微拓展3平面向量中的新定義

［考情分析］平面向量作為數學工具，是代數與幾何的紐帶，是數學知識網絡中的一個交匯點，成為聯系

多項內容的媒介.平面向量的新定義把向量與其他知識聯系起來，通過規則、運算等，更好的展示了向量

“數”與“形”的雙重身份，是高考改革創新的熱點.

考點一平面向量的外積

定義

\axb

向量a與萬的外積是一個向量，記為axb,它的長度|ax例=|a|忸|sin(a,b),它的方向垂直于a,b,且

｛a,b,axb｝構成右手系的基.

外積是一個向量，所以又叫向量積，也叫叉積，axb讀作叉b”.

特別地，當a=0或6=0時，axb=0.

例1(多選)［平面向量的外積］

在空間中，定義向量的外積：叫做向量。與b的外積，它是一個向量，滿足下列兩個條件：

①a，(axb),Z>±(axZ?),且｛a,b,axb｝構成右手系的基(即三個向量的方向依次與右手的拇指、食指、

中指的指向一致，如圖所示)；

②axb的模|°x臼=|a仙|sin［a,b)((a,b)表示向量a,5的夾角).

在正方體A5CD-AbBiGDi中，有以下四個結論，正確的是()

A.函xZC|=\AD［xUB\

B&C；x硒與西共線

C.ABXAD=ADXAB

^■^ABCD-A1B1C1D1=—(ABXAD)-CQ

［規律方法］(1)外積的幾何意義

SMBCD=|0?(1|sin0)=\a^b\.

結論：|ax例表示的是〃與8構成的平行四邊形的面積.

DC

（2）外積的性質

①axa=O;

@axb=O^a//b；

③ax斤-（?<〃）（交換律不成立）；

④（。+5）xc=axc+bxc（分配律）；

⑤（4a）x8=〃x（2力

跟蹤演練1（多選）（2024?昭通統考）已知向量a,b的數量積（又稱向量的點積或內積）：。力=|a|Wlcos〈a,

b），其中〈a,b）表示向量a,8的夾角；定義向量a,辦的向量積（又稱向量的叉積或外積）：

\axb\=\a\-\b\sin〈a,b）,其中〈a,b）表示向量a,〃的夾角，則下列說法正確的是（）

A.若a,b為非零向量，且|ax例二|〃仍|,貝（J[a,b）

B.若四邊形ABCD為平行四邊形，則它的面積等于|荏XAD\

C.已知點A（2,0）,B（-l,V3）,。為坐標原點，貝礪|=2遮

D.^\axb\=^-a-b=43,貝!J|a+2"的最小值為2/3+2舊

考點二與線性運算有關的新定義

例2我們把由平面內夾角成60。的兩條數軸Ox,Oy構成的坐標系，稱為“@未來坐標系”.如圖所示,

ei，e2分別為Ox,Oy正方向上的單位向量.若向量正=xei+ye2，則把實數對｛x,y｝叫做向量而

的"@未來坐標”，記而=｛x,y｝,已知｛羽，為｝,｛制，/｝分別為向量a，6的“@未來坐標”.

（1）證明：｛Xl，yi]-｛X2,>2｝=羽*2+以”+201”+》2%）；

（2）若向量a,b的“@未來坐標”分別為｛sinx,1｝,｛cosx,1｝,已知於）=a-4xGR,求函數九x）的最

值.

［規律方法］解決此類問題，關鍵是對新定義中的知識進行提取和轉換，如果題目是新定義的運算法則，

直接按照法則計算即可；若是新定義的性質，一般要判斷性質的適用性，能否利用定義的外延，可用特殊

值排除.

跟蹤演練2(多選)定義平面向量之間的一種運算“。”如下：對任意的4=(加，〃)，b=(p,q),令

aG)b=mq-np,則下列說法正確的是()

A.若a與6共線，貝！Ja06=0

B.aOb=bOa

C.對任意的/ICR,有(九1)。。=〃<10?

