三角形

一、單選題

L在AABC中，B^C^AC^，AC的中點為若長度為3的線段P&P在Q

的左側(cè))在直線BC上移動，則AP+。。的最小值為()

回+2回n回+3加°回+4向n回+5廂

D.C.D.

2---------------------2------------------------------2----------------------------2

解：因為34c=(AC=2病

由正弦定理可得￥=BCAB

726一0+遙

224

可得2。=6"=3應+痛,

以3c所在直線為x軸，y軸經(jīng)過點A,則A(0,3+道),

設P(?,0),2(6!+3,0),0(—^,,

22

可得AP+DQ=7(a-0)+[0-(3+73)]+J(a-+(Q-檸雪

則AP+DQ表示x軸上的點尸與A和(-二^,二8)的距離和，

利用對稱性(_2±走,犯史)關于x軸的對稱點為E(一史史「史史)，

2222

可得AP+DQ的最小值為AE=j(0-^^)2+(3+6+2^1)；=屈+；回.

故選：B.

2.在等腰AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,其中3為鈍角，

6-島sinA=6cos2A.點。與點3在直線AC的兩側(cè)，且CD=3AD=3,則ABCD的面積

的最大值為()

A.-73B.4也C.-73D.3

44

解：如圖所示，以。為原點，DC為x軸正方向建立直角坐標系，點A在單位圓上,

可得：C(3,0),

由b—\[3asinA=bcos2A,

可得：sin2?-sin2A=sinB(1-2sin2A),

可得：^sin2A=2sinBsin2A,可得：sinB=—,由6為鈍角，可得5=紅，

23

設5(%,y),ZADC=3,可得：A(cos^,sin^),可得：|AC|=A/10-6COS6,

由題意及余弦定理可得：|AC|=J+|一2|人0.|ABbcosg，

可得|A3|=|BC|=^^,(x-cos^)2+(^-sin0)1=(x-3)2+y1；

,。、2(cos^-3)2+sir^O

(x3)+y2一§，

TV，可得：時，有1%/=乎，

消去。可得3的軌跡為：(x--)2+(j

232o

i3°_1a5色_5也

由%8=5100.|為1=51%1，可得、砧CDmax=彳'3X——二――?

2O4

故選：C.

y個

vp3c

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,小＞=3,點E是的＞的三等分點(靠近點A).現(xiàn)以EC

為折痕，將ACDE翻折得到△CD'E,設/BED'=6,則在翻折的過程中cos夕的取值范圍是

解：由題意可得。’的軌跡是以AC為直徑的圓的一部分，線段ED的軌跡是圓錐的側(cè)面的

一部分.

當點。'落在平面ABCD內(nèi)時,

設即'與3c的交點為尸，易得/是3c的三等分點（靠近點8）,連接EF,

可得/3E7啜J9ABED,則cos/BE腺os，cos/BED,

因為ED=CD=CF=EF=2,ZADC^90°,

所以四邊形EDCF是正方形，則NDEF=90°,

因此cosNBEF=cosNEBA="亞

5

cosABED=cos(ZBEF+90°)=-sinNBEF=一(,

則cos0e

故選：A.

4.在AABC中，BC=6AC,N54C=60。，點。與點3分別在直線AC的兩側(cè)，且AZ）=1,

DC=6則3D長的最大值是（）

A.4A/3B.3A/3C.6D.4

解：在AABC中，設AC=x,由BC="4C,可得BC=A，

ACBCxy/3x

由44C=60。，可得________nnPj_________、

sinZABCsinZBAC'sin/ABC-sin60°

所以sin/ABC=‘，ZABC^30°,所以NACB=90°,

2

在AACD中，設NADC=，，可得AC?=人4+a)2-2Ao-CD-cose,

即f=1+3一26COS0=4—2由cos0,

AT)AC

由--------=----，所以xsinZACD=sin6,

sinZACDsin0

在ABCD中，BD2=BC2+CD2-2BCCD-cosNBCD,

即BD2=3X2+3-2y/3-氐cos(90°+ZACD)=3x2+3+6xsinZACD=3x2+3+6sin61

=3(4-2Acos0)+3+6sin。=15+6sin0—673cos0=15+12sin(6?-60°)?27,

當，=90。+60。=150。時，8D長取得最大值3g,

故選：B.

