數/⑴，的零點,且|加—〃區1,則稱F。)與g⑺互為“零點相鄰函數”.已知

/(%)=ln%+Y+2x-3與g(x)=e'+內互為"零點相鄰函數”，則〃的取值可能是()

2

A.—2eB.--eC.-eD.-1

2

16.已知=,g(x)=inx,則下列說法正確的是()

A.曲線y=f(x)與y=g(與有公共點

B.曲線y=g(x)關于直線>=x對稱的曲線是y=e，

C.曲線y=〃x)關于直線y=T對稱的曲線是y2=_2x

D.直線x=M>0)與曲線y=〃x)、y=g(x)的交點分別是A、B,則|A5|的最小值為3

17.已知是定義在R上的奇函數，且滿足〃x+4)=〃x)+4,若當無《0,2)時，f(x)=ex,則下列

選項正確的是()

A.“X)圖象關于點(2,2)中心對稱

B.8為B(x)的周期

C./(2025)=-+2024

D.方程〃尤)=尤在［0,2025］上共有1526個不同的實數解

18.下列說法中正確的有()

A.已知f(x)在R上是增函數，若a+6>0,貝1］?)+/0)>/(-4)+/(-3

B.是“x>y”的必要條件

C.若命題“Vxw(2,3),3x-a<0”是真命題，則。的取值范圍為

D.函數y=J'5+4x—X、的減區間是［2,+<o)

19.已知函數的定義域為R,且〃x+1)為奇函數，當xNl時，/(x+l)>/(x)+l,則()

A./(1)=0

B.的圖象關于點(TO)對稱

C./(4)>3

D./(-98)<-99

20.已知函數y=〃x)的圖象關于直線％=-2對稱，且對VxeR都有〃x)+〃f)=-2,當xe(0,2］時,

/。)=5尤.則下列結論正確的是()

A./(2025)=：

B.在區間(2,4)上單調遞減

C.〃尤)的圖像關于點(0,1)對稱

D.函數y=/(x)—lgx有2個零點

三、填空題

|log2x|,0<x<4

21.已知函數/(元)=若f[a)=f(h)^f(c)(a<b<c),則abc的取值范圍是

6-x,x>4

22.已知函數"力=八："一1)"：4"'：<2在定義域上單調遞增，則a的取值范圍為_____

[X-ax+5,x>2

23.已知函數的定義域為R,〃x+2)為偶函數，〃x+l)為奇函數，則〃2025)=.

24.已知函數/(%)是定義在R上的偶函數，其導函數為/(%),且當x<0時，2/(x)+#'(x)<0,則不等式

(x-2024)2/(%-2024)-/(-1)<0的解集為

25.定義在(。,+8)上的函數的導函數為尸(可，當x>0時,礦(x)<2,且〃e)=5,則不等式

/(x2)-41nx<3的解集為.

2—|x|尤<3

.一函數g(N)=機-/(3-X)，其中機ER,若函數y=g(x)恰有3個零點，

)(x-3),x>3

則m的取值范圍是.

27.已知定義在R上的函數〃同=丁+彳5,貝|關于x的不等式/任一3)+〃-5-2x)<0的解集為.

28.若過點(2,。可以作曲線y=lru的兩條切線，則實數f的取值范圍是.

29.已知函數〃M=1皿1一：)1'尤<1拓(月=41-6，若函數“X)與g(x)的圖象有且僅有三個交點，則

(x—2)+a,x21e

實數〃的取值范圍是.

30.已知函數是定義在R上的函數，〃X)="2_2X_1,且曲線y=〃x)在點(1J⑴)處的切線斜率

為4,則々=.

《函數與導數》參考答案

題號12345678910

答案CDBDCBBCBB

題號11121314151617181920

答案ACDBCABDACABCBCDACACACDABD

1.C

rr(-i)=o

【分析】根據在％=-i處取得極值。可得[/八n,解出，力即可.

