江西省新余市2024-2025學年高三上學期第一次模擬考試數學試題考試時間：120分鐘?總分：150分?年級/班級：高三（1）班試卷標題：江西省新余市2024-2025學年高三上學期第一次模擬考試數學試題一、選擇題（每題5分，共30分）要求：從每題給出的四個選項中，選擇一個正確答案，并將所選答案的字母填在答題卡相應的位置上。1.若函數$f(x)=\sinx$的圖象向右平移$\frac{\pi}{2}$個單位后得到的函數圖象對應的解析式為（）A.$y=\sin(x-\frac{\pi}{2})$B.$y=\cosx$C.$y=\cos(x+\frac{\pi}{2})$D.$y=\sin(x+\frac{\pi}{2})$2.若復數$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則復數$z$對應的點在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若$a,b$是方程$x^2-4x+m=0$的兩個實根，則$m$的取值范圍是（）A.$m\leq4$B.$m\geq4$C.$m>4$D.$m<4$4.若等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_5=25$，$S_9=81$，則該數列的公差為（）A.2B.3C.4D.55.若函數$f(x)=x^3-3x+1$在區間$[0,1]$上單調遞增，則實數$x$的取值范圍是（）A.$x\in[0,1]$B.$x\in(0,1]$C.$x\in[0,1)$D.$x\in(-\infty,1]$6.若向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,-2)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為（）A.-5B.-7C.-9D.-11二、填空題（每題5分，共30分）要求：將答案填寫在答題卡相應的位置上。7.函數$f(x)=\log_2(x+1)$的定義域為__________。8.若復數$z=a+bi(a,b\inR)$，則$|z|$的值為__________。9.已知等差數列$\{a_n\}$的第一項為$a_1=3$，公差為$d=2$，則第10項$a_{10}$的值為__________。10.若函數$f(x)=x^2-4x+3$在區間$[1,2]$上單調遞減，則實數$x$的取值范圍是__________。11.若向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,-2)$，則$\vec{a}$與$\vec$的夾角余弦值為__________。12.若函數$f(x)=\sinx$的圖象向右平移$\frac{\pi}{2}$個單位后得到的函數圖象對應的解析式為__________。三、解答題（每題10分，共40分）要求：請將解答過程和答案填寫在答題卡相應的位置上。13.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，求：（1）函數$f(x)$的定義域；（2）函數$f(x)$的值域；（3）函數$f(x)$在區間$(-\infty,0)$上的單調性。14.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_5=15$，$S_8=40$，求：（1）該數列的首項$a_1$和公差$d$；（2）該數列的第10項$a_{10}$；（3）該數列的前$n$項和$S_n$的通項公式。15.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求：（1）函數$f(x)$的導數$f'(x)$；（2）函數$f(x)$的極值點；（3）函數$f(x)$的單調區間。16.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,-2)$，求：（1）向量$\vec{a}$與$\vec$的模；（2）向量$\vec{a}$與$\vec$的夾角；（3）向量$\vec{a}$與$\vec$的數量積。四、證明題（每題10分，共20分）要求：請將證明過程填寫在答題卡相應的位置上。17.證明：對于任意實數$x$，都有$(x+1)^2\geq4x$。18.證明：對于任意實數$x$，都有$\sin^2x+\cos^2x=1$。五、解答題（每題10分，共20分）要求：請將解答過程和答案填寫在答題卡相應的位置上。19.已知函數$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$，求：（1）函數$f(x)$的定義域；（2）函數$f(x)$的值域；（3）函數$f(x)$在區間$(1,+\infty)$上的單調性。六、解答題（每題10分，共20分）要求：請將解答過程和答案填寫在答題卡相應的位置上。20.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，且對于任意$n\geq2$，都有$a_n=\frac{a_{n-1}}{2}+\frac{1}{3}$，求：（1）數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$；（2）數列$\{a_n\}$的通項公式$a_n$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析思路：將$f(x)=\sinx$的圖象向右平移$\frac{\pi}{2}$個單位，相當于將$x$的值減去$\frac{\pi}{2}$，所以解析式為$y=\cosx$。2.C解析思路：由$|z-1|=|z+1|$，可知$z$到點$1$和點$-1$的距離相等，因此$z$對應的點在$y$軸上，即第三象限。3.A解析思路：由韋達定理，$a+b=4$，$ab=m$，要使方程有實根，則判別式$\Delta=b^2-4ac\geq0$，即$16-4m\geq0$，解得$m\leq4$。4.A解析思路：由等差數列的性質，$S_5=\frac{5}{2}(a_1+a_5)=25$，$S_9=\frac{9}{2}(a_1+a_9)=81$，解得$a_1=3$，$d=2$。5.B解析思路：求導得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{2}{3}$，因此$x$的取值范圍是$(0,\frac{2}{3}]$。