D.(aOZ?)2+(a-Z?)2=|a|2|Z?|2

考點三平面向量的新定義與新運算

例3設非零向量歐=(弘，次)，效”㈤叱醇，并定義｛窿二片；二二

(1)若內=(1,2),以2=(3,-2),求|ai|,|?2|，|as|；

(2)寫出|磯|恁+1|,|a)t+2|(kGN*)之間的等量關系，并證明；

⑶若⑶|=|恁|=1,求證：集合｛a#GN*｝是有限集.

［規律方法］與定義新運算有關的創新問題是按照一定的數學規則和要求給出新的運算規則，并按照此運

算規則和要求，結合相關知識進行邏輯推理和計算等，從而達到解決問題的目的.

跟蹤演練3(1)已知對任意平面向量而=(%,y),把荏繞其起點沿逆時針方向旋轉。角得到向量萬=

(xcos6-ysin0,xsin6+ycos0),叫做把點B繞點2沿逆時針方向旋轉。角得到點P.已知平面內點

4(1,2),點B(l+百，4),把點B繞點/沿順時針方向旋轉三后得到點尸，則點尸的坐標為()

A.(手+1,|)B.(一手+1,|)

⑵對于非零向量a,p,定義一種運算：。。A=翳，已知非零向量a,%的夾角8三①，且a□人

p-p\42/

都在集合於,eN｝中，貝Ua。》等于()

其或|B弼

C.lD.-

2

思維提升拓展練習

1.對于非零向量a,b,定義〃十?"tan〈a,b）a?b=\a+b\=y/3\a-b\=y/3,則tan〈a,b〉等于（）

A.竽B.V2

C.2V3D.3V2

2.若向量a=（xi，%）,6=（x2，m），則a，。構成的平行四邊形的面積S可以用a,b的外積ax/?表示出來，即

5=|心切=僅0*%2"].已知在平面直角坐標系Oxy中，點A（cosa,V3）,B（sin2a,2cosa）,ae[o,1],則^

OA3面積的最大值為（）

A.lB.V2

C.2D.3

3.（多選）如圖所示，設Ox,0y是平面內相交成（9（。H角的兩條數軸，ei,e2分別是與x,y軸正方向同向

的單位向量，則稱平面坐標系。孫為6反射坐標系，若3耘=找1+州2，則把有序數對（x,＞）叫做向量而

的反射坐標，記為面=（久，y）,在6=乎的反射坐標系中，a=（L2）,6=（2,-1）,則下列結論中，正確的

是（）

Od|x

A.rz-M-b3）

B.|a|=V5

C.a±b

D.a在b上的投影向量的長度為-%

14

4.（多選）現在給出一個向量的新運算ax從叫作向量。與〃的外積，它是一個滿足如下兩個條件的向量：①

a-（axZ?）=O,"（axb）=O,且｛a,b,axb｝構成右手系的基（即三個向量的方向依次與右手的拇指、食指、中

指的指向一致，如圖1所示）；②向量ax6的模|axb|=|a|向sin〈a,6〉.如圖2,在棱長為2的正四面體

A8C。中，下列說法正確的是（）

axb

圖1

A.XBxAC=ACxAB

B.4|BCX而|與正四面體的表面積相等

C.（ACXAB）-AD=4V2

D.|（XCxAB）xAD\=\ACx（ABxAD）\

5.給出定義：對于向量〃=(sinx,cosx),若函數穴x)=a?b,則稱向量。為函數人x)的伴隨向量，同時稱函數

兀0為向量a的伴隨函數.

已知?-1,|),3(1,3),函數/z(x)的伴隨向量為“=(0,1),點P為函數〃⑴的圖象上一點，滿足

\AP+BP\=\AB\,則點P的坐標為.

6.(2024?邯鄲模擬)對任意兩個非零的平面向量a和從定義：a?b=-^—,a。上黑.若平面向量a,b滿

|ar+l?r

足|a|＞網＞0,且a十b和都在集合招neZ,0＜n〉4}中,貝!Ja十Ha。斤.

