專題01集合與常用邏輯用語

題型一：集合運(yùn)算問題0、易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)集合表示方法的理解存在偏差

題型二：集合中的含參問題氣易錯(cuò)點(diǎn)：忽視（漏）空集導(dǎo)致錯(cuò)誤

家集瞿鑫素三崢決網(wǎng)易錯(cuò)點(diǎn):忽—

題型四：判斷充分性必要置易錯(cuò)點(diǎn)：判斷充分性必要性位置顛倒

題型五：由含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題

“易錯(cuò)點(diǎn)：忽略分類討論

的真假求參數(shù)的取值范圍

易錯(cuò)點(diǎn)一：對(duì)集合表示方法的理解存在偏差（集合運(yùn)算問題

兩種解題方法）

方法一：列舉法

列舉法就是通過枚舉集合中的所有元素，然后根據(jù)集合基本運(yùn)算的定義求解的方法。

其解題具體步驟如下：

第一步定元素：確定已知集合中的所有元素，利用列舉法或畫數(shù)軸寫出所有元素或范圍;

第二步定運(yùn)算：利用常見不等式或等式解未知集合；

第三步：定結(jié)果。

方法二：賦值法

高考對(duì)集合的基本運(yùn)算的考查以選擇題為主，所以我們可以利用特值法解題，即根據(jù)選項(xiàng)

之間的明顯差異，選擇一些特殊元素進(jìn)行檢驗(yàn)排除，從而得到正確選項(xiàng).

其解題具體步驟如下：

第一步：辨差異:分析各選項(xiàng)，辨別各選項(xiàng)的差異；

第二步：定特殊:根據(jù)選項(xiàng)的差異，選定一些特殊的元素；

第三步：驗(yàn)排除:將特殊的元素代入進(jìn)行驗(yàn)證，排除干擾項(xiàng)；

第四步：定結(jié)果:根據(jù)排除的結(jié)果確定正確的選項(xiàng)。

易錯(cuò)提醒：對(duì)集合表示法的理解先觀察研究對(duì)象（I前），研究對(duì)象是點(diǎn)集還是數(shù)集，

故要對(duì)本質(zhì)進(jìn)行剖析，需要明確集合中的代表元素類型及代表元素的含義.

例已知集合4={X忖<%},8={(尤,y)|y>2},則集合AB=()

A.0B.(2,萬)C.(-oo,2)D.(-00,萬)

破解：根據(jù)交集定義計(jì)算，可以認(rèn)為A是數(shù)集，3是點(diǎn)集，AcB=0故選：A

變式1：已知集合A={x|(x-l)(x-4)<0},B={y\y=2-x2],則AB=()

A.0B.{x[l<x<4}

C.{耳1<無<2}D.{x|2<x<4}

破解：?；A=(1,4),3=(-力,2],Ac3=(l,2],故選：C

注意一個(gè)研究對(duì)象為數(shù)集一個(gè)為點(diǎn)集

變式2：已知集合4={(蒼、)|尤?+y2=l,x,yeR},8={x|x+y=l,x,yeR},貝!!()

A.A8={0,1}B.Ac8={(0,1),(1,0)}

C.A=BD.Ac3=0

破解：由題意可知集合8={力尤+〉=1,尤,丁€用為數(shù)集，

集合A={(%y)I尤2+V=1,%yeR}表示點(diǎn)集，故選D.

變式3：已知集合4={淚1082"-1)<0},B={x||x-2|<2},則AB=()

A.{x\\<x<2}B.{x|l<x<4}

C.{x|0<x<4}D.{x|x<4}

破解：因?yàn)锳={x|log2(x—l)<0}={x|l<x<2}

B={x||x-2|<2}={x|0<x<4}

所以AB={x\\<x<2]{x|0<x<4}={x|l<x<2},故選：A

三9

1.集合A={(x,y)|y=3x-2},B={(尤,y)|y=x+4},則A8=()

A.｛3,7｝B.｛（3,7））C.{7,3}D.{x=3,y=7}

【答案】B

【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)椋郏郏凰?3=｛（3,7）｝.

故選：B

2.已知集合4=卜|爐-2%<0},集合B={y|y=log2(2-/)},則AB=()

A.(0,1]B.(一8,1)C.(-8,2)D.(0,2)

【答案】A

【分析】解一元二次不等式可得集合4根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可求得集合B,根據(jù)集合的

交集運(yùn)算即得答案.

【詳解】由題意A={x|f-2x<0}=(0,2),

由于0<2-dw2,故Iog2(2—x2)41,

故8=卜|y=log2(2-x，}=(-00,1],

所以A3=(0』，

故選：A

3.設(shè)全集U=R,集合尸={y|y=3x,-l<x<0},Q=則Peg。等于

()

A.(—2,0)B.[—2,0)C.(-3,—2)D.(-3,-2]

【答案】B

【分析】化簡集合A,8,根據(jù)集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算.