5.已知銳角AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2asinC=&c,o=1,

則AABC的周長取得最大值時AABC的面積為（）

A.—B.-JiC.叢D.4

4

解：由正弦定理知，=

sinAsinC

2asinC=百c,2sinAsinC=y/3sinC,

?.?sinCwO,/.sinA=—

2

712JI

?.?AA灰7為銳角三角形,/.A=-,B+C=——

33

ba12

sinBsinCsinA百6

2

:.b=^=smB,c^sinC,

百

r\or\。。

/.AABC的周長為1+—^sin5+—^sinC=1+—=sinB+—j=sin(—-B)

73V3V3^3

2227r2%

=1+—j=sinB+~i=(sin—cosB-cos-sinB)

=l+-^sinB+cosB+^sinB)

=1+-^=sinB+cosB+~^=sinB

G6

=1++sinB+cosB

71

=1+2sin(B+—),

當5=工，即AABC為等邊三角形時，AABC的周長取得最大值,

3

此時AABC的面積S=—sinB=—x1x1xsin—=—

2234

故選：A.

6.在AA5C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且3c邊上的高為電a,若

6

sinC=ksinB,則當k取最小值時，內(nèi)角A的大小為（）

263

解：因為sinC=ksinB,所以k=￡,不妨設c.b,則k?l,

b

因為邊上的高為且〃，所以工X—^4xa='/?csinA,即a1=2j§Z?csinA,

6262

由余弦定理a2=b2+c2-2Z?ccosA,

所以。2+，_2^/3Z?csinA+2Z?ccosA,BP—+—=2^sinA+2cosA=4sin(A+—),

cb6

=—+—=k+—>貝!Jf=l--T-,

cbkk2

當k?l時，f..O,所以:在口,+8)上是增函數(shù)，

■rr

當k=l時，t=2,即4sin(A+%)=2,

所以YT，可得A專

故選：D.

7.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,角5為銳角，若c=4Z?cosA,

則‘a(chǎn)nA+上的最小值為（）

tanB*tanCtanA

76D375r3百

22

解：AA3c中，c=4〃cos>4,由正弦定理得sinC=4sin'cosA;

又sinC=sin(A+B),

所以sinAcosB+cosAsinB=4sinBcosA，

整理得sinAcosB—3sinBcosA,

即tanA=3tanB,且tanB>0；

tanA+tanB4tanB

XtanC=-tan(A+B)=-

1-tanAtanB3tan2B-l

tanA63tanB6

所以--------1----=--------1-----

tanB?tanCtanAtanB?tanC3tanB

32

=--------------1--------------

tanCtanB

_3(3tai?8-1)2

4tanBtanB

3_「5x3_/T3^/5

=—(3ztanBH---------)..；-x2。5=------,

43tanB42

當且僅當tanB=好時取“=”；

3

所以+―8的最小值為史.

tanB*tanCtanA2

故選：B.

8.若AASC的三個內(nèi)角A,B,。滿意tanA,tanB,tanA+tanC,tan5(tanA+tanC)依

次成等比數(shù)列，則sin(C_＞值是()

sin(B-A)

A.眄R3A/WD,史

D.------------u.-------

10IO55

解：?.,tanA,tanB,tanA+tanC,tanB(tanA+tan。依次成等比數(shù)列,

?.tan2B=tanA(tanA+tanC),(tanA+tanC)2=tan2B(tanA+tanC),

/.(tanA-l)((tanA+tanC)2=0,A,B,。是MB。的內(nèi)角,

故解得：A=-

4

/.tan2B=l+tan[萬—(A+B)],

,7L

「.tanJB=l-tan(—+B),

2n1l+tanB

/.tan2B=l-------------,

I-tanB

/.tan2B—tan5—2=0,

解得：tanB=2,

故sin5=2’,cosB二

55

XtanC=-tan(A+B)=-1+tanB=3,

1-tanB

ftxsinC--------9cosC-------9

1010

3屈2同

,,sin(C-B)sinCcosB-cosCsinB50-50=百

故r---------

sin(B-A)sinBcosA-cosBsinA2MM-5

"Ioio-

故選：c.

9.設a,b,c為ABC中的三邊長，且a+b+c=l,則/+"+c?+4a〃c的取值范圍是（

)

B.[―,1)

272

解：記于(a,b,c)=a2+b2+c2+4abc,則

于(a,b,c)=1—lab—2c(a+Z?)+4abc

=1-2ab(l-2c)-2c(l-c)=2(c+ab)2-Ic^b1-2(ab+c)+1

1o911111

=2[c+ab——]29-2a2b2+-=4(c——)(a——)(b——)+-

222222

又a,b,c為AABC的三邊長，

所以1—2a>0,l-2b>0,l-2c>0,所以/(a,b,c)<1.

另一方面/(a,b,c)=1-2ab(l-2c)-2c(l-c),

由于a>0,b>0,所以她,(仁心了=9立，

24

又1—2c>0,所以/(a,b,c)..1—2x--4)(1—2c)—2c(l—c)=c，—耳c?+,,

不妨設〃匾c,且a,b,c為AABC的三邊長，

所以0<G,^y=c3--c2+-,則y'=3/—c=°(3c—1),,0,

322

，匚I、［11/1\2113ri-3-r131

所以3U=歹廠不(?+5=—?從而亍產(chǎn)/(a也。)x<于

乙/乙J乙乙/乙/乙

當且僅當，=人=。=’時取等號.

