2024年武漢市初中畢業(yè)生學業(yè)考試

1、憶\__tl、”

數(shù)學試卷

親愛的同學：

在你答題前，請認真閱讀下面的注意事項：

1.本試卷全卷共6頁，三大題，滿分120分.考試用時120分鐘.

2.答題前，請將你的姓名、準考證號填寫在“答題卡”相應位置，并在“答題卡”背面左上

角填寫姓名和座位號.

3.答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆將“答題卡”上對應題目的答案標號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答在“試卷”上無效.

4.答非選擇題時，答案用0.5毫米黑色筆跡簽字筆書寫在“答題卡”上.答在“試卷”上無效.

5.認真閱讀答題卡上的注意事項.

預祝你取得優(yōu)異成績！

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標號涂黑.

1.現(xiàn)實世界中，對稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性.下列漢字是軸對稱圖形的是（）

A遇B見。美。好

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別，根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重

合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

【詳解】解：A,B,D選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分

能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，

C選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是

軸對稱圖形.

故選：C.

2.小美和小好同學做“石頭、剪刀、布”的游戲，兩人同時出相同的手勢，這個事件是（）

A.隨機事件B.不可能事件C.必然事件D.確定性事件

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

【詳解】解：兩人同時出相同的手勢，，這個事件是隨機事件，

故選：A.

3.如圖是由兩個寬度相同的長方體組成的幾何體，它的主視圖是（）

^~117~7

—六——/

/正面

A.----B.I---------C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了三視圖的知識，熟知主視圖是從物體的正面看到的視圖是解題的關(guān)鍵.按照主視圖的

定義逐項判斷即可.

【詳解】解：從正面看該幾何體，下面是一個大長方形，上面疊著一個小長方形，

故選：B.

4.國家統(tǒng)計局2024年4月16日發(fā)布數(shù)據(jù)，今年第一季度國內(nèi)生產(chǎn)總值接近300000億元，同比增長5.3%,

國家高質(zhì)量發(fā)展取得新成效.將數(shù)據(jù)300000用科學記數(shù)法表示是（）

A.0.3xl05B.0.3xl（）6C.3xl05D.3xl06

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了科學記數(shù)法.科學記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1＜忖＜10,〃為整數(shù).確

定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值大于1與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：300000=3x105,

故選：C.

5.下列計算正確的是（）

A.a2-ai=a6B.（叫C.（3a）i=6a2D.（a+l）~=/+l

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了完全平方公式，積的乘方，幕的乘方，同底數(shù)幕的乘法等，根據(jù)同底數(shù)幕的乘法，積

的乘方，幕的乘方，完全平方公式運算法則分別判斷即可.

【詳解】解：A.a2-a3=a5,故該選項不正確，不符合題意;

,、4

B.（/）=/2,故該選項正確，符合題意；

C.（3。）2=9/，故該選項不正確，不符合題意；

D.+1）~=/+2。+1,故該選項不正確，不符合題意；

故選：B.

6.如圖，一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實心圓柱體，向水槽勻速注水.下列圖象能大致反

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了函數(shù)圖象；根據(jù)題意，分3段分析，即可求解.

【詳解】解：下層圓柱底面半徑大，水面上升塊，上層圓柱底面半徑稍小，水面上升稍慢，再往上則水面

上升更慢，

所以對應圖象是第一段比較陡，第二段比第一段緩，第三段比第二段緩.

故選：D.

7.小美同學按如下步驟作四邊形/BCD：①畫NM4N；②以點A為圓心，1個單位長為半徑畫弧，分別

交4M，4N于點、B,D；③分別以點B,。為圓心，1個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點C；④連接BC,

CD,BD.若N/=44。，則的大小是（）

M

66°C.68°D.70°

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質(zhì)，根據(jù)作圖可得四邊形45CD是菱形，進而根據(jù)菱形的

性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：作圖可得48=4D=5C=OC

，四邊形45CD是菱形,

AADBC,ZABD=ZCBD

vZA=44°,

ZMBC=NA=44°,

ZCBD=1(180°-ZMBC)=1(180°-44°)=68°,

故選：C.

