2025屆高考數學二輪復習專題卷等比數列

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。一、單項選擇題：本大題共8小題，

每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正

確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1.在等比數列｛4｝中，若%=4,%=8,則%=()

A.-32B._16C.32D.16

2.設S“是等比數列｛4｝的前"項和，若$3=4,%+%+。6=6，則邑=()

c.9

3

3.等比數列｛4｝的各項均為正數，且2q+34=l，aj=9a2a6■設

bn=log3al+log3a2+...+log3an>則數列<—>的前項和Sn=()

4n

+1)

i3i

4.若數列｛4｝滿足------=0(〃eN+),則稱｛4｝為“夢想數列”，已知數列一為“夢想數列”,

a“瓦

且4+a+4=2,貝！j4+&+4=(

5.在各項均為正數的等比數列｛4｝中,％=3,%=2?丹?%，則公比q的值為(

A.aB?石

6.設等比數列｛4｝的前n項和為Sn，且%%=3,%qo=%則上=(

7.如圖，三角形蜘蛛網是由一些正三角形環繞而成的圖形，每個正三角形的頂點都是其外接正三角

形各邊的中點.現有17米長的鐵絲材料用來制作一個網格數最多的三角形蜘蛛網，若該三角形蜘蛛網

中最大的正三角形的邊長為3米，則最小的正三角形的邊長為（）

A，3米B，3米C.23米D.」3-米

481632

8.已知等比數列｛q,｝滿足《1+%=10，%+。6=80，則數列｛4｝前8項的和為（）

A.254B.256C.510D.512

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.已知數列｛%｝滿足q=l,a“+i則下列結論正確的有（）

A.工+3（為等比數列

UJ

B.｛4｝的通項公式為4=—J

Z-J

c.｛%｝為遞增數列

+2

D.<—>的前n項和Tn=2"—3n—4

10.設｛%｝是各項為正數的等比數列，4是其公比，7；是其前〃項的積，且<<4，「=鼻>19,

則下列結論正確的是（）

A.q>lB./=1

C.九〉（D.%與久均為Tn的最大值

11.已知數列｛%｝滿足3〃i+5%+7/++（2〃+1）為=〃-3"i,則（）

A.｛%｝為等比數列

B.為遞增數列

olOl_o

c.數列｛(—I)z｝的前100項和為己二

D.數列｛|an-100|)的前8項和為10000

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.等比數列｛4｝的各項均為正數，且%，。13=4，則log。％+log,氏++log9a15=.

13.已知數列｛a“｝的前〃項和為S,,且q=l，a“+i—a”=2",則S“=.

14.在數列｛4｝中，q=3，a〃+i=4a“+3，則數列｛4｝的通項公式為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

a3ci

15.已知數列｛%｝滿足萬方

(1)證明:［工-1］是等比數列；

(2)設優=華立，證明：4+4+.+bn<--

3"8

16.已知數列｛4｝中，滿足q=La”+i=2%+1(〃eN+).

⑴證明：數列｛%+1｝為等比數列；

⑵求數列｛%,｝的前w項和S,.

17.已知等比數列｛4｝滿足％=1,2=8,5“為數列｛4｝的前〃項和.

(1)求數列｛4｝的通項公式；

(2)若5“=63,求”的值.

18.已知數列｛4｝的前〃項和為S",q=3,且S“+i+3a“=S“+2a”+「

(1)求數列｛4｝的通項公式；

⑵若々=(“+l).a“，求數列也｝的前“項和小

19.若數列｛4｝的前〃項和為S”,且2S〃=3a〃—等差數列也｝滿足偽=3%也=4+4.

(1)求數列｛4｝,｛%｝的通項公式；

⑵設g=2b，求數列｛c?｝的前W項和7；.

參考答案

I.答案：c

解析：設等比數列｛4｝的公比為％由%=4,%=8,得/=幺=2,

所以a”=%q4=32.

