2025年高考第二次模擬考試

高三數學（江蘇）01

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合4={x|0<x<根},3={無--3尤+2>0},若則實數〃?的取值范圍為（）

A.（—92]B.（1,2]C.[2,4-00）D.（2,+oo）

2.已知復數z=（a+l）—tri（aeH）,則a=-L是忖=1的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知單位向量Z,瓦工滿足22+3萬+4"=0,則（）

A.--B.--C.0D.-

1284

4.星載激光束與潛艇通信傳輸中會發生信號能量衰減.已知一星載激光通信系統在近海水下某深度的能量

估算公式為耳.=1G、10-7,其中EP是激光器輸出的單脈沖能量，Er是水下潛艇接收到的光脈沖能量，S

為光脈沖在潛艇接收平面的光斑面積（單位：km2,光斑面積與衛星高度有關）.若水下潛艇光學天線接收

E

到信號能量衰減T滿足「=1。炮=（單位：dB）.當衛星達到一定高度時，該激光器光脈沖在潛艇接收平面

Ep

的光斑面積為75km2,則此時「大小約為（）（參考數據：坨2加.301）

A.-76.02B.-83.98C.-93.01D.-96.02

5.函數y=5:與在[-6,6]的圖像大致為

6.已知角。，，滿足tana=2,2sin/=cos（a+/）sina,貝lJtan/?=（）

A.—B.-C.-D.2

376

7.蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業生產和游牧生活.如圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組合

而成，其中圓柱的高為2m,底面半徑為4m,0是圓柱下底面的圓心.若圓錐的側面與以。為球心，半徑為4m

的球相切，則圓錐的側面積為（）

22

A.8A/571m之B.16V57tmC.207imD.40兀m?

8.已知/（X）及其導函數尸（X）的定義域均為R,記g（無）=（（無），g（5.5）=2,若/（X+1）關于x=-l對稱，

g（2x+l）是偶函數,則g（-0.5）=（）

A.-2B.2C.3D.-3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知d瓦隨機變量&的分布列為：

則（）

A.E—2）=E?B.。值-2）=￡＞⑷

C.E（^）＞[E（^）]2D.2）1=￡＞（r）

10.如圖是函數〃x）=Asin?x+e）（A>0,口>0）的部分圖像，則（）

A.f（尤）的最小正周期為兀

B.將函數y=/（x）的圖像向右平移三個單位后，得到的函數為奇函數

Sir

C.尤=?是函數y=/（x）的一條對稱軸

6

D.若函數＞=/（比）”＞0）在［0,可上有且僅有兩個零點，則fe

11.已知拋物線C：/=4y的焦點為尸，過點尸的直線/與拋物線C交于A,3兩點.若拋物線C在點A,B

處的切線的斜率分別為K，k2,且拋物線C的準線與y軸交于點N,則下列說法正確的是（）

A.|AB|的最小值為4

B.若|AB|=4,則N4_LAB

C.若用+&=4,則直線A3的方程為彳一＞+1=0

D.直線AN的傾斜角。的最小值為

4

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.某工廠月產品的總成本V（單位：萬元）與月產量x（單位：萬件）有如下一組數據，從散點圖分析可

知V與x線性相關.如果回歸方程是y=x+3.5,那么表格中數據。的值為.

X/萬件1234

y/萬元3.85.6a8.2

13.為銘記歷史、緬懷先烈，增強愛國主義情懷，某學校開展共青團知識競賽活動.在最后一輪晉級比賽

中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關團史的問題，每個人回答正確與否互不影響.已知甲回答正確的概

率為;，甲、丙兩人都回答正確的概率是:，乙、丙兩人都回答正確的概率是若規定三名同學都回答

z36

這個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率為;若規定三名同學搶答這個問題,

已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為:，則這個問題回答正確的概率為____.

263

14.已知函數/'(幻=加+疝2一辦+1］有且僅有2個零點，則實數“的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(本小題滿分13分)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為“，b,c,已知

sin2A—sin2C-sin2B=sinCsinB.