【解析】由題意知，f\x)=3x2+6ax+b,又/(%)在犬=-1處取得極值0,

/(-l)=3-6^+Z?=0Q=1a=2

解得6=3或

y(-l)=-l+3tz-Z?+^2=0b=9

(4=1

當、時，f'(x)=3%2+6x+3=3(x+1)2>0,

[b=3

函數/(X)在R上單調遞增，無極值，不符合題意；

fa=2

當<時，f'(x)=3x2+12%+9=3(x+3)(x+1),

[b=9

令/'a)>0n%v—3或%>—1,/'(%)<On

所以了。)在(7,-3)、(-1,轉)上單調遞增，在(-3,7)上單調遞減,

故了(%)在犬=—1處取得極小值，符合題意，

\a=2

所以t八，r?=3x2+12x+9,

\b=9

貝廳⑴=24.

故選：C.

2.D

【分析】依題意可得c=再根據對數函數的性質得到0<；<(<ln2<l,結合函數的單調性判斷即

可.

【解析】因為在R上的函數小)滿足〃x+2)=〃x),所以,=巾=小+；?

因為0<!<工，又ln2<lne=l,ln2=InV?>IHA/C=-,所以0<!<!<ln2<1.

e22e2

因為/(x)在(0,1)上單調遞增，所以qj<d3<"ln2),BP/QV/f|h/(ln2),即b<c<a.

答案第6頁，共18頁

故選：D.

3.B

【分析】構造函數g(x)=/(x)-x,根據條件判斷g(x)的單調性，奇偶性進而解不等式即可.

【解析】設g(x)=f(x)-x,則g'(尤)=/'(x)-l,

又無€[0,+oo)上，/(x)<l,貝[|g'(x)<。，

即函數g(x)在無e[0,+8)上單調遞減，

又/(x)是定義在R上的奇函數，則函數g(x)為R上的奇函數，

故g(x)在R上單調遞減，又/(2024-m)_f(jn)>2024-2m,:./(2024-tn)-(2024-m)>m,

即g(2024-〃?)2g(力?)，可得2024-機工〃z,解得21012.

故選：B.

4.D

【分析】由/(x+3)=〃l—x)+9/(2),令x=-l,可得"2)=0,〃x)的圖象關于直線x=2對稱,又由

〃尤+9)的圖象關于點(-9,0)對稱可得8是函數〃x)的一個周期，據此可得答案.

【解析】因為對任意xeR,都有/(x+3)=〃l—x)+9/(2),

令x=T,得/(2)"(2)+9〃2),解得了(2)=0,則〃尤+3)=/(1-力,

即/(X+4)=〃T),所以函數〃x)的圖象關于直線x=2對稱.

又函數〃尤+9)的圖象關于點(-9,0)對稱，則函數〃x)的圖象關于點(0,0)對稱，

即函數〃x)為奇函數，所以/(x+4)=/(-x)=-/(x),

所以〃x+8)=-〃x+4)=y(x),所以8是函數〃x)的一個周期，

所以〃53)=〃7x8-3)=/(-3)=-〃3)=-/(1)=-2025.

故選：D

5.C

【分析】應用奇偶性定義判斷的奇偶性，結合x>l對應函數值符號及排除法，即可得答案.

【解析】由題意，函數定義域為R,且f(T)=4+C°S(T)=X?+COSX二

''+ee+e-

所以/(x)為偶函數，排除A、B；

答案第7頁，共18頁

當x>l,則/3=學浮>0恒成立，排除D.

故選：C

6.B

【分析】先應用奇函數定義及單調性判斷了(X),再轉化恒成立問題為最值問題，最后應用基本不等式求最

小值，計算一元二次不等式即可.