6.A解析思路：向量的數量積公式為$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}|\cdot|\vec|\cdot\cos\theta$，其中$\theta$為$\vec{a}$與$\vec$的夾角，所以$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}|\cdot|\vec|}=\frac{-5}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{5}}=-\frac{5}{\sqrt{65}}$。二、填空題7.$(-1,+\infty)$解析思路：由對數函數的定義，$x+1>0$，解得$x>-1$。8.$\sqrt{a^2+b^2}$解析思路：復數的模是復數的實部和虛部的平方和的平方根。9.11解析思路：由等差數列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=3$，$d=2$，$n=10$，解得$a_{10}=11$。10.$[1,2]$解析思路：由函數的單調性，$f'(x)=2x-4$，令$f'(x)=0$，解得$x=2$，因此$x$的取值范圍是$[1,2]$。11.$\frac{-5}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{5}}$解析思路：向量的數量積公式為$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}|\cdot|\vec|\cdot\cos\theta$，其中$\theta$為$\vec{a}$與$\vec$的夾角，所以$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}|\cdot|\vec|}=\frac{-5}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{5}}$。12.$y=\cosx$解析思路：將$f(x)=\sinx$的圖象向右平移$\frac{\pi}{2}$個單位，相當于將$x$的值減去$\frac{\pi}{2}$，所以解析式為$y=\cosx$。三、解答題13.（1）函數$f(x)$的定義域為$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$；（2）函數$f(x)$的值域為$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$；（3）函數$f(x)$在區間$(-\infty,0)$上單調遞減。解析思路：首先求出函數的定義域，然后求出函數的導數，判斷導數的正負，從而確定函數的單調性。14.（1）該數列的首項$a_1=3$，公差$d=2$；（2）該數列的第10項$a_{10}=21$；（3）該數列的前$n$項和$S_n$的通項公式為$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(6+2(n-1))=n^2+2n$。解析思路：利用等差數列的性質和前$n$項和的公式進行求解。15.（1）函數$f(x)$的導數$f'(x)=3x^2-6x+4$；（2）函數$f(x)$的極值點為$x=\frac{2}{3}$；（3）函數$f(x)$的單調區間為$(-\infty,\frac{2}{3})$和$(\frac{2}{3},+\infty)$。解析思路：求出函數的導數，令導數等于零，求出極值點，根據導數的正負判斷函數的單調區間。16.（1）向量$\vec{a}$與$\vec$的模分別為$\sqrt{13}$和$\sqrt{5}$；（2）向量$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$\frac{3\pi}{4}$；（3）向量$\vec{a}$與$\vec$的數量積為$-5$。解析思路：利用向量的模長公式、夾角公式和數量積公式進行求解。本次試卷答案如下：四、證明題17.證明：對于任意實數$x$，都有$(x+1)^2\geq4x$。解析思路：將不等式$(x+1)^2\geq4x$轉化為$x^2+2x+1\geq4x$，即$x^2-2x+1\geq0$。這個不等式可以通過因式分解或者配方來證明。證明：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，由于平方總是非負的，所以$(x-1)^2\geq0$對所有實數$x$都成立，因此原不等式成立。18.證明：對于任意實數$x$，都有$\sin^2x+\cos^2x=1$。解析思路：利用三角恒等式$\sin^2x+\cos^2x=1$直接證明。證明：由三角恒等式$\sin^2x+\cos^2x=1$，這是基本的三角恒等式，對于所有實數$x$都成立。五、解答題19.已知函數$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$，求：（1）函數$f(x)$的定義域；（2）函數$f(x)$的值域；（3）函數$f(x)$在區間$(1,+\infty)$上的單調性。解析思路：首先求出函數的定義域，然后求出函數的導數，判斷導數的正負，從而確定函數的單調性，最后通過函數的極限確定值域。（1）函數$f(x)$的定義域為$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$；解析思路：由于分母不能為零，所以$x-1\neq0$，解得$x\neq1$。（2）函數$f(x)$的值域為$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$；解析思路：由于分子是一個二次多項式，其頂點為$(\frac{3}{2},\frac{1}{4})$，所以函數在$x=1$處不連續，值域為整個實數集減去1。（3）函數$f(x)$在區間$(1,+\infty)$上單調遞增。解析思路：求導得$f'(x)=\frac{2x^2-2x+2}{(x-1)^2}$，由于導數恒大于0，所以函數在該區間上單調遞增。六、解答題20.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，且對于任意$n\geq2$，都有$a_n=\frac{a_{n-1}}{2}+\frac{1}{3}$，求：（1）數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$；（2）數列$\{a_n\}$的通項公式$a_n$。解析思路：首先找到數列的遞推關系，然后通過遞推關系找到通項公式，