3

故選：B.

10.設0vbvav4Z?,m>0,若三個數(shù),1a1+b?-ab，根^/^F能組成一個三角形的

2

三條邊長，則實數(shù)機的取值范圍是()

解：\,0<b<a<4b,m>0,

令%=0+b,y=J"+b2—ab，z—my/ab，

2

2

12—y2=―JQ2+及-ab_—1(<2-/?)<0,

<7a2+b2-ab,

2

「.xvy,

???％,y,z能組成一個三角形的三條邊長，

可得y—%vzv%+y,

BP為yja2+b2—ab—"+"<myfab<yJa2+b2—ab+"+"，

22

設0vbvav4Z?,可得1<0<4,可令方=色(1<4),

bb

2J4+/—ab-(Q+b)2,Q?+/—ab+(Q+Z?)

即有<2m<

yfaby/ab

即為24+，-1-(〃+<2m<2J%H-----1+(-x/F+

則2m,,4,即么2；

又設k=&+-^j=e,可得2、卜T-----1—(〃+

由y=2后二i—G的導數(shù)為y=—^_]=生鵬=，

由2＜左＜|可得2〃＞J尸一3,即函數(shù)y為增函數(shù)，

可得三一左＜2樣_3_|=a_：,

即有2利.而一?，即有神…巫一?，

224

可得巫一之歿帆2,

24

故選：C.

二、多選題

11.在AABC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,且c=6.記S為A4BC的面積，下

列命題正確的是（）

A.若C=巴,則S有最大值9石

3

B.若A=-M=2#,則S有最小值3g

6

C.若a=H,則cosC有最小值0

D.若a+/=10,貝UsinC有最大值一

25

解：對于A,當。=三，則由余弦定理可得36=6+廿一2abeos工,

33

可得/=36-ab..2",貝!J成,36,RIM5=—absmC?9A/3,

2

當且僅當q=6=6時取得最大值，故A正確；

對于5,當A=%,a=2欄,由余弦定理12=36+62-2x6xbcos-,

66

即戶—6?+24=0,解得6=26，或4折，

1l1L

則%=5x6x2有、萬=35故3正確;

6+02-365加-3659

對于當萬,

C,1=2cosC=lab-4b2~4屏

又由三角形的性質(zhì)可得2<b<6,所以當2<6<6平時，cosC<0,故C錯誤;

對于“當"『1。，則由余弦定理可知‘cosC=^^(a+b)2-2ab-3632

-----------------1

2abab

1—724

由Q+b=10..2，〃/?,貝！J她，25,cosC..；—，sinC?一，

2525

當且僅當Q=>=5時取得最大值，故。正確.

故選：ABD.

12.如圖，AABC的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c.若a=b,且

^(^cosC+ccosA)=2Z?sinB,。是AABC外一點，DC=\,DA=3,則下列說法正確的

是()

A1--------------

A.AABC是等邊三角形

B.若AC=26,則A,B,C,。四點共圓

C.四邊形ABC。面積最大值為生8+3

2

D.四邊形ABCD面積最小值為％8-3

2

解：6(〃cosC+ccosA)=2bsin5,

A/3(sinAcosC+sinCcosA)=2sinB-sinB,即百sin(A+C)=sinB=2sinB-sinB,

.,.由sin5w0,可得sin5=3,/.B=—^—.

233

jr

又?.?a=b.:.B=ZCAB=ZACB=-,故A正確；

3

若四點A,B,C,D共圓，則四邊形對角互補，由A正確知￡>=也，

3

在AAJDC中，?.?DC=1,214=3,/.AC=^DC2+DA2-2￡>C-DAcos^=713273,

錯；

等邊AABC中，設AC=x,x>0,

在AADC中，由余弦定理，得402=92+82—24^8.85。，

由于AD=3,DC=1,代入上式，得爐=10—6COSD,

ccc1.萬1公?八近23.「萬、5#

??S四邊形Meo=SgBc+SMCD=~X，-3sinD=--x+-smD=3sm\D--+—，

De(O.^"),--<sin(￡)--)?1,

23

，四邊形ABCD面積的最大值為述+3,無最小值，

2

故C正確，D錯誤,

故選：AC.

