專題6-1向量重難點(diǎn)題型匯總(17類題型)

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

2024年I卷第3題，5分平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、化簡(jiǎn)、

證明及數(shù)量積的應(yīng)用問題，如證

2024年甲卷(理)第9題，5分

明垂直、距離等是每年必考的內(nèi)(1)向量的有關(guān)概念

容，單獨(dú)命題時(shí)，一般以選擇、

2023年I卷第3題，5分

向量的線性運(yùn)算和向量共

填空形式出現(xiàn).交匯命題時(shí)，向(2)

線定理及其推論

2023年II卷第13題，5分量一般與解析幾何、三角函數(shù)、

平面幾何等相結(jié)合考查，而此時(shí)

投影向量

2023年乙卷(理)第12題，5分(3)

向量作為工具出現(xiàn).向量的應(yīng)用

是跨學(xué)科知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，務(wù)平面向量的坐標(biāo)表示及坐

2022年北京卷第10題，5分(4)

必引起重視.標(biāo)運(yùn)算

預(yù)測(cè)命題時(shí)考查平面向量數(shù)量積(5)平面向量的數(shù)量積及其幾

2020年新高考I卷，第7題,5分的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，同時(shí)與何意義

三角函數(shù)及解析幾何相結(jié)合的解

答題也是熱點(diǎn)

模塊一熱點(diǎn)題型解讀(目錄)

【題型1】向量的概念辨析易錯(cuò)題梳理....................................................2

【題型2】向量的垂直與共線...........................................................3

【題型3】向量的夾角與模長(zhǎng)計(jì)算.......................................................4

【題型4】投影向量.....................................................................6

【題型5】用其他向量表示已知向量......................................................7

【題型6】平面向量共線定理............................................................9

【題型7】平面向量共線定理的推論.....................................................10

【題型8］極化恒等式求數(shù)量積.........................................................13

【題型9】投影法求數(shù)量積.............................................................17

【題型10］拆分向量求數(shù)量積..........................................................18

【題型11］建立坐標(biāo)系解決向量問題....................................................20

【題型12］三角形四心的識(shí)別..........................................................23

【題型13】向量的四心運(yùn)算............................................................26

【題型14］等和線問題................................................................28

【題型15］通過平面向量共線定理的推論求最值.........................................32

【題型16］奔馳定理..................................................................34

【題型17］向量中的隱圓問題..........................................................37

模塊二1核心題型?舉一反三

【題型1］向量的概念辨析易錯(cuò)題梳理

基礎(chǔ)知識(shí)

1、零向量的方向是任意的，注意。與0的含義與書寫區(qū)別.

2、平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；

共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

3、共線向量與相等向量關(guān)系：相等向量一■定是共線向量，但共線向量不一■定是相等向量.

4、若兩向量共線，則兩向量所在的直線有平行和重合兩種可能

5、零向量是影響向量平行或共線判斷的“幽靈”，要特別注意

6、向量相等具有傳遞性，即若a=b,b-c,則a=c。而向量的平行不具有傳遞性，即若a〃瓦b〃c,未必有a〃c。

因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我庀蛄浚?dāng)b=。時(shí),a,c可以是任意向量，所以a與c不一定平行。但若b*0,則必有

a//b,b//c今a//c

1.（多選）下列結(jié)論中正確的是（）

A.若卜卜則〃

B.若a=b,b=C,貝!|a=c

C.若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，貝=DC”是“四邊形ABC。為平行四邊形”的充要條件

D.%=用的充要條件是“同叫且勿右

2.有下列結(jié)論：

①表示兩個(gè)相等向量的有向線段，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；

②若"b,則a，Z?不是共線向量；

③若,8卜則四邊形ABCZ）是平行四邊形；

④若m=n,n=kf則z=R；

⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段.

