贛州市2025年高三年級摸底考試

數(shù)學(xué)試卷

2025年3月

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘

第I卷（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合IM,一級―3<。｝,，=｛x|3x-a<。｝,若AS,則實數(shù)0的取值范圍是（）

A.（9,+8）B.[9,+8）C.（-00,-3）D.（-CO,-3]

【答案】B

【解析】

【分析】先求解集合A,3,再利用集合的包含關(guān)系得到參數(shù)滿足的條件求解即可.

[詳解】解集合A=k/—2x—3<。｝=3—1<x<3｝,

解集合5==<xx<^>,

因為Au5,所以423na29,

_3

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z+l|=|z+3—2i],且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x,y）,貝U（）

A.x-y+3=0B.x+y+3=0C.5x-2y+6=0D,5x+2y+6=0

【答案】A

【解析】

【分析】由z=x+M（x,ywR）,代入|z+l|=|z+3—2i],利用模長公式整理得z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌

跡方程.

【詳解】z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x,y）,則z=x+yi（x,yeR）,

由|z+l|=|z+3—2i],得（尤+1）-+y2=（尤+3）-+（y-2）-,

化簡得X—y+3=0.

故選：A.

3.函數(shù)/(x)=>tan：的最小正周期是()

1-tanx

n7i-

A.—B.—C.兀D.27i

42

【答案】C

【解析】

【分析】借助正切函數(shù)的二倍角公式可得/(%)=tan2%,結(jié)合函數(shù)定義域及正切型函數(shù)的周期性計算即可

得.

fanT*TT

【詳解】7(%)=-----大—=tan2x,—+左兀(左wZ),

1-tan2x2'7

兀k

又tanxw±l,可得x工7+萬兀(左eZ),

jrjr

即/(x)=tan2x,且xw萬+也(左eZ)、x^—+—n^keZ),故T=TT.

故選：C.

4.已知數(shù)列｛a,｝的前"項和為Sn,滿足3aL2s“+1,貝ijS5=()

A.11B.31C.61D.121

【答案】D

【解析】

S,,7Z=1,,

【分析】首先利用公式4=，判斷數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，再代入公式，即可求解.

->2-1，”之2

【詳解】令〃=1,得3%=2S]+l=2q+l,得4=1,

由3an=2sti+1,

當(dāng)〃N2時，3a“T=2S=T+1,兩式相減得，

3an—3an_x=2(—Sn_1)=2an,即a“=3a“_],即/=3,

an-l

所以數(shù)列｛4｝是以q=1為首項，3為公比的等比數(shù)列，

所以S5/(I-3人⑵.

51-3

故選：D.

5.甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和3個白球(兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別)，先

從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，再從乙箱中隨機取出兩球，則取出的兩球都是紅球的概率為（）

.81144

A.—B.—C.—D.一

7575155

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)全概率的計算公式即可求.

【詳解】分別用事件A和4表示從甲箱中取出的球是紅球和白球，用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是

紅球,

a9C23c21

由題意可知P(A)=M，P(4)=W，P(5|A)=^=--P(B|4)=E|

15

332111

所以P（B）=P（A）P（B|A）+P（4）P（B|4）=yX運+^義運=元,

故選：B

6.已知函數(shù)〃x）=2cosox+己，%e[-71,0],若/（x）恰有3個極值點，則正數(shù)°的取值范圍為

)

-8⑴（811]「1319、（1319

L33J（33」L66J（66.

【答案】D

【解析】

TT

【分析】求出0X+=的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解即可.

「17C7C7C

【詳解】因為①>0,所以當(dāng)%￡兀,0］時，(DX+—e—CD71+—.—

OOO

因為/（X）恰有3個極值點，所以一3%+,

解得一＜0＜一，即0的取值范圍為|

66I66

故選：D

7.已知雙曲線C：二―與=1（。〉0]〉0）的左、右頂點分別為4，A,圓式+丁2=/與。的漸近線

a~b~

在第一象限的交點為直線4"交C的右支于點尸，若NP&M的角平分線與y軸平行，則C的離心

率為（

A.V2B.2C.73D.加

【答案】A

【解析】

【分析】求出點"的坐標(biāo)，根據(jù)點P在直線4〃上，結(jié)合左=左時求出點P坐標(biāo)，然后代入雙曲線方程

可得.