⑴求角A；

(2)若。=1,求△ABC的面積的最大值.

16.(本小題滿分15分)如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個圓柱組合而成，瓦￡為半個圓柱上底

面的直徑，/ACB=90。，AC=BC=2,點、E,歹分別為AC,A3的中點，點。為耳￡的中點.

(1)證明：平面3cD//平面GE尸;

(2)若下是線段G尸上一個動點，當CG=2時，求直線A,與平面BCD所成角的正弦值的最大值.

17.(本小題滿分15分)已知/(x)=ln尤+一0x(。eR).

⑴若/(x)W1爐-4在［1,+℃)恒成立，求。的范圍；

22x

(2)若f(x)有兩個極值點s,t,求/⑺+/G)的取值范圍.

18.(本小題滿分17分)已知A,B,C為橢圓上三個不同的點，滿足歷=4西+〃而，其中

萬+笛=1.記a/中點對的軌跡為D.

⑴求。的方程；

⑵若直線/交。于P,。兩點，交r于S,T兩點，求證：|P5|=|er|.

19.(本小題滿分17分)對于每項均是正整數的數列P：生,外，…，。,，定義變換工，工將數列尸變換成數列

Z(p)：-1,%T…此-1.對于每項均是非負整數的數列。：可也，…也，定義

5(!2)=2色+2用+…+〃念)+廳+￡+…+片,，定義變換心，心將數列。各項從大到小排列，然后去掉所有為零

的項，得到數列((Q).

(1)若數列4為2,4,3,7,求S([(《))的值；

(2)對于每項均是正整數的有窮數列b，令%=5(1(4)),左eN.

(i)探究S口仍))與S(⑷的關系；

(ii)證明：sRJvs⑻.

2025年高考第二次模擬考試

高三數學(江蘇)01?全解全析

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合4={x|0<x<根},3={無--3尤+2>0},若則實數加的取值范圍為()

A.(—8,2]B.(1,2]C.[2,+co)D.(2,+co)

【答案】D

【解析】因為尤2-3x+2>0n尤>2或x<l,

所以8={x|x>2,或x<l},所以條3=卜|1微2},

又露BqA,且4={尤[0<%<根},所以根>2,

所以實數加的取值范圍為(2,+8),故選：D.

2.已知復數z=(a+1)-eR),則a=—1是同=1的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】由忖=1,可得J(a+l『+(_a)2=l，解得。=-1或0,

所以。=-1是|W=1的充分不必要條件.

故選：A.

3.已知單位向量%滿足%+3否+4"=0，則()

【答案】D

【解析】由2a+3B+4c=0可得21+3］=-4）

平方可得4；+12蒿+9/=160

所以4+12嬴+9=16，解得。石=；?

故選:D

4.星載激光束與潛艇通信傳輸中會發生信號能量衰減.己知一星載激光通信系統在近海水下某深度的能量

估算公式為E，=?EpX10-7,其中“是激光器輸出的單脈沖能量，Er是水下潛艇接收到的光脈沖能量，S

為光脈沖在潛艇接收平面的光斑面積（單位：km2,光斑面積與衛星高度有關）.若水下潛艇光學天線接收

到信號能量衰減T滿足「=103裊（單位：dB）.當衛星達到一定高度時，該激光器光脈沖在潛艇接收平面

的光斑面積為75km2,則此時r大小約為（）（參考數據：lg2Y）.3（）l）

A.-76.02B.-83.98C.-93.01D.-96.02

【答案】B

【解析】因為用=!七X10-7,該激光器光脈沖在潛艇接收平面的光斑面積為75km2,

id

所以jp=3-xl0-7=3—xl0-7=4x1。-9,

加么昂S75，

貝Ur=101g4Xio-=i01g4-90=10x0.602-90=-83.98,

故選:B.

