2025年高考第二次模擬考試

高三數(shù)學（新高考I卷）01?全解全析

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合4={小2-苫-2<0j,B=-xlog1x<l>,貝!|Ac值*)=(),

、2,

A.卜』B.[-3

C.(-1,2)D.

【答案】A

【詳解】因為A={x*-x-2<0^={x|-l<x<2},

B=|x|logjX<l>=x>g1,則”=[卜￥,

所以

故選：A.

2.已知（2—2i）z=i,貝1]；=（)

AILn1liC.-1-liD,-lli

A.—+—1B.——+

44444444

【答案】c

i(2+2i)—2+2i]?%

【詳解】由題意知，Z=T\

2-21一(2-2i)(2+2i)—8_44八

所以三=二二

44

故選：c

3.已知向量a=(1,-1),6=(x+2,x?),則“x=—1"是"ab”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】A

【詳解】由a=(l,-l),6=(x+2,Y),

若aLb，貝卜+2-工2=0,

解得尤=2或x=—1,

故“x=T”是“a16”的充分不必要條件，

故選：A.

4.某景區(qū)新開通了AB,C3個游玩項目，并邀請了甲、乙、丙、丁4名志愿者體驗游玩項目，每名志

愿者均選擇1個項目進行體驗，每個項目至少有1名志愿者進行體驗，且甲不體驗A項目，則不同

的體驗方法共有()

A.12種B.18種

C.24種D.30種

【答案】C

【詳解】若乙、丙、丁3人體驗的項目各不相同，則有C；A；=12種體驗方法，

若乙、丙、丁3人有2人體驗的項目相同,則有C；C；A；=12種體驗方法,

故不同的體驗方法共有24種.

故選：C.

5.已知sin[a—貝ljcos〔2a+,)二

=()

A.--B.-C.-D.--

9999

【答案】D

【詳解】因為sin[a-島=專，所以cosa-1]]=1-2sin2-展)=1-

即cos(2a一看]二’,

所以cosher+葛)=cos^2cr-^+7i=-cos\叫5

2a——=——.

、6J9

故選：D.

6.已知S.為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，％=-21,S1=Sl5,則S”的最小值為()

A.-99B.-100C.-110D.-121

【答案】D

【詳解】設｛%｝的公差為d,因為%=-21,S7=Si5,

%=—21

可得;7x615x14,解得d=2,所以％=2〃-23,

7%T-------u=15。]H----------d

、22

—r,口〃X(〃一1)

可得s”=-2\n+———“2=抬9一22n,

2

所以當〃=11時，S”取得最小值％=11'-22x11=-121.

故選：D.

22

7.已知點P為橢圓土+上_=1上任意一點，直線/過C":f+y2—4%+3=0的圓心且與，M交于A,8兩

1612'

點，則P/LPB的取值范圍是()

A.[3,35]B.[2,34]C.[2,36]D.[4,36]

【答案】A

【詳解】M:x2+y-4%+3=0,即(了一2)2+9=1的圓心〃(2,0),半徑為1,

22

橢圓方程C:土+匕=1中,a2=16,Z?2=12,c2=a2-b2=16-12=4,c=2,

1612

則圓心M(2,0)為橢圓的右焦點，線段AB為一M的直徑，連接尸

因止匕PAPB=｛PM+MA)-｛PM+MB)=(PM-MB)?(PM+MB)

=MM2TMs『=|刑2f點。為橢圓。：I+*i上任意一點，

貝=a-c=2,\PM\=a+c=6,gp2<|PM|<6,

IminIImaxII

所以P4PB=pM『-le[3,35].

故選：A

8.設函數(shù)〃x)=e'(2x—1)-四+a,其中,若存在唯一的整數(shù)%,使得/(/)<0,則〃的取值范圍是

()

A」-；，nB.m

i2eJL2e4；

【答案】D

【詳解】設g(x)=e*(2x-l),y=a(x-l),

由題意知，函數(shù)y=g(x)在直線、=取-a下方的圖象中只有一個點的橫坐標為整數(shù)，

g'(x)=ev(2x+l),當時，g，(%)<0；當?時，gf(x)>0.