【詳解】由題知，4(—0),4(a,0),雙曲線過第一象限的漸近線方程為y=,x,

y——xabb

聯(lián)立」a，解得泡=幺,加=絲，則以“=一,

x2+y2=?2cca+c

b

所以直線A"的方程為丁=——(x+a\,

a+c

b

設(shè)？(%,%),則為="^(玉)+。)①，

因為ZP&M的角平分線與y軸平行，所以右A=-左%，

ab

即一^=———,整理得先=——也(/―a)②，

ax-aa-c

-----QQ

2b2

聯(lián)立①②解得/=c，%=b，代入雙曲線方程得二—勺=1，即e=—=0.

aba

故選：A

8.已知r>23，記〃=log73,/?=logn5,c=log237,則（）

A.c>b>aB.c>a>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】C

【解析】

(32、32

【分析】利用指數(shù)和對數(shù)運算，先估算出。不的取值范圍，再用對數(shù)運算來估算〃和即

可得到判斷.

1

【詳解】由換底公式等價變形得：a=log73,b^logH5,c=log237=,

log723

3

因為75>233,兩邊取以7為底的對數(shù)可得：5>log723=31og723log723<|,

2

又因為73=343<529=232,兩邊取以7為底的對數(shù)可得：3<log723=21og723log723>-,

1(32}

可知c=eL

log723153J

2

由3人=3108]]5=1081153=10811125>10811121=108]1112=2,可得

53

由5a=5log73=log73=log7243<log7343=log77=3,可得。<二，

從而可得a<c<Z?,

故選：C.

關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是借助已知數(shù)據(jù)和指數(shù)對數(shù)運算，可以估算出從而可以讓與有理數(shù)

,3(進(jìn)2行大小比較.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.E^D(2x+l)(x-2y=ao+4x+a2x2H--1■%丁，(o7H0),則()

A.〃=6B.%=-108

C4+q+a、+,?,+aI=3D.GQ+%+%+4=—363

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用二項式定理，結(jié)合賦值逐項進(jìn)行判斷即可.

7

【詳解】由(2x+l/x—2)=(IQ+ciyX++??,+tZy%,

所以(x-2)”的展開式中最高次項為6次項，即〃=6,故A正確；

(X—2)6的展開式中，力的系數(shù)為C；(—2)2=60,45的系數(shù)為c；(—2)1=—12,

則%=2x60+1x(-12)=108,故B錯誤;

令x=l,得(2+1)x(1—2)=/+q+a,+...+%=3,故C正確；

令x=—1,得(-2+1)x(—1—2)=CIQ—q+a。+,,,+%—%=—729,

所以,UQ+/+%+%>=------------=—363,故D正確；

故選：ACD.

10.設(shè)。是含數(shù)1的有限實數(shù)集，/(%)是定義在。上的函數(shù)，若/(%)的圖像繞原點逆時針g旋轉(zhuǎn)后與原

圖像重合，則下列選項中/。)的取值可能為()

A.乎B.1C.^/3D.2

【答案】BD

【解析】

TT

【分析】先閱讀理解題意，則問題可轉(zhuǎn)化為圓上有6個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)一個單位后與下

3

一個點會重合，再結(jié)合函數(shù)的定義逐一檢驗即可.

7T

【詳解】由題意可得，問題相當(dāng)于圓上由6個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)一個單位后與下一個點會

3

重合；

設(shè)/⑴處的點為A1，

7T

v/(X)的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn);后與原圖象重合，

旋轉(zhuǎn)后A的對應(yīng)點4也在/(%)的圖象上，

同理為旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點4也在圖象上，

以此類推，f(x)對應(yīng)的圖象可以為一個圓周上6等分的6個點；

對于A,當(dāng)/(1)=且時，。4與x正半軸夾角為三，

36

所以4,當(dāng)［,此時&［一岑］&［一1，￥［止匕時兒］一1，一,，

不滿足函數(shù)定義，故A錯

誤;

對于B,

當(dāng)/⑴=2時，與X正半軸夾角的正切值為2,此時每個X只對應(yīng)一個九滿足函數(shù)定義，故B正

確；

對于c,當(dāng)/⑴=石時，與x正半軸夾角為冷，

即此時A（1,—G）,4卜1,也），此時義卜1,—6）,不滿足函數(shù)定義，故C錯誤;

對于D,

7F

當(dāng)/⑴=1時，。4與X正半軸夾角為一，此時每個X只對應(yīng)一個y,滿足函數(shù)定義，故D正確;

4

1

故選：BD.