13.在AABC中，已知6cosc+ccos3=2b,且」一+----=-----，則()

tanAtanBsinC

A.a、b、c成等比數(shù)列B.sinA:sinB:sinC=2:1:

C.若a=4,貝I」5AA5C=甘D.A、B、C成等差數(shù)列

解：將6cosc+ccosB=2Z?,利用正弦定理化簡得：sinBcosC+sinCeosB=2sinB,

即sin(B+C)=2sinB,

sin(B+C)=sinA,

/.sinA=2sinB,

利用正弦定理化簡得：a=2b,

T7111

又.*.*-----1---------—；------，

tanAtanBsinC

cosAcos5sinBcosA+sinAcosBsin(A+B)sinC1

-I————,

sinAsinBsinAsinBsinAsinBsinAsinBsinC

/.sinAsinB=sin2C,由正弦定理可得々6=/,

/.a=yjlc，

:.a:b:c=a:—a:~^==2:1:42，故A錯誤,

2叵

由正弦定理可得sinA:sin5:sinC=2:1:后，故_B正確;

若a=4,可得6=2,c=2應，可得cosC=16+4_8=J,可得sinC=也，可得

2x4x244

S=—x4x2x~~~~，故。正確;

若A、B、C成等差數(shù)列，MA+B+C=TT,2B=A+C,可得8=生，由于

3

2a2a2

aH-----------

cosi+ci24=￥4故「錯誤.

2aclac

故選：BC.

14.在AABC中，〃，0,c分別是內(nèi)角A,B,。所對的邊，、/5a=2csinA,且0<Cv至）=4,

2

則以下說法正確的是（）

A.C=-

3

71

B.右。=—,則cos3=—

27

C.若511171=28555111。，則AABC是等邊三角形

D.若AABC的面積是24，則該三角形外接圓半徑為4

解：由正弦定理可將條件^3a=2csinA轉(zhuǎn)化為百sinA=2sinCsinA,

因為sinAwO,故sinC=",

因為。￡（0,工），則。=工，故A正確；

23

若c=L則由正弦定理可知上-=上，貝!|sinB=2sinC=?x《l=&g,

2sinCsinBc727

2

因為（0,1）,則cosB=±,1—sin1B=土｛1-=土;，故_B錯誤；

若sinA=2cos5sinC,依據(jù)正弦定理可得a=2ccosB，

又因為百a=2csinA,BPa-csinA,即有名gcsinA=2ccos5,所以sinA=J5cos3,

33

因為4+5="一。=杏，貝|A=^—5,故sin(，—B)=百cosB,

—cosB+—sinB=cosB,BP—sinB=—cosB,

2222

解得tanB=有，故3=工，則4=工,

33

即A=5=C=2,所以AABC*是等邊二角形，故C正確；

3

若AABC的面積是2百，即!"sinC=2百，解得a=2,

2

由余弦定理可得+即。=2白

2

設三角形的外接圓半徑是H,

由正弦定理可得2R=^=￥=4,則該三角形外接圓半徑為2,故。錯誤，

sinCV3

V

故選：AC.

三、填空題

bcosC+ccosB

15.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,^=^fL,°+,=屈,

1-cosBsinB

AABC的面積為2,則6=3.

解：由正弦定理知，」_=上=二，

sinAsinBsinC

bcosC+ccosB_4a

1-cosBsinB

sinBcosC+sinCcosB4sinAsin(B+C)4sinA

1-cosBsin31-cosBsin3

*：A+B+C=7i,「.sin(3+C)=sinA,

又sinAw0,?.sinB=4(1-cosB),

將其左右兩邊平方，得sii?3=16(l-2COS5+COS25),

,/sin2B+cos2B=1,

17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB="或1(舍),

17

???AABC的面積為2,

c1?n4c17

/.S=—acsmB=—ac=2,ac=—,

2172

由余弦定理知，Z?2=?2+c2-2〃ccosB,

,2、2ccn/1c*-1715c

:.b=(za+c)—261c—2accos3=41-2x------2x—x—=9，

2217

:.b=3.

故答案為：3.

16.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若4=工，b+c=2a,則

3

」一+二一的最小值為叵

tanBtanC3

解：因為4=工b+c=2a,由正弦定理可得sin3+sinC=2sinA=A/3,§PsinB+sinC=A/3,

3

所以

11cosBcosCcosBsinC+sinBcosCsin(3+C)sinA66_X_2+

------1------=~\-----1—\-------------；-----；----------

tan3tanCsin3sinCsinBsinCsinBsinCsinBsinC2sinBsinCsinB+sinC_6?3

o"%)22x(—)

當且僅當sinb=sinC,即5=C時取等號,

所以一^+―的最小值為氈.

tanBtanC3

故答案為：咨

a—bsinC-拒sinB

17.銳角AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

sinA+sinB

則角A的大小為-；茗b=2,則AABC面積S的取值范圍是

一4一

a-bsinC-垃sinB

解：由題意知,

sinA+sinB

a—bc—y[lb

由正弦定理得:，化簡得:b2+c2-a2=同C,

ca+b

桓be42

由余弦定理得,COSAJ+入片

2bc2bc2

又0vAv?，

則