【解析】因為函數〃尤)=「，"%)為減函數；

［一八,％20

又因為x<0J(-x)=-U7=-/'(x),x>OJ(-x)=6=-〃x),所以“X)為奇函數，

若Vxe(L+"),不等式++療)<0恒成立，

貝U不等式/"+2m)<一/1占一加2),因為/(X)為奇函數，所以/(x+2m)</1-3+

因為/(x)為減函數，所以x+2m>恒成立，

x-1

所以x+—1―>機？一2根恒成立，所以(尤+—>rn2-2m,

X-lI尤-1/nin

Vxe(l,+8),x+——=1+——+1N2\J(尤-l)x」—+1=3

X1x1VX1

當且僅當x=2時取最小值3,所以"/-2"Z<3,

所以療—2〃L3=(〃L3)(〃Z+1)<0,所以實數機的取值范圍是(-1,3).

故選：B.

7.B

【分析】方法一：把兩曲線〉=產與y=alnx+a(a>0)有一個公共點，轉化為方程-="(向+1)只有一個

實數解，通過分離常數。=士;求出。值；

1I1X+1

方法二：把兩曲線>=61與'=“11次+4(。>0)有一個公共點，轉化成兩曲線只有一個公切點，再利用幾何

意義求解；

方法三：利用原函數和反函數圖像關于y=x對稱，且兩函數圖像都與y=x相切于點(1,1),巧妙求出a值.

【解析】方法一：由已知曲線y=ei與曲線y="hM+a(a>0)只有一個公共點，

方程ei=a(lnx+l)只有一個實數解，而a>0,則只考慮

答案第8頁，共18頁

[1+Inx-—

X-1xf,則e*T

即"目’令HX)=Ex>|

(lux+1)2

而"(X)=l+lnr-［在單調遞增，且"1)=0,

所以xeg,l］時，/'(x)<0,〃x)單調遞減，

尤?1,也)時,/'(x)>0,〃x)單調遞增,

而X-—時，/(%)->+00;Xf+C0時，/(%)->+00,

e

所以。="1)=1.

方法二：由己知曲線y=ex-1與曲線y=alnx+a(a>0)只有一個公共點,

則曲線y=e、i與曲線y=alnx+a(a>0)只有一個公切點，設其坐標為(x。,%),

根據函數y=e*T的圖像與函數y=Inx+1的圖像之間的關系，

y0=e與t=OIWCQ+a

所以有1與一1a,

e"=——

^

a1

即一二〃1叫)+〃，所以--1叫)+1,

%o%

設場優)='-1叫)+1,則旗尤0)在(。,+8)單調遞減，而網1)=。，

所以%=1,所以a=l.

方法三：由于函數、=ei的反函數為y=liw+l,兩函數關于y=x對稱，

由于y=ei,令ei=l,則x=l,即函數y=ei與函數y=x相切于點(1,1),

11

同理，y=-,令一=l,x=l,即函數y=hw+l.與函數y=x也相切于點(1,1),

XX

于是函數y=exT與函數y=lnx+l相切于點(1,1),由選項可知，a=l.

故選：B.

8.C

【分析】根據給定條件，利用零點的意義將問題轉化為函數y=/(x)的圖象與直線交點，再利用數形結合求

出范圍.

【解析】由g(x)=。，得/Cx)=-2x+機，因此析I有一個零點,

答案第9頁，共18頁

當且僅當函數y=/(x)的圖象與直線y=-2x+機有且僅有一個公共點,

函數，(彳)在(-叫0)上單調遞增，函數值集合為(0,1),在(。,+s)上單調遞增，函數值集合為R,

在同一坐標系內作出函數y=/(X)的圖象與直線>=-2x+根的圖象，

觀察圖象知，當相<1時，函數y=/(x)的圖象與直線y=-2x+根有兩個交點,

當〃讓1時，函數y=/(無)的圖象與直線y=-2x+機有1個交點，

所以m的取值范圍是口,+oo).

故選：C

9.B

【分析】根據碳14含量的計算公式列出方程，然后結合已知條件求解出生物死亡的時間，進而判斷該生物

死亡的朝代.