【詳解】全集。=R,集合尸={y|y=3尤,-!<x<0}=(-3,0),

Q=卜|—>oj>={x|x(x+2)>0(x主—2}=0或x<—2},

所以A0={X|-24X<O},

則Pn^2={x|-2<%<0].

故選：B.

4.已知集合&={》?2-1<%<4},B={x|y=lg(-x2+2x+3)},則AB=()

A.{1,2}B.{0,1,2)

C.[-1,3)D.(-1,3)

【答案】B

【分析】先化簡集合4B,再利用集合的交集運(yùn)算求解.

【詳解】解：集合4={尤€叩-14尤＜4}={0,1,2,3},

由—/+2x+3>0,得x2-2%-3<0,解得一1<%<3,

所以B={x|-l<x<3},

所以AB|{0,1,2},

故選：B

5.已知集合”={%|—l<x<2},N={x|y=lnx},則McN=()

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<2}C.{x|0<%?2}D.{x|x<—l或

x>2}

【答案】C

【分析】先化簡集合N,再求McN即可解決.

【詳解】A^={x|y=lnx}={x|x>0},

貝UAfA^={x|—l<x<2}{x|x>0}={x|0<x<2}.

故選：C.

6.已知集合M={x|-4v%v2},N={%GZ|—2V%V3},則McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1}D.{0,1,2)

【答案】B

【分析】根據(jù)集合的交運(yùn)算即可求解.

【詳解】7V={xeZ|-2<x<3}={-l,0,l,2},所以”cN={TO[},

故選：B

7.下列表示正確的個(gè)數(shù)是（）

f2x+y=10

(1)0任0；(2)0U{1,2}；(3)(x,y)={3,%（4）若A=則

\3x-y=5

AB=A.(5)0e{0}

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系、交集、子集等知識(shí)進(jìn)行分析，從

而確定正確答案.

【詳解】空集沒有元素，所以0已0正確，也即（1）正確；

空集是任何集合的子集，所以0={1,2}正確，也即（2）正確；

f2x+y=10fx=3、12x+y=10]

由°?＜解得,,所以2-V=3,4，所以⑶錯(cuò)誤；

[3x-y=5[y=4[[3x-y=5J（）

若AgB,即A是8的子集，所以AB=A,所以（4）正確；

根據(jù)元素與集合的關(guān)系可知0w{。}正確，也即（5）正確.

所以正確的個(gè)數(shù)是4.

故選：A

易錯(cuò)點(diǎn)二：忽視（漏）空集導(dǎo)致錯(cuò)誤（集合中的含參問題）

1.利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍解題時(shí)務(wù)必注意:由于0是任意集合的

子集，若已知非空集合B,集合A滿足A^B或AuB,則對(duì)集合A分兩種情中的含參問題

況討論：

（1）當(dāng)A=0時(shí),若集合A是以不等式為載體的集合，則該不等式無解;（2）當(dāng)AM）時(shí)，要利用子

集的概念把子集關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合對(duì)應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)值的大小關(guān)系，從而構(gòu)造關(guān)于參數(shù)

的不等式（組）求解.

2.利用兩集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍解決此類問題的步驟一般為：

第一步：化簡所給集合；

第二步：用數(shù)軸表示所給集合；

第三步：根據(jù)集合端點(diǎn)間關(guān)系列出不等式（組）;（4）解不等式（組）；

第四步：檢驗(yàn)，通過返回代入驗(yàn)證端點(diǎn)是否能夠取到.

第五步：解決此類問題多利用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合數(shù)軸或Venn圖進(jìn)行求解.

易錯(cuò)提醒：勿忘空集和集合本身.由于0是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何

集合的本身是該集合的子集，所以在進(jìn)行列舉時(shí)千萬不要忘記。

三9

例已知集合4={劃14%<5},B={x\-a<x<a+3}.若5口AB）,則。的取值范圍

為（）

A.-?-1B.(-00,-1]

3

C.—00,------D.

2

破解：根據(jù)集合的關(guān)系分類討論求參數(shù)即可，由54AB）,可得5cA

3

當(dāng)3=0時(shí)，一aZa+3,gp^<--,滿足題設(shè)

3\-a>l3

當(dāng)3W0時(shí)，一ava+3,即,且<。可得一一<a<-l

2。+3<52

綜上，a的取值范圍為（-8,-1],故選：B

變式1：集合A={x|2f—5x+2=0},8={x|依一2=0},若B=AB,則實(shí)數(shù)a的取

值集合為（）

A.{-1,-4}B.{0,-1,-4}C.{1,4}D.{0,1,4}

破解：首先求出集合A,依題意可得3=4,再分3=0、3={2}、8=［；］三種情況

討論

因?yàn)锳={x|2x2-5x+2=0}=［2,；},B=AB,所以2=A,^B={^ax-2=0\

當(dāng)8=0,則a=0,當(dāng)8={2},即2a—2=0,解得a=l,當(dāng)B=B|j1a-2=0,

解得a=4,綜上可得實(shí)數(shù)。的取值集合為{0,1,4},故選：D

變式2：設(shè)集合U=R,集合A={x|-2<x<5},3={x|m-6<x<2m-l},若Ac5=0,

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

1

A.C.D.—00,------(11,+(?)

