第13講雙曲線【題型歸納目錄】題型一：雙曲線的定義、條件題型二：求雙曲線的標準方程題型三：雙曲線的綜合問題題型四：軌跡方程題型五：雙曲線的簡單幾何性質題型六：求雙曲線的離心率題型七：求雙曲線離心率的取值范圍題型八：由雙曲線離心率求參數的取值范圍題型九：雙曲線中的范圍與最值問題題型十：焦點三角形【知識點梳理】知識點一：雙曲線的定義在平面內，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數（大于0且）的動點的軌跡叫作雙曲線．這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距．知識點詮釋：1、雙曲線的定義中，常數應當滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關性質“兩邊之差小于第三邊”來理解；2、若去掉定義中的“絕對值”，常數滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；3、若常數滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；4、若常數滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；5、若常數，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線．知識點二：雙曲線的標準方程1、當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中；2、當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中橢圓、雙曲線的區別和聯系：橢圓雙曲線根據|MF1|+|MF2|=2a根據|MF1|－|MF2|=±2aa＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0）0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）標準方程統一為：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B異號，方程表示雙曲線．當時，雙曲線的焦點在x軸上；當時，雙曲線的焦點在y軸上．知識點詮釋：3、當且僅當雙曲線的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，雙曲線的方程才是標準方程形式．此時，雙曲線的焦點在坐標軸上．4、雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關系為：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2．5、雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數，如果x2項的系數是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數是正的，那么焦點在y軸上．6、對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上．知識點三：求雙曲線的標準方程①待定系數法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數、、的值．其主要步驟是“先定型，再定量”；②定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據定義確定方程．知識點四：雙曲線的簡單幾何性質雙曲線（a＞0，b＞0）的簡單幾何性質范圍雙曲線上所有的點都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側，是無限延伸的．因此雙曲線上點的橫坐標滿足x≤-a或x≥a．對稱性對于雙曲線標準方程（a＞0，b＞0），把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線（a＞0，b＞0）是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心．頂點①雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點．②雙曲線（a＞0，b＞0）與坐標軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標分別為A1（-a，0），A2（a，0），頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點．③兩個頂點間的線段A1A2叫作雙曲線的實軸；設B1（0，-b），B2（0，b）為y軸上的兩個點，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸．實軸和虛軸的長度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長．①雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有四個頂點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆．②雙曲線的焦點總在實軸上．