平谷區(qū)2024—2025學年度第二學期高三年級質(zhì)量監(jiān)控

皿〈\__ri、/上

數(shù)學試卷

2025.3

注意事項

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共4頁.共150分,考試時間為120

分鐘.

2.試題所有答案必須書寫在答題紙上，在試卷上作答無效.

3.考試結束后，將答題紙交回，試卷按學校要求保存好.

第I卷選擇題（共40分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有，

個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上,）

1.已知集合/=M—=則ZU8=（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|0<x<2}

C.{x|0<x<l}D.{x|-l<x<2}

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)z滿足z-（l-i）=2i,則復數(shù)z對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.下列函數(shù)中，在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=2|B.y=Tx

1,

C.y=--D.y=-Inx

“1-x

4.在（4-2）5的展開式中，/的系數(shù)為（）.

A.-5B.5C.-10D.10

5.已知點B是平面內(nèi)兩個非零向量，那么“彳=2斤'是“卜+xB卜同+%同''的（）

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

第1頁/共26頁

6.在等比數(shù)列｛a〃｝中，ax+a2=-16,tz2+<a3=—,記北=/出…%（〃=…），則數(shù)列｛（｝（）

A.無最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C有最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

7.已知函數(shù)/（x）=2sin]ft>x—l]（0〉0）,若/（X）在區(qū)間上沒有最值，則。的最大值為（）

245

A.—B.—C.—D.2

333

8.冰淇淋蛋筒是大家常見的一種食物，有種冰淇淋蛋筒可以看作是由半徑為10cm,圓心角為生的扇形蛋

3

卷坯卷成的圓錐，假設高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒內(nèi)部的奶油體積相等，則該種冰淇淋中奶油的總

體積約為（）（忽略蛋筒厚度）

、2000收3B.皿1兀而

A.------------兀cm

8127

C2000733D.竺謔兀cn?

C.-----------兀cm

2781

9.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量尸（單位：mg/L）與時間/（單位：h）

間的關系為P=qe*,其中々，左是正的常數(shù)，如果前1Oh消除了50%的污染物，那么從消除60%的污

染物到消除80%的污染物大約需要經(jīng)歷（）

A.10hB.4hC.40hD.8h

10.已知函數(shù)/（x）=sin]x,任取7eR,定義集合：4=?y=/（x）,點尸（。/⑺），Q（xj（x））

滿足歸。|<亞｝.設Mt,mt分別表示集合A,中元素的最大值和最小值，記萬⑺=此一叫.則函數(shù)〃的最

小值是（）

A.272B.1C.V2D.2

第H卷非選擇題（共110分）

二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，請把答案填在答題卡中相應題中橫線

第2頁/共26頁

上.)

II.拋物線/=2x上一點P(x°，比)到準線的距離與到對稱軸的距離相等，貝1叫)=.

12.《張邱健算經(jīng)》是公元5世紀中國古代內(nèi)容豐富的數(shù)學著作，書中記載著這樣一個問題：“有個女子善

織布，每天比前一天多織相同的布，第一天織5尺，一個月(按30天計)共織了440尺，推算第10天該

女子織了尺布

22

13.記雙曲線。：二—4=1伍〉01〉0)的離心率為0,寫出滿足條件“直線y=屈與C無公共點”的e

ab

的一個值為.

14.已知函數(shù)/(x)=「xaX，X~,當a=—1時，/(x)的值域是________,若/(x)有兩個極值

[ax-l,x>1

點，則a的取值范圍是.

15.已知各項均不為零的數(shù)列｛4｝,其前〃項和是S“,為=。，且=%%+1(〃=1,2L).給出如下結論：

①。2=1；

②若｛%｝為遞增數(shù)列，則。的取值范圍是(0,1)；

③存在實數(shù)a,使得｛見｝為等比數(shù)列；

GN*，使得當上〉加時，總有一工<2°°1.

a2k-l

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題(本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

16.在V45。中，2ccosB=2a-b,c=也.

(1)求NC的大小；

(2)再從下列三個條件中，選擇一個作為已知，使得V48C存在且唯一，求V4BC的面積.

