2025年高考第二次模擬考試

高三數學(新高考I卷)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合4=卜1y=Jx_2},B=^x\x2-4^+3<0},則AB=()

A.{x|2<x<3}B.{x|x>2}

C.{x|x<l,或xN2}D.{x|x>1)

2.復數z滿足(l-i)z=|2i],則復數z的虛部為()

A.—1B.—C.gD.1

22

3.已知向量°,°滿足”=2,卜-2*2,且(a-b)_La,則卜卜()

A.2B.72C.1D.日

4.若ae(無，個)，tan?=C°StZ,則sina=()

I2)sin-1

A.--B.一變C.一立D.--

2223

IT

5.在正三棱臺ABC-中，AB=4,A瓦=2,與平面ABC所成角為:，則該三棱臺的體積為()

4

52「28「14_7

A.—B.—C.—D.一

3333

e-x,x<2,

6.已知函數〃x)=存在最小值，則實數。的取值范圍是()

+a,x>2

A.(-oo,-e2]B.(-e2,+oo)C.(-00,e-2]D.(e-2,+oo)

7.將函數g(x)=cos［s+^J(0eN*)的圖象上所有點的橫坐標變為原來的,縱坐標變為原來的2倍，

得到函數的圖象，若/(x)在上只有一個極大值點，則。的最大值為()

A.2B.3C.4D.5

8.己知函數“X)的定義域為R,函數*x)=/(l+x)-(1+x)為偶函數，函數G(x)=〃2+3x)-1為奇函數,

則下列說法錯誤的是()

A.函數〃x)的一個對稱中心為(2,1)B./(0)=-1

C.函數“X)為周期函數，且一個周期為4D./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=6

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.下列選項正確的是()

,14

A.若隨機變量X~8(6,7,則。(X)=§

B.若隨機變量X~N(6,4),則E(X)=6

C.若隨機變量X服從01分布，且尸(X=l)=；,則。(X)=g

「k02-k2

D.若隨機變量X滿足尸(X=k)=J=，左=o』,2,則E(X)=§

10.設函數+依一1,則()

A.當4=-1時，“X)的極大值大于0

B.當。2：時，〃x)無極值點

C.BAGR,使在R上是減函數

D.VaeR,曲線y=/(x)的對稱中心的橫坐標為定值

11.中國結是一種手工編制工藝品，它有著復雜奇妙的曲線，卻可以還原(成單純的二維線條，其中的數

字“8”對應著數學曲線中的雙紐線.在尤Oy平面上，把與定點M(-a,0),N(a,0)距離之積等于"(?>0)的動

點的軌跡稱為雙紐線.曲線C是當a=2時的雙紐線，尸是曲線C上的一個動點，則下列結論正確的是()

A.點P的橫坐標的取值范圍是［-2,2］B.|0P|的最大值是20

C.PMN面積的最大值為2口.|尸閭+怛叫的取值范圍是［4,4夜］

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。其中14題第一空2分，第二空3分。

22

12.橢圓二+與=1（。＞人＞0）的右頂點為A,上頂點為8,右焦點為產，若直線所與以A為圓心半徑

ab

為1人的圓相切，則橢圓離心率等于.

13.若直線＞=履（左為常數）與曲線〃x）=lnx,曲線g（x）=ae'均相切，貝壯=.

14.在甲、乙、丙、丁四人踢毯子游戲中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢給另外三人中的任何一

人，若第二次踢出后恰好踢給丙，則此理子是由乙踢出的概率為；第〃次踢出后，建子恰好踢給乙

的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

在VABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a，0，c.已知$出2（"32+。34）=。儂（2-野.

（1）求角8的大小；

（2）若/ABC的角平分線與邊AC相交于點。，BD二號,b=幣,求VABC的周長.