③實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．離心率①雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作．②因為c＞a＞0，所以雙曲線的離心率．由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊．所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度．③等軸雙曲線，所以離心率．漸近線經過點A2、A1作y軸的平行線x=±a，經過點B1、B2作x軸的平行線y=±b，四條直線圍成一個矩形（如圖），矩形的兩條對角線所在直線的方程是．我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交．知識點四：雙曲線兩個標準方程幾何性質的比較標準方程圖形性質焦點，，焦距范圍，，對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點軸實軸長=，虛軸長=離心率漸近線方程知識點詮釋：雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數，如果x2項的系數是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數是正的，那么焦點在y軸上．對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上．知識點五：雙曲線的漸近線（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則其漸近線方程為已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程．（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為，則可設雙曲線方程為，根據已知條件，求出即可．（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設為（，焦點在軸上，，焦點在y軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設為．知識點六：雙曲線中a，b，c的幾何意義及有關線段的幾何特征：雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關系為：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2．雙曲線，如圖：（1）實軸長，虛軸長，焦距，（2）離心率：；（3）頂點到焦點的距離：，；【典例例題】題型一：雙曲線的定義、條件【例1】（2023·高二課時練習）平面內到兩個定點的距離之差的絕對值等于的點的軌跡是（

）A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線【答案】B【解析】如圖：設動點為，到兩個定點的距離之差的絕對值為，則若在線段（不包含兩端點）上，有；若在直線外，有；若在線段的延長線上或線段的反向延長線上（均包含兩端點），則有.故選：B【對點訓練1】（2023·高二課時練習）到兩定點、的距離之差的絕對值等于6的點的軌跡（

）A．橢圓 B．直線 C．雙曲線 D．兩條射線【答案】D【解析】因為，，故的軌跡是已、為端點的兩條射線，故選：D.【對點訓練2】（2023·高二課時練習）已知動點滿足，則動點P的軌跡是（）A．雙曲線 B．雙曲線左支C．雙曲線右支 D．一條射線【答案】C【解析】因為的幾何意義是動點到點與的距離之差為2，又因為，所以由雙曲線的定義，知動點P的軌跡是雙曲線右支．故選：C【對點訓練3】（2023·四川成都·高二成都實外校考階段練習）方程所表示的曲線是（

）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分C．雙曲線的一部分 D．直線的一部分【答案】C【解析】方程兩邊平方后可整理出雙曲線的方程，由于的值只能取大于等于1的數，推斷出方程表示的曲線為雙曲線的一部分．兩邊平方，可變為，即，表示的曲線為雙曲線的一部分；故選：C．題型二：求雙曲線的標準方程【例2】（2023·廣東揭陽·高二惠來縣第一中學校考階段練習）解答下列兩個小題：(1)雙曲線：離心率為，且點在雙曲線上，求的方程；(2)橢圓的焦點在軸上，焦距為，且經過點，求橢圓的標準方程.【解析】（1）雙曲線半焦距為c，由離心率，得，即，又，即，雙曲線的方程即為，點坐標代入此方程得，解得．所以雙曲線的方程為．（2）依題意，設橢圓方程為：，因為橢圓的焦距為，則橢圓的半焦距，即有，又橢圓過點，因此，整理得：，解得：，則，所以橢圓方程為：.【對點訓練4】（2023·高二課時練習）求與雙曲線有共同漸近線，且過點的雙曲線的標準方程．【解析】設所求雙曲線的方程為，將點的坐標代入雙曲線方程可得，因此，所求雙曲線的方程為，其標準方程為.【對點訓練5】（2023·四川成都·高二校考期中）求滿足下列條件的曲線的標準方程：(1)兩個焦點坐標分別是、，橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10的橢圓方程；(2)已知雙曲線的漸近線方程為，焦距為10．