其中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【鞏固練習(xí)11下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①單位向量都相等；②模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量;

③若滿足|a|>|B|,且a與〃同向，貝（

④若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合;

⑤若a〃h力〃c,則々〃C

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【鞏固練習(xí)2】（多選）下列敘述中錯(cuò)誤的是（）

A.a=b,則3a>23B.若a//b，則。與〃的方向相同或相反

C.若a〃b，方〃C，則〃〃CD.對(duì)任一非零向量a，2是一個(gè)單位向量

\a\

【題型2】向量的垂直與共線

基礎(chǔ)知識(shí)

（1）向量共線定理：如果a=且）*0,貝4a〃8；反之。〃入且方wO,則一定存在唯——個(gè)實(shí)數(shù)為，使

a=Ab.

（2）兩個(gè)向量〃的夾角為銳角=〃.Z?〉0且a,不共線;

兩個(gè)向量a,Z7的夾角為鈍角=〃./?<（）且a,）不共線.

（3）aLba-b=O

（4）若a=（x,y）,則（尢V,2y）

向量共線運(yùn)算：已知1=（.必）/=（巧,為），則向量拓wo）共線的充要條件是玉y2T2yi=o

3.向量〃=(1,3),6=(3%—1,%+1),c=(5,7),若(〃+/?)〃(a+e),且c=加〃+腦，則加+〃的值為()

A.2B.—C.3D.—

22

【鞏固練習(xí)1］已知向量〃=(1,1),5=(-1,1),c=(4,2),若W=+貝微+4=()

A.-2B.-1C.1D.2

【鞏固練習(xí)2】設(shè)向量〃二(cos樂也sinx),=其中無￡[0,旬.

⑴若(〃-b)〃匕，求實(shí)數(shù)x的值；(2)已知c=(m,-l)且cl/?,若/(%)=〃?<?,求/(x)的值域.

【鞏固練習(xí)3】(多選)已知向量a=(l,G),b=(cosa,sina),則下列結(jié)論正確的是()

A.若al/，貝！hana=#

B.若“J_b，貝=

C.若〃與人的夾角為(貝IJ|Q-Z?|=3

D.若°與b方向相反，則6在。上的投影向量的坐標(biāo)是

【題型3】向量的夾角與模長(zhǎng)計(jì)算

基礎(chǔ)知識(shí)

a-ba-ya+b)

。與b夾角公式：cos<9=nT7l〃與a+b夾角公式：COS8=T3-------p

\a\\b\麗+司

注意：涉及,。士〃,這類條件時(shí)一般要進(jìn)行平方

4.已知向量|a|=3，W=2,a與3的夾角為則12a-30=()

A.6B.3A/6C.3D.3亞

5.已知向量”，6滿足同=1，,=3,a-b=(2，咐,則|3°+囚=

6.已知向量a=（1,2）,6=（4,后），若。與、垂直，則。與a+b夾角的余弦值為（）

A舊B2D1

5435

7.設(shè)向量a=（x,-4）,Z?=（l,-x）,向量。與b的夾角為銳角，則x的范圍為.

【鞏固練習(xí)。向量”=（2j）,b=（—1,3）,若a,沙的夾角為鈍角，貝打的范圍是

【鞏固練習(xí)2】已知0,b為單位向量，且|3d-54=7,則。與的夾角為（）

7127171571

A."B.—C.-D.—

3366

【鞏固練習(xí)3】（2024.高三.上海奉賢.期中）已知平面向量0,介的夾角為：，若口=1,|2。-。|=麗，則

w的值為.

【鞏固練習(xí)4］已知G，e；表示兩個(gè)夾角為會(huì)的單位向量，。為平面上的一個(gè)固定點(diǎn)，P為這個(gè)平面上任

意一點(diǎn),當(dāng)。=咫+用時(shí)，定義（尤4）為點(diǎn)尸的斜坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)Q的斜坐標(biāo)為（2,1）,則|。。|=.

【鞏固練習(xí)5】（2024?江西宜春?三模）已知口，方均為非零向量，若12a-6|=|b|=2|a|,則“與3的夾角

為.