11.已知4（無1，%），為拋物線C：V=4x上異于原點。的兩個動點，且4403=90°，作

0NJLAB交直線A8于點N,貝|（）

A.直線A3恒過定點（2,0）B.|AB|>8

C.存在一個定點°,使得|NQ|為定值D.歸一x+l|+民一%+1|之9

【答案】BCD

【解析】

【分析】設(shè)直線A3的方程，根據(jù)點在拋物線上及垂直關(guān)系，直線過定點可判定A；根據(jù)拋物線弦長公式可

判定B；利用圓的性質(zhì)可判定C；聯(lián)立直線方程結(jié)合韋達(dá)定理可判定D.

【詳解】由題意可設(shè)=6+，

聯(lián)立拋物線方程可得V=4x=46+4〃7ny2-4ky-4-m-0,

y,+%=4左

則,，

〔*%=-4加

對于A項，因ZAOB=90°>

所以O(shè)AOB=玉W+%%=（左2+1）%%+5+%）+〃/=0，

整理得機=4,即直線AB恒過定點（4,0）,故A錯誤；

對于B項，由弦長公式

|陰=y/k2+1|%一%|="2+1,+%）--4%丁2=W（左2+1）（42+4）>8,

當(dāng)上2=0時取得等號，故B正確；

對于C,設(shè)直線A5交橫軸。，即。（4,0）

當(dāng)上力0時，顯然△OND為直角三角形，則N在以0D為直徑的圓上,

不妨設(shè)0。的中點為。，則|NQ|=2是定值，

當(dāng)左=0時，此時即重合，也有|八@=2是定值，故C正確;

對于D項，不妨設(shè)%>0〉%，由上知％%=T6,

22

則歸-x+11+昆-%+[=”-X+1+/%+

_寸+貨-4(%+%)+8_(%+%-2)-2%%+4

—4—4

=(2Z:-l)2+9>9,故D正確.

第H卷(選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量1=(1,2),b=(—l,m),且僅一5B)_L萬，則忖=

【答案】亞

【解析】

【分析】先根據(jù)坐標(biāo)線性運算得出日-5B坐標(biāo)，再應(yīng)用垂直的坐標(biāo)運算計算求參，最后應(yīng)用坐標(biāo)求模長即

可.

【詳解】因為向量2=(1,2),B=m)，

MOa-5b=(1,2)-5(-1,m)=(6,2-5m),

因為伍-5B)_L",則(。一6到姮2字(40同住-0m=,所以〃z=l,

所以W=+F=^2.

故答案為：夜

13.在三棱錐P—ABC中，點尸在平面ABC的射影為A3的中點，且ACL3C,AC=BC=2,設(shè)該三

棱錐的體積為V，該三棱錐外接球的表面積為S,若Ve|,2,則S的取值范圍為.

_..△121

[答案]8n,-^-n

【解析】

【分析】根據(jù)條件先判定三棱錐的特征，結(jié)合體積公式求出高的范圍，再判定外接球的球心位置，利用勾股

定理結(jié)合飄帶函數(shù)的性質(zhì)判定外接球半徑的范圍，計算表面積即可.

【詳解】因為ACLBC,AC=BC=2,故AB=20，

取A5的中點。，連接PD，由題意可知2D_L平面ABC,AD=DC=DB=也,

則丫=!「。、^乂2261,2,易得PDe[l,3],

由題意知該三棱錐外接球的球心O在直線上，

設(shè)0。=%（x為負(fù)，則球心在平面ABC的下方），外接球半徑為R,

2PD2-2PD_1_

故氏2=（尸0_彳）2=X2+（應(yīng)）nx----------

2PD2PD

pr）1PD1]7

易知y=------------在（0,+“）上單調(diào)遞增，即一e

2PD、）2PD26

491I?2!1

則胃=必+262,—+2,所以5=4兀7?2c87T,—7T.

9

121

故答案為：87T,-71

14.若0,beR,自然對數(shù)的底數(shù)為e,則e2“+e2'—2（。芭+岳"）+/+/的最小值為

【答案】2

【解析】

【分析】將原式變形，再設(shè)函數(shù)/(%)=/-X,求導(dǎo)求得最小值，即可求得結(jié)果.