_1_

所以，函數(shù)y=g(x)的最小值為g—2-

又g⑼=T，g(l)=e>0.

直線y=av-a恒過定點(1,0)且斜率為a,

^-?>g(O)=-l>g(-l)=-1>-a-a,解得力a<l,故選D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知。力20,且a+2b=l,則下列不等式中成立的有()

A.ab<—B.y[a+^Jb>

82

(

ln(ab+a+b+l]+.b-

C.—----------------^>log23-lD.y<^

In2

【答案】ABC

【詳解】對于A,因為。力之0,所以〃之0,28之0,仍=：ax2力(三")2=：,當且僅當〃=2b=：時取

22282

等號，A正確；

對于B,因為a,6N0,a+2b=l:.(&『+(回『=],

令=cos0,>/^=sin6,a,b>0,:.0e0,—,Ja+db=cos^+-^sin^,

L2」2

令/(。)=cos0+^-sin(9,.'.f'(0)=-sin(9+^-cos(9,

令廣⑻=0,...tanq=*,qe0,"令，

當e?o摳)時,廣⑻>0"⑻在e?o,q)上單調(diào)遞增;

當公。,])時,廣⑻<0,〃，)在可知:上單調(diào)遞減；

又〃。)=1,后卜日，

/(。)的6=]時，f(x)取最小值日，所以B正確；

對于(2

C‘I"""；；""=iog24zZ7+a+b+l)=log2[(1-2b)Z?+1-2Z?+Z?+1]=log2(-2Z7+2)log23-1=log2,

i「1133

因為。=1-2。20,r.04。《；,所以、=-2/+2在此0,-上最小值為不，log2(-2》2+2)2k?g23,C正確；

L一乙_LL

\\1f-

對于D,3a+b=3'-b,-0<b<-,-<l-b<l,:.3'-b>32=73,D錯誤；

22

故選：ABC.

10.設函數(shù)=(x-a)2(x-2)(aeR),貝!J()

A.當a=—l時，的圖象關于點(0,-2)對稱

B.當a=。時，方程〃x)+sinl=0有3個實根

C.當aN2時，。是“X)的極大值點

D.存在實數(shù)。，"x)<"x+l)恒成立

【答案】ABD

【詳解】對于A選項，當4=一1時，/(X)=(X+1)2(X-2)=X3-3x-2,

因為/(-%)=(-—3.(—%)—2=-/+3x-2,所以，f(x)+f(—^)=—4,

所以"％)的圖象關于點(o,-2)對稱，故A正確；

對于B選項，當〃=。時，/(X)=X3-2X2,貝!Jf(元)=3%2-4%,

令/'(尤)=0,可得尤=0或x=g,列表如下：

4

X(-℃,0)0

心3

r(x)+0—0+

〃尤)增極大值減極小值增

所以，函數(shù)/(x)在(y,0)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，[g,上單調(diào)遞增，

所以〃x)極大=〃°)=°，/(x)極小=/g]=-1|，又因為0<sinl<l,如下圖所示:

由圖可知，直線V=-sinl與函數(shù)“X)的圖象由三個交點，

即。=0時，方程/(x)+sinl=0有3個實根，故B正確；

2(〃+4

對于C選項，=-+%-----

當〃=2時，/(X)=3(X-2)2>0,此時函數(shù)了⑴在R上單調(diào)遞增，故C錯誤;

對于D選項，當a=2時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，此時〃x）</（x+l）恒成立，故D正確.

故選：ABD.

IL“oo”可以看作數(shù)學上的無窮符號,也可以用來表示數(shù)學上特殊的曲線.如圖所示的曲線C過坐標原點0,

C上的點到兩定點耳乙（。,0乂“>0）的距離之積為定值.則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：

加x2.236）

A.若山閭=12,則C的方程為優(yōu)+力2=72（/一力

B.若C上的點到兩定點8、F2的距離之積為16,則點（T,0）在C上

C.若a=3,點（3,%）在C上，則2<$<3

D.當。=3時，C上第一象限內(nèi)的點尸滿足,尸耳工的面積為則|尸團2--工「=184

【答案】ACD

【詳解】已知原點。在C上，則|0周?|0閭=。2,設（x,y）為C上任意一點，

則有/=，（…）2+『."4+產(chǎn),整理得1+y2丫=2a2（x2-y2）.