【題型4】投影向量

bb

向量a在z,上的投影向量：w"="rcos/”，其中同是與b同方向的單位向量

a-b

向量々在b上的投影向量模長(zhǎng)：［適

8.已知Q,b是夾角為120。的兩個(gè)單位向量，若向量〃+動(dòng)在向量4上的投影向量為2〃，貝!］丸=()

「20

3

9.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)尸在直線x+2y+l=0上.若向量二=。,2),

則0P在。上的投影向量為()

￡2

5,5

D.(-1,-2)

10.已知向量。=(-2,2)/=(1,1),則〃_匕在一方向上的投影向量為.

11.已知點(diǎn)A(T,D、3(1,2)、。(-2,-1)、0(3,4),則向量.在C￡＞方向上的投影向量的模長(zhǎng)為

3715述3而

22

【鞏固練習(xí)1】已知同=2,a與〃的夾角為丁，e是與〃同向的單位向量，則a在&方向上的投影向

量為()

B.-1D.-g

【鞏固練習(xí)2】已知網(wǎng)=3,e是與5方向相同的單位向量.若向量。在人方向上的投影向量是4e，則

a-b=

【鞏固練習(xí)3］若向量a=(x,2),〃=(2,3),c=(2,T),且〃〃c，則a在b上的投影向量為()

812812

A.B.C.（8,12）

13，1313913D.普

【鞏固練習(xí)4】(2024?黑龍江哈爾濱.模擬預(yù)測(cè))已知向量a2滿足同=2/=(3,0乂加0=而，則向量。

在向量8方向上的投影向量為()

A.［別B.C.Q,o］D,(1,0)

【題型5】用其他向量表示已知向量

基礎(chǔ)知識(shí)

(1)基本思路：利用向量的線性運(yùn)算對(duì)已知向量進(jìn)行拆分，逐漸轉(zhuǎn)化為只有基底向量的形式

(2)坐標(biāo)表示：待定系數(shù)法

(3)常見模型補(bǔ)充：向量中的定比分點(diǎn)恒等式(爪型圖)

BDm-YYI-V)-

在八48。中，D是BC上的點(diǎn)，如果——=一，則AD=--------AC+--------AB

CDnm+nm+n

12.在ABC中，點(diǎn)。滿足AD=3DB，則()

13

A.CD=—CA+—CBB.CD=-CA+-CB

4433

31

C.CD=-CA+—CBD.CD=-CA+-CB

4433

13.若向量“=(2,1),2=(-1,2),c=(°，|］，貝1Jc可用向量口，乃表示為()

11-r

A.-a+bB.一一a-b

22

3131

C.-a+-7bD.—a——b

2222

14.如圖所示的AABC中，點(diǎn)。、E分別在邊5C、A0上，^BD=DC，ED=2AE,則向量AE=()

iuuniumn

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

33666633

15.已知「.ABC的邊BC的中點(diǎn)為。，點(diǎn)E在MC所在平面內(nèi)，S.BD=2BE-BA,若

mCE+nAC=AB,則加+〃=()

A.7B.6C.3D.2

【鞏固練習(xí)1】如圖所示，點(diǎn)C在線段3。上，且BC=3CD,貝IJAD=()

4一1-12?

A.3AC-2ABB.4AC-3ABC.-AC--ABD.-AC--AB

【鞏固練習(xí)2】如圖，在/3C中，AN=gAC,P是BN的中點(diǎn)，若AP=%4B+〃AC，則加+〃=()

A

N

P

BC

133

A.—B.1C.—D.一

224

【鞏固練習(xí)3】已知在，ABC中，N是邊的中點(diǎn)，且43M=8C，設(shè)川W與CN交于點(diǎn)P.記=

⑴用。，6表示向量AM,CN；

（2）若21al=2|,且CP1AB，求（凡河的余弦值.