8.經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，這三種可能性大小相同.若兩輛汽車經(jīng)過

這個十字路口，則至少一輛車向右轉(zhuǎn)的概率是()

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查的是運用樹狀圖求概率，運用樹狀圖法確定所有情況數(shù)和符合題意情況數(shù)是解答本題的

關(guān)鍵.

運用樹狀圖法確定所有情況數(shù)和符合題意情況數(shù)，然后用概率公式解答即可.

【詳解】解：列樹狀圖如圖所示，

開始

1車左右直行

2車左右直行左右直行左右直行

共有9種情況，至少一輛車向右轉(zhuǎn)有5種，

，至少一輛車向右轉(zhuǎn)的概率是

9

故選：D.

9.如圖，四邊形48co內(nèi)接于0,NABC=60。,ABAC=ACAD=45°,AB+AD=2,貝I。的

半徑是（）

【答案】A

【解析】

【分析】延長N5至點￡,使BE=AD，連接班，連接C0并延長交。于點R連接/尸，即可證得

ADC^EBC（SAS）,進而可求得AC=345。2石=0，再利用圓周角定理得到NAFC=60。，結(jié)

合三角函數(shù)即可求解.

【詳解】解：延長N5至點E,使BE=4D，連接班，連接CO并延長交。于點尸，連接4F，

ZADC+ZABC=ZABC+ZCBE=180°

二ZADC=Z.CBE

VABAC=NCAD=45°

ZCBD=ZCDB=45°,ZDAB=90°

：.BD是。的直徑，

ZDCB=90°

?1?ADCB是等腰直角三角形，

DC=BC

BE=AD

：.ADC^EBC（SAS）

ZACD=ZECB,AC=CE,

?/AB+AD=2

???AB+BE=AE=2

又,:ZDCB=90°

ZACE=90°

是等腰直角三角形

AC=cos450-AE=42

,：ZABC=60°

ZAFC=60°

■：ZFAC=90°

.eAC2逐

??CF=--------=------

sin6003

：.OF=OC=~CF=—

23

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)與判定等

知識點，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，小好同學用計算機軟件繪制函數(shù)>=3/+3x-1的圖象，發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點（1,0）中心對稱.若

點4（0』,必），4（02%）,4（0.3,%），……，4909必9），4o（2/2o）都在函數(shù)圖象上，這20個

點的橫坐標從0.1開始依次增加0.1,貝!|必+%+為++必9+>20的值是（

y.

。/1x

A.-1B,-0.729C.0D.1

【答案】D

【解析】

【分析】本題坐標規(guī)律，求函數(shù)值，中心對稱的性質(zhì)，根據(jù)題意得出%+%+%+%+乂|+乂9=0,

進而轉(zhuǎn)化為求+%。，根據(jù)題意可得必o=O，歹20=1，即可求解.

【詳解】解：?.?這20個點的橫坐標從0.1開始依次增加0.1,

,0.1+1,90.2+1,80.9+1.11

222

?,?%+%+為+%+%+%9=0，

?,?%+%+為++%+%0=%+歹2。，而4o（l，O）即為）=0,

,?*y——3x?+3x-1,

當x=0時，y=-l,gp（O,-l）,

v（0,—1）關(guān)于點（1,0）中心對稱的點為（2,1）,

即當x=2時，為0=1,

必+歹2+為++必9+>20=乂0+、20=0+1=1，

故選：D.

二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）

下列各題不需要寫出解答過程，請將結(jié)果直接填寫在答題卡指定的位置.

11.中國是世界上最早使用負數(shù)的國家.負數(shù)廣泛應用到生產(chǎn)和生活中，例如，若零上3℃記作+3℃,則

零下2℃記作℃.

【答案】-2

【解析】

【分析】本題考查了正數(shù)和負數(shù)的意義，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就

用負表示.

【詳解】解：零上3℃記作+3℃,則零下2℃記作-2℃.,

故答案為：-2.

12.某反比例函數(shù)歹=&具有下列性質(zhì)：當x>0時，y隨x的增大而減小，寫出一個滿足條件的人的值是

x

【答案】1(答案不唯一)

【解析】

【分析】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，當左>0,雙曲線的兩支分別位于

第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，當左<0,雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，

在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大.直接根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)寫出符合條件的的值即可.