2

破解：結(jié)合B是否為空集進(jìn)行分類討論可求優(yōu)的范圍

當(dāng)3=0時(shí)，Ar\B=0,則—1,BPm<-5

m-6<2m-1lm-6<2m-1

當(dāng)時(shí)，若Ac3=0,則2m—1<—2或［機(jī)一6>5

解得-5〈機(jī)■或機(jī)＞11,綜上，實(shí)數(shù)加的取值范圍為1co,-g（11,+℃）

故選：D

變式3：已知集合4=卜€(wěn)2-＜3},8=+若Ac5有兩個(gè)元素，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是（）

3<。<0

A.＜。＜一1B.a

a一：＜〃＜-1或一；＜〃＜0

C.a——<々<0或々>1

破解：先解出集合A,結(jié)合Ac3有兩個(gè)元素求解即可

因?yàn)锳={xeZ,2<3}={-1,0,1},B=L<x<a+|L由于AcB有兩個(gè)元素

Q<—1

31

則3，角畢得一彳<〃或一大<〃<0

a+->l122

2

所以實(shí)數(shù)0的取值范圍是卜-|＜。＜-1或_；＜々＜0卜故選：C

1.已知集合4={巾4無<5},3={x|-a<x4a+4},若B),則。的取值范圍

為()

A.-2<a<-1}B.{《a<-2}

C.{a|a<-l}D.{a|a>-2}

【答案】C

【分析】由8屋(A3)可以得到8=A,從而對(duì)集合8分類討論即可求解參數(shù)。的范圍.

【詳解】?.?已知BB),又因?yàn)?4八3)屋3,

AB=B,即=4,

①當(dāng)3=0時(shí)，滿足3U此時(shí)一。二。+4,解得。＜-2；

—a＜〃+4

②當(dāng)3/0時(shí)，由5G"A,得＜—,解得—2＜aW—1；

。+4＜5

綜上所述，a<-l.

故選：C.

2.設(shè)集合A={%|2a+1<%<3a—5},B=1x|x2-21x+80<01,若AB=A,貝lj()

A.{a[2<a?7}B.{a|64aK7}C.\a\a<l^D.\a\a<6^

【答案】C

【分析】解不等式化簡集合以再利用集合的包含關(guān)系求解即得.

【詳解】顯然8={#2-2卜+80叫={尤|5VxV16},由AB=A,得A=B,

當(dāng)A=0時(shí)，即2a+l>3a—5,解得a<6,滿足貝i]a<6；

當(dāng)4x0時(shí)，則5W2a+lW3a—5W16,解得6VaV7；

所以a<7.

故選：C

3.已知集合/={x|/=l},N={x\ax=\\,若McN=N,則實(shí)數(shù)°的取值集合為

()

A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{L-LO}

【答案】D

【分析】分。=0和aHO討論，根據(jù)集合關(guān)系可解.

【詳解】McN=NoNuM,

當(dāng)a=0時(shí)，N=0,滿足NuM；

當(dāng)awO時(shí)，=]—kAl={1,-1},由NuM可知，=1或1=一1,得a=l或a=-l.

[a]aa

綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為{LT。}.

故選：D

4.設(shè)集合A={x[l<xW3},B^[x\x<a}},若則。的取值范圍是（）

A.[a\a31}B.[a\a<l]

C.{fl|<z>3}D.{a|a>3}

【答案】D

【分析】根據(jù)得到兩集合間的關(guān)系，再由集合間的關(guān)系，求得。的取值范圍.

【詳解】由4口3=3得4=3,已知A={x|l<尤43},B={x\x<a},

從而得a>3.

故選:D.

5.設(shè)集合4={尤,（4-%）23},B=[x\x>a\,若AB=A,則。的取值范圍是（）

A.B.（-oo,l）C.（-<?,3]D.（-oo,3）

【答案】B

【分析】求出集合A,分析可知4=8,由集合的包含關(guān)系可得出實(shí)數(shù)0的取值范圍.

【詳解】解不等式無（4—無）23,即Y_4X+3<0,解得1WXW3,即4=卜|"》43},

因?yàn)锳B=A,且3={X|X>4},則4勺3,所以，a<1.

故選：B.

6.已知集合4={尤|犬-1=。},B={x卬=1},若A3=8,則實(shí)數(shù)。取值集合為（）

A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}

【答案】D

【分析】由題意知3=A,分別討論3=0和BW0兩種情況，即可得出結(jié)果.

