福建省三明市永沙田一中三校2024-2025學年高一上學期12月聯考數學試題考試時間：90分鐘?總分：150分?年級/班級：高一一、選擇題（每題5分，共30分）要求：從四個選項中選出正確答案。1.已知函數f(x)=x^3-3x，則f(x)的圖像在x軸上有一個零點，且該零點的值為：A.0B.1C.-1D.22.若等差數列{an}的首項為a1，公差為d，且a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=27，則該數列的公差d為：A.2B.3C.4D.53.已知函數f(x)=2x^2-3x+1，若f(x)在區間[1,2]上的最大值為M，最小值為m，則M-m的值為：A.1B.2C.3D.44.在直角坐標系中，點A(2,3)，點B(-1,1)，則線段AB的中點坐標為：A.(1,2)B.(1,3)C.(2,1)D.(2,2)5.已知函數f(x)=log2(x+1)，若f(x)在區間[0,1]上的值域為A，則A的取值范圍為：A.(0,1)B.[0,1)C.(0,2)D.[0,2)6.若等比數列{bn}的首項為b1，公比為q，且b1+b2+b3=27，b4+b5+b6=243，則該數列的首項b1為：A.1B.3C.9D.27二、填空題（每題5分，共30分）要求：直接填寫答案。1.若函數f(x)=x^2-4x+3在區間[1,3]上的最大值為M，則M=________。2.已知等差數列{an}的首項為a1，公差為d，若a1+a2+a3=12，a4+a5+a6=36，則該數列的公差d=________。3.若函數f(x)=log3(x+1)在區間[0,1]上的值域為A，則A=________。4.在直角坐標系中，點A(2,3)，點B(-1,1)，則線段AB的中點坐標為________。5.若等比數列{bn}的首項為b1，公比為q，且b1+b2+b3=27，b4+b5+b6=243，則該數列的首項b1=________。6.若函數f(x)=x^3-3x在區間[-1,2]上的最大值為M，最小值為m，則M-m=________。三、解答題（每題10分，共40分）要求：解答下列各題，解題過程要完整。1.已知函數f(x)=x^3-6x^2+9x-1，求函數f(x)的極值點和拐點坐標。2.已知等差數列{an}的首項為a1，公差為d，若a1+a2+a3+a4=20，a5+a6+a7=42，求該數列的首項a1和公差d。3.求函數f(x)=e^x-x^2在區間[0,2]上的最大值和最小值。4.在直角坐標系中，已知點A(2,3)和點B(-1,1)，求線段AB的長度。四、證明題（每題10分，共20分）要求：證明下列各題，證明過程要完整。1.證明：對于任意實數x，有(x+1)^2≥x^2+2x+1。2.證明：等差數列{an}的任意兩項之和的平方等于這兩項乘積的兩倍加上這兩項之和的平方。五、計算題（每題10分，共20分）要求：計算下列各題，計算過程要完整。1.計算定積分∫(x^2-4x+3)dx，并求出其值。2.計算不定積分∫(e^x/x^2)dx，并求出其原函數。六、應用題（每題10分，共20分）要求：解答下列各題，解題過程要完整。1.一輛汽車以60km/h的速度行駛，在行駛了10分鐘后，速度突然降低到40km/h，再行駛了5分鐘后，速度再次降低到30km/h。求這輛汽車在這15分鐘內行駛的總路程。2.一個長方體的長、寬、高分別為a、b、c，已知長方體的體積V和表面積S，求長方體的長、寬、高的關系式。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：f(x)=x^3-3x，令f(x)=0，得x(x^2-3)=0，解得x=0或x=±√3。由于x=±√3不在區間[1,3]內，故x=0是唯一零點，即f(x)在x軸上的零點為1。2.C解析：等差數列的性質是相鄰兩項之差相等，即d=a2-a1=a3-a2。由題意得3a1+3d=9，3a1+9d=27，解得d=4。3.A解析：f(x)=2x^2-3x+1，求導得f'(x)=4x-3。令f'(x)=0，得x=3/4。由于f(1)=-1，f(2)=1，故在區間[1,2]上，f(x)的最大值為1，最小值為-1，所以M-m=1-(-1)=2。4.A解析：中點坐標公式為((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，代入A(2,3)和B(-1,1)得中點坐標為(1,2)。5.A解析：f(x)=log2(x+1)，當x=0時，f(x)=log2(1)=0；當x=1時，f(x)=log2(2)=1。故f(x)在區間[0,1]上的值域為(0,1)。6.B解析：等比數列的性質是相鄰兩項之比為常數，即q=b2/b1=b3/b2。由題意得b1+b1q+b1q^2=27，b1q^3+b1q^4+b1q^5=243，解得q=3，故b1=3。二、填空題1.M=3解析：f(x)=x^2-4x+3，在區間[1,3]上，f(x)的最大值出現在端點x=3時，此時f(3)=3^2-4*3+3=3。2.d=4解析：由等差數列的性質可知，d=a2-a1=a3-a2。由題意得3a1+3d=12，3a1+9d=36，解得d=4。3.A=(0,1)解析：f(x)=log3(x+1)，當x=0時，f(x)=log3(1)=0；當x=1時，f(x)=log3(2)>0。故f(x)在區間[0,1]上的值域為(0,1)。4.(1,2)解析：中點坐標公式為((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，代入A(2,3)和B(-1,1)得中點坐標為(1,2)。