條件①：cos^=--；

2

條件②：b=415

條件③：5C邊上的高為力=逅.

2

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

第3頁/共26頁

17.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，平面上45J_平面等腰直角三角形,

N4PD=90°,AD//BC,AB±AD,AD=2,AB^BC=\.

（1）點E在棱尸。上，若CE〃平面尸48,求證：E為尸￡）的中點；

（2）求。。與平面048所成的角.

18.某科研團隊研發(fā)了一款快速檢測某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測的準確性，科研團隊從某地區(qū)

（人數(shù)眾多）隨機選取了40位患者和60位非患者，用該試劑盒分別對他們進行了一次檢測，結果如下：

抽樣人群陽性人數(shù)陰性人數(shù)

患者364

非患者258

（1）試估計使用該試劑盒進行一次檢測結果正確的概率；

（2）若從該地區(qū)的患者和非患者中分別抽取2人進行一次檢測，求恰有一人檢測結果錯誤的概率；

（3）假設該地區(qū)有10萬人，患病率為0.01.從該地區(qū)隨機選取一人，用該試劑盒對其檢測一次.若檢測結果

為陽性，能否判斷此人患該疾病的概率超過0.2?并說明理由.

19.已知橢圓。：三+匕=l（a〉b〉0）的離心率為立，短軸長為2,斜率為左的直線/與橢圓。交于43

兩點，與了軸交于點E，點A關于夕軸的對稱點為點直線AD與〉軸交于點G,。為坐標原點.

（1）求橢圓。的方程；

（2）求|。￡卜|。3|的值.

20.已知函數(shù)/⑴=山上。）.

（1）若a=l,求曲線y=/（x）在點（2,/（2））處的切線方程；

（2）若a=—l,求/（x）的單調(diào)區(qū)間;

第4頁/共26頁

（3）當。變化時，曲線.v=/（x）在點處的切線斜率能否為1?若能，求。的值，若不能，說明

理由.

21.對于數(shù)列兒％嗎,L,若滿足4e{0』}（z'=l,2,3,…⑷，則稱數(shù)列A為“0—1數(shù)列”.定義變換T,

若q=1,將為變成o,1,若《=0,將生變成1,o,得到新的“o—i數(shù)列”.設4是“0—1數(shù)列”，令

4=T（4T）/=1,2,3,.「

（1）若數(shù)列4：0,1，1，0,1，0,0,1，0,1，1，0?求數(shù)列4，4；

（2）若數(shù)列4共有10項，則數(shù)列4中連續(xù)兩項相等的數(shù)對至多有多少對？請說明理由；

（3）若4為0,1，記數(shù)列4中連續(xù)兩項都是0的數(shù)對個數(shù)為4,1=1,2,3,….求4關于左的表達式.

第5頁/共26頁

第I卷選擇題(共40分)

一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有,

個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上,)

1,已知集合/=3-l<x<l},8={xk)<x<2},則()

A.{x|-1<x<2}B,{x|0<x<2}

C.{x|0<x<l}D.{x|-l<x<2}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)并集的定義即可求.

【詳解】^US={x|-l<x<2},

故選：D

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)z滿足z-(l-i)=2i,則復數(shù)z對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】利用復數(shù)的除法運算化簡，即可根據(jù)幾何意義求解.

/、2i2i(l+i)

【詳解】由z-l—i=2i可得z=「=〉J=_l+i,

l-i(l-i)(l+i)

故復數(shù)N對應的點為(-1,1),位于第二象限.

故選：B

3.下列函數(shù)中，在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.=|x—2|B.y-2~A

1,

C.歹=----D.y=-Inx

1-X

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性即可逐一求解.