【解析】（1）因為橢圓的焦點在x軸上，∴設它的標準方程為，又橢圓上一點P到兩焦點的距離的和是10，故，∴，又∵，∴，∴所求橢圓的標準方程為；（2）當雙曲線的焦點在軸時，可設雙曲線標準方程為，則，解得，所以雙曲線的標準方程為；當雙曲線的焦點在軸時，可設雙曲線標準方程為，則，解得，所以雙曲線的標準方程為；所以雙曲線的標準方程為或.【對點訓練6】（2023·高二單元測試）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)焦點在軸上，實軸長為，其離心率；(2)漸近線方程為，經過點．(3)雙曲線：離心率為，且點在雙曲線上，求的方程；(4)雙曲線實軸長為，且雙曲線與橢圓的焦點相同，求雙曲線的標準方程．【解析】（1）設雙曲線的標準方程為：，由題知：，解得，所以雙曲線方程為：；（2）由漸近線方程為，設雙曲線方程為：，將代入，解得，所以雙曲線方程為：；（3）由，得，即，又，即，雙曲線的方程即為，點坐標代入得，解得，所以雙曲線的方程為；（4）橢圓的焦點為，則，設雙曲線的方程為，所以，且，所以，，所以雙曲線的方程為.題型三：雙曲線的綜合問題【例3】（2023·新疆喀什·高二校考期末）已知橢圓的左、右焦點分別為F?，F?，動點M滿足||MF?|-|MF?||=4.(1)求動點M的軌跡C的方程：(2)已知點A(-2，0)，B(2，0)，當點M與A，B不重合時，設直線MA，MB的斜率分別為k?，k?，證明:為定值.【解析】（1）由橢圓知：所以左、右焦點分別為因為動點M滿足||MF?|-|MF?||=4所以動點在以為焦點的雙曲線上，設動點設方程為：由雙曲線的定義得：所以所以動點設方程為：（2）設則由所以所以.【對點訓練7】（2023·江蘇徐州·高二校考期中）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線．(1)設F是C的左焦點，M是C右支上一點，若，求點M的坐標；(2)設斜率為的直線l交C于P、Q兩點，若l與圓相切，求證：．【解析】（1）由雙曲線，可得，∴，設，則，∴，∴，又M是C右支上一點，故，∴，即；（2）設直線PQ的方程為，因直線PQ與已知圓相切，故，即，由，得，設、，則，又，所以，所以．【對點訓練8】（2023·上海·高二專題練習）已知點?依次為雙曲線（，）的左?右焦點，且，.(1)若，以為法向量的直線經過，求到的距離；(2)設雙曲線經過第一?三象限的漸近線為，若直線與直線垂直，求雙曲線的離心率.【解析】（1）由題意，，，則，，直線的方程為.所以，點到的距離為.（2）由題意，，，其中，，則直線的斜率.雙曲線的一條漸近線，其斜率為.因為直線與直線垂直，所以.代入可得，，又因為，所以，兩邊同除以，可得，解得.又因為，所以.【對點訓練9】（2023·四川資陽·高二校考期中）已知雙曲線C：的焦距為4，且過點.(1)求雙曲線方程；(2)若直線與雙曲線C有且只有一個公共點，求實數的值.【解析】（1）由題意可知雙曲線的焦點為和，根據定義有．，又，所以，，．所求雙曲線的方程為．（2）因為雙曲線的方程為，所以漸近線方程為；由，消去整理得．①當即時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，此時直線與雙曲線相交于一點，符合題意；②當即時，由，解得，此時直線雙曲線相切于一個公共點，符合題意．綜上所述：符合題意的的所有取值為，．【對點訓練10】（多選題）（2023·安徽合肥·高二校考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，點在雙曲線上，則下列結論正確的是（

）A．該雙曲線的離心率為B．若，則的面積為C．點到兩漸近線的距離乘積為D．直線和直線的斜率乘積為【答案】ACD【解析】由雙曲線方程得，，，雙曲線的離心率為，A正確；若，不妨設，，，B錯誤；設，則，，漸近線方程為，點到兩漸近線的距離乘積為，C正確；，，，D正確；故選：ACD【對點訓練11】（多選題）（2023·湖北十堰·高二校聯考階段練習）若是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且，共焦點，，，，的離心率分別為，，則下列結論中正確的是（

）A．， B．C．若，則 D．若，則的最小值為2【答案】BC【解析】依題意，，解得，A不正確；令，由余弦定理得：，因為在橢圓中，在雙曲線中，，所以，故B選項正確；當時，，即，所以，即，所以，，故C選項正確；當時，，即，所以，，有，因為，所以，，解得，D不正確；故選：BC題型四：軌跡方程【例4】（2023·陜西寶雞·高二統考期末）動點與點與點滿足，則點的軌跡方程為__________．【答案】【解析】由知，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線下支，得，，，，故動點的軌跡方程是．故答案為：．【對點訓練12】（2023·上海浦東新·高二校考期末）已知軸上兩點，則平面內到這兩點距離之差的絕對值為8的動點的軌跡方程為________【答案】【解析】由題，動點軌跡為以為焦點，實軸為的雙曲線，設雙曲線方程為：，右焦點為，則，故.則雙曲線方程為：.故答案為：.【對點訓練13】（2023·高二課時練習）動圓過點，且與圓外切，則動圓圓心的軌跡方程是______．