5.函數丫=不笠7在［-6,6］的圖像大致為

【答案】B

【解析】設＞=/（》）=一47，則/（T）=?曰=-＜==-/5），所以/（無）是奇函數，圖象關于原

點成中心對稱，排除選項C.又/（4）=字］＞0,排除選項D；/（6）=乎］。7,排除選項A,故選B.

2+22+2

6.已知角戊，6滿足tana=2,2sin/=cos(a+6)sina,則taM=()

1

AB.-cD.2

-17-I

【答案】B

【解析】因為siny0=sin(a+￡-a)=sing+4)cosa-cos(a+/?)sina,

2sinp=cos(a+/3)sina,

所以2sin(a+p)cosa-2cos(a+4)sina=cos(a+p)sina,

即2sin(a+尸)cosa=3cos(a+￡)sina,則2tan(a+/3)=3tancr,

3

因為tana=2,^JflUtan(?+^)=-tan6z=3,

tana+tan用2+tan尸

其中tan(a+0=-----------二3

1-tanotan方1-2tan4

故2+tan尸=3-6tan尸，解得tan4=L

故選：B.

7.蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業生產和游牧生活.如圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組合

而成，其中圓柱的高為2m,底面半徑為4m,。是圓柱下底面的圓心.若圓錐的側面與以。為球心，半徑為4m

的球相切，則圓錐的側面積為（）

A.8A/57rm之B.16\/57rm2C.207tm2D.40兀m?

【答案】C

【解析】設尸a="PA=/（力為圓錐高，/為圓錐母線長）

,以。為球心，半徑為4的球與圓錐側面相切，則。河=4,

在△PQ4中，々Pon=5（/Z+2）?4=Q?4/,可得/I+2=/,

且萬+16=產,則02)2+16=廣,解得/=5,

所以圓錐的側面積為S側=71“=兀*4*5=20兀(1112).

故選：C.

8.已知Ax)及其導函數(⑴的定義域均為R,記g(無)=((無)，g(5.5)=2,若/(x+1)關于x=-l對稱，

g(2x+l)是偶函數,則g(-0.5)=()

A.-2B.2C.3D.-3

【答案】A

【解析】若/(x+1)關于x=-i對稱，則/(x)的圖象關于y軸對稱，

所以/(X)="T)，兩邊求導得g⑺=/'(X)=—/'(-X)=—g(-X)，

因為g(2x+l)是偶函數,所以g(—2x+l)=g(2x+l),令t=2x,就有g(v+l)=g?+l),

即有g(-x+l)=g(x+l),

所以g(x)=g(2-x)=_g(x_2)=g(x_4),

所以g(-0.5)=-g(0.5)=-g(1.5)=-g(5.5)=-2.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知。，瓦隨機變量J的分布列為：

P?/7C

則()

A.50_2)=磯0B.口值-2)=。⑷

C.E(^)>[E(^)]2D.仇第一2)2]=￡)(r)

【答案】BC

【解析】因為析舁2)=E(J)-2,所以A錯,

因為。?-2)=。(處所以8對,

因為。(X)=[X1-E(X)fpi+昆一E(X)fp2+-+[xn-E(X)『Pn

=4]民一E(X)『pj="X：P，HE(X)]2,

所以D?=E(^2)-[EO2NO,所以E(R)HEC)]2，所以C對，

舉特例來說明D錯，取a=b=c=g,

則E[C_2)2]=(]-2)2xg+(2_2)2xg+(3_2)2xg=g,

2

x—=—

9

O=lx1+4xl+9xl=H,

121416929498

。[?-2)2]所以D錯.