若用閶=12,則C的方程為任+力2=72卜2-力，故A正確；

若閭=16,貝股=4,代入方程得（丁+力2=32y一力，顯然點㈠⑼不在此曲線上，故B錯誤;

若a=3,點（3,%）在C上，有J（3-3）2+尤.“3+3）2+y：=9,

整理得（常+18丫=405,所以尤=94一18處2.124,故C正確；

因為S小弓=；|尸片儼劇sin/fJP入=：,「制尸閶=9,可得/片尸兇=90,

所以點尸是曲線C:（x2+y2）2=18（x2-y2）和以片招為直徑的圓x2+y2=9在第一象限內(nèi)的交點，

聯(lián)立方程，解得x=半，v=|,即尸（述」），所以|尸耳「-^^「=18』，故D正確.

2222

故選：ACD

【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)題干背景得到曲線方程（無2+>2）2=2〃（無2一丁）為關鍵.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

2

12.已知直線/與直線％->+2=。平行，且與曲線>=lnx--+1相切，則直線/的方程是.

【答案】y=%+ln2-2（或x-y+ln2-2=0）

【詳解】直線％->+2=0的斜率為1,由于直線/與直線％->+2=0平行，則直線/的斜率為1,

21212

對函數(shù)y=ln%--+1求導得）/=—+一■,令y=—+_=i,解得％=2或%=_1（舍去），

XXXXX

所以切點的坐標為（2』n2）.

故直線/的方程為y-ln2=x-2,即y=x+ln2-2.

故答案為：J=x+ln2-2（或尤-y+ln2-2=0）.

13.在三棱臺ABC-ABC中，AB_LAC,3C=6，A4=AG=40,A4,=572,平面，平面ABC,

則該三棱臺外接球的體積為.

分別取BC/C的中點O,Q,則。平面ABC,且外接球球心M在直線上，由題意,

2

AO=3,AlO[=4,OOi=^AA;-（AiOI-AO）=7.

設跖4==x,

若球心在線段0a上，則/=9+（7-無y,r=4?+/,得x=3,r=5；

若球心不在線段。。1上，則戶=9+（7+4,/=4?+尤2,無正數(shù)解.

所以外接球體積為V=竺4刀"。〃3=S0077.

33

50071

故答案為:

3

14.小郅和小豪同學玩紙牌游戲，小郅面前有標有點數(shù)分別為1、2、3、4、5的紙牌各1張，小豪面前有

標號為1、2、3、4、5的紙牌分別有5、4、3、2、1張（抽牌階段抽到每張牌的概率均等），規(guī)定首先小豪

同學從其面前紙堆中抽取一張牌點數(shù)記為X,然后放回牌堆，隨后小郅同學任意從其面前牌堆中抽取X張

牌，記這X張紙牌的點數(shù)和為「則。"）=,E（V）=.

14

【答案】y7

【詳解】X的分布列為：

X2的分布列為:

X21491625

]_4]_21

P

31551515

21A

同理：E(X)=7,故：D(X)=E(X2)-[E(X)]-=—,

當X=1時，匕的分布列為:

12345

]_111J_

P

55555

所以石（工）=3,

當X=5時，工的分布列為:

所以￡區(qū)）=15,

當X=2時：右的分布列為:

A3456789

11J_j_111

P

W10555io10

E(Y2)=6,

當X=3時：打的分布列為:

6789101112

1111111

p

10105551010

E(Y3)=9,

當X=4時：匕的分布列為:

匕1011121314

工111]_

p

55555

E化)=12,

14121

所以：￡(y)=--3+——6+-9+——12+——15=7.