【答案】【解析】設動圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因為動圓過點，且與圓外切，所以，，，所以，所以，由雙曲線的定義得的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的右支，因為實軸長為，焦點為，所以，動圓圓心的軌跡方程是，即故答案為：【對點訓練14】（2023·河北石家莊·高二河北新樂市第一中學統考期中）已知圓M與圓C1：和圓C2：一個內切一個外切，則點M的軌跡方程為___________.【答案】【解析】當圓與圓內切，與圓外切時，，，當圓與圓外切，與圓內切時，，，所以，點的軌跡為雙曲線，設軌跡方程為，，，則，所以軌跡方程為.故答案為：.【對點訓練15】（2023·遼寧本溪·高二校考階段練習）已知橢圓的方程為，其左?右頂點分別為，一條垂直于軸的直線交橢圓于兩點，直線與直線相交于點，則點的軌跡方程為___________.【答案】【解析】由題意知，設直線為，，由三點共線及三點共線，得，兩式相乘化簡，得，又，所以，即，又，即，所以點的軌跡方程為.故答案為：【對點訓練16】（2023·浙江杭州·高二杭州四中校考期末）法國數學家蒙日發現：雙曲線的兩條互相垂直切線的交點的軌跡方程為：，這個圓被稱為蒙日圓.若某雙曲線對應的蒙日圓方程為，則___________.【答案】2【解析】由雙曲線的方程可得，由蒙日圓的定義可得雙曲線對應的蒙日圓方程，所以，即，可得.故答案為：2.【對點訓練17】（2023·廣西百色·高二階段練習）設P為雙曲線上一動點，O為坐標原點，M為線段的中點，則點M的軌跡方程為_____________．【答案】【解析】設，，則，即，又，則，整理得，即點M的軌跡方程為.故答案為：【對點訓練18】（2023·高二課時練習）如圖，圓，點，動圓P過點F，且與圓E內切于點M，則動圓P的圓心P的軌跡方程為______．【答案】【解析】圓的方程為，圓心為，半徑．設動圓圓心為，動圓與圓內切于點，，的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，其中，得，而，，故所求軌跡方程為．故答案為：【對點訓練19】（2023·高二單元測試）已知雙曲線，、是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上一點，是的平分線，過作的垂線，垂足為，則點的軌跡方程為_______．【答案】【解析】延長，交于，因為，，，所以，所以，所以，因為M是雙曲線C右支上一點，所以，又因為P是的中點，O是的中點，所以，所以P的軌跡是以O為圓心，半徑為2的圓的一部分，所以點P的軌跡方程為．故答案為：.題型五：雙曲線的簡單幾何性質【例5】（2023·江西萍鄉·高二統考期末）已知是雙曲線的兩個焦點，若雙曲線的左?右頂點和原點把線段四等分，則該雙曲線的焦距為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因為是雙曲線的兩個焦點，若雙曲線的左?右頂點和原點把線段四等分，所以，即，即，又因為，解得，所以c=2，所以該雙曲線的焦距為.故選：D【對點訓練20】（2023·高二課時練習）雙曲線的焦點坐標為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為雙曲線方程為，化為標準方程為：，所以，由于焦點在軸上，所以焦點坐標為：.故選：C.【對點訓練21】（2023·高二課時練習）已知中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設雙曲線的方程為，因為，所以，則，所以漸近線方程為.故選：C.【對點訓練22】（2023·湖南衡陽·高二衡陽市八中校考階段練習）已知雙曲線的漸近線方程為，若雙曲線C的焦點到漸近線的距離為12，則雙曲線C的焦距為（

）A．30 B．24 C．15 D．12【答案】A【解析】依題意，右焦點到漸近線的距離，解得，所以雙曲線C的焦距為30.故選：A.【對點訓練23】（2023·山東菏澤·高二統考期末）設雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】雙曲線的漸近線方程為：，又；故選：A.【對點訓練24】（2023·四川瀘州·高二校考階段練習）已知雙曲線：的一個焦點為，則雙曲線的漸近線方程為（

）.A． B．C． D．【答案】D【解析】已知雙曲線的一個焦點為，得，則，即，所以雙曲線的漸近線方程為，即.故選：D.題型六：求雙曲線的離心率【例6】（2023·廣西河池·高二校聯考階段練習）已知雙曲線C：的右焦點到一條漸近線的距離為3，則雙曲線C的離心率為______．【答案】【解析】由題意雙曲線方程為C：，可知，，右焦點坐標為，其中一條漸近線的方程為，故右焦點到該漸近線的距離，所以，所以，故答案為：．【對點訓練25】（2023·河南省直轄縣級單位·高二統考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，若雙曲線的左支上存在一點，使得與雙曲線的一條漸近線垂直于點，且，則此雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】設雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為：，，一條漸近線方程為，可得到漸近線的距離為，，則，，在直角三角形中，，在中，可得，化為，即有.故答案為：.【對點訓練26】（2023·湖北·高二鄖陽中學校聯考階段練習）如圖，唐金筐寶鈿團花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細工的典范之作．