第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省佛山一中高二（下）第一次質檢數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在等差數列{an}中，已知a3+a4=12A.12 B.32 C.36 D.722.已知Sn為等比數列{an}的前n項和，若4aA.17 B.2 C.?2 D.?173.如圖，AB是圓的切線，P是圓上的動點，設∠PAB=θ(0<θ<π)，AP掃過的圓內陰影部分的面積S是θ的函數.這個函數的圖象可能是(

)A.B.

C.D.4.函數y=f(x)的導函數y=f′(x)的圖象如圖所示，那么該函數的圖象可能是(

)A.B.

C.D.5.已知f(x)+f(1?x)=2，an=f(0)+f(1n)+…+f(n?1A.an=n?1 B.an=n C.6.設等差數列{an}的前n項和為Sn，若Sm?1=?2，Sm=0A.8 B.7 C.6 D.57.已知數列{an}的通項公式為an=3n+k2nA.(3,∞) B.(2,∞) C.(1,∞) D.(0,+∞)8.已知數列{an}的各項均為正數，且a1=1，對于任意的n∈N?，均有an+1=2an+1，A.599 B.569 C.554 D.568二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.以下命題正確的是(

)A.設集合A={x|1<x<3}，B={x|2<x<4}，則A∪B={x|1<x<4}

B.向量a=(6,2)在向量b=(2,?1)上的投影向量為(4,?2)

C.若復數z=a?i1+i(a∈R)是純虛數，則z的共軛復數z?10.已知函數f(x)=x3?3x+1，則過點(1,?1)且與曲線y=f(x)相切的直線方程可以為A.2x+y?1=0 B.y=?1 C.9x+4y?5=0 D.3x+2y?1=011.南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》中出現了類似如圖所示的圖形，后人稱為“三角垛”(如圖所示的是一個4層的“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球??設第n層有an個球，從上往下n層球的總數為Sn，則下列所有說法中正確的有(

)A.an?an?1=n+1(n≥2) B.a2025三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知Sn、Tn分別為等差數列{an}、{bn}的前n13.若函數f(x)=x2?ax+lnx在區間(1,e)上單調遞增，則a14.已知數列{an}滿足a1=0，an+1=an+1,n四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，已知底面ABCD是正方形，PC⊥底面ABCD，且PC=BC=1，E是棱PB上動點．

(1)證明：BD⊥平面PAC；

(2)線段PB上是否存在點E，使二面角P?AC?E的余弦值是223？若存在，求16.(本小題15分)

已知函數f(x)=(2?a)x?lnx?1，a∈R．

(1)當a=1時，求函數y=f(x)的單調遞增區間；

(2)若a<0，設g(x)=f(x)+ax2，求函數g(x)的單調區間．17.(本小題15分)

已知各項均為正數的數列{an}，其前n項和為Sn，且an2+2an=4Sn?1(n∈N?).

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)求數列18.(本小題17分)

某企業2015年的純利潤為500萬元，因為企業的設備老化等原因，企業的生產能力將逐年下降．若不進行技術改造，預測從2015年開始，此后每年比上一年純利潤減少20萬元．如果進行技術改造，2016年初該企業需一次性投入資金600萬元，在未扣除技術改造資金的情況下，預計2016年的利潤為750萬元，此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元．

(1)設從2016年起的第n年(以2016年為第一年)，該企業不進行技術改造的年純利潤為an萬元；進行技術改造后，在未扣除技術改造資金的情況下的年利潤為bn萬元，求an和bn；

(2)設從2016年起的第n年(以2016年為第一年)，該企業不進行技術改造的累計純利潤為An萬元，進行技術改造后的累計純利潤為Bn萬元，求An和Bn19.(本小題17分)

若數列{an}滿足：對任意n∈N?，都有an+1?an>1，則稱{an}是“P數列”．

(1)若an=2n?1，bn=2n?1，判斷{an}，{bn}是否是“P數列”；

(2)已知{an}是等差數列，a1=2，其前n項和記為Sn，若{a參考答案1.C

2.A

3.B

4.D

5.C

6.D

7.D

8.D

9.AB

10.BC

11.BCD

12.51313.(?∞,3]

14.6

2n

15.解：(1)證明：連接BD，交AC于點O，

∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC；

∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PC⊥BD，

又AC?PC=C，AC，PC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC．

(2)以C為坐標原點，CB，CD，CP所在直線為x，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，

則A(1,1,0)，C(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，

∴PB=(1,0,?1)，AC=(?1,?1,0)，BD=(?1,1,0)，AP=(?1,?1,1)，

假設在線段PB上存在點E，使得二面角P?AC?E的余弦值為223，

設PE=λPB(0≤λ≤1)，則PE=(λ,0,?λ)，∴AE=AP+PE=(λ?1,?1,1?λ)，

設平面ACE的一個法向量n=(x,y,z)，

則AE?n=(λ?1)x?y+(1?λ)z=0AC?n=?x?y=0，令x=1，解得：y=?1，z=λλ?1，

∴平面ACE的一個法向量n=(1,?1,λλ?1)，16.解：(1)當a=1時，f(x)=x?lnx?1，定義域是(0,+∞)，

f′(x)=1?1x=x?1x，令f′(x)≥0，解得x≥1，

故f(x)的單調遞增區間為[1,+∞)；

(2)g(x)=ax2+(2?a)x?lnx?1，其定義域為(0,+∞)，

∴g′(x)=2ax+2?a?1x=2ax2+(2?a)x?1x=(2x?1)(ax+1)x，

當a<0時，g′(x)=a(2x?1)(x+1a)x，

?2<a<0時，12<?1a，令g′(x)>0，解得12<x<?1a，

令g′(x)<0，解得x>?1a或x<12，

故g(x)在(0,12)遞減，在(12,?1a)遞增，在(?1a,+∞)遞減，

a=?2，g′(x)≥0，g(x)在(0,+∞)遞減，

a<?2時，12>?1a，令g′(x)>017.解：(1)各項均為正數的數列{an}，其前n項和為Sn，且an2+2an=4Sn?1(n∈N?)，

可得a12+2a1=4S1?1=4a1?1，解得a1=1，

當n≥2時，由an2+2an=4Sn?1，可得an?12+2an?1=4Sn?1?1，

相減可得an2?18.解：(1)不進行技術改造，預測從2015年開始，此后每年比上一年純利潤減少20萬元，組成等差數列，an=500?20n；在未扣除技術改造資金的情況下，預計2016年的利潤為750萬元，此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元，則bn=500(1+12n)；

(2)依題設，An=(500?20)+(500?40)+…+(500?20n)=490n?10n2；

Bn=500[(1+12)+(1+122)+…+(1+12n)]?600=500n?5002n?100．

(3)Bn?An19.解：(1)對于數列{an}而言，若an=2n?1，則an+1?an=2n+1?(2n?1)=2>1，

所以數列{an}是“P數列”；

對于數列{bn}而言，若bn=2n?1，則b2?b1=2?1=1，則數列{bn}不是“P數列”；

(2)因為等差數列{an}是“P數列”，所以其公差d>1．

因為a1=2，所以Sn=2n+n(n?1)2d，

由題意，得2n+n(n?1)2d<3n2+2n對任意的n∈N?恒成立，

即(n?1)d<6n對任意的n∈N?恒成立．

當n=1時，(n?1)d<6n恒成立，故d>1；

當n≥2時，(n?1)d<6n對任意的n∈N?恒成立，即

d<6nn?1對任意的n∈N?恒成立，

因為6nn?1=6+6n?1>6，所以d≤6．

所以d的取值范圍是(1,6