16.（15分）

22

已知雙曲線C:=1（。＞0,6＞0）的離心率為2,實軸的左、右頂點分別為4,4,虛軸的上、下頂點分別

為穌凡，且四邊形4片&芻的面積為2石.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）已知直線/:丫=履+根（而-0）與C交于P,Q兩點，若忸/=|g0,求實數小的取值范圍.

17.（15分）

已知：斜三棱柱中，BB.X.AC,與面A3C所成角正切值為2,AAl=45,

AB=BC=〕gAC=20,點E為棱AG的中點，且點E向平面ABC所作投影在VABC內.

2

(1)求證：AC1EB；

AF

(2)歹為棱AA上一點，且二面角A-3C-產為30°,求工了的值.

18.(17分)

已知函數/(X)=ln----+m(x-l)

2-x

(1)判斷曲線y=f(x)是否具有對稱性，若是，求出相應的對稱軸或對稱中心，并加以說明;

⑵若了("在定義域內單調遞增，求機的取值范圍；

2

(2x)X+12

⑶若函數g(無)=/|—^卜”—j■有兩個零點尤1，々，證明：^X2>e.

yA-十1j-I\1

19.(17分)

在平面直角坐標系中，。是坐標原點.若點列｛4｝中的3個相鄰的點4,4申，4+2滿足

OA,1+2=POA,l+1-qO\(weN*),則稱關于x的方程d="_q是｛凡｝的特征方程，將方程V=px-q的實數

根稱為｛4｝的特征根.已知4(1，。)，4(。/)，點列｛4｝的特征根為1和

2,。邛=04+；-。4，。6=04+；-23，.

⑴求點B“，C”的坐標；

43

⑵設fn=(n+4n-6rr+4?-l)OBnOC?,求數列｛4｝的前”項和S“；

(3)若｛%｝是公差為d(d/0)的等差數列，且各項都為正整數，卬和d是已知的常數，求點歹U｛A0J的特征根.

2025年高考第二次模擬考試

高三數學(新高考I卷)?全解全析

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合4={*y=Jx_2卜3={x|尤2-4X+3<0},則AB=()

A.{x|2<x<3}B.{x|x>2}

C.{x|x<l,或尤22}D.{x|x>1}

1.【答案】D

【分析】求出集合A,集合再利用并集定義求出AB.

【詳解】因為集合4=卜1y==無22},集合3={x|尤2_4X+34O}={X|14尤43},

所以AB={x\x>\}.

故選：D.

2.復數z滿足(l-i)z=|2i],則復數z的虛部為()

A.—1B.——C.—D.1

2.【答案】D

【分析】由復數的除法計算可得；

【詳解】因為(1-i)z=|2i|,即(l-i)z=2,所以2=口=心([4=1+1,所以復數z的虛部為1.

故選：D.

3.已知向量“，6滿足"=2,卜-20=2,且(a-b)_La,則1|=()

A.2B.&C.1口.日

3.【答案】A

【分析】將卜-2*2兩邊平方，由可得k-6）辿=0,根據數量積的運算計算可得.

【詳解】因為同=2,*2*2,且0,2,

(a-2b)=a2-4a-b+4b2=4

所以\,即0%=卜［=4,22-4x4+4,=4,

(a-b)-a=a2-a-b=0

解得卜|=2（負值已舍去）.

故選：A

4.若tana二期。，則sina=()

V2)sin(7-1

A.--B.-克C.-立

222

4.【答案】A

【分析】利用同角三角函數的關系求解即可.

,,cosasina/口0、

【詳斛】由tanor=—--------=-------得cos?a=sin?二一sina,

sma-1cosa

sin2a+cos2tz=1,

Zsin2a-sina-l=0,即(2sina+l)(sina—l)=。，

解得sina=-g或sina=l,

f3兀)

aeI7i,—I,/.-l<sincr<0,/.sincr=

2

故選：A.