1-L-

【解析】已知碳14含量公式C(f)=C°g)573。，某生物遺體中碳14的含量約為原始含量的0,92,

即C(r)=O.92Co，代入公式可得0.92Q=Co(1)^,

1-L-

因為C°w0,兩邊同時除以c。，得到0.92=(上產30,

2

對0.92=(工)嬴兩邊取以|為底的對數，可得log?0-92=,

22-5730

貝y=5730xlog10.92

因為(1)212~0.23,0.92=4x0.23,即0.92=4x(1)212=(1)-2x(1)212=(1)012,

所以log?0.92=陶(；嚴=0/2,

252

將logL0.92=0.12代入'=5730Xlog工0.92,可得/=5730x0.12=687.6^688(年)，

22

已知是在2025年發現該生物遺體，那么該生物死亡的時間約為2025-688=1337(年)，

因為1271<1337<1368,所以該生物死亡的朝代為元(公元1271~1368年).

故選：B

10.B

答案第10頁，共18頁

TTTC

【分析】證明得到「是以三為周期的函數，排除C、D.再研究0,-的函數性質，借助導數即可.

24」

【解析】r(，)=|2sin2，|+|sin4，|,廠,+]]=2sin2^6,+^+8104^+^=|2sin2^|+|sin46,|=

可以得到「是以?TT為周期的函數，所以尸的軌跡在四個象限內應相似，故排除C、D.

2

7T

由于A、B項均關于y=x對稱，所以僅研究夕￡0,-,此時，令

r=2sin2e+sin48,/=4(cos2，+cos4，)，令cose=/w[0,l],則/=/(，)=2?+”1=0,

解得r=g(負數根-1舍去)，則/⑺在0,1單調遞減，1』]單調遞增，即廠⑻在(0,小單調遞增，在

[今:]有且僅有一個極值點，所以。尸不會一直增大，B正確.

(注：本題在A、B當中選擇亦可使用特殊值法，選B)

故選：B

11.ACD

【分析】先求導函數，根據導函數正負得出函數的單調性得出極值進而得出零點判斷A,B；應用對稱性定

義計算判斷C,先設切點再得出切線方程代入計算求參即可得出三個根判斷D.

【解析】對AB,/(^)=X3-3X2+5,，'(X)=3/一6X,

當x>2或無<0時，當0<x<2時，r(x)<0,所以函數〃x)在(f,0),(2,y)上單調遞增,

在(0,2)上單調遞減，

所以“X)極大值="0)=5,〃力極小值="2)=1,又2)=—15,

所以函數〃x)僅有1個零點，且該零點在區間(-2,0)上，故A正確，B錯誤；

對C,由/'(x)=x，-3x?+5=X?(x—3)+5,得

/(l+x)+/(l-x)=(l+x)2(l+x-3)+5+(l-x)2(l-x-3)+5=6,

所以函數的圖象關于(1,3)對稱，故C正確；

對D,設切點為(玉,片-3需+5),則:(%)=3焉—6%,故切線方程為-3x；+5)=(3%-6%)(了-%)，

又過點(3,1),所以1-(片一3需+5)=(3片-6%)(3-毛)，整理得尤：一6￥+9%一2=0,

即(其-4%+1乂/-2)=0,解得%=2或%=2+石或%=2-石，所以過(3,1)可以作三條直線與y=/(x)

答案第11頁，共18頁

的圖象相切，故D正確.

故選：ACD.

12.BC

【分析】求出函數（（無），再利用導數的幾何意義求解判斷A；結合單調性、極小值意義判斷BC；求出零

點個數判斷D.