【詳解】解：???當x>0時，y隨x的增大而減小，

k>Q

故答案為：1(答案不唯一).

13.分式方程一二=」的解是.

【答案】x=—3

【解析】

【分析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題關(guān)鍵.首先等號兩邊同時

乘以(x-3)(x-1)完成去分母，再按照去括號，移項、合并同類項的步驟求解，檢驗即可獲得答案.

【詳解】解：4=±±1,

等號兩邊同時乘以(X—3)(x—1),得(x—l)x=(x—3)(x+l),

去括號，得x2-x=x~-2x-3

移項、合并同類項，得x=—3,

經(jīng)檢驗，x=-3是該分式方程的解，

所以，該分式方程的解為x=-3.

故答案為：x=—3.

14.黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點，享有“天下江山第一樓”的美譽.在一次綜合實踐活動中，某數(shù)學小

組用無人機測量黃鶴樓N3的高度，具體過程如下：如圖，將無人機垂直上升至距水平地面102m的。處,

測得黃鶴樓頂端/的俯角為45。，底端2的俯角為63。，則測得黃鶴樓的高度是m.(參考數(shù)據(jù):

tan63°?2)

【答案】51

【解析】

【分析】本題主要考查解直角三角形的應用，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵.延長區(qū)4交距水平地面

102m的水平線于點。，根據(jù)tan63°32,求出。C=它51m,即可求解.

【詳解】解：延長氏4交距水平地面102m的水平線于點D,如圖，

由題可知，BD=102m,

設(shè)AD—x,

,/ZDCA=45°

DC=AD=x

…BD102

..tan63°=-----=-----~2

DCx

DC=ADx5Im

^5=5￡>-^￡>=102-51-51m

故答案為：51.

15.如圖是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形

和中間的小正方形上幅。拼成的一個大正方形/BCD.直線兒。交正方形48CD的兩邊于點￡,F,記

正方形45CD的面積為E，正方形的面積為S?.若BE=kAE(k>l),則用含左的式子表示的

值是

AtD

F

C

k2+l

【答案】

(f

【分析】作EG1/N交/N于點G,不妨設(shè)MN=a,設(shè)￡G=1,通過四邊形"AP。是正方形，推出

ZEMG=APMN=45°,得到￡G=MG=1,然后證明AEG^ABN,利用相似三角形對應邊成比例,

A171A(Z1

得到一=一=—二=——，從而表示出/G,W的長度，最后利用E=/序=加2+/"2和

ABBNANk+1

S[=MN-=/表示出正方形ABCD和MNPQ的面積，從而得到要.

【詳解】解：作EGL/N交/N于點G,不妨沒MN=a,設(shè)EG=1

四邊形兒WP0是正方形

ZPMN=45°

ZEMG=APMN=45°

EG=MG=1

在△/EG和ABN中,ZEAG=ZBAN,AAGE=ZANB=90°

AEGsABN

,AEEGAG

"AB~BNAN

BE=kAE(k>1)

AB=AE+BE=AE(k+l)

AE1AG1

~AB~~BN~^N~~k+\

:.BN=l+k

由題意可知，LABNdDAM

:.BN=AM=l+k

AG=AM—GM=l+k—l=k

.任_AG_k_1

"ANAM+MN^k+l+a~k+1

a—k~—1

AN=AG+GM+MN=k+l+k2-l=k2+k

：.正方形ABCD的面積E=AB-=BN2+AN'=（k+1）2+（F+kf=（k+1）2&+1）,

222222

正方形MNPQ的面積S2=MN=a=（k-I）=（k+1）（A;-I）

.百（A，+I）2（A+I）

"S2~（k+1）2（左一1）2

k>l

：.（左+1）2WO

,E后2+1

?，&_（I）?

