專題092025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)?？碱}型全歸納

（七大題型）（學(xué)生版）

導(dǎo)數(shù)?？碱}型全歸納

目錄

題型01導(dǎo)數(shù)與極值（含有參數(shù)的單調(diào)性分類討論）..........................................2

題型02導(dǎo)數(shù)與最值（含恒成立和有解問題）.................................................7

題型03導(dǎo)數(shù)與方程的根（含隱零點(diǎn)問題）..................................................12

題型04極值點(diǎn)偏移問題..................................................................16

題型05導(dǎo)數(shù)與不等式...................................................................21

題型06導(dǎo)數(shù)中其他雙變量問題...........................................................26

題型07導(dǎo)數(shù)結(jié)合數(shù)列...................................................................32

題型通關(guān)................................................................................37

題型01導(dǎo)數(shù)與極值（含有?數(shù)的單調(diào)性分類討論）

【解題規(guī)律?提分快招］

一、含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)

間）；

（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分:導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分.定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單

獨(dú)討論的部分）；

（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）;然后再求有效根；

（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮:根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；

（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；

【一般性技巧】

1、導(dǎo)函數(shù)的形式為含參一次函數(shù)，首先討論一次項(xiàng)系數(shù)為0的情形，易于判斷;當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí),討論導(dǎo)

函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),從而寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

2、若導(dǎo)函數(shù)為含參可因式分解的二次函數(shù),令該二次函數(shù)等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判定導(dǎo)

函數(shù)的符號(hào),從而確定原函數(shù)的單調(diào)性.

3、若導(dǎo)函數(shù)為含參不可因式分解的二次函數(shù)，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域討論.

二、函數(shù)的極值

函數(shù)/（2）在點(diǎn)而附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)都有/Q）<fM,則稱/（然）是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作

V極大值=/（g）.如果對(duì)g附近的所有點(diǎn)都有/㈤>/（，（））,則稱/（g）是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作沙極小值=/（g）.極

大值與極小值統(tǒng)稱為極值,稱x0為極值點(diǎn).

求可導(dǎo)函數(shù)“0極值的一般步驟

⑴先確定函數(shù)/（，）的定義域；

⑵求導(dǎo)數(shù)廣㈤；

（3）求方程rQ）=o的根；

（4）檢驗(yàn)廣（工）在方程廣（/）=o的根的左右兩側(cè)的符號(hào),如果在根的左側(cè)附近為正,在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)歲

=f（x）在這個(gè)根處取得極大值;如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正,那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)根處取得

極小值.

注①可導(dǎo)函數(shù)/（⑼在點(diǎn)&處取得極值的充要條件是：g是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即/（g）=0,且在g左側(cè)與右

側(cè)，［3）的符號(hào)導(dǎo)號(hào).

②r（，o）=0是立o為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如/（/）=爐,r（。）=。,但。0=。不是極值點(diǎn).另外,極值點(diǎn)

也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)/（⑼=㈤，在極小值點(diǎn)g=0是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：g為可導(dǎo)函數(shù)/Q）的極

值點(diǎn)n/（g）=0；但rQo）=為/（①）的極值點(diǎn).

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（力）=2（mrc—Inrr）+已,討論/（劣）的單調(diào)性與極值.

________P

2.(2024.河南開封二模)已知函數(shù)/(*)=Inc—0.

X

(1)討論的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時(shí)求出極值；

(2)函數(shù)g(c)=J—；若方程/(2)=/(g(rr))在刀C(0,J)上存在實(shí)根,試比較/(c^)與In早的大小.

L—X\2，4

3.(24—25高三上?山西呂梁?期末)已知函數(shù)/(a;)=e2x—ax+a(aeR),g(x)=(3—2x')e2x.

(1)求函數(shù)/(為的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)/Q)的極值；

(3)若g為函數(shù)/(c)的極值點(diǎn)，則稱(g,/(g))為函數(shù)/Q)的“靚點(diǎn)”.證明：。(為上任意一點(diǎn)都有可能

成為/Q)的“靚點(diǎn)”.

4.(24-25高三上?安徽淮北?階段練習(xí))已知函數(shù)/Q)=lnQ+l).

(1)求曲線g=/(功在/=3處的切線方程.