V731551515

14

故答案為：—;7

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.如圖(1),在直角梯形中，AD//BC,ABLBC,AB=BC=1,AD=2,現(xiàn)沿著AC折起，使得平

面BAC_L平面ZMC,如圖(2).

圖(1)圖(2)

(1)求證：CD_L平面54c.

⑵求二面角A—C的大小.

【答案】(1)證明見解析

嗚

【詳解】(1)由題可求得AC=CO=及，且AD=2,

貝ljAC2+C￡>2=AT>2,可知AC_LCD,

且平面R4CJL平面DAC,平面BACc平面ZMC=AC,C￡>u平面DAC,

所以CD_L平面3AC.

(2)取AC的中點。，連接80,

因為AB=3C,貝lj8O_LAC,

且平面區(qū)4C_L平面DAC,平面B4Cc平面ZMC=AC,BOu平面8AC,

所以801平面ACD.

以。為坐標原點，OCOB所在的直線分別為x，z軸，平行于CD的直線為y軸，建立空間直角坐標系,

m-CD=及弘=0

設平面3DC的一個法向量為應=(百,％,zj,貝卜__V2V2_

mBC=——x------z.=。

2121

令石=1,則M=。，4=1,可得加=(1,0,1)；

n?AB=%+z=0

2222

設平面瓦M的一個法向量為H=(x2ly2,z2),貝卜

n?AD=A/2X2+Oy?=0

令％2=1,則%=Z2=—1,可得〃=(1,—1,—1),

m-n0

貝—尸

Ucosm,n=?-j-j—r=—r==09

IT

所以二面角A-BD-C的大小為彳.

2

16.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)歹U，其前〃和為％的=2,Sg=45,數(shù)列也｝滿足她+她+。也=5-1b2"+1

(1)求數(shù)列｛%｝，｛〃｝的通項公式;

(2)若對數(shù)列｛。“｝,｛2｝,在4與七十1之間插入4個l(%eN*),組成一個新數(shù)列｛4｝,求數(shù)列口｝的前2025

項的和心)25.

【答案】(1)4=〃，"=2"T；

(2)2080

【詳解】(1)｛。0｝為等差數(shù)列，設其公差為d,

則％+d=2,S9=9al+36d=45,解得ai=d=l,

故=4+(〃T)d=〃；

aibi+a2b2++a/“①,

故當〃22時，afy+a2b2+=(〃-2)-2"'+1②，

兩式相減得a“d=(〃—1)2"+1-(〃—2)?2'T—1=〃?2"T,

故的=〃-2"。所以a=2片，n>2,

又4偽=0+1=1,故4=1,滿足a=2"L

從而2=2"，

(2)由(1)知，a?=n,bn=2"T,

所以在｛4｝中，從4開始到項氏為止，

1_T

k2

共有項數(shù)為％+2°+2〔+2?+.+l-=k+------=左+21—1,

1-2

當上=11時，11+21°—1=1034<2025,

當上=12時，12+211-1=2059>2025,

所以數(shù)列｛4｝前2025項是項知之后，還有2025-1034=991項為1,

故(025=。+2+3++11)+2°+2'+22++29+991=2080.

17.甲、乙兩人進行投籃比賽，甲先投2次，然后乙投2次，投進次數(shù)多者為勝，結束比賽，若甲、乙投進

的次數(shù)相同，則甲、乙需要再各投1次（稱為第3次投籃），結束比賽，規(guī)定3次投籃投進次數(shù)多者為勝，

若3次投籃甲、乙投進的次數(shù)相同，則判定甲、乙平局.已知甲每次投進的概率為9,乙每次投進的概率為;,

各次投進與否相互獨立.

（1）求甲、乙需要進行第3次投籃的概率；

（2）若每次投籃投進得1分，否則得。分，求甲得分X的分布列與數(shù)學期望.

【答案】⑴123

36

QC

（2）分布列答案見解析，數(shù)學期望：三

54

【詳解】⑴設甲第V=L2）次投進為事件A”乙第幣=1,2）次投進為事件與，

71

則尸（a）=§,P（B,）=-.