【解析】依題意，/'（x）=e*+cos尤，

對于A,/'（0）=2,/（0）=1,所求切線方程為y=2尤+1,A錯誤；

對于B,當尤>0時，f'（x）=ex+cosx>l+cos%>0,/（x）在區間（0,+oo）上單調遞增，B正確；

對于C,'=*'=8$了在（-兀,0）上都單調遞增，則函數/'（x）在（-兀,0）上單調遞增,

「(-兀)=尸-1<0,/'(0)=2,則存在唯一尤0G(-兀,0),使得/'(%)=0,

當時，（。）<0；當x°<x<0時，/（無）>0,因此/Q）在七處取得極小值，C正確;

對于D,由選項C知，尸⑴在（一無,0）上有唯一零點，又于（0）=2,

當x>0時，/'（x）=e"+cos尤>1+cosxN0,即（無）>0,

因此廣。）在區間（-兀,+s）上有1零點，D錯誤.

故選：BC

13.ABD

【分析】先由導數求出函數的單調區間，再結合函數的單調性逐一判斷即可.

【解析】對于選項A：因為的定義域為R,

且/'（x）=2（x-l）（x-4）+（x-1）?=3（x-l）（x-3）,

當xe（l,3）時，y/（x）<0,當或xe（3,+e）時，f（x）>0,

可知在（-雙1）,（3,+8）上單調遞增，在（L3）上單調遞減，

所以尤=1是函數/（X）的極大值點，故A正確；

對于選項B：/(2+x)+/(2—x)=(x+1)2(x—2)+(1—x)2(―x—2)=-4,故B正確;

對于選項C：對于不等式-4</（2x-l）<0,因為了

QQ

即關=:為不等式7</（z2.L1）<0的解，但x=/（l,2）,

答案第12頁，共18頁

所以不等式-4</(2x-1)<0的解集不為{X|l〈x<2},故C錯誤;

對于選項D：因為0<x<],貝!JOvsinxvl,sinx-sin2x=sinx(l-sinx)>0,

可得0vsin2x<sinx<1,

因為函數/'(X)在(0,1)上單調遞增，所以“siiuAlsin、)，故D正確;

故選：ABD

14.AC

【分析】利用指數運算即可判斷A選項；利用函數的奇偶性即可判斷B選項；利用指數函數的值域即可判

斷C選項；利用導數求出雙曲余弦函數cosh(x)=《著的單調區間，結合函數的單調性即可判斷D選項.

【解析】A選項，cosh?(另一sinh?(x)=[4:]<二二]=￡!寧二一老寧二=葭故A正確；

B選項，由于雙曲余弦函數cosh(x)=WJ為偶函數，

雙曲正弦函數sinh(x)=1^為奇函數，

則y=cosh(x)sinh(x)為奇函數，故B錯誤;

sinh(x)ex-e-xe2-l_12

C選項,

cosh(x)ex+e-xe2x+l~~e2x+l

2

Xe2x+l>l,所以0<寸c2,

e+71

2

則T<1—kT<l，故C正確；

e+1

D選項,(cosh(x))=sinh(x)，令(cosh(%))=0得了=。,

當%>0時，(cosh(%))>0，cosh(x)單調遞增;

當％v。時，(cosh(x))<0?cosh(x)單調遞減;

所以cosh(%)在％=0處取得最小值1.

y=sinh(x)在R上單調遞增，且當%f-8,sinh(x)—>-oo；

當％f+8,sinh(x)f+oo.

所以，當直線，=〃嗚y=cosh(x*Dy=sinh(尤)共有3個交點時，加目1,+力)，故D錯誤.

答案第13頁，共18頁

故選：AC

15.ABC

【分析】求出函數/(x)的零點為〃?=1,根據題中定義可得出函數g(x)的零點為〃e［0,2］,令

/?(x)=-(0<x<2),可知k一。，直線與函數〃(x)在(0,2］上的圖象有公共點，利用導數分析函數"(X)的

X

單調性與極值，數形結合可得出實數a的取值范圍.

【解析】易證是(0,+8)上的增函數，且/(1)=0,則m=1.