【點睛】本題考查了弦圖，正方形的性質(zhì)，等角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的面積,

勾股定理，熟練掌握以上知識點并能畫出合適的輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

16.拋物線y=（2%2+fox+c（a,6,c是常數(shù)，a<0）經(jīng)過（一1』），（加』）兩點，且0<加<1.下列四個

結(jié)論：

①6>0;

②若0<x<l,則+b（x-l）+c〉1；

③若。=一1,則關(guān)于x的一元二次方程"2+桁+°=2無實數(shù)解；

④點/（石,弘），8（*2，>2）在拋物線上，若毛+%>—；，演>了2，總有乂<%，則0<加

其中正確的是（填寫序號）.

【答案】②③④

【解析】

I—1+m

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可得拋物線對稱軸--<------<0,即可判斷①，根據(jù)

22

（-1,1）,（加1）兩點之間的距離大于1，即可判斷②，根據(jù)拋物線經(jīng)過（-1』）得出c=6+2,代入頂點縱

1—1+m1

坐標，求得縱坐標的最大值即可判斷③，根據(jù)④可得拋物線的對稱軸--<------<-一，解不等式，即可

224

求解.

【詳解】解：：y=OX?+&T+C（.a,b,c是常數(shù)，a<0）經(jīng)過（一11），（加,1）兩點，且0<加<1.

1-1+m門

?，?對稱軸為直線x=---=------一一<------<0,

2a222

*.*x—---<0,a<0

2a

：.b<0,故①錯誤，

VO<m<l

即(—1,1),(加,1)兩點之間的距離大于1

XVa<0

工X二加一1時，V>1

?,?若0<x<1,則a(x-1)?+Z?(x-1)+c>1,故②正確;

1—1+m

③由①可得——<------<0,

22

—<—<0,即一1<6<0,

22

當。=-1時，拋物線解析式為歹=一工2+云+。

一—一772

設(shè)頂點縱坐標為t==

4a-4

?.?拋物線y=——+法+。（a,b,。是常數(shù)，a<0）經(jīng)過（―1,1）,

，一1-6+。=1

?.c=b+2

.~4c—b?b?+4。121,2ic1/,_\2

??t-------------——b+c——b+6+2——（b+2）+1

-44444v7

-.?-l<Z><0,-->0,對稱軸為直線6=—2,

4

.?.當6=0時，/取得最大值為2,而6<0,

關(guān)于x的一元二次方程分2+桁+°=2無解，故③正確；

④；。<0,拋物線開口向下，點/（再/1）,,%）在拋物線上，$+%>—X]>々，總有乂<為，

.?.點/（七,凹）離x=-：較遠，

,VJ―1—1+7〃，1

，對稱軸一—<------<一一

224

解得：0<加W—，故④正確.

2

故答案為：②③④.

三、解答題（共8小題，共72分）

下列各題需要在答題卡指定的位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形.

x+3>1①

17.求不等式組《…的整數(shù)解.

2x-l<x?

【答案】整數(shù)解為:-1,0,1

【解析】

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取

小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，進而求得整數(shù)解.

x+3>1①

【詳解】解:

2x-l<x?

解不等式①得：x>—2

解不等式②得：%<1

，不等式組的解集為：—2<x<l,

整數(shù)解為:-1,0,1

18.如圖，在Y48CD中，點￡,E分別在邊5C,4D上，AF=CE.

（2）連接EF.請?zhí)砑右粋€與線段相關(guān)的條件，使四邊形N8跖是平行四邊形.（不需要說明理由）

【答案】（1）見解析（2）添加//（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定；

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出45=CD,/B=/D，結(jié)合已知條件可得。E=,即可證明

△ABE^/\CDF；

(2)添加4F=8E,依據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求解.

【小問1詳解】

證明：二?四邊形45CD是平行四邊形，

AB=CD，AD=BC,/B=ND，

,：AF=CE,

：.4D—4F=BC—CE即DF=BE，

在ABE與CD9中，

AB=CD

〈乙B=ND,

BE=DF

/.ABE^CDF(SAS)；

【小問2詳解】

添加4F=8E(答案不唯一)

如圖所示，連接￡咒.

AFD

BEC

?.?四邊形A8CD是平行四邊形，

AD//BC,即/尸〃

當4F=8E時，四邊形N2E廠是平行四邊形.