【詳解】由e2fl+e2b-2(aeb+bea)+a2+b2=e2a-2bea+b2+e2fc-2aeb+a2=(efl-bf+(e"—，

設(shè)/(x)=e=x,求導(dǎo)，f'(x)=e-\,->r(x)=ex-l=O,解得：尤=0,

令/'(x)>0,解得尤>0,令/'(x)<0,解得％<0,

故/(%)在區(qū)間(-*。)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+“)上單調(diào)遞增，

故[〃x)Ln=〃0)=l,故/'(aWSVlnea—a21,e&—匹1,

2

福I、I/\2/\2l"(e"—b)+(e)—a)]|"(e"—a)+(e"—o

所以————^=L=^————1L>±=2'

當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=0時，等號成立.

故答案為：2

點睛】思路點睛：

(1)式子變形：將e2"+e2〃—2(ae〃+岳“)+/+廿變形為(e“—)了+佇―a『，

(2)構(gòu)造函數(shù)：設(shè)/(x)=e、—%,求導(dǎo)求得最小值；

(3)得出結(jié)論：利用(e〃—afNl'k"—即可求得結(jié)果.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記VABC的內(nèi)角A,5c的對邊分別為a,4c,已知tanAtan3=(2tanA—tan3)tanC.

(1)求證：a2+c2=2b2;

(2)已知6=2,當(dāng)角8取最大值時，求VA3C的面積.

【答案】(1)證明見解析

(2)百

【解析】

【分析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式結(jié)合正弦定理、余弦定理，即可證明結(jié)論.

(2)根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式可得角B的最大值，即可求出三角形面積.

【小問1詳解】

VtanAtanB=(2tanA-tanB)tanC,tanBtanC+tanAtanB=2tanAtanC,

sin5(sinCsinAj_sinAsinCsinBsinCcosA+cosCsinA八sinAsinC

------------+-------\=2-------------,即an=2,

cosB[cosCcosAJcosAcosCcosBcosCcosA-------------cosAcosC

.sinBsin(C+A)_sinAsinC

cos5cosCcosAcosAcosC

由sin(C+A)=sinB得，sin2B=2sinAsinCcosB，

^22_,2

由正弦定理及余弦定理得，b2=?巴上——="+/—/,

2ac

??=2b2?

【小問2詳解】

2.21/2.2\

由余弦定理得，a-+c2-b2a+c~2^'a2+c\2ac1,

cosDB=--------------=------------------------=--------->-----=—

2ac2ac4ac4ac2

TT

當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號，此時8取最大值一，VABC為等邊三角形.

3

由b=2得，a=c=2.

VABC的面積為LqcsinB=—x2x2x^-=^3.

222

16.如圖所示，平面ACEF,平面ABCD,且四邊形ACEb為矩形，在四邊形ABCD中，ZADC=120°,

AB=2AD=2CD=2BC=6.

（1）證明：平面5CEL平面ACEb；

（2）若屬=2而，再從條件①、條件②中選擇一個作為已知條件，求二面角尸—5D—G余弦值.

條件①：異面直線。與8E所成角的余弦值為叵；

14

條件②：直線與平面ACEF所成角的正弦值為也.

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的的條件分別進(jìn)行解答，按第一個解答計

分.

【答案】（1）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由余弦定理及勾股定理逆定理得出AC，3C,再由矩形性質(zhì)得出CELAC,根據(jù)線面垂直

和面面垂直的判定即可證明；

（2）若選①，連接AE,設(shè)CE=h,建立空間直角坐標(biāo)系，由異面直線C。與BE所成角的余弦值求得

丸=2百，再根據(jù)面面夾角的余弦公式求解即可；若選②，連接CF,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

CE=h,由直線斯與平面ACEb所成角的正弦值求得丸=26，再根據(jù)面面夾角的余弦公式求解即

可.

【小問1詳解】

證明：因為AB=2AZ）=2CD=23C=6,

所以AD=CD=BC=3,

AD2+CD2-AC2_32+32-AC2_1

在八4。。中，由余弦定理得，cos?ADC

2AD<D23?32

解得AC=3b，

所以AC?+5c2=+32=62=AB-,

TV

所以NAC3=—,即ACLBC,

2

因為四邊形ACEb為矩形，所以CELAC,

因為ACJ_3C,CE±AC,BCC\CE=C,3C,CEu平面BCE,

所以AC平面BCE,

又ACu平面ACEE,所以平面BCE,平面ACEF.