IT

5.在正三棱臺A-4G中，AB=4,A4=2,用與平面ABC所成角為“則該三棱臺的體積為（）

5.【答案】C

【分析】將棱臺補全為棱錐，結合已知條件求出大小棱錐的高，利用V=%-ABC-/_MG及棱錐體積公式求

棱臺的體積.

【詳解】由題設，將棱臺補全為正棱錐尸-MC,如下圖，且均為正三角形,

其中0為底面ABC中心，連接尸。，則POL面ABC,而AOu面ABC,即尸OLAO,

B

所以A]A與平面ABC所成角為NPAO='，而AB=4,則AO=2xAB.sin60。=迪，所以PO=AO=生8,

4333

令尸-AB?的高為〃，結合棱臺的結構特征，知-L=M=/,=￡￡=空，

POAB23

所以棱臺體積f=；xg(42x丫一2?x竿)尖.

故選：C

,、\e~x,x<2,

6.已知函數〃x)=,、/己存在最小值，則實數。的取值范圍是()

(x-l)(x-2y+a,x>2

A.(-oo,-e2]B.(-e2,+oojC.(?,屋]D.(e-2,+co)

6.【答案】C

【分析】根據分段函數分別應用復合函數單調性及導數求解單調性，分段求解函數值范圍及最值再比較列

不等式關系即可.

【詳解】當x<2時，函數/(x)=eT單調遞減，f(x)>e-2無最小值；

當天22時，函數/(X)=(x-l)(x-2)2+〃，

當2時，函數—(尤)=(X-2)2+2(X-2)(X-1)=(X-2)(3X-4),

所以xe[2,+co),f'(x)N0,/(x)單調遞增，當x=2時/(x)^=(2-1)(2-2)2+a=a,

要使函數存在最小值，即aWe三

故選：C.

7.將函數8⑴二^妙+言即網的圖象上所有點的橫坐標變為原來的,縱坐標變為原來的2倍，

得到函數/（X）的圖象，若/（X）在!ogj上只有一個極大值點，則。的最大值為（）

A.2B.3C.4D.5

7.【答案】B

【分析】根據伸縮變換規則可得/（x）=2cos12ox+A）（0eN*）,再由余弦函數圖象性質以及極值點個數解

不等式可得結果.

【詳解】由題可知/（x）=2cos［28+g］（0eN*）,

71_7171

當0<%<]時,----<~\------<CDTtH-------

121212

若/（X）在（0胃］上只有一個極大值點,

7T

則由y=2cos尤的圖像可得2兀——<4?t,

12

解得2言347

因為oeN*，所以。的最大值為3.

故選：B.

8.已知函數的定義域為R,函數儀x）=/（l+x）-（1+x）為偶函數，函數G（x）=〃2+3x）-1為奇函數,

則下列說法錯誤的是（）

A.函數〃x）的一個對稱中心為（2,1）B./（0）=-1

C.函數〃x）為周期函數，且一個周期為4D./（1）+/（2）+/（3）+/（4）=6

8.【答案】C

【分析】對于A,由G（x）為奇函數，貝|G（T）=-G（X）,再將G（x）=/（2+3x）-1代入化簡可求出對稱中心;

對于B,由選項A可得"2）=1,再由f（x）為偶函數可得/（1+x）-/（I-尤）=2x,令x=l可求出/（0）；對于

C,由〃x）的圖象關于點（2,1）對稱，結合〃。）=-1求出〃4）進行判斷；對于D,利用賦值法求解判斷.

