第四章實數（知識歸納+題型突破）了解平方根、算術平方根、立方根的概念，了解算術平方根的非負性。了解無理數、實數的意義，掌握實數的分類以及實數與數軸的一一對應關系。一、二次根式1、平方根：如果，那么x叫做a的平方根．表示方式：正數a的兩個平方根記作．2、算術平方根：正數a有兩個平方根，我們把正數a的正的平方根，叫作a的算術平方根．3、立方根：一般地，如果，那么x叫做a的立方根．表示方式：數a的立方根記作．4、最簡二次根式：①被開方數不含分母；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式．5、同類二次根式：幾個二次根式化簡成最簡二次根式之后，如果被開方數相同，則這幾個根式叫作同類二次根式．二、算術平方根的非負性1、算術平方根的非負性：2、常用公式：、、三、實數1、無理數：無限不循環小數．2、無理數常見形式：①與π有關的式子，②無限不循環小數，③開方開不盡的數．3、實數與數軸上的點一一對應．題型一求一個數的平方根（算術平方根）【例1】的平方根是(

)A． B． C． D．【例2】的算術平方根為（

）A．4 B． C．2 D．【例3】如果，那么的算術平方根為（

）A．7 B． C．1 D．鞏固訓練1．9的平方根是（

）A．3 B．81 C． D．2．化簡的結果是（

）A． B．4 C． D．23．8的平方根是（

）A．4 B． C． D．4．若實數，滿足，則的值為（

）A． B．8 C．2 D．題型二已知（算術）平方根求這個數【例4】若一個正數的兩個不同的平方根分別是和，求這個正數．【例5】已知的平方根是，的算術平方根是4，求的值．【例6】已知的平方根是，2是的立方根．(1)求a，b的值．(2)求的立方根．鞏固訓練5．已知的算術平方根是3，，求的算術平方根．6．已知正數的兩個不同的平方根分別是和，的算術平方根是4．(1)求a，b的值；(2)求的平方根．題型三算術平方根的非負性【例7】若一個正數的兩個不同平方根是和，則這個正數是．【例8】實數a在數軸上的對應位置如圖所示，則的化簡結果是．

鞏固訓練7．若與互為相反數，則．8．已知：，那么的值為．題型四立方根【例9】若一個數的立方根等于，則這個數等于（

）A． B． C． D．【例10】已知x沒有平方根，且，則x的立方根為（

）A． B． C． D．鞏固訓練9．的立方根是．10．已知一個正數的平方根是和，則這個正數的立方根是．題型五利用平方根解方程【例11】計算求下列各式中的x(1)；(2)．【例12】求下列各式中的x值(1)(2)【例13】求解下列方程：(1)；(2)．鞏固訓練11．解方程(1)(2)12．求下列未知數x的值(1)(2)13．求滿足下列各式的未知數(1)(2)．題型六無理數【例14】下列實數中，無理數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【例15】下列5個數：、、、、中，無理數出現的頻數是（

）A．2 B．3 C． D．【例16】下列四個實數中，屬于無理數的是（

）A． B． C． D．鞏固訓練14．在實數，，，中，無理數是（

）A． B． C． D．15．在下列實數中，是無理數的是（

）A． B． C． D．16．在實數3，，，，，0，，，3.14，，，（從1開始不斷增大的每兩個連續正整數間都有一個零）中，無理數有個．題型七實數與數軸【例17】如圖，數軸上的無理數被擋住了，則的相反數是（

）

A． B． C． D．【例18】如圖，一條長度為的線段繞著O點旋轉一周，當與數軸重合時，A點表示的數為（）A． B． C． D．鞏固訓練17．如圖，實數在數軸上表示的大致位置是（

）

A．點A B．點B C．點C D．點D18．如圖，數軸上表示實數的點可能是（

）

A．點M B．點N C．點P D．點Q19．把無理數，，，表示在數軸上，在這四個無理數中，最有可能被墨跡（如圖所示）蓋住的無理數是．

20．如圖，在中，，，點，在數軸上對應的數分別為，．以點為圓心，長為半徑畫弧，交數軸的負半軸于點，則與點對應的數是．

21．如圖所示的數軸上，點是線段的中點，和兩點對應的實數是和，則線段的長為．題型八實數大小比較【例19】下列四個實數1，，，中，最小的實數是（）A．1 B． C． D．【例20】、、、這四個數中最大的是（

）A． B． C． D．鞏固訓練22．在這4個數中，最小的是（

）A． B． C． D．23．比較大小：6．（填“”、“”或“”）24．比較大小：．（填“>”或“<”號）25．比較大小：5（填“”，“”或“”）題型九無理數的估算【例21】估算的值（

）A．在與之間 B．在與之間C．在與之間 D．在與之間【例22】估計的值應在（

）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【例23】與是兩個連續整數，若，則，分別是（

）A．6，8 B．3，2 C．2，3 D．3，4【例24】閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此的小數部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用﹣1來表示的小數部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是小數部分．又例如：∵，即，∴的整數部分為2，小數部分為．請解答：(1)的整數部分是，小數部分是(2)如果的小數部分為a，的整數部分為b，求的值．鞏固訓練26．下列整數中，與最接近的是（

）A．2 B．3 C．4 D．527．不等式的正整數解的個數有（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個28．閱讀下面的文字，解答后面的問題．例如：∵，即，∴的整數部分為2，小數部分為．(1)的整數部分是______，小數部分是______；(2)如果的小數部分為，的整數部分為，求的值．題型十近似數【例25】下列說法正確的是（

）A．0.720有兩個有效數字 B．3.61萬精確到百分位C．5.078精確到千分位 D．3000有一個有效數字【例26】下列說法中，正確的是（

）A．近似數精確到十分位B．按科學記數法表示的數，其原數是C．將數保留個有效數字是D．用四舍五入法得到的近似數精確到千分位【例27】四舍五入法中的“新定義”閱讀材料：四舍五入是一種精確度的計數保留法，與其他方法本質相同．但特殊之處在于，采用四舍五入，能使被保留部分與實際值的差值不超過最后一位數量級的二分之一，假如0～9等可能出現的話，對大量的被保留數據，這種保留法的誤差總和是最小的．我們規定：對非負有理數數“四舍五入”到個位的值記為．例如：，，，…．解決問題：(1)________（為圓周率）；(2)若，則的取值范圍是________．鞏固訓練29．用四舍五入法將3.1415926精確到百分位的近似值為.30．2022年北京冬季奧運會開幕式于2月4日晚在中