5.b1=3解析：等比數列的性質是相鄰兩項之比為常數，即q=b2/b1=b3/b2。由題意得b1+b1q+b1q^2=27，b1q^3+b1q^4+b1q^5=243，解得q=3，故b1=3。6.M-m=2解析：f(x)=x^3-3x，求導得f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得x=±1。由于f(-1)=2，f(1)=-2，故在區間[-1,2]上，f(x)的最大值為2，最小值為-2，所以M-m=2-(-2)=4。三、解答題1.解析：f(x)=x^3-6x^2+9x-1，求導得f'(x)=3x^2-12x+9。令f'(x)=0，得x=1或x=3。當x=1時，f''(x)=6>0，故x=1是極小值點；當x=3時，f''(x)=-6<0，故x=3是極大值點。拐點坐標為(1,f(1))和(3,f(3))，即(1,-3)和(3,-8)。2.解析：由等差數列的性質可知，d=a2-a1=a3-a2。由題意得3a1+3d=20，3a1+9d=42，解得a1=2，d=2。3.解析：f(x)=e^x-x^2，求導得f'(x)=e^x-2x。令f'(x)=0，得x=ln2。由于f'(x)在x=ln2左側為負，右側為正，故x=ln2是f(x)在區間[0,2]上的最小值點。f(ln2)=2-2ln2，f(0)=1，f(2)=e^2-4。比較這三個值，得到f(x)在區間[0,2]上的最大值為e^2-4，最小值為2-2ln2。4.解析：由兩點間的距離公式得|AB|=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]，代入A(2,3)和B(-1,1)得|AB|=√[(2-(-1))^2+(3-1)^2]=√[9+4]=√13。四、證明題1.解析：要證明(x+1)^2≥x^2+2x+1，只需證明(x+1)^2-(x^2+2x+1)≥0，即2x+1≥0。由于2x+1是關于x的一次函數，其值在x=-1/2時取得最小值0，因此對于任意實數x，都有2x+1≥0，從而證明了(x+1)^2≥x^2+2x+1。2.解析：設an+am=S，則有an+am=(a1+(n-1)d)+(a1+(m-1)d)=2a1+(n+m-2)d。將an+am的平方展開得S^2=(2a1+(n+m-2)d)^2。另一方面，an*am=(a1+(n-1)d)*(a1+(m-1)d)=a1^2+(n+m-2)a1d+(n-1)(m-1)d^2。將an*am乘以2并加上an+am的平方得2an*am+(an+am)^2=2a1^2+2(n+m-2)a1d+2(n-1)(m-1)d^2+2a1^2+2(n+m-2)a1d+(n+m-2)^2d^2。化簡得2an*am+(an+am)^2=2a1^2+2(n+m-2)a1d+(n+m-2)^2d^2+2a1^2+2(n+m-2)a1d+(n+m-2)^2d^2=2(a1+(n+m-2)d)^2。由于an+am=S，所以2an*am+(an+am)^2=2S^2。因此，等差數列{an}的任意兩項之和的平方等于這兩項乘積的兩倍加上這兩項之和的平方。五、計算題（每題10分，共20分）要求：計算下列各題，計算過程要完整。1.計算定積分∫(x^2-4x+3)dx，并求出其值。2.計算不定積分∫(e^x/x^2)dx，并求出其原函數。本次試卷答案如下：五、計算題1.解析：首先對被積函數進行積分，∫(x^2-4x+3)dx=∫x^2dx-∫4xdx+∫3dx=(1/3)x^3-2x^2+3x+C，其中C為積分常數。然后計算定積分，將上限和下限代入原函數，得到∫(x^2-4x+3)dx=[(1/3)x^3-2x^2+3x]從0到x的值，即[(1/3)x^3-2x^2+3x]_0^x=(1/3)x^3-2x^2+3x-[(1/3)*0^3-2*0^2+3*0]=(1/3)x^3-2x^2+3x。2.解析：不定積分∫(e^x/x^2)dx可以通過分部積分法求解。設u=e^x，dv=1/x^2dx，則du=e^xdx，v=-1/x。根據分部積分法，∫udv=uv-∫vdu，得到∫(e^x/x^2)dx=-e^x/x-∫(-1/x*e^x)dx。再次使用分部積分法，設u=e^x，dv=-1/xdx，則du=e^xdx，v=ln|x|。得到∫(e^x/x^2)dx=-e^x/x+ln|x|*e^x-∫(ln|x|*e^x)dx。由于ln|x|*e^x的積分不易直接求解，所以這里需要使用積分技巧，例如通過泰勒展開或使用計算機輔助計算。最終結果為∫(e^x/x^2)dx=-e^x/x+ln|x|*e^x-(1/2)∫(e^x/x)dx。六、應用題（每題10分，共20分）要求：解答下列各題，解題過程要完整。1.一輛汽車以60km/h的速度行駛，在行駛了10分鐘后，速度突然降低到40km/h，再行駛了5分鐘后，速度再次降低到30km/h。求這輛汽車在這15分鐘內行駛的總路程。2.一個長方體的長、寬、高分別為a、b、c，已知長方體的體積V和表面積S，求長方體的長、寬、高的關系式。本次試卷答案如下：六、應用題1.解析：首先將速度轉換為相同的單位，10分鐘=1/6小時，5分鐘=1/12小時。汽車以60km/h的速度行駛10分鐘，行駛距離為60km/h*1/6小時=10km。接著以40km/h的速度行駛5分鐘，行駛距離為40km/h*1/12小時=10/3km。最后以30km/h的速度行駛剩余的時間，即行駛距離為30km/h*(1/6小時-1/12小時)=5/6km。總路程為10km+10/3km