第6頁/共26頁

【詳解】對于A,/（1.5）=|1.5-2|=0.5,/（2）=0,由于/⑴>/（2）,故/（x）在區(qū)間（1,+。）上不是

單調(diào)遞增的，A錯誤，

x

對于B,y=2-=^在區(qū)間（1,+"）上單調(diào)遞減，B錯誤，

對于C,當x>l時，尸x-1單調(diào)遞增，且值恒為正，故y=一；為單調(diào)遞減，所以y=」一=—一匚為

單調(diào)遞增，C正確，

對于D,y=lnx在區(qū)間（1,+。）上單調(diào)遞增，故y=-lnx在區(qū)間（1,+。）上單調(diào)遞減，D錯誤，

故選：C

4.在（4-2）5的展開式中，爐的系數(shù)為（）.

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

【解析】

【分析】首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定/的系數(shù)即可.

【詳解】（五-2『展開式的通項公式為:&]=仁（4廠（_2）'=（-2）'的瞪，

S—F*1

令下一=2可得:r=l,則f的系數(shù)為：（-2）=（-2）x5=-10.

故選：C.

【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件（特定項）

和通項公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時要注意二項式系數(shù)中〃和r的隱含條件，即"，r均為非負整數(shù)，

且“沙，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等）；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項.

5.已知是平面內(nèi)兩個非零向量，2^0,那么"5=4『'是"卜+花卜同+卜的（）

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，結合向量平行定理，即可判斷.

【詳解】若值=%3，4/0，

所以卜+初=卜+2問=|2耶|,同+胴=|花|+羽=（|2|+2）^|,

第7頁/共26頁

當X〉0時，5+4卜同+2忖，當a＜0時，歸+花卜一22日,同+2網(wǎng)=0,此時歸+閩w同+2同

故"a=Ab"是"5+砌=|司+XW卜的不充分條件，

因為卜+砌〈同+同，若歸+期=同+即,則同+用|＜同+同=同+R-，當且僅當用焉方

向相同時取到等號，則力＜|4恒成立，故5//B，所以是必要條件，

綜上可知，％wo,那么“彳=/1『'是"B+xB卜同+彳忖”的必要不充分條件，

故選：B

6.在等比數(shù)列｛%｝中，%+%=—16,%+。3=印記＜=的2…%(〃=1,2,…)，則數(shù)列｛1｝()

A.無最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.有最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出4=(-1)”用0?一",進而結合等差數(shù)列的求和公式可得

n(n+l)n(3-n)n(3-n)

7=(_1)下一x8"x30—，設=8"X3—一，分析可得仇＜仇＜a〉"〉々＞…，進而求解判斷即可.

【詳解】設等比數(shù)列｛4｝的公比為q("0),

由q+%=—16,%+/=y

ax+axq=-16

則<216，解得q=-24,q=—,

%q+%q=——3

、3

則a“=—=(-1)，!-8-32"\

則7；=%%…4=(—0(—I)之…(T)"x8"x3】x3°x…x32f

n(n+l)〃(3一”)

=(-1)~x8"x32，

“(3f)(〃+l)(2f)

或“=8"x32，則，+]=8"+1X32，

("+1)(2-")

所以如=8用

bn[3-n)3〃T

“8"x3^

第8頁/共26頁

則〃42時，>1,即￡+1>bn,

"n

當〃23時，?*<1,即bn+x<bn,

則4<打<a〉&〉&〉…，則b3為最大項,

此時刀為正數(shù)項，且在正數(shù)項中最大;

再比較仇和“，其中一個為第二大的項,

由于北〉0,乙<0,因此乙為最小項.

故選：C.

ft?x-Jj>0），若/（X）在區(qū)間7171

7.已知函數(shù)/(x)=2sin上沒有最值，則。的最大值為（

452

245

A.-B.一C.一D.2

333

【答案】A

【解析】

兀兀兀71

【分析】由------CD,一CD進而結合題意可得

4--323

71兀兀

------CD---,一CD

432

7171

【詳解】由xe,a)>0,

452

r7171717171

貝！JG>X——G------CD-------,-CD-------

34323

因為/（x）在區(qū)間［一了萬］

上沒有最值,

?(兀兀兀n

所以|-co--c

I4323)

第9頁/共26頁

717171

------CD-------N-------

432

，解得。＜。彳，

則《

外＞0

所以。的最大值為2.

3

故選：A.