故選:C

2.答案：B

解析：設等比數列｛4｝的公比為g,若q=1,則%+%+4=3?i=&,矛盾，所以q手1,

故%+%+3=&,口)回5=心3則/=：

i-q1-q2

故選：B.

3.答案：B

解析：設等比數列｛氏｝的公比為q,

則q>0,則o；=9%。6=9,—?~9a；q2，

Q'

所以9d=1，所以因為2q+3〃2=3q=1,可得q=g,

所以4=%尸=3%&]=。所以1嗚4=1嗚，一九’

所以log3a“+1-log3a?=—(n+1)—。=-1,log?%=T，

即數列｛10g3%｝是首項為-1，公差為—1的等差數列，

所以d=log3al+log3a2+...+=-1-2-3--n=一+D，

E222

所以<-->=---------=----1-------，

bnJn(n+1)nn+1

mu222222In

因此S=-2+------+————+------=--------2

223nn+1n+1n+1

故選：B.

4.答案：A

解析：根據題意，夢想數列｛qj滿足------=0(.eN+),

‘%a?

即3a〃+i=an,

即數列｛%｝為公比為;的等比數列，

若數列I，為“夢想數列”，

則K=3x--,即口=3b,

b,,b,,+in

即數列他“｝為公比為3的等比數列，

若4+4+4=2,

則+包也2

4+b5=+b2+Z?3)X3=18.

故選：A.

5.答案：D

解析：由g=%，。3?。4得。9=4，

得％?d=a；?q，,

貝Iq2=a；=9均=±3,

又?｛〃"的各項均為正數，，4=3,

故選：D.

6.答案：B

解析：由等比數列性質可得生囚0=&%=9,

設｛4｝的公比為q,則［=經=3,

a1

故鼠=

=l+q5=244.

Ssq(l-01-q5

i—q

故選：B.

7.答案：B

解析:

由題可知，該三角形蜘蛛網中三角形的周長從大到小是以9為首項,

,為公比的等比數列.

2

設最小的正三角形的邊長為米，

<17,

則(2]>—,即/<18,得〃W4,

18

故最小的正三角形的邊長為=3米.

⑵8

故選：B.

8.答案：C

35

解析：設等比數列｛〃〃｝公比為q,則a3=a、q2,a4=axq,a6=axq

a?+/)=10，解得,=2

則題意得

〃1八1+92)=80]q=2

貝Is止女士￡1=50

81-q1-2

故選:C.

9.答案：ABD

冊

解析：因為q=l,an+1

2+3an

所以一L=2+361rl2

------H3，

aaa

n+lnn

11

所以——+3=2—+3

%+17

又因為2+3=4,

%

所以數列］工+3,是以4為首項，2為公比的等比數列，故A正確;

UJ

，+3=4x2"T=2"1,即4=—J—,故B正確；

+1

an"2"-3

/11

因為an+｝-an=2的2_3_2?+i_3，

（2,!+1-3）-（2,!+2-3）_2'"1

（2,,+2-3）（2,1+1-3）-（2,!+2-3）（2"+1-3）

因為〃之1,所以2"2—3>0,2,1+1-3>0,2"+1>0

所以。用一。“<0,所以｛4｝為遞減數列，故C錯誤；

—=2"+1-3,貝17；=（2?+23+24++2'用）一3”，

4(1—2")

----3〃=2"+2_3〃-4,故D正確.

1-2

故選：ABD.

10.答案：BD

解析：由題意知，A：由及得%〉1,由4=《得48="=1，

所以"=q<l,又q〉O,所以0<q<l,故A錯誤;

0y

B：由（二篤得。8="=1，故B正確；

17

C：因為｛%｝是各項為正數的等比數列，夕￡（0,1）,

有4>%>>ay>a8=1>a9>ai0>，

4=%的嗎。

所以—（。8。9）—a。<1，

所以幾<",故c錯誤;

<T

D：TX<T2<7<TS>T9>T10>

則7；與篤均為7；的最大值，故D正確.