因為與g(x)互為“零點相鄰函數”，所以|〃?-〃區1，即|1-"區1，解得OOV2.

因為g⑼=1片0,所以〃片0,所以e'+ar=0在(0,2］上有解，

即-a=《在(0,21上有解.設人⑴=-(0<x<2),則h'⑺=(1)"<%v2).

XXX

由〃(x)>0,得1<%W2,由〃(x)<0,得0<x<l,則/z(x)在(0,1)上單調遞減，

在(1,2］上單調遞增.因為當x30時，且Ml)=e,如下圖，

所以/z(x)Ne,即一a2e,解得°W-e.

故選：ABC

16.BCD

【分析】對于A,設Mx)=〃x)-g(x),利用導數判斷無(力的零點是否存在;對于B,求函數g(x)=lnx的

反函數即可判斷；對于C,設曲線y=〃尤)關于直線>=一工對稱的曲線是y=0(x),設P(x,y)是曲線

y=o(x)上任意一點，則尸關于直線y=-X的對稱點在曲線、=〃尤)上，代入可求y=0(x)解析式；利用A

選項的結論可得D選項的結果.

【解析】已矢口/(x)=g_?,g(x)=lnx,

答案第14頁，共18頁

11Y2_1

對于A,設無(尤)="%)-8(%)=彳/一m無，函數定義域為(0,+8),h'(x)=x——=-——，

2xx

〃⑺<0解得0<x<l,"(x)>0解得尤>1,

則〃(x)在(o』)上單調遞減，在。,也)上單調遞增，〃紅)的最小值為MD=g>o,

恒成立，；x2-lnx=0無解，

所以曲線y=〃x)與y=g(x)沒有公共點，A選項錯誤；

對于B,函數g(x)=lnx的反函數為y=e，，

所以y=g(x)關于直線>=彳對稱的曲線是y=e"B選項正確；

對于C,設曲線y=〃x)關于直線y=r對稱的曲線是y=e(尤)，

設尸(工,y)是曲線y=姒尤)上任意一點,則P關于直線y=-X的對稱點為尸'(-y,T),

1

代入y=〃x)中，得一尤=5(-y)9,即V=-2x,

所以曲線y=〃x)關于直線k-X對稱的曲線是y2=_2x,C選項正確；

對于D,由A選項可知，當f=l時，的最小值為〃(l)=g,D選項正確.

故選：BCD.

17.AC

【分析】利用奇函數和中心對稱性可得A正確；由“8)片〃0)可得B錯誤；由〃x+4)=〃x)+4可得C

正確；設g(x)=/(x)-x,由周期性可得D錯誤.

【解析】對于A,因為/(x+4)=/(x)+4,所以〃x+4)—4=〃尤)，

又是定義在R上的奇函數，所以〃x+4)—4=-〃-彳)，即〃x+4)+〃r)=4,所以〃x)圖象關于

點(2,2)中心對稱，故A正確；

對于B,/(x+4)=/(x)+4,所以〃x+8)=/(x+4)+4=〃x)+8,

所以〃x+8)—〃x)=8,

又〃尤)是定義在R上的奇函數，所以〃。)=。，所以〃8)=〃0)+8=8,

所以〃8)w〃0),所以8不為的周期，故B錯誤；

答案第15頁，共18頁

對于C,因為y（x+4）=/（x）+4,所以/（2025）=/（2021）+4=/（2017）+8==/（!）+2024,

又當xe(O,2)時,f(x)=ex,所以"1)=」，所以“2025)='+2024,故C正確；

ee

對于D,因為〃x+4)=〃x)+4,

設g(x)=/(x)-x，貝！lg(x+4)=〃x+4)_(x+4)=/(x)+4_x-4=〃x)_x=g(x)

所以4為g(x)的周期，

又“X)是定義在R上的奇函數，所以g(O)=〃O)-O=。，

所以方程f(尤)=尤等價于g(%)=0在［0,2025］上共有507個不同的實數解.