(2)求函數(shù)尸(力)=x———(a+l)/(rc—1)的極值；

x

(3)設(shè)函數(shù)gQ)=(6+1)/(十)一/(十+1).證明:存在實(shí)數(shù)使得曲線g=g(c)關(guān)于直線力=山對(duì)

稱.

5.(23—24高三上?安徽六安?期末)已知函數(shù)/(①)=21n/+￡L/—(2m+l)x+l(mGJ?).

⑴求函數(shù)/(乃的極值;

(2)設(shè)函數(shù)/Q)有兩個(gè)極值點(diǎn)求證：/(電)+/(g)<

m

6.（24—25高三上?云南德宏?期末）已知函數(shù)/（%）=a\nx—a:+a3（aGB）.

（1）若函數(shù)/（力）在力=2處的切線與直線26—3g+1=0垂直，求實(shí)數(shù)Q；

（2）若函數(shù)/（劣）有極大值，且極大值不大于0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

7.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（力）—x2+mln（rr+1）（mG/?）.

（1）當(dāng)m=-4時(shí),求函數(shù)/（為）的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知函數(shù)/Q）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求力的取值范圍.

8.（2025?山西臨汾?一模）已知函數(shù)/（2）=ex—ax.

⑴當(dāng)Q=1時(shí)，求曲線沙=/（力）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線方程；

⑵當(dāng)Q=2時(shí)，求函數(shù)g（%）=f（R）+sinx-cos/在［—亭+8）上的極值.

9.（24—25高三下?河北滄州?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（6）=x—21n（a;+l）+axe~x,aER.

（1）當(dāng)Q=1時(shí),求函數(shù)/（0的單調(diào)區(qū)間；

（2）若①=1是函數(shù)/（力）唯一的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型02導(dǎo)數(shù)與量值(含恒成立和有解問題)

【解題規(guī)律?提分快招］

一、函數(shù)的最值

函數(shù)夕=/(M最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者;函數(shù)/(⑼最小值為極小值與靠近極大值的

端點(diǎn)之間的最小者.

一般地，設(shè)沙=/(劣)是定義在［館,九］上的函數(shù)，n=f(x)在(7?2,九)內(nèi)有導(dǎo)數(shù),求函數(shù)9=/(/)在［館,九］上的最

大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：

⑴求y=f(x)在(rm)內(nèi)的極值(極大值或極小值)；

(2)將g=f(G的各極值與f(m)和f(n)比較，其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值.

注:①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值;函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)

在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；

②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn),不能是區(qū)間的端點(diǎn)；

③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.

二、恒成立和有解問題

1、若函數(shù)/(⑼在區(qū)間。上存在最小值/Q)min和最大值/Q)max，則

不等式/(2)>Q在區(qū)間。上恒成立Q/(N)min>&；

不等式/(2)在區(qū)間。上恒成立=/(劣)min>。；

不等式/(2)V匕在區(qū)間。上恒成立<=>/(N)max<b；

不等式/(2)<匕在區(qū)間。上恒成立Q/(N)max<b；

2、若函數(shù)/(2)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，且值域?yàn)?m,九)，則

不等式/(2)(或在區(qū)間_D上恒成立o?n>a.

不等式/Q)<6(或/(2)&6)在區(qū)間。上恒成立oznWb.

3、若函數(shù)/(為在區(qū)間。上存在最小值/Q)min和最大值/Q)max，即/(為)￡［小，出,則對(duì)不等式有解問題有以下

結(jié)論：

不等式QV/(N)在區(qū)間。上有解V/Q)max；

不等式Q</(劣)在區(qū)間。上有解<=>Q</3)max；

不等式。>/(2)在區(qū)間。上有解oaA/QLn；

不等式a>f(x)在區(qū)間。上有解u>Q>/(N)min；

4、若函數(shù)/(2)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，如值域?yàn)?館,九)，則對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論：