該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線的一部分，設該雙曲線的方程為，右焦點為，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，且，點關于原點的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為__________．【答案】/【解析】如圖所示，設雙曲線的左焦點為點，連接，設，則，由雙曲線的定義可得，由于，則,又，則四邊形為矩形，在中，由勾股定理得，即，解得，在中，由勾股定理得，即，．故答案為：.【對點訓練27】（2023·湖北孝感·高二統考期中）已知分別是雙曲線的左?右焦點，點是雙曲線的右頂點，點在過點且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【解析】由題知，過作軸于，則，，，解得，故答案為：【對點訓練28】（2023·四川德陽·高二四川省廣漢中學校考階段練習）已知焦點在x軸上的雙曲線的左右焦點別為和，其右支上存在一點P滿足，且的面積為3，則該雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】由雙曲線中焦點三角形面積，所以，，則，故答案為：.【對點訓練29】（2023·天津·高二校聯考期末）已知圓與雙曲線的漸近線相切，且圓心到雙曲線左頂點的距離為，則該雙曲線的離心率是__________．【答案】2【解析】由，得圓心為，半徑為，設雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的右焦點到漸近線的距離為，又圓與該雙曲線的漸近線相切，所以圓心到漸近線的距離為半徑，所以圓心即雙曲線的右焦點，即.雙曲線左頂點為，由題意得，由，得，解得，所以該雙曲線的離心率是.故答案為：2.【對點訓練30】（2023·北京東城·高二北京市第五中學校考期中）雙曲線C：的漸近線與直線交于A，B兩點，且，那么雙曲線C的離心率為____.【答案】【解析】由雙曲線的方程可得，且漸近線的方程為：，與聯立可得，所以，由題意可得，解得，又，所以雙曲線的離心率.故答案為：.【對點訓練31】（2023·陜西榆林·高二陜西省神木中學校考階段練習）已知雙曲線C：的右焦點為F，O為坐標原點，以F為圓心，OF為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線相交于O，A兩點，若的面積等于2，則雙曲線C的離心率為______.【答案】【解析】如圖，設以F為圓心，OF為半徑的圓與軸的另一個交點為B，過F作交OA于點M，則M為OA的中點，因為OA為雙曲線的漸近線，其方程為，即，所以，所以，，所以的面積為，所以，所以雙曲線的離心率，故答案為：．【對點訓練32】（2023·云南保山·高二校聯考階段練習）設雙曲線(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為該雙曲線上一點且2|PF1|＝3|PF2|，若∠F1PF2＝60°，則該雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】因為2|PF1|＝3|PF2|，所以由雙曲線的定義知，|PF1|－|PF2|＝2a，故|PF1|＝6a，|PF2|＝4a．在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2·6a·4acos60°，化簡整理得到，故．故答案為：.【對點訓練33】（2023·內蒙古赤峰·高二統考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P為雙曲線C右支上一點，直線與圓相切，且，則雙曲線C的離心率為__________．【答案】【解析】如圖，設直線與圓相切于點M，則，，取的中點N，連接，由，可得，則，，可得，且為的中點，則，故，即有，由雙曲線的定義可得，即，則，可得，即，解得，即．故答案為：.【對點訓練34】（2023·陜西安康·高二統考開學考試）雙曲線的左，右焦點分別為，，C上一點到軸的距離為，，則雙曲線的離心率為______.【答案】/【解析】設為第一象限內的點，，，，則，在中，由余弦定理得，即，即.∴的面積為，化簡得，同除以可得，解得（負的舍去）故答案為：題型七：求雙曲線離心率的取值范圍【例7】（2023·貴州黔東南·高二凱里一中校考階段練習）已知雙曲線，若過右焦點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有兩個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是___________.【答案】【解析】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，要使直線與雙曲線的右支有兩個交點，需使雙曲線的漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即，即，由，得，整理得，所以，因為雙曲線中，所以雙曲線的離心率的范圍是，故答案為：．【對點訓練35】（2023·上海普陀·高二曹楊二中校考階段練習）雙曲線與直線無公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍為_______．