【題型6】平面向量共線定理

基礎(chǔ)知識(shí)

平面向量共線定理：三點(diǎn)A,B,C共線0和，AC共線（功能：證明三點(diǎn)共線）

16.已知向量AB=（2,1）,BC=（l,m）,CD=（3,-1）,若A,B,。三點(diǎn)共線，則加=

17.已知A6=3（ei+e2）,CB=e2-q,CD=2e]+e2,則下列結(jié)論中成立的是（）

A.A,B,C三點(diǎn)共線B.A,B,。三點(diǎn)共線

C.A,D,C三點(diǎn)共線D.D,B,C三點(diǎn)共線

18.如圖，在YA3CD中，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在3。上，3BN=BD.

求證：M,N,C三點(diǎn)共線.

【鞏固練習(xí)1］已知MN=a+58，NP=-2(a-4b),P0=3伍-b),則()

A.M,N,尸三點(diǎn)共線B.M,N,。三點(diǎn)共線

C.M,P,。三點(diǎn)共線D.N,P,。三點(diǎn)共線

【鞏固練習(xí)2】已知不共線的向量a,b,且AB=a+2》，BC=-5a+6b>CD=7a-2b，則一定共線的三

點(diǎn)是()

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

【鞏固練習(xí)3】如圖，在JWC中，CD=2DB,AE=EC.

(1)用AB,AD表示AC，BE;

13

(2)若點(diǎn)M滿足=—AB-\—AC,證明：B,M,￡二點(diǎn)共線.

24

I-I檔題里

【題型7】平面向量共線定理的推論

;孩，但畫

平面向量共線定理的推論——系數(shù)和為1:

已知+

A

C

PB

①若4+〃=1,則A、B、C三點(diǎn)共線；

②若則A、B、C三點(diǎn)共線，則2+〃=l.

證明

證明①：由X+y=lnA,B,c三點(diǎn)共線.

由x+y=1得：PC=xPA+yPB=xPA+(l-x)PB=PC—PB=x(PA-PB)nBC=xBA.

即B。，B4共線，故A,B,C三點(diǎn)共線―

(2)由A,B,c三點(diǎn)共線nx+y=l.

由A,B,C三點(diǎn)共線得BC，8A共線，即存在實(shí)數(shù)2使得3C=；18A.

故3尸+尸。=2(3尸+尸4)=尸。=2尸4+(1—彳)尸3.即工=4^=1一/1,則有％+y=l.

1?

19.在.ABC中，N是AC上的一點(diǎn)，旦AN=-NC,尸是BN上的一點(diǎn)，^AP=mAB+—AC,則實(shí)數(shù)相

311

20.(深圳二模)已知中，。。=14，OD=2DB，AO與3C相交于點(diǎn)M,OM=xOA+yOB,則

有序數(shù)對(duì)(x,y)=()

21.在4ABe中，已知BO=2DC，CE=EA,仍與AD交于點(diǎn)。.若CO=xCB+yCA(x,yeR),則

x+y=.

22.已知點(diǎn)G為ABC的重心，分別為AB,AC邊上一點(diǎn)，D,G,E三點(diǎn)共線，廠為BC的中

14

點(diǎn)，若A尸=XAD+〃AE,則2+〃=;不+一的最小值為

X〃

2024屆?湖南師大附中月考（二）

23.ABC中，。為AC上一點(diǎn)且滿足A￡>=；OC,若P為BD上一點(diǎn),且滿足4尸=幾48+〃4（7,彳,〃為正

實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.的最小值為JB.加的最大值為1

16

C.；的最小值為4D.；+；的最大值為16

44〃44〃

1?

【鞏固練習(xí)1】如圖，在△/勿中,AN=-NC,產(chǎn)是勿/上的一點(diǎn)，^AP=mAB+—AC,

311

則實(shí)數(shù)"=

【鞏固練習(xí)2】江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2023屆高三下學(xué)期3月教學(xué)情況調(diào)研（一）

在ABC中，已知8O=2OC，CE=EA,班與AD交于點(diǎn)。.若CO=xCB+yCA（x,yeR）,則

x+y=.