―272727—27-9

故選:BC

10.如圖是函數〃x)=Asin?x+°)(A>0,0>0)的部分圖像則(

A.〃x)的最小正周期為兀

B.將函數y=/(x)的圖像向右平移三個單位后，得到的函數為奇函數

STT

C.尤=?是函數y=〃x)的一條對稱軸

0

D.若函數y=〃㈤《>0)在［0,可上有且僅有兩個零點，則小得,力

【答案】AD

【解析】由圖像可知，A=2

=；，即7=兀，故A正確

43124

2兀小

/.co=—=2

T

此時/(%)=2sin(2x+0)

又?.?哈,2)在圖像上，：.2=2sin(2*+。),解得。=g+2fai(ZeZ)

TVTT

f(x)=2sin(2x+—+2/CJI)=2sin(2x+—)

將/(X)的圖像向右平移!■個單位后得到的圖像對應的解析式為g(x)=2sin[2(x-$+號=2sin(2xJ)不

為奇函數，故B錯誤

?/f(x)=2sin(2x+—),/.2x+—=—+kjt(kGZ)

71kll,“、

x——I----(zk￡Z)

62

當尤=￥是函數y=/(x)的一條對稱軸時，此時左不符合題意，故C錯誤

63

JTJTkyr

令/(/x)=2sin(2/x+—)=0,解得％=---F——(kGZ)

36tIt

TT__

當左=0時，x=---<0,不合題意

6t

左=1時，x=—?

3t

左=2時，x=—；

6t

左=3時，x=—

3t

又因為函數y=/(枕)。>。)在[。,可上有且僅有兩個零點

5兀

---W71

-'■<f，解得，，故D正確

4兀63

—>71

13t

故選：AD

11.已知拋物線C：/=4、的焦點為尸，過點尸的直線/與拋物線C交于A,8兩點.若拋物線C在點A,B

處的切線的斜率分別為尤，k2,且拋物線C的準線與y軸交于點N,則下列說法正確的是()

A.|AB|的最小值為4

B.若|AB|=4,則附_LA?

c.若a，則直線AB的方程為x-y+i=o

D.直線AN的傾斜角a的最小值為

【答案】ABD

【解析】拋物線C:V=4y的焦點/（0,1）,準線方程為y=-l,N（0,-l）,

顯然直線/的斜率存在，設其方程為、=辰+1,A（4X）,3（%，%），

fy=kx+1

由.消去y得尤2—4區-4=0,顯然A>0,x+x=4k,xx=-4,

[x=4y12x2

對于A,\AB\=\AF\+\BF\=yi+l+y2+l=^^+2>^^+2=4,

當且僅當西=-%時取等號，A正確;

對于B,由選項A知，|A尸|=|B*=2,而|NF|=2,因此N4，A?,B正確；

對于C,由y尤2,求導得y'=；x,貝!］匕=；匕,左2=；%，

由匕+&=4,得占+%=8,則4人=8,解得％=2,直線4?的方程為2x-y+l=0,C錯誤；

對于D,直線AN的斜率％=5=產，|3冬匠4=1,當且僅當1玉1=2時取等號,

士4玉4|玉|4|玉|

則」V-1或*，因此直線AN的傾斜角ae邑的U邑號］,

4224

直線AN的傾斜角a的最小值為J,D正確.

4

故選：ABD

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.某工廠月產品的總成本丫（單位：萬元）與月產量x（單位：萬件）有如下一組數據，從散點圖分析可

知y與x線性相關.如果回歸方程是y=x+3.5,那么表格中數據。的值為

X/萬件1234

y/萬元3.85.6a8.2

【答案】6.4

【解析】由題意及表知，

-1+2+3+45-1z..,。小17.6+a

x=---------=-,y=a(3.8o+5.6+a+8.2)=——--,

?.?回歸方程是丫二7力二空上^N巳；.…/1.

4

13.為銘記歷史、緬懷先烈，增強愛國主義情懷，某學校開展共青團知識競賽活動.在最后一輪晉級比賽

中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關團史的問題，每個人回答正確與否互不影響.已知甲回答正確的概

率為9，甲、丙兩人都回答正確的概率是:，乙、丙兩人都回答正確的概率是若規定三名同學都回答

這個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率為;若規定三名同學搶答這個問題,

已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為J,二，則這個問題回答正確的概率為.