【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為，若雙曲線與直線無公共點，等價為雙曲線的漸近線的斜率，即，即，即，即，則，則，，離心率滿足，即雙曲線離心率的取值范圍是.故答案為：.【對點訓練36】（2023·河南駐馬店·高二校考階段練習）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點.若雙曲線上存在一點使得，則雙曲線的離心率的取值范圍為___________.【答案】【解析】如圖所示，，所以，所以，又因為，即，即，所以離心率，所以雙曲線的離心率的取值范圍為，故答案為:.【對點訓練37】（2023·湖北·高二校聯考階段練習）已知是雙曲線的右焦點，直線與雙曲線相交于兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是__________.【答案】【解析】聯立方程，消去x得：所以，即，解得，設，則可得，取雙曲線的左焦點為，連結，由對稱性知四邊形為平行四邊形，由可得，∵，則，∴，則即，整理得，解得，綜上可得：.故雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：.【對點訓練38】（2023·遼寧錦州·高二校考期中）已知雙曲線：的左右焦點分別為，，點在雙曲線右支上，滿足，，又直線：與雙曲線的左、右兩支各交于一點，則雙曲線的離心率的取值范圍是______.【答案】【解析】因為，故，由雙曲線定義可得，由勾股定理知：，整理得，，又，，，故，，解得，直線：與雙曲線的左、右兩支各交于一點，則直線的斜率，所以，所以.故答案為：.【對點訓練39】（2023·上海楊浦·高二復旦附中校考期中）已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別是F?、F?，這兩條曲線在第一象限的交點為P，△PF?F?是以PF?為底邊的等腰三角形，若|PF?|=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e?、e?，則e?e?的取值范圍是_____.【答案】．【解析】設，橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，焦距為，則，，在第一象限，則，∴，，，，，又，∴，∴，，，則，．故答案為：．【對點訓練40】（2023·陜西西安·高二統考期末）設雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，若過點且斜率為的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，則該雙曲線的離心率的取值范圍為_______________.【答案】【解析】由題可知雙曲線的漸近線方程為，由于過點且斜率為的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，則，因此，，又，所以，該雙曲線的離心率為取值范圍是.故答案為：.【對點訓練41】（2023·全國·高二專題練習）若雙曲線上存在一點滿足以為邊長的正方形的面積等于（其中為坐標原點），則雙曲線的離心率的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意，，又，則，即，得，∴，所以，所以，即的取值范圍是．故答案為：．題型八：由雙曲線離心率求參數的取值范圍【例8】（2023·四川內江·高二四川省內江市第六中學校考階段練習）已知，是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，，若C的離心率為，則的值為______．【答案】3【解析】由及雙曲線的定義可得，所以，，因為，在中，由余弦定理可得，即，所以，即，解得或（舍去）.故答案為：3【對點訓練42】（2023·江蘇·高二統考期末）設為實數，已知雙曲線的離心率，則的取值范圍為_____________【答案】【解析】因為表示雙曲線的方程，所以有，因此，因為，所以由，即k的取值范圍為，故答案為：.【對點訓練43】（2023·全國·高二專題練習）焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為___________.【答案】【解析】雙曲線的標準方程為，由題意可得，則，，，所以，，解得.故答案為：.【對點訓練44】（2023·全國·高二專題練習）若雙曲線的離心率不大于，則C的虛軸長的取值范圍為___________.【答案】【解析】因為，所以，所以，所以，解得，則，故虛軸長.故答案為：.【對點訓練45】（2023·高二課時練習）中心在坐標原點，離心率為的雙曲線的焦點在y軸上，則它的漸近線方程為________.【答案】【解析】由題意，社區向的中心在坐標原點，離心率為，且焦點在y軸上，可得＝，則＝＝，整理得＝，解得＝，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.【對點訓練46】（2023·四川宜賓·高二校考階段練習）已知雙曲線的離心率為2，則點到的漸近線的距離為______.【答案】3【解析】由題意，雙曲線的離心率為2，即，解得，所以雙曲線的一條漸近線的方程為，即，所以點到的漸近線的距離為.題型九：雙曲線中的范圍與最值問題【例9】（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學校考期末）若點,在雙曲線的漸近線上,且的面積為1（為坐標原點）,則長度的最小值為_______.