19.為加強體育鍛煉，增強學生體質(zhì)，某校在“陽光體育一小時”活動中組織九年級學生定點投籃技能測試,

每人投籃4次，投中一次計1分.隨機抽取加名學生的成績作為樣本，將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成如下的統(tǒng)

計圖表.

測試成績扇形統(tǒng)計圖

測試成績頻數(shù)分布表

成績/頻

分數(shù)

412

3a

215

1b

06

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）直接寫出加，"的值和樣本的眾數(shù)；

（2）若該校九年級有900名學生參加測試，估計得分超過2分的學生人數(shù).

【答案】（1）加=60,?=15,眾數(shù)為3分

（2）該校九年級有900名學生參加測試，估計得分超過2分的學生人數(shù)為450人

【解析】

【分析】本題考查了樣本估計總體，求眾數(shù)，頻數(shù)分布表與扇形統(tǒng)計圖；

（1）根據(jù)成績?yōu)?分的人數(shù)除以占比，求得加的值，根據(jù)成績?yōu)?分的人數(shù)的占比，求得a=18,進而求

得b=9,即可得出〃的值；

（2）根據(jù)得分超過2分的學生的占比乘以900,即可求解.

【小問1詳解】

解：依題意，m=^-=60（人），a=60x30%=18（人），6=60-12-18-15-6=9（人），

25%

9

?%=—xl00%=15%,

60

77=15,

：3分的人數(shù)為18個，出現(xiàn)次數(shù)最多，

???眾數(shù)為3分，

【小問2詳解】

解：900x^^=450（人）

60

答：該校九年級有900名學生參加測試，估計得分超過2分的學生人數(shù)為450人.

20.如圖，45C為等腰三角形，。是底邊的中點，腰ZC與半圓。相切于點。，底邊與半圓。交

于E，F(xiàn)兩點.

A

(1)求證：48與半圓。相切；

(2)連接04.若CD=4,CF=2,求sin/O/C的值.

4

【答案】(1)見解析(2)—

5

【解析】

【分析】本題考查了等腰三角形三線合一，角平分線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識點

是解題的關(guān)鍵.

(1)連接。4、0D,作ON，45交48于N,根據(jù)等腰三角形三線合一可知，AO1BC,平分

ZBAC,結(jié)合/C與半圓。相切于點。，可推出ON=。。，得證；

(2)由題意可得出NO/C=NC。。，根據(jù)。尸=。。，在RtZ^OQC中利用勾股定理可求得。。的長度,

CD

從而得到0c的長度，最后根據(jù)sinZOAC=sinZCOD=——即可求得答案.

0C

【小問1詳解】

證明：連接。4、0D,作交于N,如圖

/3C為等腰三角形，。是底邊的中點

:.AOLBC,平分

/C與半圓。相切于點。

:.0D±AC

由ONLAB

ON=OD

,/C是半圓。的切線

【小問2詳解】

解：由(1)可知ODLAC

ZAOC=90°,ZC>r>C=90°

ZOAC+ZOCA=180°-ZAOC=90°,ZCOD+ZOCA=180°-ZODC=90°

ZOAC=/COD

CD

sinZOAC=sinZCOD=—

oc

又OF=OD,CF=2

在中，CD=4,OC=OF+FC=OD+2

OC2=CD2+OD-，

(OD+2)2=42+OD2

解得：OD=3

CDCD44

sinZOAC=sinZCOD=—=——

OCOD+23+1-5

21.如圖是由小正方形組成的3x4網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點.48c三個頂點都是格點.僅用

無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三條.

（1）在圖（1）中，畫射線2。交5C于點D,使2。平分的面積；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，在射線4D上畫點E,使/ECB=/ACB；

（3）在圖（2）中，先畫點尸，使點/繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)90°到點C,再畫射線力廠交于點G；

（4）在（3）的基礎(chǔ)上，將線段48繞點G旋轉(zhuǎn)180°,畫對應線段跖V（點/與點M對應，點8與點N

對應）.