故選：BD

11.答案：ABC

解析：對于A,當〃=1時，q=3,當時，34+503+703++（2〃一1）%_],

所以（2-+1）?%="—（力—1）?3"=（2〃+1）?3”,即4=3",

當〃=1時也滿足該式，故%=3",｛%｝是等比數列，故A正確；

對于B,2=（』],易知其為單調遞增數列，故B正確;

2"y1）

對于C,

-3「1-（-3）1叫3101-3

所以｛（-1）"??）的前100項和為」--------^=-—故C正確;

1+34

100-3n,l<n<4

對于D,寓一100|=|3"-100卜<

3”-100,5<〃<8'

則M-100|）的前8項和為—3-32-33-34+35+36+37+38,

（3+32+33+34）（34-1）=9600,故D錯誤.

故選：ABC.

12.答案：15

解析：由已知得數列｛%｝是各項均為正數的等比數列,

則%?%5=a2,《4='=〃：=〃3,%3=4%=2，

5

所以log?q+log2a2++log2《5=log2t/g=151og22=15?

故答案為：15.

13.答案：T+i-n-2

解析：數列｛4｝中，由1—%=2〃,得當〃之2吐an-an_,=2〃」,

l-2n

則cin=4+（%一1）+（%—%）++（%—%一1）=1++2?++2”?-----二2〃-1，

1-2

顯然q=1滿足上式，因此an=2〃-1,

所以S”=甘一〃=2日一〃一2.

故答案為：2"+I_A_2

14.答案：4"-1

解析：方法1：令%M+左=4（%+左），即4+］=44+34與4-1=44+3，比較得左=1，又

%+1=4,故數列｛q+1｝是以4為首項，4為公比的等比數列，

所以a“+l=4x4"T=4"，所以4=4"-1；

方法2：因為可什］=4an+3，所以%=4a“_i+3（〃22），

所以4+1—%=4（a?-a?_1）（n＞2）＞

所以｛a“+i—是等比數列，首項a,-q=4。］+3-6=3%+3=12，公比q=4，

所以a“+i—a“=12X4"T，即4a“+3—a“=12X4”T，即4=4"-1，故答案為4"_卜

15.答案：（1）證明見解析

（2）證明見解析

□3〃

解析：⑴因為‘，則為=———>0,a=——>0,...

1+2〃]31+2出

以此類推可知，對任意的〃￡N*，%＞。，

由已知得」一2a“+1即」-1J_2

3a+3

an+l34an+ln

11（1、

所以」_一i=_L-L-i

an+i31）%3

所以J_—1是首項為！,公比為1的等比數列.

33

⑵由⑴知二一1二修,，。=工,

4⑴"3"+1

）_3"+i_3（11]

‘"一（3"+1）（3,,+1+1）一213'+1—3,,+1+1）

_3f111111A3f11A3

*5『歷+而k+FTFF^片

16.答案：(1)證明見解析

(2)2n+1-n-2

解析:(1)證明：a“+i+1=(2%+l)+l=2(a“+1)

于是可+i+l=2(“eN*)

a“+l

因為4=1,

即數歹1]｛4+1｝是以2為首項，2為公比的等比數列.

因為4+l=(q+l)?2"T=2",

所以4=2"—1

n

(2)由⑴知an=2-l,

所以S“=21—1+22—1+23—1++2”—1

:9——

1-2

1

17.答案：(1)an=2"-

⑵〃=6

解析：(1)設等比數列｛4｝的公比為名則g=qq3=/=8,

解得:q=2,

???%=2小

(2)e1-2"

Sn=-------=63>

2"=64，

解得:〃=6.

18.答案：(1)4=3"

/八e(2n+l^c“+i3

(2)T=------3——

"I4J4

解析：(1)由題意得Sn+l—Sn+3a”—an+l+3an=2tzn+1,Xq=3r0,

所以=3。“,色包=3,

"明

所以｛4｝是首項為3,公比為3的等比數列,

故%=3".

(2)由⑴知優=5