【答案】2【解析】解:由題知雙曲線方程為,所以雙曲線漸近線為,故兩條漸近線斜率之積為-1,即兩漸近線垂直,故為直角三角形,記,所以,因為三角形的面積為1,所以,即,解得,因為,當且僅當時取等,故長度的最小值為2.故答案為:2【對點訓練47】（2023·高二課時練習）設雙曲線C：的左焦點和右焦點分別是，，點A是C右支上的一點，則的最小值為___________.【答案】8【解析】由雙曲線C：，可得，，所以，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，所以，由雙曲線的性質可知：，令，則，所以，記，設，則，所以，即在上單調遞增，所以當時，取得最小值，此時點A為雙曲線的右頂點（1，0）．故答案為：8．【對點訓練48】（2023·湖南衡陽·高二衡陽市八中校考期中）已知雙曲線的方程為，如圖，點的坐標為，是圓上的點，點在雙曲線的右支上，則的最小值為_______．【答案】/【解析】雙曲線的方程為，則，雙曲線焦點為、，，圓心為，半徑為，則，當、、共線時，等號成立；又，當、、共線時，等號成立，的最小值為，故答案為:．【對點訓練49】（2023·福建福州·高二福建省福州第二中學校考期末）有一凸透鏡其劑面圖（如圖所示）是由橢圓和雙曲線的實線部分組成，已知兩曲線有共同焦點M，N，動點A，B分別在左右兩部分實線上運動，則△ANB周長的最小值為______________【答案】【解析】由題意，雙曲線，可得，根據雙曲線的定義可得，即，又由橢圓，可得，根據橢圓的定義可得，所以，所以周長為,故周長的最小值為，其中三點共線時，等號成立.故答案為：.【對點訓練50】（2023·北京·高二期中）已知點，，，動點M到A的距離比到B的距離多2，則動點M到B，C兩點的距離之和的最小值為___________.【答案】4【解析】點，，且動點M到A的距離比到B的距離多2，所以，故動點M的軌跡為雙曲線右側一支，則動點M到B，C兩點的距離之和，當且僅當M，A，C三點共線時取等號，所以動點M到B，C兩點的距離之和的最小值為4.故答案為：4.【對點訓練51】（2023·高二課時練習）已知雙曲線的一個焦點為．若已知點，點是雙曲線上的任意一點，則的最小值是______．【答案】3【解析】由題意，可知，∴，∴雙曲線的方程為．由，得，∴．又或，∴當時，取得最小值，為3．故答案為：3.【對點訓練52】（2023·江西宜春·高二上高二中校考期末）是雙曲線的右支上一點，分別是圓和上的點，則的最大值為__________．【答案】9【解析】由題意，圓的圓心為，半徑為2，的圓心為，半徑為1，故雙曲線焦點即為兩圓圓心.所以的最大值即：的最大值減去的最小值.的最大值為，的最小值為，根據雙曲線的定義可得兩者相減得.故答案為：9【對點訓練53】（2023·廣西桂林·高二桂林中學校考期中）已知直線與雙曲線的左、右支各有一個公共點，則的取值范圍是________．【答案】【解析】由，可得，依題意有，解得.故答案為：.題型十：焦點三角形【例10】（2023·安徽滁州·高二校考期末）若直線與雙曲線的左支交于不同的兩點，則的取值范圍為________.【答案】【解析】聯立方程得,①若直線與雙曲線的左支交于不同的兩點，則方程①有兩個不等的負根.所以解得.故答案為：.【對點訓練54】（2023·高二課時練習）已知點F1，F2分別是雙曲線=1的左、右焦點，若點P是雙曲線左支上的點，且，則△的面積為____.【答案】16【解析】雙曲線，所以，，所以，，

是雙曲線左支上的點，，，在△中，由余弦定理得，，△的面積為.故答案為：.【對點訓練55】（2023·上海普陀·高二校考期中）點為雙曲線上的點，、為左、右焦點，若，則的面積是__．【答案】【解析】由題意得，，且，由余弦定理得，所以,所以的面積,故答案為：【對點訓練56】（2023·江蘇泰州·高二靖江高級中學校考階段練習）已知橢圓C與雙曲線E：有相同的焦點，，點M是橢圓C與雙曲線E的一個公共點，若，則橢圓C的標準方程為_________．【答案】【解析】設橢圓標準方程為，焦半距為.令，，即因為點M在雙曲線E上，所以即,，即又因為點M在橢圓C上，所以，即.因為橢圓C與雙曲線E：有相同的焦點，，所以，，所以橢圓方程為.故答案為：【對點訓練57】（2023·高二課時練習）已知點分別是雙曲線的下、上焦點，若點是雙曲線下支上的點，且，則的面積為________.【答案】16【解析】因為是雙曲線下支上的點，所以，兩邊平方得：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2==0，所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16故答案為：【對點訓練58】（2023·上海浦東新·高二上海南匯中學校考期中）已知，為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線C上，，則______．【答案】/【解析】，，則，，，.故答案為：.【對點訓練59】（2023·浙江寧波·高二鎮海中學校考期中）已知雙曲線的焦點為，，過左焦點交雙曲線左支于A、B兩點，若則等于________.【答案】8【解析】雙曲線的實軸長過左焦點交雙曲線左支于A、B兩點，則，又,則故答案為：8【過關測試】一、單選題1．（2023·四川成都·高二校聯考期末）若雙曲線的漸近線方程為，實軸長為，且焦點在x軸上，則該雙曲線的標準方程為（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】由題可得，解得，因為焦點在x軸上，所以雙曲線的標準方程為.故選:C.2．（2023·高二課時練習）方程＋＝1表示的曲線是（