不等式aV/Q)(或aW/3))在區(qū)間。上有解—

不等式》>/(/)(或在區(qū)間_D上有解u>b>?n

5、對(duì)于任意的劣［。］］,總存在［館,汨，使得/(0)<g(/2)=/(g)max&g(N2)max；

6、對(duì)于任意的力16［Q,6］,總存在力2"［皿汨，使得/(61)>g3)=/(?)min>g(N2)min；

7、若存在gG［Q,6］,對(duì)于任意的a2G［如汨，使得/(劣1)4g(/2)O/(g)min&g(/2)min；

8、若存在gG對(duì)于任意的gG［小，汨，使得/(g)>9(22)o/(g)max>g(/2)max；

9、對(duì)于任意的g6［a,b］,X2E［館,汨使得/Qi)&g(>2)=/Ql)max&g(N2)min；

10、對(duì)于任意的616［a,b］,X2e［館,汨使得/Qi)>g(>2)O/01)min>g(N2)max；

11、若存在gG總存在［a,汨，使得/Ql)<g(>2)Q/(g)min&g(/2)max

12、若存在新€[a,b],總存在a;2c[m,n],使得/(為)>g(g)o/3)皿，。(㈤降?

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

10.(24-25高三下?四川內(nèi)江?階段練習(xí))已知函數(shù)/⑺=春靖+(a—1)*—Imr.

(1)討論/(c)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)/(①)在[1,2]的最小值g(a).

11.(2025?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(1)=x+alna?(a^0)的圖象的一條切線方程是夕=24一1.

⑴求a；

(2)若關(guān)于刀的不等式/Q)<nzlnc有解，求m的取值范圍.

__________________________

12.（24-25高三上?湖北?期中）已知①=2為函數(shù)/（⑼=x（x-c）2--的極小值點(diǎn).

e

⑴求C的值；

（2）設(shè)函數(shù)g（c）=.，若對(duì)C（0,+oo）,mgCR,使得求％的取值范圍.

ex

13.（24-25高三下?新疆烏魯木齊?階段練習(xí)）已知函數(shù)/⑺=e"++彘―a）（aCR），于⑺的導(dǎo)函數(shù)為

廣㈤,且*0）=0.

（1）求/（N）的最值;

（2）求證：——FIYIX+~~x>2.

x2

14.（24-25高三上?浙江?階段練習(xí)）已知函數(shù)/Q）=e--a?的最小值是0.

⑴求a；

（2）若實(shí)數(shù)m,九滿足mn=em-1+nlnn,求mn的最小值.

15.（24-25高三上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（，）=Inrc+2必+￡（aCR）.

（1）討論函數(shù)/（功的單調(diào)性；

（2）若/（1）＞2c—1+a在（1,+oo）上恒成立,求整數(shù)a的最大值.

_____________________________

16.(24-25高三下?北京?開學(xué)考試)已知函數(shù)/Q)=ex-ax-^x2.

⑴當(dāng)Q=1時(shí)，求曲線"=/(/)在(0,/(0))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(乃是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若/(N))—2+/+伉求(Q+l)b的最大值.

17.(24-25高三上?湖南常德?階段練習(xí))已知/(乃=a(rc—Inc)+--^-(<z>0).

xT2

(1)討論/(c)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，證明/(必)>于，(x)+對(duì)于任意的xG[2,+oo)成立.

（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.69,ln2.3=0.83）

題型03導(dǎo)數(shù)與方程的根(含除零點(diǎn)向星)

【解題規(guī)律?提分快招］

一、隱零點(diǎn)問題

隱零點(diǎn)問題是函數(shù)零點(diǎn)中常見的問題之一，其源于含指對(duì)函數(shù)的方程無精確解，這樣我們只能得到存在性之后

去估計(jì)大致的范圍(數(shù)值計(jì)算不再考察之列).

基本步

第1步:用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性,列出零點(diǎn)方程r(g)=0,并結(jié)合/Q)的單調(diào)性得到零

點(diǎn)的范圍；

第2步：以零點(diǎn)為分界點(diǎn),說明導(dǎo)函數(shù)/3)的正負(fù),進(jìn)而得到/(⑼的最值表達(dá)式；

第3步:將零點(diǎn)方程r(g)=0適當(dāng)變形,整體代入/Q)最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)：

(1)要么消除，(⑼最值式中的指對(duì)項(xiàng)

(2)要么消除其中的參數(shù)項(xiàng)；

從而得到/(①)最值式的估計(jì).

二、函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理

函數(shù)零點(diǎn)存在性定理:設(shè)函數(shù)/(2)在閉區(qū)間［電切上連續(xù)，且/(a)/(b)V0,那么在開區(qū)間(a,6)內(nèi)至少有函

數(shù)/(①)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)2()e(a,b),使得/(g)=0.