【鞏固練習(xí)3】如圖所示，在,.ABC中，點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別交直線AB、AC于不同的兩

點(diǎn)M、N,若48=機(jī)40,46="4"（機(jī),”>0）,則帆+〃的值為（）

2

【鞏固練習(xí)4】在&AFC中，BC=3BD,CF=2FA，E是AB的中點(diǎn)，EF與AD交于點(diǎn)P,AP=mAB+nAC>

則加+〃=（）

46

A.2B.C.-D.1

777

【鞏固練習(xí)5】如圖，在中，。是線段8C上的一點(diǎn)，且過點(diǎn)。的直線分別交直線

AB,AC于點(diǎn)M,N.若AM=4A5,AN=//AC（A>0,//>0）,則彳一，的最小值是.

4

【鞏固練習(xí)6】已知三點(diǎn)A,B,C共線，QB,OC不共線且A在線段BC上（不含BC端點(diǎn)），若

14

OA=xOB+yOC,則一+—的最小值為（）

xy+1

79

A.不存在最小值B.-C.4D.-

【題型8］極化恒等式求數(shù)量積

核心?技巧

極化恒等式求數(shù)量積

在三角形ABC中（M為BC的中點(diǎn)），則有：AB-AC=|AM|2-|BM|2

證明（基底法）：因?yàn)樗訟8.AC=（AM+MB）.（AM+MC）=|AM「-\BMf

24.如圖，己知圓。的半徑為2,弦長(zhǎng)AB=2,C為圓。上一動(dòng)點(diǎn)，則ACBC的取值范圍為（）

A.[0,4]B.[5-473,5+473]

C.[6-4石,6+46]D.[7-473,7+473]

2022?北京高考T10——隱圓+極化恒等式

25.在JWC中，AC=3,BC=4,ZC=9O°.P為ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且尸C=l,則P4PB的取值范

圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

2024屆長(zhǎng)沙一中月考（二）

26.已知正四面體A-3CD的外接球半徑為3,MN為其外接球的一條直徑，P為正四面體A-3CD表面上

任意一點(diǎn)，則尸河.PN的最小值為.

27.（2017年全國2卷（理）T12）已知ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則尸A.（P8+尸C）

的最小值是（）

34

A.—2B.—C.—D.—1

23

28.（2019江蘇高考）如圖，在AABC中，D是BC的中點(diǎn),E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)A4?CA=4,

BFCF=-1,則5石石的值是.

IF

BDC

【鞏固練習(xí)1】如圖，AB是圓。的直徑，尸是圓弧A8上的點(diǎn)，M、N是直徑A8上關(guān)于。對(duì)稱的兩點(diǎn),

且AB=6,ACV=4,則尸()

C.5D.3

【鞏固練習(xí)2】如圖，邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)尸在線段8。上運(yùn)動(dòng)，若

ABAO=1，則PA.尸2的最小值為.

【鞏固練習(xí)3】如圖，Rt"3C中，NABC=90。，AB=2,BC=M點(diǎn)是線段AC一動(dòng)點(diǎn)，若以

M為圓心半徑為1的圓與線段AC交于尸，。兩點(diǎn)，則3尸必。的最小值為()

A1B.2C.3D.4

【鞏固練習(xí)4】平行四邊形ABCZ）中，AB-AZ）=5，點(diǎn)P滿足PB-P￡>=8，貝！IPA-PC=

【鞏固練習(xí)5]萊洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、工業(yè)上應(yīng)用廣泛，如圖所示,

分別以正三角形ABC的頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角

形，已知A8兩點(diǎn)間的距離為2,點(diǎn)尸為AB上的一點(diǎn)，貝1JP4?（尸B+PC）的最小值為.