【詳解】由AB=B,知8=因?yàn)?=,*-1=0}={-1,1},B={x\ax=\],

若3=0,則方程依=1無解，所以a=0；

若8w0,awO,則8={1|奴=1}=1%卜=，,，

因?yàn)樗怨?±1,則。=±1；

a

故實(shí)數(shù)。取值集合為{-1,0,1}.

故選：D.

7.已知集合A={x|x>a},B={x|x</},且&A)8=8,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[0,1]B.[0,1)

C.(0,1)D.3,。]

【答案】A

【分析】求出為A,依題意可得B=可得關(guān)于。的不等式，即可得解.

【詳解】因?yàn)锳={x|x>。},所以々A={x|x4a},

又(轉(zhuǎn)18=8,所以31第4,

又8=卜卜<4},所以/4“，解得OWaWl,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,1].

故選：A.

8.已知集合M={x卜：l<x<3},N={尤|x2a,awR},若McN=M,則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是()

A.[-1,+co)B.(-oo,-l]

C.[-1,3]D.(-1,3)

【答案】B

【分析】根據(jù)=可得答案.

【詳解】因?yàn)镸cN=M,所以M=所以aW—1.

故選：B.

9.已知集合人={]|。<%<片+1,〃￡2},B={x|2<x<6},若AB=Af則〃=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】有集合間的關(guān)系建立不等式組求出即可.

【詳解】由AB=A,得易知集合A非空,

a>2戶2

貝U<〃+1W6n,-君<a<V5,

aeZ〃wZ

解得a=2.

故選：B.

10.已知集合4=1|尤2-2彳-3<0},B={x|-l<x<-m),若AB=A,則實(shí)數(shù)加的取

值范圍為()

A.(—3,+oo)B.(—so,—3]C.[3,+co)D.(—1,3]

【答案】B

【分析】解一元二次不等式化簡集合4再利用集合的包含關(guān)系求解作答.

【詳解】解不等式尤2一2彳一3<0,得一l<x<3,于是A=(T,3),而8=(-1,-加)，

因?yàn)锳B=A,則因此-〃zN3,解得機(jī)W-3,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

故選：B

11.已知集合&={%1y=ln(3x-x2+4)},B={y|>=/+4,若AB=A,則實(shí)數(shù)/的取

值范圍是()

A.B.(f,l]

C.ST)D.(-8/)

【答案】A

【分析】首先分別求兩個(gè)集合，再根據(jù)包含關(guān)系，求參數(shù)t的取值范圍.

【詳解】由已知得人={xB*-%2+4>0}=(-1,4),B=[f,+s),

由AB=A,得所以Y-L

故選：A.

易錯(cuò)點(diǎn)三：忽視集合元素的互異性(利用集合元素三性解決

元素與集合關(guān)系問題)

茸

類型1有限集中元素與集合間關(guān)系的判斷

⑴待確定元素與已知集合無關(guān):如果待確定元素的值只與自身有關(guān)，只需將元素化簡、求

值，再與該有限集內(nèi)的元素進(jìn)行逐個(gè)對(duì)照，確定是否存在與其相等的元素.若存在,則屬于

(e);若不存在，則不屬于仁.

(2)待確定元素與已知集合有關(guān):當(dāng)一個(gè)待定集合中的元素與一個(gè)已知集合有關(guān)，確定元

素與待定集合的關(guān)系(或待定集合中元素個(gè)數(shù))時(shí)，應(yīng)先將待定集合中的元素根據(jù)題中限

定條件求出(常會(huì)用到列舉法和分類討論思想)，然后根據(jù)題目信息進(jìn)行分析判斷(常依據(jù)

集合中元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn)).

類型2無限集中元素與集合間關(guān)系的判斷

(1)將待確定元素進(jìn)行變形，看能否表示成無限集合中元素的形式，如果可以，則屬于;否則

不屬于.

(2)假設(shè)法:假設(shè)該對(duì)象是集合中的元素,代人看是否與集合限定條件相矛盾，若不矛盾，則

屬于;否則不屬于.

易錯(cuò)提醒：利用集合元素的“三性”尤其是互異性是解題的關(guān)鍵，求解過程中務(wù)必注意:用

描述法表示的集合,要先認(rèn)清代表元素的含義和集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他類

型的集合，如卜Iy=2'},{xIy=2、},{(x，Hy=2'}表示不同的集合.如果是根據(jù)已知

列方程求參數(shù)值，一定要將參數(shù)值代入集合中檢驗(yàn)是否滿足元素的互異性.