三、隱零點(diǎn)的同構(gòu)

實(shí)際上，很多隱零點(diǎn)問題產(chǎn)生的原因就是含有指對(duì)項(xiàng),而這類問題由往往具有同構(gòu)特征,所以下面我們看到的這

兩個(gè)問題,它的隱零點(diǎn)代換則需要同構(gòu)才能做出，否則,我們可能很難找到隱零點(diǎn)合適的代換化簡(jiǎn)方向.我們看

下面兩例：一類同構(gòu)式在隱零點(diǎn)問題中的應(yīng)用的原理分析

(xex(xlnx

f(x)=lx+ex=^>/(lnx)=<x+lnx

le^-x-llx-lnx-1

/(re)=xex^f(—lnx')=~^~=>〃ec+lna:=0

所以在解決形如ex=—^>x+lnx=0,這些常見的代換都是隱零點(diǎn)中常見的操作.

X

四、一般思路

針對(duì)導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)，，，求解取值范圍時(shí)，需要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)代入方程，把參數(shù)表示成含隱零點(diǎn)的函數(shù)，再來

求原函數(shù)的極值或者最值問題或證明不等式。構(gòu)建關(guān)于隱零點(diǎn)作為自變量的新函數(shù)，求函數(shù)值域或者證明不等

式恒成立問題。在使用零點(diǎn)存在定理確定區(qū)間時(shí)往往存在困難，必要時(shí)使用放縮法取含參的特殊值來確定零點(diǎn)

存在區(qū)間。

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

18.(24—25高三下?河南,開學(xué)考試)已知函數(shù)/(c)=x+Inrc—xlnx—2(0<rr<4).

(1)探究/(￡)在定義域內(nèi)是否存在極值點(diǎn)；

(2)求/(為在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

_________?

19.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(*)=e"Q—1)--^-eax2,a<0.

(I)求曲線夕=/(力)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程；

⑵求了(0的極值;

(3)求函數(shù)/Q)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

20.(24—25高三下?山西?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(①)=(a?—a)(rr+l)+aIns.

⑴當(dāng)a=—2時(shí)，討論/Q)的單調(diào)性；

(2)記函數(shù)g(rr)=/(*)—3力+1,已知g(x)只有1個(gè)零點(diǎn)，求正整數(shù)a的最小值.

21.（24-25高三上?寧夏吳忠?階段練習(xí)）已知函數(shù)/Q）=2sin/—

（1）當(dāng)力G[0,兀]時(shí)，/（力）Wm,求實(shí)數(shù)nz的取值范圍；

⑵若函數(shù)F⑺與f@）的圖象關(guān)于點(diǎn)（擊,1）對(duì)稱,求斤⑺的解析式；

（3）判斷函數(shù)gQ）=Q+l）/Q）+1在（年,+8）的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.

22.（24—25高三上?天津西青?期末）已知函數(shù)/（力）=e37-1—ax—lna;（a>0）.

（1）當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=在點(diǎn)（1J（1））處的切線方程；

（2）求證:/（T）有唯一極值點(diǎn)；

（3）若/（必）有唯一零點(diǎn)而，求證：1VgV2.

________0

23.（2025?云南曲靖?一模）已知函數(shù)/（劣）=e2x-\-（l—2a）ex—ax（aER）.

（1）當(dāng)Q=0時(shí)，求/（力）在力=0處的切線方程；

（2）討論/（切的單調(diào)性；

（3）若/（0有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

24.（24—25高三下?湖南岳陽?開學(xué)考試）已知函數(shù)/（力）=ax—lnx,g（x）=alnx+—,Q為實(shí)數(shù).

x

⑴當(dāng)a=1時(shí)，求/（力）與g（力）的極值；

（2）是否存在aG凡使/（名）與gQ）均有2個(gè)零點(diǎn).若存在，請(qǐng)求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

題型04極值點(diǎn)偏移問題

【解題規(guī)律?提分快招］

一、極值點(diǎn)偏移問題

1、極值點(diǎn)偏移定義

極值點(diǎn)偏移是函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)的圖象不具有對(duì)稱性。例如我們學(xué)過的

二次函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，也有對(duì)稱軸，但是有些函數(shù)沒有對(duì)稱軸，即關(guān)于類對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)橫坐

標(biāo)之和不等于對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)兩倍，我們把這種現(xiàn)象叫做極值點(diǎn)偏移