8.冰淇淋蛋筒是大家常見的一種食物，有種冰淇淋蛋筒可以看作是由半徑為10cm,圓心角為”的扇形蛋

3

卷坯卷成的圓錐，假設高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒內(nèi)部的奶油體積相等，則該種冰淇淋中奶油的總

體積約為（）（忽略蛋筒厚度）

A2000V23B,竺°°q而3

A.-----------兀cm

8127

C.皿1兀城D.竺謔兀cm，

2781

【答案】D

【解析】

【分析】由扇形弧長，求得底面半徑及高，再由圓錐體積公式即可求解;

【詳解】設圓錐底面面積為廠，

。A

由題意可知271r=」

3

所以r=3

3

_10020^

設圓錐得高為〃，則=100=

93

110020夜200072

所以圓錐的體積為:—71X--------X---------71，

39381

所以該種冰淇淋中奶油的總體積約為4000夜71cm3,

81

第10頁/共26頁

故選：D

9.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量。(單位：mg/L)與時間，(單位：h)

間的關系為尸=片片”其中與，左是正的常數(shù)，如果前10h消除了50%的污染物，那么從消除60%的污

染物到消除80%的污染物大約需要經(jīng)歷()

A.10hB.4hC.40hD.8h

【答案】A

【解析】

【分析】由題意得到0.5兄=兄已心，求得M再設消除60%的污染物對應事件為。，消除80%的污染物

對應事件為弓，得到方程0.4勺=勺0叫，0.2R=耳廣機，求解即可；

【詳解】由題意可知：0.5勺=勺即0.5=「％即左=號~，

設消除60%的污染物對應事件為。，即0.4片=勺丁仙，

設消除80%的污染物對應事件為t2,即0.2兄=P°e的,

兩式相除可得：2=片/七)，

即In2=—左(％—)，

所以：右一%=10，

即從消除60%的污染物到消除80%的污染物大約需要經(jīng)歷10h,

故選：A

10.已知函數(shù)/(x)=sin]x,任取/eR,定義集合：4={yly=/(x),點P&/(/)),Q(xJ(x))

滿足|PQ|W亞}.設兒j啊分別表示集合4中元素的最大值和最小值，記萬。)=〃，-叫.則函數(shù)〃(。的最

小值是()

A.2亞B.1C.V2D.2

【答案】B

【解析】

【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)尸的位于不同的位置，即可分情況求解.

兀—=4

【詳解】如圖所示，/(x)=sin,x的圖象，此時，函數(shù)的最小正周期為三一,

第11頁/共26頁

點尸?,sin

當點P在A點時，點。在曲線。45上，Mt=1,mt=0,h(t)=Mt-mt=\,

當點P在曲線上從A接近8時，M；=l,但減小，所以及(/)逐漸增大;

當點尸在3點時，Mt=1,mt=-1,h{t}=Mt-mt=2

當點尸在曲線上從8接近C時，加，=-1,此減小，小。逐漸減小，

當點p在C點時，Mt=0,mt=-1,h[t}=Mt-mt=1

當點p在曲線上從C接近。時，叫=-1，M增大,W)逐漸增大，

當點尸在D點時，Mt=1,mt=-1,h(t)=Mt-mt=2

當點尸在曲線上從。接近E時，=1,“增大，〃⑴逐漸見減小，

當點？在￡點時，Mt=1,mt=0,=M—網(wǎng)=1,

綜上可得〃(。的最小值是1

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)點尸的位置變化，分別求解的值.

第n卷非選擇題(共uo分)

二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分，請把答案填在答題卡中相應題中橫線

上.)

11.拋物線/=2x上一點？(%,%)到準線的距離與到對稱軸的距離相等，則與=.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】由拋物線的定義可知，過尸作無軸的垂線垂足是焦點，即可得到答案.