三9

例已知集合尸={H"=2""eN*#V10},。={2,3,5},則集合T={盯中

元素的個(gè)數(shù)為()

A.30B.28C.26D.24

破解：尸=徊〃=2左一：UeN*/V10}={l,3,5,7,9,ll,13,15,17,19},2={2,3,5)

因?yàn)門={孫w。},當(dāng)xeP,y=2時(shí)，孫為偶數(shù)，共有10個(gè)元素

當(dāng)無eP,y=3時(shí)，孫為奇數(shù)，此時(shí)刈=3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,共有10個(gè)元素

當(dāng)xeP,y=5時(shí)，孫為奇數(shù)，此時(shí)孫=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95,有重復(fù)數(shù)字

15,45,去掉，共有8個(gè)元素.

綜上7={町ye。}中元素的個(gè)數(shù)為10+10+8=28個(gè)，故選：B

變式1：設(shè)集合M={2〃工-,若-3eM,則實(shí)數(shù)相=()

A.0B.-1C.0或TD.0或1

破解：根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分另U討論2加一1=一3和加一3=-3兩種情況，求解，"并

檢驗(yàn)集合的互異性

設(shè)集合M={2m—1,帆一3},若—3eM,,-3e",二2冽一1=一3或m―3=—3。

當(dāng)2/九一1=一3時(shí)，m=-l,此時(shí)M={-3,-4}，當(dāng)m一3=-3時(shí)，m=0,此時(shí)M={-3,-1}

所以機(jī)=-1或。，故選：C

變式2：已知集合A={1,2,3},B={a-b\a^A,b^A\,則集合2中元素個(gè)數(shù)為（）

A.5B.6C.8D.9

破解：集合A={1,2,3},B=\a-b\aA,b,貝1」當(dāng)〃=〃時(shí)，有〃一人=。，當(dāng)時(shí)，

〃一6=1或〃一/?=2,當(dāng)時(shí)，1一〃=一1或〃一6二—2,所以3={—2,—1,0,1,2},集合

3有中5個(gè)元素，故選：A

變式3：若。￡{1,3,/},則〃的可能取值有（）

A.0B.0,1C.0,3D.0,1,3

破解：根據(jù)元素與集合的關(guān)系及集合中元素的性質(zhì)，即可判斷〃的可能取值

，=0,則〃￡{1,3,0},符合題設(shè)，，=1時(shí)，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合

題設(shè)，々=3時(shí)，則［￡{1,3,9},符合題設(shè)，?，.〃=0或a=3均可以.故選：C

三9

1.對(duì)于復(fù)數(shù)a,6,c,d,若集合S={a,6,c,d}具有性質(zhì)”對(duì)任意尤,yeS,必有孫eS”，則

4=1

當(dāng)伊=1時(shí)，b+c+d等于（）

c2=b

A.1B.-1C.0D.i

【答案】B

【詳解】試題分析：集合S={a,"c,d}中（7,6,c,d各不相同［。=1萬=1；.6=一1

:.c2c=±i,由已知“對(duì)任意尤,yeS,必有肛eS”可知c=1時(shí)d=—i,c=-z?時(shí)d=i

:.b+c+d——1

2.已知集合4={12。-1},5={0,3,/+1},若A3={2},則實(shí)數(shù)〃的值為

A.±1B.-1C.1D.0

【答案】B

【詳解】因?yàn)锳c3={2},則〃+i=2,即。=±1.但當(dāng)。=1時(shí)，A={1,2,0）,

此時(shí)AIB={0,2},不合題意，舍去，所以。=—1,故選B.

3.已知集合A={0,2.+1/-2},若—leA,則實(shí)數(shù)〃=（）

A.1B.-1C.0D.±1

【答案】A

【分析】根據(jù)-leA得/-2=-1或2。+1=-1,分類討論結(jié)合集合中元素的互異性求

解即可.

【詳解】由-leA,可得/_2=-1或2。+1=-1,解得：。=1或-1,

當(dāng)。=1時(shí)，集合A={0,3,T},符合題意；

當(dāng)a=-1時(shí)，集合A={0,-1,-1}不滿足集合的互異性；

綜上，4=1.

故選：A.

4.已知集合人={4,乂2H，B={-2,x2,l-y],若A=5,則實(shí)數(shù)x的取值集合為（）

A.{-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2）

【答案】B

【分析】根據(jù)集合元素的唯一性分類討論即可.

【詳解】因?yàn)锳=B,所以—2eA.

當(dāng)x=-2時(shí)，2y=l-y,得y=；；

當(dāng)2.v=-2時(shí)，貝（jx=2.

故實(shí)數(shù)尤的取值集合為{-2,2}.

故選：B

5.已知aeR,bwR,若集合卜,，」}={/〃一仇。},則/。段+房兇的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】結(jié)合已知條件，利用集合的互異性即可求解.

【詳解】?.?集合，=分母"0,

2

b=Q,a=1J且/wa—匕=〃，解得〃=—1,

???/。19+產(chǎn)。=—1.

故選：B.

6.已知集合4=卜/+1,4+4”9,2021},若YeA,則實(shí)數(shù)。的值為（）.