/63

【答案】7?37

【解析】根據題意，設甲回答正確為事件A,乙回答正確為事件8,丙回答正確為事件C,

則P(A)=g,P(AC)=P(A)P(C)=1,P(BC)=P(5)P(C)=1,

71

所以P(c)=g,P⑻=4,

若規定三名同學都回答這個問題，

則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率《=1-2(碇)=1-um，：，

若規定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為

z63

貝!!這個問題回答正確的概率4=(1xj1+(1x：1+；1xq7=4Q7.

2ZO433/Z

14.已知函數/(幻=加+疝2一辦+1］有且僅有2個零點，則實數。的取值范圍為.

【答案】卜2-2石，-2)川-2,2-2右)

【解析】⑴當公=片_8(0,即-2應時，

2/一av+120恒成立,

所以/(%)=(?+2)]2-G;+1,

因為“力有兩個零點，

所以aw-2且/—4〃—8>0,解得〃<2-2有或。>2+2代(舍)，

所以—2^2?〃<—2或-2<a<2—2y;

(2)當A=Q2-8>0,即〃<-2^/5或Q>2A/^，

設g(x)=2d-依+1=。的兩個根為利,〃，且w,

當〃>2行時，〃力>0恒成立，不滿足題意，

當a<-20,有-蘇=|2彳2_依+1]有兩個解，

因為-。>2,?<0,所以--與g(x)在(0,+co)必有一個交點，

當九￡(-00,㈤時，—ax2與g(x)沒有交點，

當x=0時，g(o)=l,所以-浸與g(x)在(",0)必有一個交點

所以要使方程-62=|2d一依+』有且只有兩個零點，

貝(I—ax2=-2尤2+(zr-1無解，

即(2-a)f—依+1=0沒有實數根，

即/_4(2-。)<0,解得一2-2石<°<-2+26

因為-2-2有<-2應<-2+2追，所以-2-2/<。<-2點，

綜上實數。的取值范圍為：/2-26,-2)□/2,2-26).

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(本小題滿分13分)記AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sin2A-sin2C-sin2B=y/3sinCsinB.

⑴求角A；

(2)若a=l,求△ABC的面積的最大值.

【解】(1)因為sin?A-sin?C—sin?5=J5sinCsin5,

所以sin2C+sin2B—sin2A=-^3sinCsinB,

由正弦定理：."-=，=[],^b2+c2—a2=—y[3bc>

sinAsinBsinC

故cosA=""°———=--^->因為AE(0,兀)，故人=學.

2bc26

(2)由(1)可知〃2=—又a=l,貝!)/+o2=1—技°,

由基本不等式可知/+/=1一后7c>2bc,解得反《另后=2-73,

所以以ABC=；〃csinA=^bc<,當且僅當b=c時取等號.

所以△△3c的面積最大值為三叵.

4

16.（本小題滿分15分）如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個圓柱組合而成，4c為半個圓柱上底

面的直徑，ZACB=90°,AC=BC=2,點E,歹分別為AC,AB的中點，點。為的中點.

（1）證明：平面BCD〃平面GEP；

（2）若P是線段GF上一個動點，當CG=2時，求直線A7與平面BCD所成角的正弦值的最大值.

【解】（1）連接G。，由點。為4cl的中點，4G為半個圓柱上底面的直徑知NDC4=45。，

由ZACB=90°,AC=BC=2,知NC；44=45°,CQ=血,

貝（jN￡>G4=NG44,又A，4,0,G四點共面，所以4片〃G。，

由AA8耳為直三棱柱的側面知4片〃AB,即A4//FB,則CQ//FB,

由尸為AB的中點AC=3C=2得FB=&=CQ,

所以四邊形尸瓦乂為平行四邊形，貝!尸￡,

又3￡>u平面BCD,FC；<z平面3C￡）,,則〃平面3a）,

因為E,尸分別為AC,AB的中點，所以EF//BC,

又所U平面BCD,,BCu平面BCD,,所以跳〃平面BCD,

又"nFJ=F,EF,FCiu平面EFC],所以平面BCDII平面CXEF.