設甲、乙需要進行第3次投籃為事件C,則事件C包括以下兩兩互斥的三個事件：

①“甲、乙前2次都投進2次”，其概率為尸（A4）?尸（用旦）=[|]xQj=、

②“甲、乙前2次都投進1次”，其概率為P（A4+44）?尸（旦瓦+瓦B2）=2xgxgx2><m，

③“甲、乙前2次都投進0次”，其概率為尸伍（瓦瓦x（l-￡|=f.

ioi13

則由互斥事件的概率加法公式，可得尸（c）=§+§+*=..

（2）由題意可得X的所有可能取值為0,1,2,3,

211217

尸(X=l)=C；X1X§xH---x

36354

（提示：此時有三種情況，①甲前2次投進1次，乙前2次投進。次或2次;

②甲、乙前2次均投進1次，第3次甲未投進；③甲、乙前2次均未投進，第3次甲投進）

2214

+_V_—__

93-27

尸”=3）=酒后

所以X的分布列為:

X0123

517142

P

54542727

所以E(X)=Ox9+lx衛(wèi)■+2xV+3*2=9.

''5454272754

22

18.已知橢圓￡:，+方=1(。>6>0)的左、右焦點分別為乙，F(xiàn)2,拋物線C:：/=4X的焦點與工重合，點

G是C與E在第一象限的交點，且|Gg|=(

(1)求E的方程.

⑵設過點歹2的直線/與E交于點M,N,交C于點A,B,且A,B,M,N互不重合.

(i)若/的傾斜角為45。，求\上MN高\的值；

I叫

(ii)若尸為C的準線上一點，設B4,PB,PR的斜率分別為勺/2，%，證明：質(zhì)為a和%的等差中項.

22

【答案】⑴'+匕=1

43

3

(2)(i)|；(ii)證明見解析

【詳解】(1)由已知得C的焦點為(1,0),即入(1,0),所以公一戶=1.①

因為|GEI《，由拋物線的定義可得%=>i=g,所以G1|，A]

代入E的方程可得小4+蘇8=1?②

22

由①②解得儲=4,廿=3,所以E的方程為土+匕=1.

43

(2)設4國,%),8(尤2，%)，M(%，%)，N(XQ4).

(i)因為直線1的傾斜角為45。，所以號=1,直線1的方程為y=x-L

聯(lián)立，〃整理得r-6x+l=0,貝1]占+無2=6,

[y=4x,

所以|43|=占+%+0=6+2=8.

y=xT

聯(lián)立1尤22整理得7/_8X-8=0,

1一4+—3=1,

E88

貝11%3+%=,,X3X4=--

8824

所以|肱V|=+k；|x-x|=A/2-yl(x+x)2-4XX=A/2?

343434T

24

所以g.五=3.

\AB\87

(ii)由題意知耳(-LO),B(l，°)，

設尸(-1,加)，且直線AB的方程為X=)+1.

[x=ty+l,c

聯(lián)立Jy2=1x整理得4/y—4=0,顯然A>0,

貝!J%+必=今,%.%=一4,

皿+上=（必-㈤號+l）+0-M）（%+D.

%+1x2+1(石+1)(%+1)

=(y一㈤(優(yōu)+2)+(%一7)(。1+2)=2以%+Q一7力(必+%)―4加

((Yi+2)(%+2)+2/(%+%)+4

-St+(2-mt)-4/-4m-4m(t2+1)

=-------------------=----------=—m

-4產(chǎn)+8/+44(產(chǎn)+1)

又2k3=-m,即2k3=%+匕，

所以網(wǎng)為占和程的等差中項.

19.若對V占，尤2eD且司＜々，函數(shù)/（X）,g（x）滿足：|/。）-/（工2）性7電（西）一（工2）|（機＞。），則稱函數(shù)

“X）是函數(shù)g（x）在區(qū)間。上的“級控制函數(shù).

⑴判斷函數(shù)"X）=2x是否是函數(shù)g（x）=Y在區(qū)