A.-5B.1C.5或-1D.-5或1

【答案】B

【分析】根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系，及集合元素的互異性即可求出。的值.

【詳解】A={a+l,q2+4。-9,2021},且-4eA,.,.T=a+1或Y=/+4a-9

⑴、當(dāng)-4=a2+4a-9即a=—5或,

①、當(dāng)a=—5時(shí)，a+l=-4,tz2+4a-9=-4,此時(shí)A={-4,-4,2021},不滿足集合元素

的互異性，故舍去；

②、當(dāng)a=l時(shí)，（7+1=2,a2+4<2-9=-4,此時(shí)A={2,-4,2021},符合題意；

⑵、當(dāng)a+l=-4即許-5時(shí)，止匕時(shí)A={-4,<2021},不滿足集合元素的互異性，故舍

去；

綜上所述：實(shí)數(shù)〃的值為1.

故選：B

7.已知x為實(shí)數(shù)，A=[2,x,x2},集合A中有一個(gè)元素恰為另一個(gè)元素的2倍，則實(shí)數(shù)x

的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由題意分情況討論并判斷即可.

【詳解】由題意：

當(dāng)2=2x時(shí)，x=l,此時(shí)集合A={2,1,1},不成立；

當(dāng)2=2/時(shí)，x=±l9x=l時(shí)不成立，元二一1時(shí)，集合A={2,-1,1},成立；

當(dāng)%=2x2=4時(shí)，集合A={2,4,16},成立；

當(dāng)％=2尤2時(shí)，％=0或x=%=0時(shí)集合A={2,0,0},不成立，工=；時(shí)集合4=[2,；,：|

成立；

當(dāng)爐=2x2時(shí)，x=±2,九=2時(shí)集合A={2,2,4},不成立，了=-2時(shí)集合A={2,—2,4},

成立；

當(dāng)％2=2兀時(shí)，I=0或x=2,x=0時(shí)集合A={2,0,0},不成立，％=2時(shí)不成立;

故尤e2,-1,—,4j,

故選：B.

8.已知集合A={12,/+4a,o+10},5eA,貝4。=()

A.-5B.-5或1C.1D.5

【答案】C

【分析】分/+4a=5和a+10=5兩種情況進(jìn)行求解，要檢驗(yàn)是否與互異性矛盾，得至U

答案

【詳解】當(dāng)〃+4°=5,解得。=-5或1,

當(dāng)。=-5時(shí)，。+10=-5+10=5,與元素互異性矛盾，舍去；

當(dāng)a=l時(shí)，A={12,5,11},滿足要求，

當(dāng)。+10=5時(shí)，解得。=-5,顯然與元素互異性矛盾，舍去，

綜上，4=1.

故選：C

易錯(cuò)點(diǎn)四：判斷充分性必要性位置顛倒

1.充分條件與必要條件的相關(guān)概念

(1)如果p=>q,則p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；

⑵如果p=>q,但q#p廁p是q的充分不必要條件；

(3)如果p=>q,且q=>p,則p是q的充要條件；

⑷如果q=>p,且p3q,貝l|p是q的必要不充分條件；

(5)如果p與q,且q與p,則p是q的既不充分又不必要條件

2.從集合角度理解充分條件與必要條件

若p以集合A的形式出現(xiàn),q以集合B的形式出現(xiàn)，即A={p(x)},B={q(x)},則關(guān)于充分條件、

必要條件又可以敘述為：

(1)若A7B,則p是q的充分條件；

(2)若B7A,則p是q的必要條件；

⑶若A=B,則p是q的充要條件；

(4)若A1B,則p是q的充分不必要條件；

(5)若A遑B,則p是q的必要不充分條件；

(6)若A0B且AQB,則p是q的既不充分又不必要條件.

易錯(cuò)提醒：(1)A是B的充分不必要條件是指:AnB且B?A;

⑵A的充分不必要條件是B是指:BnA且A?B,在解題中要弄清它們的區(qū)別，以免出現(xiàn)

錯(cuò)誤.

例命題“、笈^國可,％2-々^。”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是()

A.tz<4B.a>4C.a<5D.a>5

破解：求解命題一a<0，，為真命題時(shí)。24,即可根據(jù)真子集求解

命題“以且1,2],/一440，，為真命題,則“2，對(duì)也812恒成立，所以。2(/Lx，故

a>4,所以命題“Vxc[1,2],Y“w0”為真命題的充分不必要條件需要滿足是｛a\a>4)

的真子集即可，由于?25｝是?24｝的真子集，故符合，故選：D

變式1：已知命題P：Vxe[T2],1x2-a>0,則"為真命題的一個(gè)充分不必要條件

是()