【詳解】對于A,因為G（x）=:（2+3x）-1為奇函數,

所以G(-x)=-G(x),gp/(2-3%)-1=-[f(2+3x)-1],

所以f(2-3x)+〃2+3x)=2,所以f(2-x)+/(2+x)=2,

所以函數的圖象關于點(2,1)對稱，所以A正確，

對于B,在/(2-x)+f(2+元)=2中，令x=0,得2〃2)=2,得/(2)=1,

因為函數“x)=/(l+尤)一。+力為偶函數，所以尸(-無)=產(無)，

所以/(1一力一(1一力=〃1+尤)一(1+“，

所以“l+x)-f(l-x)=2x,

令x=l,貝l]/(2)-/(0)=2,所以1一/(0)=2,得/(0)=-1,所以B正確,

對于C,因為函數“X)的圖象關于點(2,1)對稱，/(0)=-1,

所以"4)=3,所以〃0)2/(4),

所以4不是的周期，所以C錯誤，

對于D,在『(2-尤)+/(2+x)=2中令彳=1,貝⑴+/(3)=2,

令x=2,則f(0)+/(4)=2,因為/(0)=-1,所以"4)=3,

因為/(2)=1,所以/⑴+〃2)+〃3)+〃4)=6,所以D正確，

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.下列選項正確的是()

14

A.若隨機變量X~5(6,§),則。(X)=]

B.若隨機變量X~N(6,4),則召(X)=6

若隨機變量X服從01分布，且P(X=l)=g,則￡>(X)=；

C.

若隨機變量X滿足「(乂二左卜生算小二。/？，則E(X)=：

D.

3

9.【答案】ABD

【分析】A.由隨機變量服從二項分布求解；B.由隨機變量服從正態分布求解；C.由隨機變量X服從01分

布求解；D.由隨機變量X服從超幾何分布求解；

【詳解】A.若隨機變量X~2(6,；),則￡?(X)=6x；x[l-g]=g,故正確；

B.若隨機變量X~N(6,4),則E(X)=6,故正確；

C.若隨機變量X服從01分布，且尸(X=l)=g,則D(X)=3[1-：=故錯誤;

D.由隨機變量X滿足尸(X=左)=，左=0,1,2,則

P(X=0)J，P(X=l)=等=*P(X=2)$,

所以E(X)=0xglxg2xT=g,故正確；

故選：ABD

10.設函數/(X)=d-尤2+依_],則()

A.當a=-1時，“X)的極大值大于0

B.當?時，〃x)無極值點

C.maeR,使/(x)在R上是減函數

D.VaeR,曲線y=/(x)的對稱中心的橫坐標為定值

10.【答案】BD

【分析】對于A,利用導數求出函數的單調區間，再根據極大值即可判斷；對于B,由f，(x)20恒成立即可

判斷；對于C,由/'(力=3/-2尤+aW0解集能否為R即可判斷；對于D,求出圖象的對稱中心即可

判斷D.

【詳解】對于A,當a=—l時，/(^)=x3-x2-x-l,求導得/'(力=3/—2x—l,

11

令r(%)=o得§或%=1,由F(X)>o,得或%>i,

由f，(x)<0,得一g<x<l,于是“外在(i,+8)上單調遞增，

在上單調遞減，〃尤)在x=-g處取得極大值，

極大值為+°,故A錯誤；

對于B,7'(%)=3%2-2%+〃，當〃2；時，A=4—12(7<0,即f，(x)20恒成立，

函數/■（*）在R上單調遞增，/（X）無極值點，故B正確；

對于C,要使在R上是減函數，則尸（x）=3尤2-2x+a<0恒成立，

而不等式3尤2-2元+.40的解集不可能為R，故C錯誤；

對于D,由/（g—無）+/（"=1*|一龍）+。［：_彳）_］+彳3_尤2+依=,

得曲線y=f（x）的對稱中心的坐標為故D正確.

故選：BD.

11.中國結是■種手工編制工藝品，它有著復雜奇妙的曲線，卻可以還原（成單純的二維線條，其中的數

字“8”對應著數學曲線中的雙紐線.在xOy平面上，把與定點M（-a,0）,N（a,0）距離之積等于a2（a>0）的動

點的軌跡稱為雙紐線.曲線C是當a=2時的雙紐線，尸是曲線C上的一個動點，則下列結論正確的是（）

A.點P的橫坐標的取值范圍是［-2,2］B.|OP|的最大值是20

C.PAW面積的最大值為2口.|尸閭+怛叫的取值范圍是［4,4夜］

11.【答案】BCD

【分析】根據雙紐線的定義求出曲線的方程，逐一判斷各選項的真假即可.