故選：AC.

18.AC

【解析】結合全稱命題真假求參數、充分必要條件，函數單調性問題等逐項判斷即可.

【分析】對于A,由。+6>0,得a>-b,b>-a,由在R上是增函數，

得/(a)>/(—6),/(b)>/(—a),因此+,A正確；

對于B,W>,不能推出x>y,例如卜但—2<1；

也不能推出W>N，例如2>—3,而|2|〈卜3|；

因此“|x|>3”是“x>y”的既不充分也不必要條件，B錯誤；

對于C,Vxe(2,3),3x-a〈0oo)3x,因此aN9,即。的取值范圍為aN9,C正確；

對于D,解不等式5+4彳-爐20,得WW5,函數的定義域為［T5］,

y=5+4x-V開口向下，對稱軸為x=2,則函數y=j5+4x-d的減區間是［2,5］,D錯誤.

故選：AC

19.ACD

【分析】根據函數的奇偶性結合“賦值法”可求了。)，判斷A的真假，根據奇函數的性質，可判斷B的真假;

根據函數滿足的條件，遞推可判斷C的真假，再結合奇函數的性質，可判斷D的真假.

【解析】對A：因為〃x+l)為奇函數,所以〃x+l)=-〃r+l),

令尤=0,則/(O+l)=_/(-O+l)n2/(l)=On/(l)=O,A正確.

答案第16頁，共18頁

對B：由+=得〃X+1)+〃T+1)=0,貝I]〃X)+〃T+2)=。，即/(x)的圖象關于點

(LO)對稱，B錯誤.

對C：當時，/(x+l)&/(x)+l,則*2)2/⑴+1=1,/(3)>/(2)+1>2,/(4)>/(3)+1>3,故

C正確；

對D：根據C選項，遞推可得：“100)2/(99)+1299,因為4100)+〃-100+2)=0,所以/(100)=-/(-98),

則一了(一98)299,得98)4—99,故D正確.

故選：ACD

20.ABD

【分析】A選項，根據對稱性得到〃T)=〃X-4),再結合/(冷+"—)=-2得至!]/(》+8)=/("，即可

得到了(元)的周期，然后利用周期求函數值即可；B選項，利用對稱性求解析式，然后判斷單調性；C選項，

根據+/(-%)=-2得到對稱中心；D選項，將函數y=-1gx的零點個數轉化為y=〃力與y=1gx

圖象的交點個數，然后結合圖象求零點個數.

【解析】因為〃力的圖象關于x=-2對稱,所以〃—x)="(x—4),

X/(%)+/(-%)=-2,所以〃力+〃*-4)=一2,

則〃x-4)+〃x-8)=-2,所以/(x)=〃x-8),所以，

所以〃x)的周期為8,

所以〃2025)=〃8x253+l)=〃l)=；,故A正確；

當彳五一2,0)時，一無?0,2),所以〃_尤)=一白=_2-〃切，

所以〃x)=-2+；x,

當xe(2,4)時，x—4e(—2,0),所以〃x-4)=一2+；(犬一4)=-2-〃x),

所以〃到=-1+2,所以〃尤)在(2,4)上單調遞減，故B正確；

由/⑺+”—x)=-2得〃x)的圖象關于點(0,-1)對稱，故C錯；

函數y=〃尤)-igx的零點個數可以轉化為y=〃尤)與y=igx圖象的交點個數，

答案第17頁，共18頁

由題意得y=〃x)與y=igx的圖象如下:

由此可得y=〃x)與y=igx的圖象有2個交點,

所以y=/(x)Tgx有2個零點，故D正確.

故選：ABD.

21.(4,6)

【分析】畫出草圖，借助對數性質，得到范圍.