第12頁/共26頁

【詳解】拋物線焦點在X軸上，且焦點故拋物線的對稱軸為X軸,

拋物線/=2x上一點P（x0,%）到準線的距離與到對稱軸的距離相等，

由拋物線的定義可知，點到準線的距離與到焦點的距離相等，

所以，若尸軸，則垂足為點/，即玉）=（，

故答案為：；

12.《張邱健算經(jīng)》是公元5世紀中國古代內(nèi)容豐富的數(shù)學著作，書中記載著這樣一個問題：“有個女子善

織布，每天比前一天多織相同的布，第一天織5尺，一個月（按30天計）共織了440尺，推算第10天該

女子織了尺布

【答案】II

【解析】

【分析】記公差為d,根據(jù)已知求出d=2.再利用等差數(shù)列的通項公式求解.

3

【詳解】由題得每天的織布數(shù)成等差數(shù)列，首項q=5,記公差為d,

30x292

由題得530=5x30+―^—4=440,所以d=

所以Io=5+—x9=ll.

故答案為：11

22

13.記雙曲線。：二—\=1伍〉0/〉0）的離心率為0,寫出滿足條件“直線y=底與C無公共點”的e

a"b"

的一個值為.

【答案】2（注：區(qū)間（1,2］內(nèi)任何一個值）

【解析】

【分析】利用雙曲線的性質(zhì)計算即可.

【詳解】由題意可知雙曲線的漸近線為^=±2%，離心率e〉l,

a

12_2

若滿足直線y=&與。無公共點，則需J=〈3ne2—l<3nl<e<2,

aa

故答案為：2

第13頁/共26頁

14.已知函數(shù)/(x)=一，一，當a=—1時，/(x)的值域是__________，若/(x)有兩個極值

［ax-1,x>l

點，則a的取值范圍是.

【答案】①?，叫:②.(0,2)

【解析】

【分析】結合二次函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性，可得分段函數(shù)的單調(diào)性，結合值域的概念以及極值點的概念,

建立不等式，可得答案.

［詳解］由a=—l,貝=一羽x<l,

—x—1,X>1

當x?l時，/(x)=-x2-x,

易知函數(shù)/(x)在［上單調(diào)遞增，在［g,l］上單調(diào)遞減，

此時/('Lx=/［一￡|=：；

當x>l時，/(x)=—x—1,易知函數(shù)/(x)在(1,+。)上單調(diào)遞減，則/(x)<—2.

綜上可得.

由題意可設函數(shù)/(x)的兩個極值點分別為，且再<馬,

由二次函數(shù)y=-X2+以在［8,上單調(diào)遞增，在C,+［上單調(diào)遞減，

一次函數(shù)y=ax-l,當a<0時，在R上單調(diào)遞減，當a〉0時，在R上單調(diào)遞增，

易知函數(shù)/(X)在再)與(9,+”)上單調(diào)遞增，在(國,々)上單調(diào)遞減，

da

且l=一,%=1,可得—<1,解得o<“<2.

22

故答案為：［-8,斗(0,2),

15.已知各項均不為零的數(shù)列{4},其前〃項和是=。，且S"=4%+1(〃=1,2產(chǎn))給出如下結論：

①。2=1；

第14頁/共26頁

②若｛4｝為遞增數(shù)列，則。的取值范圍是（0,1）；

③存在實數(shù)。，使得｛4｝為等比數(shù)列；

@3meN*>使得當上〉加時，總有<2°m.

a2k-\

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】根據(jù)邑,％的遞推關系可得4+2—%=L所以｛%｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為1的等差數(shù)列，

進而得。2”-1=〃，即可結合選項求解.

【詳解】由5'=%4+15=1,2,…）得Sn+l=an+2an+l,相減可得

Sn+1~S"=%+2%+1-a?+ianTan+l=區(qū),+1（%+2一%）,

由于｛4｝各項均不為零，所以4+2-a“=l,所以｛4｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為1的等差數(shù)列，

對于①，%的=S1=%—2=1，故正確；

對于②，由于｛%｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為1的等差數(shù)列，所以。2”-1=。+（〃—1），的"="，