(2)(法一)以｛而,而，五｝為一組空間正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系。一型,

則E(l,0,0),尸(1,1,0),G(0,0,2),A(2,0,2),

所以而=(0,1,0),居=(-1,0,2),中=-2),FQ=(-1,-1,2),

^FP=AFC[=(-Z,-2,22),2e[0,l],

貝!|卒=m+存=(_；1_1,_丸+1,22_2),

由平面BCD//平面GE尸知直線A.P與平面BCD所成角即為直線4尸與平面JEF所成角,

設平面C.EF的法向量為n=(x,yz),

n-EF=y=0

由一取z=l,得x=2,

萬EG=-x+2z=0

則平面尸的一個法向量為k=(2,0,1),

設直線4尸與平面GEF所成角為。，則

sind=Icos乖,?l=［工『J=----,4,

11kpM,如一|)Y

又幾則2=g時，sin。的最大值為手.

所以直線4尸與平面所成角的正弦值的最大值為手.

（法二）在直三棱柱ABC-AAG中，CCJ底面A3C,

因為EFu底面A8C,所以CC]_L￡7"

由（1）知EF//BC,BC±AC,所以跖，AC,

又AC。CQ=C,AC,CC,u平面A41GC,

所以所_L平面441c°,

因為斯u平面E「G，

所以平面或匕，平面A41GC,

過A作AHLEG交EG于H,

因為平面EFQc平面A4.QCjE,所以A8，平面QEF,

又平面BCD//平面QEF,

則直線AP與平面BCD所成角即為直線AP與平面C.EF所成角幺PH,

因為Rt^GECsRtA^HQ,且正方形ABCD的邊長為2,

所以等=；!，則=$

4

又sin/AP//=a^=亟，要使sin/A/H值最大,

1

A/AtP

則A/最小，在△APG中AF=FG=#，4G=2,

過A作交FG于尸，由等面積可求出4尸=粵，此時金幺叨二半.

所以直線A7與平面3C。所成角的正弦值的最大值為孚.

17.（本小題滿分15分）已知/（x）=ln尤+-ox（aeR）.

⑴若了⑴W1爐-4在［1,+8）恒成立，求。的范圍;

22x

⑵若/(X)有兩個極值點s,t,求/⑺+/(s)的取值范圍.

1”2.

【解】(1)由函數/(x)=lnx+92-qx,因為/'(x)V工在口產)上恒成立，

222x

即心券+止在工位)恒成立，

A7/、Inx1_4H,rz、x-xlnx-1

令人(元)=——+廣，可得/(無)=----3——，

XZXX

=x-xinx-1,可得，(％)=-ln%〈0,

所以，⑴在工內)單調遞減，所以，(%)<k)=。，

所以/?(X)VO恒成立，所以在[1,+8)單調遞減，所以〃(X)1mx=〃⑴=；,

所以所以實數〃的取值范圍為[g,+8).

(2)解：因為“X)有兩個極值點型，

可得SJ是r(x)=工+X—a==0的兩不等正根，

XX

A=tz2-4>0

即型是/—以+1=0的兩不等正根，則滿足<s+t=a>°,解得a>2,

st=l

貝？If。)+/(s)=In%+Ins+5產+5§2—d[t+s)=ln(s/)+—(/,+—ts—+s)

=

=ln(s/)+/(，+s)2—ts—Q(『+s)=-5a2—]<—]x22—1—3,

所以/(，)+/(s)的取值范圍為(—8,—3).

22

18.(本小題滿分17分)已知A,B,C為橢圓「一+J=1上三個不同的點，滿足反=4函+〃礪，其中

43

萬+儲=1.記45中點M的軌跡為。.

⑴求。的方程；

⑵若直線/交。于P,。兩點，交：T于S,T兩點，求證：\PS\=\QT\.

【解】⑴設A(W，%),3(%,%)，

則C(X芯+〃%，九%+〃％)，加廣

22

將代入「亍+《=1,

亍+T=1,

得t2

逗+&=1.

將C代入「：1+(=1,

得(」4+〃切)2+(孫+4%『=]