【答案】（1）作圖見解析

（2）作圖見解析（3）作圖見解析

（4）作圖見解析

【解析】

【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖.熟練掌握全等三角形性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，等腰直角

三角形性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

（1）作矩形H3/C,對角線印交5C于點D,做射線Z。，即可；

（2）作0P〃8C,射線/RJ.OP于點0,連接C。交/。于點E,即可;

(3)在ZC下方取點F使4E=CE=B△/《下是等腰直角三角形，連接CE,AF,AF交BC

于點G,即可；

(4)作。尸〃8C,交/G于點作ST〃/G,交BC于點N,連接MN,即可.

【小問1詳解】

如圖，作線段印，使四邊形胸。是矩形，印交于點D,做射線ZZ),點。即為所求作；

【小問2詳解】

如圖，作。尸〃8C,作/RJ_OP于點0,連接C。交40于點￡,點￡即為作求作;

A

【小問3詳解】

如圖，在/C下方取點尸，使4F=CF=拈，連接。尸，連接并延長力下，AF交BC于點G,點F,G

即為所求作;

【小問4詳解】

如圖，作OP〃3C,交射線ZG于點作ST〃/G,交BC于點、N,連接MN,線段跖V即為所求作.

22.16世紀中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖.火箭第一級運行路徑形如

拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運行.某科技小組運用信

息技術(shù)模擬火箭運行過程.如圖，以發(fā)射點為原點，地平線為X軸，垂直于地面的直線為了軸，建立平面直

角坐標系，分別得到拋物線歹=辦2+》和直線y=-jx+從其中，當火箭運行的水平距離為9km時，自

動引發(fā)火箭的第二級.

（1）若火箭第二級的引發(fā)點的高度為3.6km.

①直接寫出。，b的值；

②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低1.35km,求這兩個位置之間的距離.

（2）直接寫出。滿足什么條件時，火箭落地點與發(fā)射點的水平距離超過15km.

【答案】（1）①。=——,3=8.1；②8.4km

15

2

(2)-----<a<0

27

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),

一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

⑴①將（9,3.6）代入即可求解；②將了=—《Y+x變?yōu)榱?一+：,即可確定頂點坐標,

得出y=2.4km,進而求得當y=2.4km時，對應的x的值，然后進行比較再計算即可;

（2）若火箭落地點與發(fā)射點的水平距離為15km,求得a=-2，即可求解.

27

【小問1詳解】

解：①：火箭第二級的引發(fā)點的高度為3.6km

...拋物線歹=辦？+%和直線了=-1x+b均經(jīng)過點（9,3.6）

；.3.6=81a+9,3.6=--x9+Z）

2

解得----,Z?=8.1.

②由①知,y=-L+8.1—=-工V+x

-215

，最大值y=q-km

當y="—1.35=2.4km時,

-4

1,

則---x2+x=2.4

15

解得再=12,x2=3

又：工二鄉(xiāng)時，j=3.6>2.4

...當y=2.4km時，

則-L+8.1=2.4

2

解得x=n.4

11.4-3=8.4(km)

,這兩個位置之間的距離8.4km.

【小問2詳解】

解：當水平距離超過15km時，

火箭第二級的引發(fā)點為(9,81a+9),

將(9,81a+9),(15,0)代入^=—：X+人得

81o+9=--x9+6,0=--xl5+6

22

2

解得3=7.5,a=-----

27

2

-----<<7<0.

27

23.問題背景：如圖(1),在矩形48CD中，點￡,E分別是48,的中點，連接5￡),EF,求證:

△BCDs^FBE.

問題探究：如圖(2),在四邊形/BCD中，AD//BC,/8CD=90。，點￡是N3的中點，點廠在邊

上，AD=2CF,EF與BD交于點、G,求證：BG=FG.

EG

問題拓展：如圖(3),在“問題探究”的條件下，連接/G,AD=CD,AG=FG,直接寫出——的值.

