第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省深圳市寶安第一外國語學(xué)校高一（下）3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知z=1?i1+i，則z的實(shí)部是(

)A.?i B.i C.0 D.12.復(fù)數(shù)(2?i)(1+3i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量a=(1,?2)，b=(?2,m)，a⊥b，則A.?1 B.4 C.1 D.?44.若向量a，b滿足|a|=|b|=1，且a?(a?A.π6 B.π3 C.2π35.如圖，一艘船航行到點(diǎn)B處時，測得燈塔A在其北偏西60°的方向，隨后該船以20海里/小時的速度，往正北方向航行兩小時后到達(dá)點(diǎn)C，測得燈塔A在其南偏西75°的方向，此時船與燈塔A間的距離為(

)A.203海里

B.403海里

C.206.△ABC中，若asinB=3bcosA，且a2+cA.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形7.已知a=(x,1)，b=(2,?2)，若向量a,b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)xA.(?∞,1) B.(?∞,1]

C.(?∞,?1)∪(?1,1) D.(?∞,?1)∪(?1,1]8.在△ABC中，∠BAC=2π3，∠BAC的角平分線AD交BC邊于點(diǎn)D，△ABD的面積是△ADC的面積的2倍，則tanB=(

)A.533 B.32 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列關(guān)于平面向量的說法正確的是(

)A.已知a，b均為非零向量，若a//b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a=λb

B.在四邊形ABCD中，AB=a+2b，BC=?4a?b，CD=?5a?3b，則四邊形ABCD為平行四邊形10.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，下列說法正確的是(

)A.若A>B，則cosA<cosB

B.若A=30°，b=5，a=2，則△ABC有兩解

C.若cosAcosBcosC>0，則△ABC為銳角三角形

D.若a?c?cosB=a?11.已知復(fù)數(shù)z1，z2，下列結(jié)論正確的有(

)A.若z1?z2>0，則z1>z2

B.若z12=z22，則|z1|=|z三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復(fù)數(shù)z=?2+ii，則z的共軛復(fù)數(shù)z?=13.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，點(diǎn)F在CD邊上，且AE=12ED，DF=λFC，AF與BE相交于點(diǎn)G，若AF=10314.克羅狄斯?托勒密(約90?168年)是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家.托勒密定理是歐幾里得幾何中的重要定理.定理內(nèi)容如下：任意一凸四邊形，兩組對邊乘積的和不小于兩對角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓時，等號成立.已知在凸四邊形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=2CD，∠ADC=2π3，則BD的最大值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z1=a+2i，z2=b+i(a,b∈R,i為虛數(shù)單位)．

(1)若b=2，z1?z2是純虛數(shù)，求|z116.(本小題15分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是AB，DC的四等分點(diǎn)(AF=14AB,CG=14CD).設(shè)AB=a，AD=b．

(1)用a，b表示FE，F(xiàn)G；

(2)若|17.(本小題15分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知3cosC(acosB+bcosA)=c．

(1)求cosC的值；

(2)若c=22，△ABC的面積為2，求18.(本小題17分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，E為線段BC的中點(diǎn)，∠DAB=90°．

(1)若AD=AB=2,∠ABE=150°,∠C=30°，求AE；

(2)若AD=AB=2，∠C=45°19.(本小題17分)

對任意兩個非零向量m,n，定義新運(yùn)算：m⊕n=|m|sin?m,n?|n|．

(1)若向量a=(3,4),b=(2,0)，求a⊕b的值；

(2)若非零向量a,b滿足|a|=2|參考答案1.C

2.A

3.A

4.B

5.C

6.D

7.C

8.C

9.AD

10.ACD

11.BCD

12.?1?2i

13.1214.215.解：(1)b=2時，復(fù)數(shù)z1=a+2i，z2=2+i，

所以z1?z2=(a+2i)(2+i)=(2a?2)+(4+a)i，

令2a?2=04+a≠0，解得a=1，所以z1=1+2i，

所以z1?z2=(1?2)+(2?1)i=?1+i，

所以|z116.解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，AF=14AB，

所以FE=AE?AF=12AD?14AB=12b?14a，

因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，G是DC的四等分點(diǎn)，且CG=14CD，

所以FG=FA+AD+17.解：(1)已知3cosC(acosB+bcosA)=c，

代入正弦定理得3cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，

即3cosCsin(A+B)=sinC，又sin(A+B)=sinC>0，則cosC=13．

(2)由于cosC=13，則sinC=1?cos2C=223，

△ABC的面積為2，則12ab?sinC=2，所以ab=318.解：(1)連接BD.在△ABD中，AD=AB=2,∠DAB=90°，

∴BD=2+2=2，∠ABD=45°．

∵∠ABE=150°，∴∠CBD=105°，∠BDC=180°?∠C?∠CBD=45°．

在△BCD中，BCsin∠BDC=BDsin∠C，∴BCsin45°=2sin30°，

∴BC=4sin45°=22，∵E為線段BC的中點(diǎn)，∴BE=2．

在△ABE中，AE=AB2+BE2?2AB?BEcos∠ABE=4+23=3+1．

(2)設(shè)∠DBC=θ∈(0,3π19.解：(1)由新定義知，a=(3,4),b=(2,0)，a?b=3×2+4×0=6