）A．焦點為點(－3,0)與(3,0)，離心率為的橢圓B．焦點為點(0,－3)與(0,3)，離心率為的橢圓C．焦點為點(－3,0)與(3,0)，離心率為的橢圓D．焦點為點(0,－3)與(0,3)，離心率為的橢圓【答案】B【解析】由方程可知，它表示焦點在y軸上的橢圓，且a＝5，b＝4，∴c＝3，所以橢圓的焦點為F1(0,－3)，F2(0,3)，離心率為．故選：B.3．（2023·江西·高二校聯考期中）若方程表示雙曲線，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】方程表示雙曲線,則，解得或，故選：D4．（2023·河南周口·高二校聯考階段練習）已知雙曲線的右焦點為，點M在雙曲線的右支上，滿足軸，O為坐標原點且，則離心率（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】，設M點為，代入，解得，又，故，則，即，即，又，解得．故選：C．5．（2023·四川宜賓·高二宜賓市敘州區第一中學校校考期末）已知雙曲線的離心率e是它的一條漸近線斜率的2倍，則e=（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】由題意可知，，即，則，解得：，所以雙曲線的離心率.故選：C6．（2023·安徽滁州·高二校考開學考試）若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】由雙曲線標準方程得：，由雙曲線定義得:即，解得（舍去）或，故選：A.7．（2023·陜西漢中·高二校考期中）設雙曲線C的方程為，直線l過點和點．若雙曲線C的一條漸近線與直線l平行，另一條漸近線與直線l垂直，則雙曲線C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因為，解得．故選：D．8．（2023·福建泉州·高二校聯考期中）已知雙曲線的上下焦點分別為，點在的下支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，過點作漸近線的垂線，垂足為，設，則點到漸近線的距離.由雙曲線的定義可得，故，所以，即的最小值為，因為恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解得.故選：A.

二、多選題9．（2023·湖南衡陽·高二衡陽市一中校考期末）若，則方程可以表示下列哪些曲線（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓【答案】ABD【解析】當時，，方程表示雙曲線，當時，方程為，即，表示兩條直線，當時，，方程表示焦點在軸的橢圓，當時，，方程表示焦點在軸的橢圓，當時，，方程表示圓.故選：ABD10．（2023·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學校聯考階段練習）已知雙曲線，左、右焦點為，為雙曲線上一點，則下列正確的是（

）A．離心率為 B．漸近線方程為C．虛軸長為4 D．若，則【答案】BCD【解析】對于A，已知雙曲線，則，A選項錯誤；對于B，，所以漸近線方程為，B選項正確；對于C，虛軸長，C選項正確；對于D，由定義可知，若，則或（舍），D選項正確；故選：BCD.11．（2023·廣東深圳·高二深圳中學校考期中）定義：以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線，以下關于共軛雙曲線的結論正確的有（

）A．與共軛的雙曲線是B．互為共軛的雙曲線漸近線不相同C．互為共軛的雙曲線的離心率為，則D．互為共軛的雙曲線的4個焦點在同一圓上【答案】CD【解析】對于A，根據共軛雙曲線的定義可知，與共軛的雙曲線是，A錯誤；對于B，的漸近線方程為，的漸近線方程也為，二者相同，B錯誤；對于C，由題意可得，故，由于，故，即，當且僅當時等號成立，C正確；對于D，的焦點坐標為，其共軛雙曲線的焦點坐標為，顯然這4個焦點在以原點為圓心，為半徑的圓上，D正確，故選：CD12．（2023·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中學校考期中）已知雙曲線：與橢圓的焦點相同，雙曲線的左右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，與軸相交于點，的內切圓與邊相切于點.若，則下列說法錯誤的有（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的方程為C．若，則的內切圓面積為D．過點與雙曲線有且僅有一個交點的直線有3條【答案】ACD【解析】

如圖，設、與的內切圓分別相切與兩點，所以，且，因為，可得，雙曲線：與橢圓的焦點相同，所以，可得，所以雙曲線的離心率為，故A錯誤；所以雙曲線的方程為，故B正確；對于C，若，設，則，，由可得，解得，可得，由得，解得，即內切圓的半徑為，則的內切圓面積為故C錯誤；對于D，當過點的直線與軸垂直時，其方程為，與雙曲線方程聯立，可得，即直線與雙曲線有一個交點；當過點的直線與軸不垂直時，設其方程為，與雙曲