【解析】根據題意畫出圖象，得至1]0＜。＜1,1＜6＜4,4＜。＜6,

1

f(a)=-log2a=log2a=/(&)=log2b,貝!|一log?a=log2b,

gp0=log2&+log2d!,貝！j0=log2。6，貝=貝!|o6c=ce(4,6).

故答案為：(4,6).

【分析】由單調遞增得出。所滿足的不等式組，求解即可.

【解析】分段函數要是單調遞增函數，必須每一段都是單調遞增函數,

且左邊一段的最大值小于等于右邊一段的最小值.

3a■—1>0

所以色2，解得:＜a七.

2

（3a-1）x2+46/W2?-2a+5

所以〃的取值范圍為.

答案第18頁，共18頁

故答案為：.

23.0

【分析】根據奇偶性得至Uf(4-尤)=一/(2-尤)，進而推導出了(X)是周期為4的函數，利用周期性求函數值

即可.

【解析】由〃x+2)為偶函數，/(x+2)=/(-x+2),BP/(x)=/(4-x),

由/(x+1)為奇函數，/(x+l)=-/(-x+l),即/(力=一/(2-勸，

所以/(4-x)=-f(2-x),gp/(4+%)=-f(2+.r),即/(x+2)=-/(x),

所以/(x+4)=-/(x+2)=f(x),即〃尤)是周期為4的函數，

所以〃2025)=/(4x506+1)=/⑴，又/⑴=_/(2—1)=/⑴=0,

所以“2025)=0.

故答案為：0

24.{尤|尤<2023或無>2025}

【分析】由題意構造爪x)=x"(x),進而尸(無)在(-嗎0)上是增函數，根據奇偶函數的定義判斷尸(%)的奇偶

性，原不等式等價于歹(尤-2024)〈歹(-1),結合函數的奇偶性和單調性解不等式即可.

【解析】令/(x)=x"(x),

則F,(x)=2V(x)+x2/，(-^)=M2f(x)+Vf(-^)]，

由當x<0時，2f(x)+xf'(x)<0,所以?F'(x)=x[2/(x)+#'(x)]>0,

即歹(X)在(-8,0)上是增函數，

由題意/(x)是定義在R上的偶函數，所以『(-尤)=〃尤),

所以廠(-X)=(-x)2/(-x)=x2f(x)=F(x),

所以尸(x)是偶函數，在(。,+◎遞減，

所以尸(尤-2024)=(尤-2024)2/0-2024),F(-l)=(-l)2/(-D=/(-I)，

即不等式等價為F(x-2024)<F(-l),

所以|x-2024|>l,解得x<2023或x>2025.

故答案為：{,尤<2023或無>2025}

答案第19頁，共18頁

25.(>/e,+ao)

【分析】構造g(x)=/(d)-41nx-3,求導得出函數的單調性，利用單調性解不等式即可.

【解析】解：令g(x)=f(x2)-41nx-3

「當x>0時，礦(x)<2,

所以當f>0時,

???g'(x)<0,故g(x)在(0,+8)上為減函數,

4-g(x)=/(x2)-41nx-3<0,

所以x>加■,

故不等式/(/)-41!?<3的解集為(加,+“)

故答案為：(血，+”)

26.(。，2)

【分析】要使函數》=8。)恰有3個零點，即>=加與>=/(3-x)的圖象有3個交點，畫出圖像，用數形結

合即可求得結果.

【解析】令g(x)=m-f6-x)=G,得f(3-尤)=相，

若3—%43,則/(3-x)=2-13-%|；

若3—%>3,則％<0"(3—x)=(3—]—3尸=*.

「..2-(3-x),0Vx<3x-l,0<x<3

所以y="3_x)=『，4;20=,2+(3-x),x>3

v-x+5,x>3,

12

X'"x,x<0x2,x<0

畫出其圖象如圖所示，當光=3時，y=2.

答案第20頁，共18頁

/\7=加

y=f(3-x\

由圖可知，要使函數>=g