2、極值點(diǎn)偏移的原理

函數(shù)自身所導(dǎo)致的在極值點(diǎn)左右兩端增速不一樣

3、極值點(diǎn)偏移的圖形定義

①左右對(duì)稱，無偏移,如二次函數(shù);若/(g)=/(22)，則g+0=2g

②左陡右緩，極值點(diǎn)向左偏移;若/(為)=/(22)，則的+22>2工0

③左緩右陡，極值點(diǎn)向右偏移;若/(必1)=/(e2)，則21+22V2g

二、極值點(diǎn)偏移的判斷

根據(jù)極值點(diǎn)偏移的定義可知：當(dāng)題干中出現(xiàn)為停，黨”等條件而求證不等式成立的

時(shí)候，即可視為極值點(diǎn)偏移考察

三、答題模板(對(duì)稱構(gòu)造)

若已知函數(shù)/(c)滿足/(g)=/(，2)，曲為函數(shù)/(①)的極值點(diǎn)，求證：g+2g.

(1)討論函數(shù)/(2)的單調(diào)性并求出/Q)的極值點(diǎn)出;

假設(shè)此處/(①)在(—8,3)上單調(diào)遞減，在(g,+8)上單調(diào)遞增.

__________由

(2)構(gòu)造F(力)=/(&+力)一/(g—力)；

注:此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成FQ)=/3)—/(2g—0的形式.

(3)通過求導(dǎo)F\x)討論F{x}的單調(diào)性，判斷出F(T)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出/(g+6)與/(g-

x)的大小關(guān)系；

假設(shè)此處FQ)在(0,+8)上單調(diào)遞增，那么我們便可得出FH>F(^0)=/U)一/(&)=0,從而得到：

力>g時(shí)，J(x0+x)>/(g—x).

(4)不妨設(shè)為VgVe2,通過/(力)的單調(diào)性,/(力J=/(劣2)，/(60+力)與/(g—/)的大小關(guān)系得出結(jié)論；

接上述情況，由于力>/0時(shí),f(xo+X)>/(力0—力)且力1V/0V宓2，f31)=/(62)，故/(%1)=f(62)=f[xQ

+(劣2—60)]>/[g—(劣2—劣0)]=/(2g—劣2)，又因?yàn)閂g，2/0—劣2Vg且/(力)在(一8,力0)上單調(diào)遞

減,從而得到力1V2g—g,從而g+gV2g得證.

⑸若要證明r(缺*)<o，還需進(jìn)一步討論胃忍與物的大小,得出匹所在的單調(diào)區(qū)間,從而

得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù),從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)證明：因?yàn)間+gV2g,故生產(chǎn)<3,由

于f(G在(-00,xo)上單調(diào)遞減，故/'(/我)<0.

數(shù)形結(jié)合

f(x)=f(x)-f(2x0-x)

化雙變量為單變量

運(yùn)用/■(>)的單調(diào)性脫去f利用/Ol)=f(X2)

四、其他方法

1、比值代換

比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)

的比值作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的.設(shè)法用比值(一般用力表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即t=

生，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于力的函數(shù)問題求解.

62

2、對(duì)數(shù)均值不等式

兩個(gè)正數(shù)a和&的對(duì)數(shù)平均定義：L(a,b)=[而*

[a(a=b).

對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：，高<L(a,b)W號(hào)(此式記為對(duì)數(shù)平均不等式)

取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

3、指數(shù)不等式

fe(mW.

在對(duì)數(shù)均值不等式中，設(shè)a=em,b=en,則E(a,b)=\rn-n產(chǎn)叼，根據(jù)對(duì)數(shù)均值不等式有如下

tem(m=n)

n

加十-+e

關(guān)系：e2&E(a,b)&e

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

25.（23-24高三下?北京西城?期中）已知函數(shù)/⑺=x-\nx-a.

（1）若/（N）>0,求Q的取值范圍；

（2）證明:若/Q）有兩個(gè)零點(diǎn)力1，/2,則w2Vl.

26.（23—24高三上?河北唐山?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（力）=（x—l）lnx—x2+ax（aER）.

（1）若函數(shù)y=『（x）有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍；

（2）設(shè)如g是函數(shù)/Q）的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：g+g>2.

_________—也

27.（24—25高三上?江蘇連云港?期末）已知函數(shù)/（%）=2x+ax2+xlnx.aER.