A.a<-2B.a<0C.^<8D.a<16

破解：先分離參數(shù)求出〃的取值范圍，則。為真命題的一個(gè)充分不必要條件應(yīng)該是

(-8,。]的一個(gè)真子集，由題設(shè)命題為真，即在xe[T,2]上恒成立，所以

尤]=o,則p為真命題的一個(gè)充分不必要條件應(yīng)該是(7,()]的一個(gè)真子集，

故選：A

變式2：記方程①：尤2+以+1=0,方程②：/+法+2=0,方程③：x2+cx+4=0,

其中。，瓦c是正實(shí)數(shù).若。力,c成等比數(shù)列，則“方程③無實(shí)根”的一個(gè)充分條件是()

A.方程①有實(shí)根，且②有實(shí)根B.方程①有實(shí)根，且②無實(shí)根

C.方程①無實(shí)根，且②有實(shí)根D.方程①無實(shí)根，且②無實(shí)根

破解：根據(jù)判別式以及充分條件的定義逐項(xiàng)分析

由題意，b=aq,c=bq=aq2,其中q>0,

對(duì)于A,如果Y+辦+1=0有實(shí)根，則A=/—420,。22,如果無2+版+2=0有實(shí)根,

則820,/722VL4有可能大于等于近廁A3=c2-16=aV*-16,即A有可

能大于等于0,即由①②不能推出③無實(shí)根，A不是充分條件，

對(duì)于B,有心2/<2夜，則必有g(shù)V0,即AjZ/TGVO,方程③無實(shí)根，所以B

是③無實(shí)根的充分條件.

對(duì)于C,有a<2,bN2五,：.q>也,A3=Z>V-16>0,方程③有實(shí)根，C不是方程③無

實(shí)根的充分條件，

對(duì)于D,有0<2,6<2應(yīng)，q的值不確定，有可能小于夜，也有可能大于血,不能保

卜

證方程③無實(shí)根，例如。=0.11=2,貝必=—=2。，A=22X202-16>0

a3

所以D不是方程③無實(shí)根的充分條件，故選：B.

變式3：若無,yeR,則“x>N”的一個(gè)充分不必要條件可以是（）

A.|x|>|y|B.x2>j2

X3

C.->1D.2x-y>2

破解：由|R>N，/>,2推不出x>y,排除AB

yY—V丫

由—>1可得-->0,解得x>y>0或x<y<0,所以—>1是x>y的既不充分也不

yyy

必要條件，排除c,2">2nx>y,反之不成立，D正確，故選：D

1.設(shè)。1為實(shí)數(shù)，貝『'a>b>0”的一個(gè)充分非必要條件是（）

A.s/a-1>y/b—lB.a2>b1

C.—>—D.a—b>b—a

ba

【答案】A

【分析】由充分非必要條件定義，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷各項(xiàng)與a>b>0推出關(guān)系即

可.

------,fu-1>b—1

【詳解】由貝此八八，可得可推出a>人>0,反向推

不出，滿足；

由"〉"，則推不出。>。>0,反向可推出，不滿足；

由!〉,，則d>b>。或或。>〃>/?,推不出a>b>0,反向可推出，不

ba

滿足；

由則推不出a>b>0,反向可推出，不滿足；

故選：A

2.使成立的一個(gè)充分不必要條件是()

A.VxG(0,1],a^b+xB.V%￡(0,l],a+x<b

C.3XG[0,1],a<b+xD.3J;G[0,1],a+xWb

【答案】B

【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系結(jié)合充分不必要條件分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,若VXE(0,1],當(dāng)。=Z?時(shí)，a=b〈b+x成立,

所以“V%￡(0,l],aWb+x”/“a〈b”,A不滿足條件；

對(duì)于B,Vx€(0,1],a+x<b,則ava+xvZ?,W?a<b,

所以“V%￡(o,l],a+x<b”n"a〈b”,

若a〈b,貝iJVx￡(0,l],不妨取a=l,b=1.2,%=0.5,貝ija+x〉/?,

所以“VX￡(0』，a+x〈b”ha<b”,

所以“VX￡(O』，〃+是的充分不必要條件，B滿足條件；

對(duì)于C,若〃<Z?,貝lj3x￡[0,l],使得av〃4人+%,BPa<b+x,

即“〃</?"=>“三%￡[0,1],a</?+%”，

所以“土￡[0』，avA+/是的充分條件，C不滿足條件；

對(duì)于D,若3X￡[0,1],a+x^b,則+即〃《人，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成

立，

所以“Hr6[0,1],a+xWZ?”聲“〃</?”，D不滿足條件.

故選：B.

3.若不等式-。+1<X<。+1的一個(gè)充分條件為Ovxvl,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.a>0B.a>0C.a>lD.a>l

【答案】D

【分析】結(jié)合充分條件的定義列出不等式組，求解即可.

【詳解】若不等式一+1的一個(gè)充分條件為。VXV1,

0>-?+1

貝U（。,1）U（—，所以<—〃++解得

a+l>l

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是。21.