UUIUL

【鞏固練習(xí)6】已知圓C的半徑為2,點(diǎn)A滿足|AC|=3,E,尸分別是C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|跖|=2石，則

的取值范圍是（）

A.[4,16]B.[2,6]C.[6,22]D.[1,13]

【鞏固練習(xí)7】半徑為2的圓。上有三點(diǎn)，A、B、C滿足。4+AB+AC=0，點(diǎn)P是圓內(nèi)一

點(diǎn)，則PA.PO+PBPC的取值范圍是.

【鞏固練習(xí)8】（等和線+極化恒等式）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,中心為O.過。的直線/與邊AB，CD

分別交于點(diǎn)M，N,點(diǎn)P滿足條件：2OP=WB+（1-A）OC,則PM.PN的最小值為（）

A.0B.-2C.-3D.-7

【鞏固練習(xí)9】在AABC中，BC=3,AC=4,ZACB=9Q°,。在邊AB上（不與端點(diǎn)重合）.延長(zhǎng)CD到

_133

P,使得CP=9.當(dāng)。為AB中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)度為—7_；若尸。=m24+（耳-㈤依（根為常數(shù)相W0且

3

m^-）,則5。的長(zhǎng)度是.

【題型9】投影法求數(shù)量積

/核心?技巧/

投影法求數(shù)量積

如圖，PAPB=PAPH

對(duì)于PBcos。,其中P3cos。是在叢上的投影,

在Rt^PBH中PBcos6?=PH,故PA48=PAPH,

考慮至'Jcos?可能為鈍角，故寫成PA-PB-PA-PH-

29.(2020?新高考1卷T7)已知尸是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABC。所內(nèi)的一點(diǎn)，則APAB的取值范圍是

()

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.?6)

30.已知圓O半徑為2,弦AB=2,點(diǎn)C為圓O上任意一點(diǎn)，則A3-AC的最大值是

2023全國乙卷(理)T12——投影法求最值

31.已知。的半徑為1,直線B4與。相切于點(diǎn)A,直線尸8與。交于2,C兩點(diǎn)，。為BC的中點(diǎn)，若

|PO|=&,則P4PZ)的最大值為()

1+A/2n1+2應(yīng)

A.D.----------------------

22

C.1+V2D.2+72

【鞏固練習(xí)1】在邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCD硬中，點(diǎn)P為其內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，則4>3尸的取值范圍為

【鞏固練習(xí)2】平面四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，且/A=120°.點(diǎn)N是。C邊上的點(diǎn)，滿足DN=3NC.點(diǎn)

M是四邊形ABC。內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM-AN的最大值為（）

A.13B.7C.14D.12+2指

【鞏固練習(xí)3】如圖，A8CD是邊長(zhǎng)2的正方形，尸為半圓弧BC上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)）則AB.&P的取值

范圍為.

【題型10］拆分向量求數(shù)量積

核心?技巧

把夾角或模長(zhǎng)未知的向量拆分成已知向量，若有動(dòng)點(diǎn)則需要結(jié)合動(dòng)點(diǎn)軌跡進(jìn)行拆分，比如動(dòng)

點(diǎn)在圓上動(dòng)，則拆解相關(guān)向量時(shí)插入圓心對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

32.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=4,NZMB=60。，E為8C邊上一點(diǎn)，且滿足

,,UUUULU

BE=2CE,右A?A8=4，則（）

A.-4B.-8C.4D.8

33.如圖在平行四邊形ABC。中，已知AB=8,AO=5,(JP=3PD，APBP=2,則

的值是.

DPC

34.騎自行車是一種環(huán)保又健康的運(yùn)動(dòng)，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪）,

圓。（后輪）的半徑均為石，ME,3EC,一屈力均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一

點(diǎn)，則在騎行該自行車的過程中，A。AP的最大值為.