⑴當(dāng)Q=0時(shí),求曲線"=/（%）在力=，處的切線方程；

（2）若/（力）有兩個(gè)零點(diǎn)力1,力2,且力2>3/1，證明：XrX2>.

28.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（力）=xlnx—x.

（1）求函數(shù)/（力）的最值；

2

（2）若函數(shù)gQ）=/（力）—ax+a有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),記作如電,且gVg,求證：Ing+21n^2>3.

29.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（劣）=ex—ax2（a>0）.

（1）當(dāng)a=與時(shí),判斷了Q）在區(qū)間（1,+8）內(nèi)的單調(diào)性;

（2）若/（%）有三個(gè)零點(diǎn)如力2,力3,且為1<啰2</3.

⑴求Q的取值范圍；

（U）證明：XI+X2+X3>3.

30.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（力）=（rc—e—l）ex—^-erc2+e2rc.

（1）求函數(shù)/Q）的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）若/O1）=/（力2）=/（力3）01〈力2〈力3），求證：Ve-1.

題型05導(dǎo)數(shù)與不等式

【解題規(guī)律?提分快招］

一、利用導(dǎo)致證明或判定不等式問題

1.通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值),從而得出不等關(guān)系；

2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,從而判定不等關(guān)系；

3.適當(dāng)放縮構(gòu)造法:根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

4.構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

31.(24-25高三下?新疆烏魯木齊?階段練習(xí))已知函數(shù)“為=e，+5儀工一a)(aCA),于(x)的導(dǎo)函數(shù)為

-3),且?(0)=0.

(1)求/(力)的最值；

(2)求證：——|-Inrr+>2.

x2

32.（24-25高三下?全國(guó)?開學(xué)考試）已知函數(shù)/Q）=ln（x+l），gQ）=等7（T>-1）.

x-\-2

⑴比較/（a?）與gQ）的大?。?/p>

⑵證明Jn3>]+/+/+京+*+卡+卷+春

33.（24-25高三下?四川樂山?期末）已知函數(shù)/（，）=?+加一1,且曲線y=f@）在點(diǎn)（1J（1））處的切線斜

率是e—1.

（1）求Q的值.

（2）證明：/（力）>0.

（3）證明：e*-3>in/—1.

34.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（力）=ln（a—/）,已知力=0是函數(shù)。=時(shí)（力）的極值點(diǎn).

⑴求Q；

⑵設(shè)函數(shù)gQ）=.證明：g（x）<l

35.（2025?山東日照?一模）已知函數(shù)/（c）=ax\nx.

（1）當(dāng)a>0時(shí)，討論函數(shù)/（c）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)0<a<2時(shí),若曲線/Q）上的動(dòng)點(diǎn)P到直線2T-y-lle=0距離的最小值為2西e（e為自然對(duì)

數(shù)的底數(shù)）.

①求實(shí)數(shù)a的值；

②求證：f[x）<e"+cosc—2.

36.（24-25高三下?吉林長(zhǎng)春?開學(xué)考試）已知函數(shù)/（⑼=In①一心」1）GGR）.

x-\-l

（i）討論/Q）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

九1

（2）證明：\/九GN*,In（九+1）；

M2z+l

（3）若關(guān)于c的方程f（x）=（a+l）T-"/）有兩個(gè)不同實(shí)根的，電，求a的取值范圍，并證明：傷電＞

x-\-l

e2.

37.(24-25高三下.江蘇鎮(zhèn)江.開學(xué)考試)已知函數(shù)/(c)=e—,gQ)=a\nx-x(aER).

(1)討論g(c)的單調(diào)性；

(2)若/(約一gQ)>±+1恒成立,求a的值；

—

(3)若0〈62,求證:e?F—1>ln(aj2+l)ln(o；i+l).

題型06導(dǎo)數(shù)中其他雙變■向星

【解題規(guī)律?提分快招］

一、雙變量不等式的處理策略

含兩個(gè)變量的不等式，基本的思路是將之轉(zhuǎn)化為一元的不等式，

具體轉(zhuǎn)化方法主要有三種:整體代換,分離變量,選取主元.

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

38.（24—25高三上?四川綿陽?階段練習(xí)）已知/（力）=―^-e2x+4ex—ax—5.