2222

【詳解】設尸（匕乃是曲線上任意一點，根據雙紐線的定義可得：^x+a）+y^（x-ay+y=a,

當。=2時，曲線的方程為4>+2）2+；/力（彳一2）2+仁=22,

22

對于A：整理可得：%+/+4=716+16X>則y2=J16+16x2-x2—4N0,

可得解得-204xV2近，故A錯誤；

對于B,|OP|=Jf+y2=Jji6+而-4,

因為一2a4x420，所以一84尤2?8，所以16+161416+16x8=144=122,

所以|。尸|=&。=20,即曲線上任意一點到坐標原點。的距離的最大值為2夜，故B正確；

對于C：y2=716+16x2-x2-4>0?令/=。16+16fe［4,12］，貝產―1,

所以J7。—3=-%（/—16/）-3=-7（7—8尸+1,

161616

所以當t=8時，（V）111ax=1,所以PMN面積的最大值為:x4xl=2,故C正確；

對于D：J（x+2r+y2+7（x-2）2+y2>2^（x+2）2+-2）2+7=2萬=4，

當且僅當J(x+2y+y2=&彳-2)2+y,即x=0,y=0時取等號，

(J(尤+2)2+y~+J(x-2)~+丁)~=(尤+2)~+y2+(*—2)2+y~+2J(x+2)~+y2(尤—2)~+y-

=2(x2+/)+8+2x22<2(272)2+8+2x22=32,

所以(J(x+2)2+y2+J(x—2)2+y2)2<40,

所以1PMl+|PN|的取值范圍是[4,40],故D正確.

故選：BCD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。其中14題第一空2分，第二空3分。

22

12.橢圓二+與=1(。>6>0)的右頂點為A,上頂點為3,右焦點為尸，若直線所與以A為圓心半徑

ab

為gb的圓相切，則橢圓離心率等于.

2

12.【答案】j

【分析】求出直線所的方程為：bx+cy-bc=O,根據點到直線距離得到方程，求出9/-18e+8=0,求出

離心率.

【詳解】依題意，A(a,O),3(0,6),F(c,0),所以直線BF的方程為：bx+cy-bc=Q,

11\ab—bc\

又直線即與以A為圓心半徑為的圓相切，故三6='?,

33y/b2+c2

即9/-18ac+9c2^b2+c2,8a2-1Sac+9c?=0，

24

方程兩邊同除以/得9/-氏+8=0,解得0=：或6=可，

又橢圓的離心率0<e<l,所以e=q.

故答案為：!2

13.若直線>=履(左為常數)與曲線/(x)=lnx,曲線g(x)=ae"均相切，貝!|。=.

13.【答案】—

e

【分析】設出切點，求導，根據點斜式求解切線方程，根據兩直線相等，列方程可得%=eM='，進而代

e

入（Xo，qe"。）在直線y=,%上，求解.

【詳解】因為〃x）=lnx,x?0,+8）,所以/'（x）=J

設直線>=區與f（x）=Inx的切點為（石，皿），則切線方程為yT叫=：（x-xj,BPy=^-x+lwci-1,

一=k,11

又因為>=玄，所以%解得玉=e/=-,所以切線方程為y=-X,

3P

」叫-1=0,

因為g（x）=ae",所以g〈x）=（ae*）=ae',

設直線y=，x與g（x）=ae"的切點為（x（）,ae"。），所以，（%）=ae*。=:①，

又因為切點（七,加*。）在直線y上，所以ae&②，

由①和②可得毛=1,所以ae=L解得。=±.

ee

故答案為：

e-

14.在甲、乙、丙、丁四人踢犍子游戲中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢給另外三人中的任何一

人，若第二次踢出后恰好踢給丙，則此鍵子是由乙踢出的概率為;第〃次踢出后，建子恰好踢給乙

的概率為.