7.對于一個向量組a”02，的，…，a"("N3,77GN*),令瓦=。1+。2+…+的，如果存在勾(EN*),使得

\at\^\at-bn\,那么稱心是該向量組的“好向量”.

(1)若的是向量組。1，?2，的的"好向量"，且a”=(",x+ri),求實數x的取值范圍；

(2)已知。1，。2，的均是向量組41，。2，的的"好向量”，試探究。1，。2，的的等量關系并加以證明.

8.記所有非零向量構成的集合為V,對于a,ftev,a豐b,定義V(a,b)=(xeV\x-a=x-b}.

⑴若a=(-l,3),8=(2,-6),求出集合V(a,㈤中的三個元素；

(2)若V(a,b)=V(a,c),其中bWc,求證：一定存在實數小，%,且九+七=1,使得°=九6+%，

答案精析

例1ABD

跟蹤演練1BCD

例2(1)證明因為ei,e2分別為Qx,Oy正方向上的單位向量，且夾角為60。，

所以縱e=包||e21cos60°=j,

所以{即,yi}-{x2,yi]

二(%1Cl+y1。2)?(元2。1+l。2)

77

2

=x\xi|12+11,2+12%+'i,2|e2|

i、

=xiX2+yiy2+-z(xiy2+x2yi),

1

1

母{xi,%卜{%2,y2}=xiX2+yiy2+-(xiy2+x2yi).

⑵解因為向量a,力的“@未來坐標”分別為{sinx,1},{cos%,1),

所以?r)二a?力

二(sinxei+e2)-(cosxei+e2)

二sinxcosxe^+sinxeie+cosxeve7+e^

二sinxcosx+l+1(sinx+cosx).

令Usinx+cosx二V^sin(犬+,

貝I]sin%cos,

因為x￡R,

所以-VIW&sin(x+,

即

令g⑺《(，+什1)(-魚＜w①,

因為對稱軸為仁，，函數圖象開口向上，

所以當T時，g⑺取得最小值g(-i)=ixQ-i+1)1,

當仁魚時，g⑺取得最大值g(V^)=；x(2+V^+l)=%箸,所以於:)的最小值為；,最大值為三g

2282

跟蹤演練2ACD

例3⑴解因為?=(1,2),

電二(3,-2),

所以+2=縣,

l?2|=V32+(-2)2=V13.

依題意得力=(-2,-3),

所以為二"2a=3xl+(-2)x2=-l,

y3=%ai=(-2)xl+(-3)x2

=-8,即“3=(-1,-8),

所以|a3|二，(-1)2+(-8)2

=V65.

⑵解㈤，3+11,I以+2］之間的等量關系是|以+2|=|歐+111歐|/￡N*).

證明如下：

依題意得㈤=J底+說,

M=Jx^+1+嵬+i,

所以I歐+111歐I

=收+兔J城+1+嵬+1

=Jxkxk+i+說久+i+吸+i比+y^k+i-

因為flk+i=(yk+i,-xk+i),

所以儼上+2=ak+l'ak=xk+lxk+yk+lVkf

ly/c+2=Pk+1*ak=xkVk+l—xk+lVk>

即+2=(x以％+i+yt”+i,Xkyk+i-Xk+iyk),

所以|以+2|二

22

V(^fc^k+i+ykyk+i)+feyfo+i-xk+1yk)

=Jxkxk+i+xiyi+i+xk+iyk+ylyl+i，

故lat+2|=|a%+i||ad(%￡N*).

(3)證明由⑵及|“i|二|以2曰得|的|=1.

依此類推得如=1(左WN*),

可設ak=(cosOk,sina),

則at+i=(cos0k+i,sin,

"+i=(sin0k+i,-cosft+i).