、jr'rr

35.在平面四邊形ABC。中，ZBAD=—,ZBAC=-,AB=6,AD=2，AC=4.若

66

AC=2AB+juAD,則X+〃=()

【鞏固練習(xí)1］在ABC中，AC=3,BC=4,C4.C8=8，則AB邊上中線CO的長(zhǎng)為

7T

【鞏固練習(xí)2】如圖，在中，ZBAC=~,AD=2DB，尸為8上一點(diǎn)，且滿足

AP=mAC+AB(meR),若AC=3,AB=4,則APC。的值為（）.

131

A.-3B.---D.——

1212

【鞏固練習(xí)3】已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,/84。=120°,點(diǎn)E,尸分別在邊5C、QC上，5C=3BE,

DC=WF.若k=1，則2的值為

【鞏固練習(xí)4】（向量的拆分）如圖，ABC中，/C=（,AC=2,8C=#+JL在一ABC所在的平面

內(nèi)，有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ADEF繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（不少于1周），則.出。的取值范圍是

D.[-3,4]

【題型11】建立坐標(biāo)系解決向量問題

DfbcosQ,加in。)C(a+bcosQ,Z?sin0)

AB(a,0)

平行四邊形直角梯形等腰梯形圓

36.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AEJ_BD,則

AEEC=.

12n24

AB.——

2525

12八4

C.D-

y5

37.在矩形4區(qū)％中，/夕=4,M,〃分別是23Z7上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足2A"+AN=1,設(shè)

AC=xAM+yAN,則2x+3y的最小值為.

38.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知在菱形ABC。中，AB=BD=6,若點(diǎn)M在線段A。上運(yùn)動(dòng)，則5C8M

的取值范圍為

39.如圖，已知正方形A3CD的邊長(zhǎng)為3,S.2BC=3BE+AB，連接BE交8于則

p0kc（0,l）,若動(dòng)點(diǎn)尸滿足|B4|=2|尸理，且

40.（2024.廣東深圳.一模）設(shè)點(diǎn)A（-2,0）,B

AP=/IAB+〃AC,則2+2"的最大值為.

___27r

41.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA和。8，它們的夾角為學(xué).如圖所示，點(diǎn)C在以。為圓心的圓弧

上運(yùn)動(dòng).^OC=xOA+yOB,其中無、yeR,則x+2y的最大值為

【鞏固練習(xí)1】如圖，正八邊形ABCDEFGH中，若AE=/AC+〃A尸（”ueR）,則幾+〃的值為.

【鞏固練習(xí)2]（2024.高三.河南濮陽?開學(xué)考試）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作注時(shí)介紹

了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦圖”.如圖是某同學(xué)繪制的趙爽弦圖，其中四邊形ABCD,EFGH均為正方形，

AD=AE=2,貝!]所.4a=.

【鞏固練習(xí)3】菱形A3CD的邊長(zhǎng)為2道，中心為。，ZABC-M為菱形ABC。的內(nèi)切圓上任意一

點(diǎn)，S.BM=xBA+yBO,則2x+y的最大值為.

【鞏固練習(xí)4】（2024?天津?二模）已知菱形A3CD邊長(zhǎng)為1,且48以。=-±后為線段的中點(diǎn)，若產(chǎn)

2

在線段CB上，且8/=九胡+?BC,則2=，點(diǎn)G為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)G作8C的平行線

交邊A3于點(diǎn)過點(diǎn)M做8C的垂線交邊BC于點(diǎn)N,貝lJ（MG+MV>MF的最小值為.

【鞏固練習(xí)5】已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,。是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|P￡）|41,且

AP=xAB+yAC,其中x+y21,則2x+y的最大值為.