【小問2詳解】

若選條件①：連接AE，設(shè)CE=h,

因為CE_LAC,平面AC所，平面ABCD,平面ACEF口平面ABCD=AC,CEu平面ACEE,

所以CE_L平面ABCD,

又BCu平面ABCD,所以CEL3C,

以C為原點，分別以C4,CB,CE所在直線為蒼％Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

/W，—；,o],B（O,3,O）,E（O,（U）,

則C（O,O,O）,D

22）

3___.

所以CD=,--,0J,BE=（0,-3,A）,

因為異面直線CD與BE所成角的余弦值為叵

14

9

==叵,解得丸=26，

所以2

|CD|-|BE|3x歷+914

則F3M，G（也,0,2后）,

/

所以FD=-，BF=（3

7

設(shè)平面EBD的一個法向量為/=(玉,％,zj,平面G&)的一個法向量為%=(x2,j2,z2),

BF?勺=3百%i—3%+0

由＜———363廠，取玉=百得1=（6』，—百）

DF^=-^x1-jy1-2V3z1=0、）

BG-n2=A/3X2-3y2+2A/3Z2=0

由＜一一由3l,取得晨=（6，1，°），

DG?%=一-5x2+—y2+2V3Z2=0

3+1

所以COS^pHj

A/7X2

所以二面角尸—5D—G的余弦值為2互.

7

若選②：連接。尸，設(shè)CE=h,

因為CE_LAC,平面AC所，平面ABCD,平面ACEFC平面=AC,CEu平面ACEE,

所以CE1.平面ABCD,

又BCu平面ABC。，所以CEL3C,同理可得A尸，A3,所以BF=536+帚，

因為CEL5C,ACLBC,AC,CEu平面ACEF,AC^CE=C,

所以3CJ_平面ACEF,所以直線8尸與平面ACEF所成角即為ZBFC,

又Cbu平面ACEE,所以BCLCE,

所以sin?BFC――=.==,解得h—2^/3，

BF736+h24

以C為原點，分別以C4,CB,CE所在直線為蒼y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則。-^-,--,0,5(0,3,0),F(3A0,2^/3),G(A0,2^),

I22J

所以而=—孚，一|,一26,BF=(3A/3,-3,2A/3),BG=(73,-3,2^/3),DG=，2月

設(shè)平面FBI）的一個法向量為為=（XpJpZ；）,平面G&）的一個法向量為巧=（無2，%，Z2），

BF-%=3石%-3%+2s/3z1=0

由＜獷心一半T-2島=。’取…礪二網(wǎng)一網(wǎng)'

BG-n2=A/3X2-3y2+2A/3Z2=0

由＜,取得加=（百，1，°b

DG?%=一~~~%2+/%+2A/5z2—0

所以|cos（公巧

所以二面角尸—5。—G的余弦值為2互.

7

F

Xy

22

17.已知橢圓E：二+1=1（。〉。〉0）,其左頂點為P,上頂點為Q,直線尸。交直線x=a于R,且

a2b2

\PE\=y/2\OP\=6y/2（其中0為坐標(biāo)原點）.

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

1

（2）點N在x軸上，過點N作直線/與E交于A,2兩點，問：是否存在定點N,使得+忸甘為

定值，若存在，求出所有點N的坐標(biāo)并且求出定值；若不存在，請說明理由.

22

【答案】（1）上+匕=1

126

（2）N（—2,0）或N（2,0）

【解析】

【分析】（1）結(jié)合已知條件根據(jù)兩點間距離公式得到關(guān)于。、6的方程組，求解方程組即可求解；

（2）分斜率存在和不存在兩種情況設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立，將條件轉(zhuǎn)化為/+%、的關(guān)系，結(jié)

合韋達(dá)定理再將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于，"、n的關(guān)系式即可求解.

【小問1詳解】

由題意可知P（—a,0）,2（0,Z?）,R（a,2b）,

所以|。叫=，工+以=6,|依|="^+破=60，

a2+4b2=36

整理聯(lián)立有:K4a2+4Z;2=72

又因為a〉0,b>0,解得a=2百，b=瓜,

22

所以橢圓方程為Z+乙=1.