⑴當(dāng)a=3時(shí)，求/Q）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若/（為有兩個(gè)極值點(diǎn)g,g.

⑴求a的取值范圍；

⑻證明：/（的）+/（工2）+的+±2yo?

39.(24—25高三上?山西?階段練習(xí))已知函數(shù)/(⑼=x2—ax+21na?,aER.

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求曲線,=/3)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

(2)已知/(2)有兩個(gè)極值點(diǎn)外電,且為＜22，

⑴求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑹求2/(?1)-f(x2)的最小值.

40.(24-25高三上?天津南開?期末)已知函數(shù)/(宓)=郵匕

(1)求曲線夕=/(工)在其零點(diǎn)處的切線方程；

(2)若方程/(c)=］。+1(2>0)有兩個(gè)解21,宓2，且工i<g.

⑴求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(M)若電+kx)晨恒成立，求實(shí)數(shù)R的取值范圍.

2e—2

41.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（力）=2a：1一?*—e*+C+2（aG五）.

（1）若/（幻是定義域上的增函數(shù)，求a的取值范圍；

2x-2

（2）當(dāng)Q=―時(shí)，證明：xf（lnx）<4e；

（3）若函數(shù)/Q）有兩個(gè)極值點(diǎn)如電（色〈電），證明：a<

42.(24-25高三上?廣東深圳?階段練習(xí))已知函數(shù)/Q)=-力產(chǎn),函數(shù)gQ)=詈(尤>o)

(1)若沒有任何一段區(qū)間使函數(shù)/(為與函數(shù)。0)同時(shí)單調(diào)遞增或同時(shí)單調(diào)遞減，求小的取值范圍;

(2)若方程/(/)—g(c)=1有兩個(gè)不同的解21，電.

①求771的取值范圍；

②若電〉2◎，證明：力i+g>31n2.

43.（24-25高三上吶蒙古?期末）在我們學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的過程中，對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)模型十分重要.已知若/（工）=

—小>0/（韋電）VkpQ

加6，+。砂+阮+以與。（電,仍）在/（①）上，則有《//予”\\.現(xiàn)有/（力）=Me，一/2

--［恒〈0/（PQ

—2rc（m^0）,回答下列問題：

⑴當(dāng)山<0時(shí)，證明/'（義券）〉心Q；

⑵/（力）上有_4（如%）,石（為2，統(tǒng)），。（力3，。3）三點(diǎn)（孫為2,力3均不為0且為W電W73），滿足劣1，N2以3成等差數(shù)

列且力3=3如

⑴若不存在A,B,C三點(diǎn),使仇，仇,均成等差數(shù)列,求m的取值范圍；

⑻若mV0,g+??1=0,g（力）=—，證明：g（m）+g（—m）>2.

x

題型07導(dǎo)數(shù)結(jié)合數(shù)列

【解題規(guī)律?提分快招］

導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式,用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變

量,通過多次求和(常常用到裂項(xiàng)相消法求和)達(dá)到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式

常由第一問根據(jù)特征式的特征而得到.

【典例訓(xùn)練】

一、解鑰S

44.(2025?云南大理?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(力)=lnx—mx+l.

(1)若772=0,求函數(shù)/(/)在點(diǎn)(e,/(e))處的切線方程；

(2)若/(力)<0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

⑶求證：V，CM,(l+^-)(l+^)-(l+^)<e.

45.(2025高三下?全國(guó)?專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)a>0,函數(shù)/(c)=e^-ax-l(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)/(⑼的單調(diào)區(qū)間及最小值；

(2)若/(T)>0對(duì)任意的力CR恒成立,求實(shí)數(shù)a的值；

(3)證明：ln(l+7r^T)+ln(l+^^)+ln(l+T^?)+…+ln[l+——-――/-----]<l(n€^*).

'''2X3>'3X5>'5X9>L(2^+1)(2"+1)J

46.(24-25高三下?安徽?階段練習(xí))已知函數(shù)/(⑼=t+ln(l-x).

(i)求函數(shù)/3)的單調(diào)區(qū)間與極值；

⑵若數(shù)列｛an｝滿足助=[,冊(cè)+：,=/(%),記50為數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和.求證:

①當(dāng)九＞2時(shí)，一1V冊(cè)V0；

②當(dāng)口＞1時(shí)，—21n2.

________0

47.（24—25高三上?重慶?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（力）=31nc+aa;2—_1_2；+3.