【題型12］三角形四心的識(shí)別

_法心^17

1、若O為AABC重心

⑴SABOC:S^COA:S—OB=1：1：1；

(2)OA+OB+OC=0-，

(3)動(dòng)點(diǎn)p滿足OP=OA+〃AB+AC),2e(0,+oo),則p的軌跡一定通過△ABC的重心

(\

ABAC

(4)動(dòng)點(diǎn)P滿足0P=。4+丸?―i------+1—i------,2G?,+OO),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過aABC的

|AB|sinB四卜in。，

(5)重心坐標(biāo)為：

2、若O為4ABC垂心

(1)OAOB=OBOC=OCOA

(2)|OA|2+|BC|2=|OB|2+叫=|oc|2+|AB|2

ABAC

(3)動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=Q4+4?―i------+i―i-------,AG(0,+OO),則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡一定通過△ABC的

ABcosBACcosC

垂心

3、若O為ZkABC內(nèi)心

(1)S^BOC-S/^COA-SAAOB=a：b：C

(2)a^OA+b-OB+c-OC=0

(ABACy

(3)動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+A----+-----,九￡[0,+8),則P的軌跡一定通過AABC的內(nèi)心

[\AB\\AC\)

(ACAByBCBA「C4CB'

(4)ON=0B,=0C,=0

|AC|\AB\)\BC\叫JCA\~'\CB\>

4、若O為AABC外心

⑴OA2=OB2=OC2；、

ABAC

(2)動(dòng)點(diǎn)尸滿足。尸=+X,4￡(0,+co),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一■定通過

2AB\COSBAC|cosC

△ABC的夕['心；

(3)若(CM+QB)-AB=(03+OC13C=((M+OC)-AC=0,則0是的外心;

42.已知點(diǎn)。為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，^AC-AB=2AOBC＞則點(diǎn)。的軌跡必通過ABC

的.（填：內(nèi)心，外心，垂心，重心）

43.已知ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M滿足+且實(shí)數(shù)無，y形成的向量2=（尤-g,y）與

6=（-1,2）向量共線，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必經(jīng)過ABC的心.（在重心、內(nèi)心、外心、垂心中選

擇）

44.已知O,N,P,/在ABC所在的平面內(nèi)，則下列說法不正確的是（）

A.若|。4卜|。@=|。4,則O是一ABC的外心

B.若CB.IA=AC-IB=BA.IC=0，則/是一ABC的內(nèi)心

C.若PA.PB=PB.PC=PCPA,則尸是」ABC的垂心

D.若NA+NB+NC=Q，則N是.ABC的重心

45.已知O,尸,N在―ABC所在平面內(nèi)，滿足|。小=[0q=|。4，PA+PB+PC^O,且

NA.NB=NB-N，=NC-NA，則點(diǎn)。，尸,N依次是.ABC的（）

A.重心，外心，垂心B.重心，外心，內(nèi)心

C.外心，重心，垂心D.外心，重心，內(nèi)心

46.（多選）點(diǎn)。在ABC所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）

A.若aOA+bO8+cOC=0，則點(diǎn)。是,ABC的重心

(AC

B.若OA=0,則點(diǎn)。是一ABC的內(nèi)心

1|AC|需"儡潟

C.^(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0,則點(diǎn)。是_ASC的外心

D.^OAOB=OBOC=OCOA,則點(diǎn)。是MBC的垂心

【鞏固練習(xí)1】點(diǎn)。,G,P為ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且有|。4『+阿卜網(wǎng)HQ4『=|0C『+網(wǎng)'

GA+GB+GC=O,(PA+PB\AB=(PB+PC)BC=(PC+PA)CA=O9則點(diǎn)QG,P分別為.ABC的

()

A.垂心，重心，外心B.垂心，重心，內(nèi)心

C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心

【鞏固練習(xí)2】已知點(diǎn)N,O,P在..ABC所在平面內(nèi)，S.PA+PB+PC=3PN,OA"=OB2=0(2

PAPB=PBPC=PCPA,則點(diǎn)N,O,尸依次是一ABC的()

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、內(nèi)心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內(nèi)心

【鞏固練習(xí)3】若。是AABC所在平面上一定點(diǎn)，H,N,Q在AABC所在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

'ABAC)