126

【小問2詳解】

根據(jù)已知條件設(shè)N（”,0）,設(shè)A（4%）,3（々，%），

當(dāng)直線AB斜率不為0時，設(shè)直線43:%=沖+〃，

x=my+n

2

聯(lián)立<Xy2,整理得（2+根2）y2+2根川y+〃2—]2=0,

-------1--------=1

1126

需△=4m2n2—4（2+療）（1—12）=48m2—8/+96>0,

即n2<6m2+12，

-2mnn2-12

由韋達(dá)定理有：%+%=

2W'*%=近版

1111

--------------1--------------=------------------------------1-----------------7----------

故2

|AN|忸N『（石一+才（x2-n）~+yl

1（11）!y：+資1（%+%『-2%%

1+m2l+/y；.￡2

lxy2J1+m

f、222（2+蘇

1必+乂21-2mn

2

1+m2、>1+m2n-12n2-12

2

14m~n-2（2+m~gl21（2"+24）蘇-44+48

22

1+m2"―121+m12『

11

因為由7十面?為定值'所以2/+24=—4/+48‘

11-4x4+481

整理得心4,解得戶？2,此時鬲+阿二不可=;

當(dāng)直線斜率為0時，不妨設(shè)川-2指,0）,網(wǎng)26,0）,N（2,0）,

]1_11_1

此時所+阿=（2g+2『+僅百—2廠5符合題設(shè)‘

同理可證當(dāng)N的坐標(biāo)為N（-2,0）時也符合題設(shè)，

又"=4<1246機2+12恒成立，

11

所以存在點N（—2,0）或N（2,0）使得H------------的值為3（定值）.

忸N「

18.已知函數(shù)〃x）=e'-7依（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點X],

(1)求優(yōu)的取值范圍:

(2)(i)證明：對一切的。力G(O,T<6)且a/》，都有[&:「；

(ii)證明：X；+考+』?4>3.

【答案】⑴(e,+co)

(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析

【解析】

【分析】(1)討論機的范圍，通過求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)有兩個零點可得/(九)面口<0,即可求出

加的取值范圍.

(2)(i)把不等式等價變形，轉(zhuǎn)化為證明1IU-??1〉0對任意的rG(l,+8)恒成立，通過求導(dǎo)分析

函數(shù)單調(diào)性可證結(jié)論.

(ii)分析網(wǎng),々的范圍，由(i)得生產(chǎn)〉1,結(jié)合基本不等式可證明結(jié)論.

【小問1詳解】

由f(x)=e"_zra:得/'(%)=廿一九

當(dāng)功<0時，r(%)>0,/(%)在R上單調(diào)遞增，不合題意.

當(dāng)相>0時，由/'(X)>0得％>lnzn,由/'(x)<0得％vln加，

/(%)在(一。,In機)上單調(diào)遞減，在(in機,+。)上單調(diào)遞增，

/(力*=/(inm)=elnm—mlnm—m—mlnm<0,故相>e.

vy(o)=i>o,時，/(x).+8,

/(x)在(0,In間和(In私+8)內(nèi)分別存在一個零點，符合題意，

?,?根的取值范圍為(e,+“).

【小問2詳解】

2^--1^1

(i)不妨設(shè)a>b>0,則一----<"+"等價于——<ln—,即證」——-<In—.

\na-lnb2a+bb曰+]b

b

令t=嘖〉1,即證彳1〉。對任意的/e(l,+s)恒成立.

令g⑺"ln-2（，1）,則g"）=；_：=:，）。'

t+1t（r+1）r（z+l）

二g（。在（L+°°）上單調(diào)遞增，故g（。>g（1）=0，

a-ba+b

\na-]nb2

(ii)由(1)得，/(%)在(0,In制和(in7+8)內(nèi)分別存在一個零點,

由小>e得/(1)=。一〃zvO,設(shè)玉<%2，貝iJOv玉

:e"—M％=0等價于x=lnx+lnm，

x2-x1

x-Inx=%2-Inx2,即-----------=1,

Inx2-Inx.

]_玉一%2〈玉+%2

由(i)得,即%+%>2,

In玉-lnx22

,2_%；+￥（石+%）222

,,Aj十々十七,%--------1------------>1H---=3?

2

關(guān)鍵點點睛：解決第(2)問(i)的關(guān)鍵是不等式等價變形為生心<M2,令t=?>l,通過構(gòu)造

a+bab

x-x?1

函數(shù)可證明結(jié)論成立.解決第(2)問(ii)的關(guān)鍵是利用零點的概念得到?J=1,由(i)得

In項-Inx2

文士〉1,結(jié)合基本不等式可證明結(jié)論