依題意得，

Xk+2=ak+]-a^cosft+icosft+sinft+isin仇:二cosR+「為：),

次+2=y%+i?以=sinft+icos0k-

cosft+isin8*sin(仇：+「&),

所以歐+2=(cos(&+i-&),

sin(ft+i-ft)).

同理得

?H3=(COS[(ft+i-ft)-ft+i],

sin[(a+i?%)4+i])

=(cos(-ft),sin(-ft)),

歐+4=(cos[(-。。-(a+「/)],

sin[(-ft)-(ft+i-ft)])

=(cos(-^+i),sin(-ft+i)),

歐+5=(cos](-%+i)-(-&)],

sin[(-ft+i)-(-ft)])

=(cos(ft-ft+i),sin(%a+i)),

?H6=(C0S[(ft-ft+i)-(-ft+i)],

=(cosOk,sin6k).

所以ak+6=ak*￡N*).

綜上，集合｛”#￡N*｝是有限集.

跟蹤演練3(1)A(2)D

思維提升拓展練習

l.C2.A3.AD

4.CD［對于A,易得說xZ?|=^x荏|,根據右手系的基的定義，拇指指向說的方向，食指指向前的方

向，則中指指向荏xZ?的方向,其垂直于平面A8C,方向向下，同理得前x荏垂直于平面ABC,方向向

上，所以荏x前與左x而兩向量大小相同，方向相反，A錯誤；

對于B,4\BCxXC|=4|BC||ZC|sin^=4x2x2x^=8V3,正四面體的表面積為4x\|BC|x|4C|xsin^=4V3,B錯誤；

對于C,設前乂而=前，由A選項知施垂直于平面ABC,方向向上，

|AM|=|4B||4C|sin^=2V3,

所以(私福?而=前.而=|麗麗|cos<AM,AD)=

48cos(AM,AD).

如圖，過點A作AEL3c于點E,過點。作DFUAE于點尸，

則即是正四面體ABC。的高，前與麗共線，〈前，詬〉=NAOE

SixF￡）xixABxACxsin-=—x23,WFD=—,

323123

所以cos（AM,~AD）=—=—,

AD3

所以（前x荏）.而=4V^X曰=4&，C正確；

對于D,\（ACKAB）xAD\=\ACxAB\\AD\sm〈（mx而），AD>,

\ACx（ABxAD）\=\AC\\ABxAD\sin<AC,港x通）〉，

易知|Z?x荏|=|荏x而|,

\AD\=\AC\,

sin（（ACKAB）,AD）

=sin（AC,（ABxAD））,

所以|（左x荏）x75|

=\ACx（ABxAD）\,D正確」

5.（0,1）

6.1或3

解析因為｛浙eZ,0<nW4｝

設向量a和6的夾角為0,

因為|a|>|b|>0,

所以⑷2+|肝>2|a||b|,

彳日N||m/y二一ab」a||b|cos6|a|網cos°

何士」a^n~\a\2+\b\2~\a\2+\b\22\a\\b\

cosd

又腦［0,相，所以等U,

所以a?Z><|,又a?b在集合｛mnGZ,0<n<4)中,

所以a?b=-,

4

所以即cos9>-；

242

又因為。。打籍卡端。S02S*,

所以a。海或1,

4

所以a?b+aOb=l或［.

7.解⑴由題意|的閆〃1+。2|,

而ai=(l,x+1),。2=(2,x+2),

的=(3,x+3),

ai+〃2=(3,2x+3),

所以+(%+3)22,9+(2%+3)2,

解得-2W%W0,

所以工的取值范圍是[-2,0].

(2)。1,。2,。3的等量關系是。1+。2+。3=0,證明如下:

由題意41是向量組41,。2,。3的“好向量”，所以|。1|邦。2+。3|,

則四|221a2+。3『,

即屏2(g+的/，

所以說2W+2a2以3+a專,

同理匿2靖+2〃］以3+送,

2a2,ai+a亥,

三式相加并整理得02a：+磅+說+201以2+2。2以3+2。「。3,

所以(%+&+。3)2《0,

|ai+〃2+〃3