GF

【解析】

【分析】問題背景：根據(jù)矩形的性質(zhì)可得ZB=CO,NEB尸=NC=90。，根據(jù)點￡,E分別是W8,BC

BFRF1

的中點，可得——=——=一，即可得證；

ABBC2

問題探究：取3。的中點〃，連接EH,HC,得E打是△45。的中位線，根據(jù)已知條件可得￡笈平行且

等于尸C,進而可得阱C"是平行四邊形，得EF〃HC,則NG必=N〃C5,根據(jù)直角三角形中斜邊上

的中線等于斜邊的一半得出=7/。，進而可得=等量代換可得NGB/=NGE8,等角

對等邊，即可得證；

問題拓展：過點尸作則四邊形MFC。是矩形，連接4F，根據(jù)已知以及勾股定理得出

史4=好；根據(jù)（2）的結(jié)論結(jié)合已知可得GZ=GW=G6,證明EE垂直平分N5,進而得出E4=F5,

AF5

證明AFGmBFG,進而證明BEGsFMA,進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】問題背景：；四邊形45CD是矩形，

:.AB=CD,NEBF=NC=9G°,

,:E,E分別是48,BC的中點

.BEBF1

"AB~BC~2'

BEBF1

a即n---=----=一，

CDBC2

△BCDS^FBE；

問題探究：如圖所示，取班的中點X，連接EH,HC,

是48的中點，〃是8。的中點,

EH=-AD,EH//AD

2

又：AD=2CF,

EH=CF,

?/AD//BC,

：.EH//FC

，四邊形EHCF是平行四邊形，

EF//CH

NGFB=NHCB

又,；/BCD=90。,〃是5。的中點，

HC=-BD=BH

2

NHBC=ZHCB

：.Z.GBF=ZGFB,

GB=GF；

問題拓展：如圖所示，過點下作JW，40,則四邊形"77cZ）是矩形，連接4/，

???AD=2CF=CD,

AM=MD=FC=-AD,

2

設(shè)AD=2Q,則MF=CD=2a,AM=a

在Rt/MF中，4F=M+（2af

；AG=FG,由（2）BG=FG

:.AG=BG,

又；E是4B的中點，

EF垂直平分AB

/.AF=BF,ZBEG=90°,

在AFG,AFG中,

AG=BG

<GF=GF

FA=FB

AFG咨SFG(SSS)

設(shè)NGBF=NGFB=a,則NGAF=AGFA=a

：.ABGE=ZGBF+ZGFB=2a,

又：AD//BC

NMAF=ZAFB=AGFA+ZGFB=2a

NMAF=NEGB

又；/BEG=AAFM=90°

BEGsFMA

,EGEGAMa_下

,?赤一而一而一甚一V

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形中斜

邊上的中線等于斜邊的一半，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

1,5

24.拋物線^=一必+2%一一交x軸于A,8兩點(A在8的右邊)，交V軸于點C.

-22

(2)如圖(1),連接/C,BC,過第三象限的拋物線上的點P作直線尸O〃ZC,交/軸于點。.若8。

平分線段尸。，求點尸的坐標;

(3)如圖(2),點。與原點。關(guān)于點。對稱，過原點的直線EF交拋物線于E,R兩點(點￡在x軸下

方)，線段QE交拋物線于另一點G,連接尸G.若NEG尸=90。，求直線DE的解析式.

【答案】⑴/Q,o),5(-5,0),

(2)P-2,——

、2

(3)y=--x-5

2

【解析】

【分析】(1)分別令x,y=O,解方程，即可求解；

(2)分別求得直線NC,8C,根據(jù)尸。〃NC得出PQ的解析式，設(shè)尸，,：/+2/一g],進而求得。點

的坐標，進而根據(jù)5C平分線段尸。，則尸。的中點在直線上，將點/的坐標代入直線解析式，即

可求解.

(3)過點G作TS〃x軸，過點E,尸分別作燈的垂線，垂足分別為T,S,證明ETGsGSF,得出

ETFS=GSTG,先求得點D的坐標，設(shè)直線EF的解析式為必=kxx,直線ED的解析式為y2=k2x-5,

聯(lián)立拋物線解析式，設(shè)4=e,xF=f,xG=g,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出ef=-5,eg=5,

e+g=2k2-4,進而求得ET/S,代入￡7.bS=GS-TG,化簡后得出e+g=—5,即2人4=—5,

進而即可求解.

【小問1詳解】

15

解：由丁=—x9+2x—，

22

當x=0時，y=--