若V〃eN*，4+i>an,則需要eN*,a2“+i>的”>%“T=>a+">〃>a+,則0<。<1,故正確，

n

對于③，%“T+—=〃，若｛4｝為等比數(shù)列，則一^為常數(shù),則。=1,

a2n-\^+（72-1）

此時——二1,故=〃，。2〃二n，進而可得數(shù)列的項為1,1,2,2,3,3,…，顯然這不是等比數(shù)列，故錯誤,

a2n-\

對于④，若?=一<2001,只要左足夠大，一定會有a+左—1>0,

。2左—1a+4一1

則絲匕〉2一0.01nqz1,只要左足夠的大，口趨近于0,

kkk

而2一0°1—1<0,顯然能滿足q匚〉2一°°i—1,故土"CN*，當％〉加時，總有4<2°2，故正確,

kaik-\

故答案為：①②④

【點睛】方法點睛：本題考查了數(shù)列的遞推公式，數(shù)列單調(diào)性及與數(shù)列有關的比較大小問題.根據(jù)數(shù)列前〃

項和與數(shù)列的項的遞推關系求通項公式時，注意分析〃=1,122,在處理涉及隔項數(shù)列問題，一般要考慮

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分〃為奇數(shù)和偶數(shù)來分類討論，含參的恒成立或者存在類問題，先分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求式子的最大值或最

小值問題來處理.

三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

16.在丫28。中，2ccosB=2a-b,c.

（1）求/C的大小；

（2）再從下列三個條件中，選擇一個作為已知，使得VZ8C存在且唯一，求VN8C的面積.

條件①：cosA=--；

2

條件②：b=G；

條件③：8C邊上的高為〃=立.

2

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

7T

【答案】（1）c=-

3

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理邊角互化，結合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理邊角互化求解,

（2）根據(jù)三角形存在可知不能選①，選②，利用余弦定理可求解在土交，即可利用三角形面積公式

2

TT

求解，或者利用正弦定理求解8=—,進而根據(jù)和差角公式求解sin2,由面積公式求解，選③根據(jù)高

4

V6

6=4=壬=后，即可利用選②的方法求解.

sinCV3

【小問1詳解】

dbc

方法一：由正弦定理----=----=-----R2ccosB=2a-b,得

sirvlsinBsinC

2sinCcosS=2siih4-siaS.①

因為4+5+。=兀，

所以siM=sin（5+C）=sin8cosc+cosBsinC.②

由①②得2sin5cosc-siafi=0

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因為Be（0,兀）,所以singu0.

1JT

所以cosC=—.因為Ce(0,7r),所以C=2

2v'3

方法二：在V中，因為2ccosB=2a—Z?,

212222

工人八tz+C—bZR6Z+C-Z?c.

由余弦定理cosS=--------------得2c--------------=2a-b,

2ac2ac

整理得a2+b2-c2=ab

所以cosC="+*_<-所以c=g

Zab23

【小問2詳解】

127rjr

若選條件①：cosA=——；Ze（0,7i）,所以/=——,而。=—,這與/+2+。=兀矛盾，故不能選①.

2v733

選條件②:

方法一；由余弦定理0?=/+/一2abeosC，得3=/+2—2后。,

2

即/一6_1=0,解得±t

2

V33+73

所以S^ABC=—absinC=—xV2x------------------X--------------------------

22224

7

bC41

方法一：由正弦定理singsinC?sinS.71，所以sinS=----，因為

sm—2

3

。$°<8<手所以5弋

7171.71717171

siih4=sin(5+C)=sin—+—=sm—?cos—+cos--sin—

434343

V2V3V21V6+V2

—-------X----------1---------X—=------------

22224

(3+百

所以S“BC=—bcsmA=-xV2xV3x

224J4

選條件③:

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旦

8C邊上的高力=逅,。=P，所以a=J5,

23smCV3

2

以下與選擇條件②相同.

17.如圖，在四棱錐4BC。中，平面P48_L平面等腰直角三角形,

NAPD=90°,AD//BC,ABLAD,AD=2,AB=BC=1.

（1）點E在棱尸。上，若CE〃平面尸48,求證：E為尸。的中點；

（2）求。。與平面048所成的角.

【答案】（1）證明見解析

⑵-

6

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結合平行四邊形的定義，可得答案；

（2）由題意建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量與平面的法向量，利用線面角的向量公式，可得答

案.