故選：D.

4.命題“VXGR,2丘2十辰—?<o，，為真命題的一個(gè)充分不必要條件是()

8

A.^G(-3,0)B.^G(-3,0]C.左￡(一3,1)D.左￡(一3,+“)

【答案】A

【分析】先求命題“VXER,2點(diǎn)2+日—<o，，為真命題的等價(jià)條件，再結(jié)合充分不必要的

O

定義逐項(xiàng)判斷即可.

93左<0

【詳解】因?yàn)镈XER,2依+依一%<0為真命題，所以攵=0或92”八=一3〈人W0,

8[k+3^<0

3

對(duì)A,(-3,0)是命題“VxeR,2履?+依-O<0”為真命題的充分不必要條件，A對(duì)，

3

對(duì)B,(-3,0]是命題“Vx￡R,2fcv?+點(diǎn)一<0”為真命題的充要條件，B錯(cuò)，

8

對(duì)C,(-3,1)是命題“\/"艮2去2+后_O?<0，，為真命題的必要不充分條件，c錯(cuò)，

3

對(duì)D,(-3,+e)是命題“VxeR,2履2十近一<o"為真命題的必要不充分條件，D錯(cuò)，

O

故選：A1a

5.如果不等式卜-4<1成立的充分不必要條件是;則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A-B.!JC.1，務(wù)

d-[TH”)

【答案】B

【分析】解絕對(duì)值不等式，得到a-l<x<l+a,結(jié)合題干條件得到卜及令<t｝是

｛乂。-l<xvl+a｝的真子集，從而得到不等式組，求出實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【詳解】|x-?|<l,解得：a-\<x<\+a,

「13

所以成立的充分不必要條件是2Vx,

故卜|卜<:

1I,1

〃一,I43一2^Q—1<一

2

所以

3

a+l>—a+l>-

22

I3

解得：彳<。<7，

22

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故選：B

6.命題“D%￡（l,2）,log2%-。<0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.a>QB.a>2C.a>lD.a<4

【答案】B

【分析】對(duì)命題Vxe（l,2）,log2X-a<。進(jìn)行求解，可得再通過充分條件和必要條

件進(jìn)行判斷即可.

【詳解】因?yàn)槊}Vxe（l,2）,log2X-a<0是真命題，當(dāng)尤e（l,2）時(shí)，0<log2A；<l,若

a>log2X恒成立，則結(jié)合選項(xiàng)，命題是真命題的一個(gè)充分不必要條件是。22,

故選：B.

7.函數(shù)/。）=尤3-取+。一I有兩個(gè)零點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.a=3B.a=2C.a=\D.a=0

【答案】A

【分析】先因式分解得/（x）=（x-D（f+x+l-a）,再分類討論求解當(dāng)了⑺有兩個(gè)零點(diǎn)

時(shí)。的值，再根據(jù)充分不必要條件的性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可

【詳解】/（%）=尤3-1一。（無一1）=（*一1）（尤2+x+l一。），〃幻有兩個(gè)零點(diǎn)，有兩種情形:

①1是y=/+x+l-。的零點(diǎn)，貝|。=3,此時(shí)y=l+x_2有1,2共兩個(gè)零點(diǎn)

②1不是y=/+x+i-。的零點(diǎn)，貝°判別式1—4（1一。）=0,即。=彳

。=3是/（x）有兩個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件

故選：A.

8.己知a,Z?eR,則“必片0”的一個(gè)必要條件是（）

A.a+b^OB.cr+b2^0C.a3+Z?30D.—

ab

【答案】B

【分析】利用"=3力=-3否定ACD選項(xiàng)，進(jìn)而得答案.

【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)。=3,。=一3時(shí)，ab/O,此時(shí)。+6=0,故a+bwO不是

而片0的必要條件，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)他中0時(shí)，力+6片。成立，反之，不成立，故"+片片0是用力。的必

要條件，故正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)。=3,〃=-3時(shí)，仍片0,但止匕時(shí)“3+〃=。，故a?+戶片0不是而70的

必要條件，故錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)。=3,6=-3時(shí)，破工0,但此時(shí),+』=0,故故,+!/0不是。6中0的

abab

必要條件，故錯(cuò)誤.

故選：B

易錯(cuò)點(diǎn)五：由含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假求參數(shù)的取值范

圍

根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍的方法步驟：

第一步：求出當(dāng)命題p,q為真命題時(shí)所含參數(shù)的取值范圍；

第二步：根據(jù)復(fù)合命題的真假判斷命題p,q的真假性；

第三步：根據(jù)命題p,q的真假情況，利用集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，求解參數(shù)的取值范圍.

易錯(cuò)提醒：此類題目一般會(huì)出現(xiàn)“p或q”為真,“p或q”為假,“p且q”為真,“p且q”為假

等條件，解題時(shí)應(yīng)先將這些條件