1

14.【答案】1/0.5-+—-f--1-

24123J

【分析】根據條件概率公式之積可得第二次毯子由乙踢出的概率，再由若第〃次踢出后，建子恰好踢給乙,

則第1次踢出后，建子恰好不踢給乙，再由其踢給乙，即可得概率的遞推公式，進而可得概率.

【詳解】由已知接到前兩次踢出的毯子的情況有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙）,

（丙，丁），（T,甲），（丁，乙），（T，丙），共9種,

設事件A：第二次的毯子由丙接到，事件8：第二次的毯子由乙踢出，丙接到,

71

貝1尸（4）=§，P（A2）=§，

1

則「（則=制—4

9

設第"次踢出后，建子恰好踢給乙的概率為匕,

易知若第〃次踢出后，建子恰好踢給乙，則第〃-1次踢出后，建子恰好不踢給乙，再由其踢給乙,

即n>2,且

即｛Pn-[｝是以6一：=4為首項,一；為公比的等比數歹U，

故答案為：y

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

在VABC中，內角A,民C所對的邊分別為。,4c.已知sinB(acosB+bcosA)=CCOS]B-￡

(1)求角8的大小；

(2)若/ABC的角平分線8￡>與邊AC相交于點D,BD=雪,b=幣,求VABC的周長.

71

15.【答案】⑴]

(2)5+近

【分析】(1)利用正弦定理將邊化角，在由三角恒等變換公式化簡，即可求出tanB,從而得解;

(2)根據等面積法得到ac=g(a+c),再由余弦定理得到7=(a+c)2-3ac,即可求出a+c,從而求出周長.

【詳解】(1)因為sin5(acos5+bcosA)=ccosB--\,

I6J

由正弦定理可得sinB(sinAcosB+sinBcosA)=sinCcos13-弓)，(1分)

sinBsin(A+B)=sinBsinC=sinCcos(B-1),(2分)

Ce(O,7r),

.?.sinC>0,(3分)

JI兀

/.sinB=cosB--,即sinB=cosBcos—+sinBsin—,(4分)

I666

即也cosB=—sinB，

22

**?tanB.（5分）

又Be

=（6分，不寫B的范圍扣1分）

（2）因為/ABC的角平分線8D與邊AC相交于點。,

所以SvABC（7分）

即gacsin]=；(a+c)5￡)sin￡,(8分)

所以gacsin]=；(a+c)5￡)sinE,所以QC=[(〃+C)

（9分）

232

又由余弦定理廿=〃2+一2〃ccosNA3C,即7=4+/一=（々+。了_3。。，（10分）

91Q

所以7=(Q+C)——+C),(11分)

7

解得a+c=5或〃(舍去)，(12分)

所以CABC=Q+〃+C=5+4-(13分)

16.（15分）

22

已知雙曲線C:=l（a>Q,b>0）的離心率為2,實軸的左、右頂點分別為4，4,虛軸的上、下頂點分別

ab

為耳，與，且四邊形A再&鄉的面積為2道.

（1）求雙曲線C的標準方程；

⑵已知直線/：y=H+7"（.w°）與C交于P，Q兩點，若忸0=|40,求實數機的取值范圍.

2

16.【答案】⑴?-匕=1

3

（4石）f3君）

（2）一-—u0,—

【分析】（1）由雙曲線的性質確定四邊形4月&星是菱形，結合a,b,c的關系，解方程可得。，b,

進而得到雙曲線方程;

（2）由國尸|=國0,得到與聯立直線方程與雙曲線方程，結合韋達定理、斜率公式即可求解.