（1）討論函數(shù)/（，）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

⑵當(dāng)a=春時(shí)，數(shù)列｛a?｝滿足：電=5,冊(cè)+1=[a,）+求證：｛冊(cè)｝的前71項(xiàng)和滿足"<$71<?1+~|~.

22it）（lnJ

48.（24-25高三下?江蘇?開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)/（⑼=cost+ax2-1.

⑴當(dāng)a=看時(shí)，證明：/（*）>0；

（2）若/（乃在*6[0,+8）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；

⑶證明誓事

2

題蟄通關(guān)

一、解答題

49.（24—25高三上?湖北武漢?期末）已知函數(shù)/（工）=

（1）當(dāng)a=l時(shí),求函數(shù)/（為的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)①V1時(shí),/Q）<1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

50.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)/（N）=-^-e~x（2x2-\-4：ax+4a）.

o

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求/（力）的極小值；

（2）若/（為的極大值為4,求a的值.

51.（2025?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=ex（lnx—a）.

（1）若曲線g=/O）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線與c軸平行，求實(shí)數(shù)a的值;

（2）若函數(shù)/（為在（/4）內(nèi)存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

52.（24-25高三上?廣西河池?期末）已知函數(shù)/⑺=（劣―1H—+i.

⑴當(dāng)Q=0時(shí)，求/（/）的極值；

（2）當(dāng)Q>1時(shí)，設(shè)如g為/（力）的極值點(diǎn)，若/（◎）+/（力2）41—■，求。的取值范圍,

53.（24—25高三上?河南溪河?期末）已知函數(shù)/（力）=Q（/+Q）—Ina;.

（1）討論函數(shù)g（/）=/（力）-a?在區(qū)間［?d］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）證明：當(dāng)a>0時(shí)，/（力）>21na+

54.（24—25高三下?湖南?階段練習(xí)）已知函數(shù)/0）=Q—a）e"+a.

（1）求八/）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若aW1,證明：當(dāng)比>0時(shí)，f（x）+ex^x+Inx+2.

55.(2024.江蘇鹽城.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(c)=,，其中a>0.

(1)若/(乃在(0,2]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

⑵當(dāng)Q=1時(shí)，若/1+/2=4且0<力1V2,比較/(力1)與/(比2)的大小，并說明理由

56.(2024?四川宜賓?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(力)=[-xlnx,g(x)=a(x+\nx)+a2-.

(1)求/(①)過原點(diǎn)的切線方程；

(2)求證:存在aG(0,去)，使得/(*)>g(①)在區(qū)間(1,+℃)內(nèi)恒成立，且/(必)=g(①)在(1,+℃)內(nèi)有

解.

57.（2025?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（劣）=Q*+e-，一2—faz;2（Q>o且QWI）,當(dāng)左=0時(shí)，/（力）>0.

（1）求Q;

（2）若/（0）為于（x）的極小值，求k的取值范圍；

58.(24—25高三上?湖南婁底?期末)已知函數(shù)/(力)=e3g(①)=Inc.

(1)證明：函數(shù)g=/(①)與g=g(力)的圖象關(guān)于直線夕=力對(duì)稱；

(2)設(shè)F(N)=/O)gQ)—1.

(i)判斷函數(shù)FQ)的單調(diào)性;

(ii)證明：VcC(2,+8),“■+1)>/2+2—

ee

_________________________E

59.(24—25高三上?河北?期末)已知函數(shù)/(6)=aln(x+l)—sinkx,kEN*,aER.

⑴若k=1,函數(shù)/㈤在［。1］上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

60.(24—25高三上?湖北襄陽?期末)設(shè)函數(shù)/㈤=T2+mln(o;+l)(mG7?).

(1)當(dāng)巾=—4時(shí)，求函數(shù)/(工)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知函數(shù)/(①)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求TH的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(力)在區(qū)間(0,1)上存在唯一零點(diǎn),求實(shí)數(shù)TH的取值范圍.

61.（23-24高三下?廣東東莞?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（c）=x2+ax-x\^x的導(dǎo)函數(shù)為尸（乃，若尸（工）存在兩

個(gè)不同的零點(diǎn)如電.

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵證明：電+/2>L

62.(24-25高三上?江蘇?階段練習(xí))已知曲線C-.f(x)=