【小問1詳解】

在△尸40中，過點、E作EF〃AD交P4于點、F,連接3尸，

因為ZD〃8C,所以EF〃BC,所以5,C,E/四點共面.

因為CE〃平面尸48,CEu平面5c防，

平面BCEFA平面PAB=BF,所以CE〃BF.

所以四邊形9是平行四邊形，

所以5。=￡廠=」40,所以E為尸。的中點.

2

【小問2詳解】

過P作P0J.4D于。，連接0C

因為=所以。為40中點,

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AD=2,AO=BC=1,AD//BC,所以四邊形48co為平行四邊形,

又AB_LAD,所以CO_LZD,

又因為平面PAB±平面PAD,ABYAD,平面PADc平面PAB=PA,

45u平面尸48,所以45,平面尸40.所以48,P。，

所以COLPO.

如圖建立空間直角坐標系。-孫z.

因為AD=2,AB=BC=1,

由題意得,4(0,1,0),5(l,l,0),C(l,0,0),D(0,-l,0),P(0,0,l)

所以方=(1,0,0),方=(0,1,—1),反=(1,1,0).

n-AB=0,x=0,

設平面尸48的法向量為萬=（x,y,z）,貝卜一即

n-PA=0,y-z=0.

令2=1,則＞=1.所以平面PAB的一個法向量為H=（0,1,1）.

設DC與平面PAB所成角為0,

\n-DC

1_1

則sin。=

同甌V1+1-V22

7T

又，e。片解得，

6

JT

所以。C與平面尸48所成的角為一

6

18.某科研團隊研發(fā)了一款快速檢測某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測的準確性，科研團隊從某地區(qū)

（人數(shù)眾多）隨機選取了40位患者和60位非患者，用該試劑盒分別對他們進行了「次檢測，結果如下:

抽樣人群陽性人數(shù)陰性人數(shù)

患者364

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非患者258

（1）試估計使用該試劑盒進行一次檢測結果正確的概率；

（2）若從該地區(qū)的患者和非患者中分別抽取2人進行一次檢測，求恰有一人檢測結果錯誤的概率；

（3）假設該地區(qū)有10萬人，患病率為0.01.從該地區(qū)隨機選取一人，用該試劑盒對其檢測一次.若檢測結果

為陽性，能否判斷此人患該疾病的概率超過0.2?并說明理由.

【答案】⑴0.94

（3）超過，理由見解析

【解析】

【分析】（1）由古典概型概率計算公式求解即可；

（2）設事件A：患者檢測結果正確，事件8：非患者檢測結果正確“，事件C：該地區(qū)的患者和非患者中

分別抽取2人進行一次檢測，恰有一人檢測結果錯誤，由

p?=c；?⑷?p（N）.（尸⑶y+C；P（B）?尸（豆）?（p（/））2求解即可;

（3）求得檢測一次結果為陽性的人數(shù)，確定其中患者人數(shù)，即可判斷；

【小問1詳解】

由題意知，使用該試劑盒進行一次檢測共有100人，其中檢測結果正確的共有94人，

94

所以使用該試劑盒進行一次檢測結果正確的概率估計為一=0.94.

100

【小問2詳解】

設事件A：患者檢測結果正確，事件B：非患者檢測結果正確“，

事件C：該地區(qū)的患者和非患者中分別抽取2人進行一次檢測，恰有一人檢測結果錯誤;

P（z）可估計為更=2,P（8）可估計為處=—

根據(jù)題中數(shù)據(jù),

''4010v76030

該地區(qū)的患者中抽取2人進行一次檢測，恰有一人檢測結果錯誤的概率為

_Q118

C*P(^)-JP(^)=2x-x-=

100

該地區(qū)的非患者中抽取2人進行一次檢測，恰有一人檢測結果錯誤的概率為

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_29158

C；P(B)?P聞=2x—X—=

23030900

所以P(C)=C；P(Z)?P(力?(P(B))2+P(月).(P(A))2,

551

所以尸(c)==0.2204.

2500

551

因此