【詳解】（1）由雙曲線的幾何性質可知，四邊形A耳4鳥是菱形，且A4=2a,片層=26,（1分）

???四邊形4片4星的面積為Jx2ax26=2出，①（2分）

又離心率為e=￡=2,/+b2=c2,②（3分）

a

聯立①②可得a=l,6=6,c=2,（4分）

2

，雙曲線c的標準方程為d-2L=i.（5分）

3

（2）設“尤”％）,0（%,%）,耳（0,百），線段尸。中點/（%%）,

工2_yJ1_1

聯立3-'消去丁整理可得仔-3）f+2fom：+/+3=0,（6分）

y=kx+m,

上2_320

A=4^2m2-4（^2-3）（m2+3）＞0，

即機2T2+3＞0且心土石①，（7分）

2kmm2+3

?.?玉+工2二三平，%"2=.（8分）

E一3

km73m

,?x°二3-k2，%=5+根=3-k2（9分）

14H=忸@,.?.用（10分）

,k:,（11分）

一八4Mkm

3-k2

「.3—%2=拽加②，（12分）

3

又k2=3—逑相＞。③，（13分）

3

由①②③得根或0＜7〃＜包1,

3

實數班的取值范圍是—oo9—.（15分）

17.（15分）

已知：斜三棱柱ABC-ABIG中，BB}1AC,AA1與面ABC所成角正切值為2,9=布,

AB=BC=1gAC=20,點E為棱AG的中點，且點E向平面ABC所作投影在VABC內.

2

C,

Ab

（1）求證：ACLEB；

AF

（2）F為棱A4上一點，且二面角A-3C-尸為30。，求7T的值.

17.【答案】（1）證明見解析

AF8A/6-4

"有一2S-

【分析】（1）取線段AC的中點M，連接四、BM,證明出AC_L平面曲，利用線面垂直的性質可證得

結論成立；

（2）過點E在平面內作EO_La0,垂足為點0,證明出EO_L平面ABC,可知直線聲與平面ABC

所成的角為根據已知條件求出OE、。4的長，然后以點。為坐標原點，CA、OB、OE的方向分

別為X、＞、z軸的正方向建立空間直角坐標系，設詼=幾用，其中0W/W1,利用空間向量法可得出關

于九的等式，解出2的值，即可得出結論.

【詳解】（1）證明：取線段AC的中點連接項f、BM,

在斜三棱柱A2C-A與G中，44.//CG且AA=CG，則四邊形A4CC為平行四邊形，

所以，AC〃A￡且AC=AG，（1分）

因為E、M分別為AG、AC的中點，所以，四邊形的四為平行四邊形，

所以，EM//AA，（2分）

又因為四〃班―貝因為則ACLEM,（3分）

因為AB=3C,M為AC的中點，則BMLAC,（4分）

因為=EM,BMu平面BEM,所以，ACJ_平面BEM,（5分）

因為￡Bu平面BEM,所以，￡BJ_AC.（6分）

（2）解：由（1）可知，AC_L平面現￡84，

過點E在平面BB、EM內作EOJL3M,垂足為點0,

因為AC,平面BqEM,EOu平面3片EM,則屈9LAC,

又因為EO_L3M,BMr>AC=M,BM、ACu平面ABC,則EO_L平面ABC,（7分）

所以，直線AA與平面ABC所成的角為NEMO,

EO

所以，UnZEMO=——=2,則￡O=2OM,

OM

因為EM=JEO°+OM2=#>OM=#>，可得OM=1,￡0=2,

因為AB=3C=5AC=2應，則A3=BC=2及，AC=4,

所以，AB-+BC2=AC2,則AB_L.BC,（8分）

因為M為AC的中點，所以，MB=\AC^2,

2

以點。為坐標原點，Ox、08、0E的方向分別為X、y、Z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則4（2,-1,0）、3（0,1,0）、M（0,-l,0）,C（-2,-1,0）、E（0,0,2）,

