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文檔簡介

2025/4/101一、連續函數的運算法則二、初等函數的連續性第九節連續函數的運算與初等函數的連續性

第一章

2025/4/102定理1.

若f(x),g(x)在點

x0處連續,則(1)af(x)+bg(x)在x0處連續,其中a,b為常數.

(2)f(x)·g(x)在

x0連續.(3)當g(x0)0時,一、連續函數的運算法則在其定義域內連續(利用極限的四則運算法則證明)例如,2025/4/103例如,在上連續單調遞增，其反函數在[－1,1]上也連續單調遞增.定理2.

若y=f(x)在區間I上嚴格單調增加(減少)且(證明略)則其反函數x=f–1(y)在相應區間上嚴格單調連續,增加(減少)且連續.又如,在上連續單調遞增,其反函數在上也連續單調遞增.2025/4/104定理4.連續函數的復合函數是連續的.注：連續函數的本質是極限符號與函數符號可交換。即定理3.設函數的極限存在,即

在連續,則復合函數在極限存在,且二復合函數的連續性2025/4/105例如,是由連續函數鏈因此在上連續.復合而成,2025/4/106例1.計算下列極限注意:如果內外層均是連續的,則復合函數極限直接帶值即可.2025/4/107例4.求下列函數的極限2025/4/108注意:冪指函數求極限的方法(1)若則(2)若則方法一:利用重要極限II方法二:利用指數函數的連續性2025/4/109例5計算極限2025/4/1010定理5.(1)基本初等函數在其定義域內連續.(2)初等函數在其定義區間內連續.三、初等函數的連續性例如：的連續區間為(端點為單側連續)的連續區間為例7.包含在定義域內的區間2025/4/1011初等函數連續性的應用：（1）初等函數的定義區間就是連續區間。（2）初等函數在定義區間內求極限就是帶值法。（3）初等函數只需從無定義的點找間斷點。例8求函數的連續區間，間斷點，并判斷類型。2025/4/1012

內容小結基本初等函數在定義域內連續。連續函數的四則運算的結果連續。連續函數的反函數連續。連續函數的復合函數連續。初等函數在定義區間內連續。說明:

分段函數在界點處是否連續需討論其左、右連續性.2025/4/1013思考與練習續?反

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