ME=（0,1,2）,則儂=OA+A4,=OA+ME=（2,-1,0）+（0,1,2）=（2,0,2）,

即點4（2,0,2）,同理可得點4（0,2,2）、G（-2,0,2）,（9分）

設4歹=九44=2（0,1,2）=（0,2,22）,其中0W4W1,

則CF=G4+AF=（4,O,O）+（CU,2/1）=（4,Z2X）,且CB=（2,2,0）,

設平面BCF的法向量為m=(x,y,z),

m-CB=2x+2y=0

則■取x=2X,則>=—24,z=4—4,

m-CF=4%+Ay+22z=0

所以，平面3b的一個法向量為m=(24—4),(H分)

易知平面ABC的一個法向量為"=(0,0,1),(12分)

因為二面角A-3C-b為30°,

I..1\m-n\1/1-4|山

則…”而=而—"]了，⑴分)

整理可得23外+82-16=0,(14分)

因為0W4W1,解得4=舅1二1,即當="(15分)

23AA,23

18.(17分)

已知函數/(犬)=111不2—+根(x-1)

(1)判斷曲線y=f("是否具有對稱性，若是，求出相應的對稱軸或對稱中心，并加以說明;

(2)若在定義域內單調遞增，求機的取值范圍；

2

(2x、x+12

⑶若函數g(尤)=/|—^卜”—j■有兩個零點玉，尤2，證明：V2>e?

yJL十1Ji1

18.【答案】⑴y=f(x)具有中心對稱,對稱中心為點(1,0)

(2)[-2,+co)

(3)證明見詳解

【分析】(1)先求函數定義域，結合對稱性的定義分析證明；

(2)分析可知f'(x)20在(0,2)內恒成立，根據恒成立問題結合二次函數最值分析求解；

(3)根據題意可得g(x)=lnx+m,x>0,分析可得石砧>e?等價于,構建

/<r)=(r+l)ln?-2(r-l),r>l,利用導數分析分析證明即可.

【詳解】(1)令人>°，等價于x(2-x)>0,解得0<x<2,

可知〃x)的定義域為(0,2),(1分)

Y_Y

因為+-x)=ln----Fm(x-l)+ln-----Fm(l-x)=0,(2分)

2-xx

可知/(X)具有中心對稱，對稱中心為點(1,0),

顯然/(x)不為常函數，可知/(x)不具有軸對稱,

所以y=f(x)具有中心對稱,對稱中心為點(1,0).(3分)

(2)因為〃x)=ln/+m(x-1)=lnx-ln(2-x)+m(x-l),

ii7

貝I/'(%)=一+---+m=-------2+m'(4分)

x2—x2x-x

若/'(X)在定義域內單調遞增，則f，(x)20在(0,2)內恒成立，(5分)

又因為尤e(O,2),則0<2x-x*l,當且僅當x=l時，等號成立，(6分)

2

可得/'(%)=------+m>2+m>0,解得加之一2,

2x-x

所以機的取值范圍為［-2,+?).(7分)

2x

(3)由題意可得：=+土=.=+機+機.士?=inx+mx,(8分)

72x

'1%+Ux+12(x+1/x+1

x+1

2九

令。<---<2,解得x>0,

x+1

可知g(x)=lnx+mr,x>0,

令g(x)=lnx+mx=0,則一加二^^,

x

構建*x)=F，x>0,則/'(x)=1,

令尸'(x)>0,解得o<x<e；令b'(x)<o,解得了>e；(9分)

可知F(x)在(o,e)內單調遞增，在(e,+8)內單調遞減，則汽司4/仁)=:,(10分)

且當尤趨近于0時，F(x)趨近于-8,當x趨近于+8時，F(x)趨近于0,

若函數g(無)有兩個零點無”起,可知y=-加與丁=尸(力有兩個交點,

則0<—m<—,BP--<m<0；（11分）

e

In石+mx=0Inx-In玉

又因為x兩式相減可得一加-